2024年中考模拟试题（二）
数学科
202406
注意事项：
1．答题前，考生务必认真核对条形码上姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。请按照题号在各题答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果为（ ）
A． B． C．5 D．6
4．以下燕尾槽的主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
6．已知．清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“荅花如米小，也学牡丹开”．其中荅花的花粉直径约为．则用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图．为了估计黑色阴影部分面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分频率稳定在0.6左右．据此估计此二维码中黑色阴影部分的面积为（ ）
A．0.4 B．0.6 C．8 D．12
8．如图，是的直径，弦交于点，连接．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为正方形内的一点，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．7
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．分解因式：_______．
12．一元一次不等式组的解集为：_______．
13．如图，菱形中，，则的长为_______．
14．如图，在中，，动点以的速度从向移动，（不与重合），动点以的速度从向移动，（不与重合），现同时出发，则经过_______秒后，是等腰三角形．
15．已知二次函数图象的一部分如图所示，经过点，对于下列结论，其中正确的为_______．（本小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分．）
① ②对任意实数，满足
③ ④多项式可因式分解为
三、解答题（每小题8分，共24分）
16．（Ⅰ）先化简，再求值：，其中；
（Ⅱ）已知点在一次函数的图象上，求代数式的值．
17．如图，在中，是边上的一点．
（Ⅰ）请用尺规作图法，在内，求作，使交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，求的长．
18．数学兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，在距离旗杆水平距离处，无人机垂直上升到处，此时测得点的俯角为点的仰角为，求旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）
参考数据：
四、解答题（19～21每小题7分，22题9分，共30分）
19．随着新能源的发展，电动汽车的使用越来越广泛，已知某品牌国标电动车蓄电池的电压为，使用该蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系：．回答下列问题：
（Ⅰ）这个反比例函数的关系式是：_______．
（Ⅱ）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻的取值范围是：_______；
（Ⅲ）补全下方表格，并在平面直角坐标系中，画出相应的函数图象．
_______* 3 6 12 18 _______*
_______* 12 6 4 2 _______*
20．如图，在矩形中，，点在边上，，垂足为．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求线段的长．
21．某中学持续开展了“A：青年大学习；B：青年学党史记；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培养践行”等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
图1 图2
（Ⅰ）求出参加活动C的人数，补全条形统计图；
（Ⅱ）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
（Ⅲ）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
22．为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夾角为，点在同一平面内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传遥到铁环上，会有较好的启动效果．
（Ⅰ）求证：．
（Ⅱ）实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得，已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长．
五、解答题（23题10分，24题11分，共21分）
23．某水果商店准备购进苹果和荔枝两种水果，苹果每千克的进价为10元，荔枝每千克的进价为20元，商店为了获得利润，将苹果每千克的售价定为20元，荔枝每千克的售价定为50元．
（1）商店计划用不超过1400元的资金购进苹果和荔枝共100千克，问荔枝的进货数量不超过多超少千克？
（Ⅱ）因荔枝的保鲜期较短，商店准备对荔枝每千克的售价优惠元，但苹果的售价不变，已知荔枝的进货数量不低于30千克，在（Ⅰ）的条件下，求销售这100千克水果获得利润最大时的进货方案．
24．如图，已知在矩形中，，点为边上一点（不与点、点重合），将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点．
（Ⅰ）写出图1中一个与相似的三角形；
（Ⅱ）如图2，当与的交点恰好是的中点时，求阴影部分的面积；
（Ⅲ）如图3，当点的对应点落在边的垂直平分线上时，求的长．
高要区二模数学科答案
一．选择题（每题3分，共30分）
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D C A D B C B
二．填空题（每题3分，共15分）
11． 12． 13．6 14．2
15．①②本小题全部选对的得3分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分．
三．解答题（每题8分，共24分）
16．（Ⅰ）解：显示目录式
当时，原式
（Ⅱ）解：将点代入，
得
17．解（Ⅰ）如图，即为所求
（Ⅱ），，
，
18．解：过点作，垂足为
由题意得：，在中，
在中，
旗杆的高度约为16米．
四、解答题（19-21每小题7分，22题9分，共30分）
19．解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
… 3 6 12 18 …
… 12 6 4 2 …
20．（Ⅰ）证明：四边形为矩形，
，
，
，
（Ⅱ）解：在中，
即
解得
21．解：（Ⅰ）在这次调查中，一共抽取的学生为：（名）
C的人数为：（名）
图1 图2
（Ⅱ）（名）
（Ⅲ）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为
22．（Ⅰ）证明：如图1，过点B作，
图1
分别交于点，交于点．
与相切于点
，
为的切线，
；
（Ⅱ）解：如图1，在中
由（1）知，
在中，
四边形为矩形，
．
五、解答题（23题10分，24题11分，共21分）
23．解：（Ⅰ）设荔枝的进货数量为千克，
依题意，得：，
解得：，
答：荔枝的进货数量不超过40千克。
（Ⅱ）依题意，得：，
当时，，
随的增大而增大，
，
时，即苹果购买60千克，荔枝购买40千克时利润最大，元，
且当时，元
当时，，
随的增大而减小，
当时，即苹果购买70千克，荔枝购买30千克利润最大，元
综上所述，当苹果购买60千克，荔枝购买40千克，且荔枝每千克优惠15元时，商店的利润最大。
24．解：（Ⅰ）或（写出一个即可）
（Ⅱ）在矩形中，
将矩形沿折叠，使点落在点处
点是的中点，
，
，即
阴影部分的面积是
（Ⅲ）为边的垂直平分线
，
设，则，
在中，
解得，
