苏科版七年级下学期期末考试易错题专项练习
【考试题型1】三线八角的识别
1．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号）
【答案】①②⑤
【分析】根据角的性质判断即可.
【详解】解：与是同旁内角，①说法正确；
与是同位角，②说法正确；
与不是内错角，③说法错误；
与不是同位角，④说法错误；
与是对顶角，⑤说法正确；
故答案为：①②⑤.
【点睛】本题主要考查角的性质，属于考试中常考的题型.
【考试题型2】判定两直线平行
2．（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，下列能判定的条件有（ ）个
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，逐一判断即可得出答案．
【详解】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等，判定两直线平行，∵，∴，而不能判定，故（2）错误；
（3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确；
（4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确．
故选：C．
3．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平分平分，且与互余．试说明：．
【答案】证明见解析．
【分析】根据余角定义得到，由角平分线定义求出，由此推出．
【详解】解：与互余，
平分平分，
．
．
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【考试题型3】平行线的性质
4．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如下图所示放置，下列结论：
（1），（2），（3），（4），
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质：
（1）根据两直线平行，同位角相等可得到结果；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得到结果；
（3）根据直角三角板的一个角为直角可得到结果；
（4）根据两直线平行，同旁内角互补可得到结果；
掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵该纸条为两边平行的纸条，
∴（两直线平行，同位角相等），
故（1）正确；
∵该纸条为两边平行的纸条，
∴（两直线平行，内错角相等），
故（2）正确；
∵是一个直角三角板，
∴，
故（3）正确；
∵该纸条为两边平行的纸条，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
故（4）正确；
正确的个数有4个，
故选：D．
5．（23-24八年级上·河北保定·期末）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，．
A．15 B．65 C．70 D．115
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，
则有，然后问题可求解．
【详解】解：当为70度时，，理由如下：
∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
故选C．
6．（22-23七年级上·山东日照·期末）如图，小明从A处出发沿北偏东方向行走至B处，又沿北偏西方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则小明应该（ ）
A．左转 B．右转 C．左转 D．右转
【答案】D
【分析】
本题考查了方向角有关的知识以及平行线的性质，根据两直线平行内错角相等的性质进行计算即可．
【详解】解：如下图所标示：
如图，，
∵，，
∴，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
即此时需把方向调整到与出发时一致，则小明应该右转100°，
故选：D．
【考试题型4】平行线的性质与判定
7．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图 ，，，， 将求 的过程填写完整．
解：∵（已知），
∴（_______________________ ），
∵，
∴（等量代换），
∴_______ （_______________________），
∴_______ （______________________），
∵，
∴_________．
【答案】两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
【详解】解：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴．
故答案为：两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，．
8．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，点是上一点，于点，，，平分，试求的度数．以下为求的度数的过程，请补充相关过程及依据．
解：，
，（ ）
，（ ）
，
，（ ）
_____________，（ ）
平分，
，（ ）
，
，
，
，
_____________，（ ）
．
【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；角平分线的定义；；两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；根据平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系根据已知分析填空即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，（同位角相等，两直线平行）
，（两直线平行，内错角相等）
，
，（等量代换）
，（同旁内角互补，两直线平行）
平分，
，（角平分线的定义）
，
，
，
，
，（两直线平行，同位角相等）
．
【考试题型5】生活中的平移现象
9．（22-23七年级下·广西南宁·期末）下列生活现象不属于平移的是（ ）
A．物体随升降电梯上下移动 B．拉抽屉
C．电风扇扇叶转动 D．汽车在平直的公路上直线走
【答案】C
【分析】根据平移的定义判断即可．
【详解】解：A．物体随升降电梯上下移动，属于平移，不合题意；
B．拉抽屉，属于平移，不合题意；
C．电风扇扇叶转动，属于旋转，不属于平移，符合题意；
D．汽车在平直的公路上直线走，属于平移，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平移的识别，解题的关键是掌握平移的定义．在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．
【考试题型6】利用平移的性质求解
9．（22-23七年级下·广西南宁·期末）下列生活现象不属于平移的是（ ）
A．物体随升降电梯上下移动 B．拉抽屉
C．电风扇扇叶转动 D．汽车在平直的公路上直线走
【答案】C
【分析】根据平移的定义判断即可．
【详解】解：A．物体随升降电梯上下移动，属于平移，不合题意；
B．拉抽屉，属于平移，不合题意；
C．电风扇扇叶转动，属于旋转，不属于平移，符合题意；
D．汽车在平直的公路上直线走，属于平移，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平移的识别，解题的关键是掌握平移的定义．在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．
10．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接．则下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④；其中正确结论的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】此题考查了平移的性质，平行线的判定，根据平移的性得到相关结论，进行逐项判断即可．
【详解】解：∵将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，
∴，，
，，
∴，，即，故①和②正确；
∵四边形的周长，
∴四边形的周长，故③正确；
∵，
∴，故④正确，
故选：D．
11．（22-23七年级下·山东临沂·期末）如图所示，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条笔直的小路和一条弯曲的小路，笔直的小路宽度为，弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移，可知弯曲的小路面积与长为宽为1的长方形的面积相等，根据长方形的面积，可得答案．
【详解】解：根据弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，
可知路的宽度是1米，面积与长为宽为1的长方形的面积相等，
则这块草地的绿地面积为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积．
【考试题型7】构成三角形的条件
12．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）在中，若、，且的长度为整数，则的周长可能是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出，由此即可得出答案．
【详解】解：在中，、，
，即，
，
∵的长度为整数，
∴的长度可以为3，4，5，6，7
的周长可能是11，12，13，14，15．
故选：A．
13．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知，的三边长分别为，，．
(1)求的取值范围；
(2)若它是一个等腰三角形，求它的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理（三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边），三角形周长的求解，先确定为等腰三角形时，再用三角形周长公式即可求解，能熟练运用三角形的三边关系定理是解题的关键.
【详解】（1）解：∵三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴，
∴．
（2）解：若为等腰三角形，或，
当时，不符合三角形的三边关系，应舍去，
∴，
∴等腰的周长为．
【考试题型8】三角形高、中线、角平分线的识别
14．（22-23七年级下·重庆黔江·期中）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，于H，下面判断正确的有（ ）
是的角平分线；
是的边上的中线；
是的边上的高；
是的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可．
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知是的角平分线，故原说法错误，不符合题意；
②根据三角形的中线的概念知是的边上的中线，故原说法错误，不符合题意；
③根据三角形的高的概念知是的边上的高，故原说法正确，符合题意；
④根据三角形的角平分线和高的概念知是的角平分线和高，故原说法正确，符合题意；
说法正确的有③④，共2个，
故选：B．
【考试题型9】三角形高、中线、角平分线的计算
15．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，现给出以下结论：①；②；③；④；其中结论正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断②；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断③；根据三角形面积计算公式可判断④；根据现有条件无法推出①．
【详解】解：是的中线，
，故②正确，符合题意；
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，符合题意；
∵中边上的高与中边上的高相同，
∴，故④正确，符合题意
根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意；
综上，符合题意的有3个，
故选：B．
16．（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．
(1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长；
(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的基本知识．
(1)利用三角形的面积公式求出即可解决问题；
(2)根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据角的和差关系即可求出．
【详解】（1）解： 为边上的高，，的面积为，
，
为边上的中线，
点是的中点，
；
（2）解： ，，为边上的高，
，，
．
为的角平分线，
，
．
【考试题型10】证明三角形内角和定理
17．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（ ）
A．如图①，过点作
B．如图②，延长到，过点作
C．如图③，过上一点作，
D．如图④，过点作
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，故A选项不符合题意，
∵，
∴，
∵，
∴，故B选项不符合题意，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，故C选项不符合题意，
∵，
∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意，
故选：D
【考试题型11】三角形内角和定理
18．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）【问题背景】观察小猪的主题，从中可以抽象出如图1所示的图形，
【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数．
【答案】（1），见解析；（2）
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
（1）过点E作，从而可得，结合平行线的性质即可求解；
（2）由三角形的内角和可求得，由对顶角相等得 ，再结合（1）的结论进行求解即可．
【详解】解：（1），
理由如下：点作，如图1，
，
，
，，
，
；
（2），，
，
，
由（1）可得．
19．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数．
【答案】
【分析】此题考查了三角形外角的性质，角平分线的概念和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
首先根据三角形外角的性质得到，然后利用角平分线的概念和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴
∵是的角平分线
∴
∵
∴．
20．（2024七年级下·全国·专题练习）将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为．
(1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，证明见解析
【分析】此题主要考查折叠的性质、三角形外角的性质，掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键．
（1）利用三角形两次外角定理得出结论；
（2）由三角形外角定理，再由折叠可得即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由见解析：
如图1，连接，
是的外角，
．
同理，．
．
由折叠性质得．
．
（2），证明如下：
如图2，连接，
是的外角，
．
同理，．
．
由折叠性质得．
，
．
【考试题型12】三角形外角的性质
21．（23-24七年级下·四川眉山·期中）如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记，
，，
，
又，
，
，
，
故选C．
22．（23-24七年级下·山东威海·期中）①如图1，，则；
②如图2，，则；
③如图3，，则；
④如图4，直线，点O在直线上，则．
以上结论正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．过点E作，根据平行线的性质得出，，进而可判断①；设交于点Q，根据平行线的性质和外角的性质即可判断②；过点E作，根据平行线的性质可得，，进而可判断③；延长到点M，交于点M，根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得，即可判断④．
【详解】如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，①正确；
设交于点Q，
∵，
∴，
∵，
∴，即，②正确；
如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，③错误；
延长到点M，交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，④正确；
结论正确的是①②④，
故选：C．
【考试题型13】多边形的相关计算
23．（2024·北京门头沟·二模）某个正多边形的一个内角是它的外角的2倍，则该正多边形是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n，根据一个内角是它的外角的2倍，可得该正多边形内角和是其外角和的2倍，据此列出方程，即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
∵一个内角是它的外角的2倍，
∴该正多边形内角和是其外角和的2倍，
∴，
解得：，
即这个多边形是六边形．
故选：C．
24．（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列四组多边形中，能密铺地面的是( )
①正六边形与正三角形；②正十二边形与正三角形；③正八边形与正方形；④正三角形与正方形．
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查能铺满地面的图形组合，掌握正多边形的内角和公式，会求正多边形的每个内角，抓住围绕一点的各个角的和为是解题关键．根据围绕一点的各个角的和为进行一一判断即可．
【详解】解∶①正六边形与正三角形，正六边形每个内角，正三角形每个内角，， 能铺满地面；
②正十二边形与正三角形，正十二边形每个内角，正三角形每个内角，， 能铺满地面；
③正八边形与正方形，正八边角形每个内角，正方形每个内角，， 能铺满地面，
④正三角形与正方形，正三角形每个内角，正方形每个内角，，能铺满地面；
其中能铺满地面的是①②③④．
故选：A．
25．（23-24七年级下·陕西西安·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下：
多边形的边数n 3 4 5 6 …
对角线的条数y 0 2 5 9 …
(1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）；
(2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y．
(3)求一个十边形的对角线的条数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了对角线的条数与多边形的边数的关系，理解题意、得出对角线的条数与多边形的边数的关系是解题的关键．
（1）根据“一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线”，得出答案即可；
（2）根据“n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次”，得出答案即可；
（3）把代入，计算得出答案即可．
【详解】（1）解：∵一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线，
∴过n边形的每一个顶点的对角线条数为，
故答案为：；
（2）解：∵n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次，
∴n边形所有对角线的条数为；
（3）解：把代入，得，
∴一个十边形的对角线的条数为．
【考试题型14】幂的混合运算
26．（23-24七年级下·广东深圳·开学考试）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)已知，求的值；
(6)已知，求的值；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题主要考查整式的混合运算、实数的运算、零指数幂．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（1）根据幂的乘方、同底数幂的除法及合并同类项的运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘方、负指数幂、零指数幂的运算法则进行计算算即可；
（3）先去括号，再合并同类项计算即可；
（4）根据相关幂的运算法则进行计算即可．
（5）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（6）逆用同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）
，
解得：；
（6），，
．
【考试题型15】用科学记数法表示绝对值小于1的数
27．（23-24八年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列数或算式的结果：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于的数，负整数指数幂的运算等知识．
（1）用科学记数法表示绝对值小于的数，一般形式为，其中，n为整数位数减，据此即可解答；
（2）用科学记数法表示绝对值小于的数，一般形式为，其中，n为整数位数减，据此即可解答；
（3）先根据积的乘方和幂的乘方化为，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
．
【考试题型16】整式的乘法混合运算
28．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查整式的乘法运算，掌握整式的乘法运算的运算顺序非常关键．
（1）先运用积的乘方运算，然后利用单项式乘以单项式的法则计算解题；
（2）运用单项式乘以单项式的运算法则解题即可；
（3）运用多项式乘以多项式的法则解题即可；
（4）运用多项式乘以多项式的法则解题即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
29．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若规定符号的意义：．
(1)计算：_________．
(2)若，，则的值为________．
【答案】(1)5
(2)8或15
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）由题意求得或，根据新定义化简所求式子后整体代入即可得解．
【详解】（1）根据题中的新定义得，
；
（2）∵，，
∴，
得，
∴或，
当时，，
当时．
∴的值为8或15．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【考试题型17】整式乘法的应用
30．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）（1）先化简，再求值．
，其中．
（2）已知的展开式中不含项，常数项是6．
若，，求的值．
【答案】（1），4；（2）3
【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先直接利用多项式乘多项式计算，再合并同类项，然后求出，代入即可解答；
（2）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值；再计算得，然后将m与n的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：（1）
，
因为
，
所以，原式．
（2）
，
由于展开式中不含项，常数项是，
则且，
解得：，；
，
，，
原式
31．（23-24七年级下·浙江·期中）先化简，再求值：
，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值，先利用整式的混合运算法则进行化简，再将，代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】原式
，
当时，原式．
32．（21-22七年级下·广东河源·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求的值；
(2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果．
【答案】(1)-14．
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于a和b的代数式的值，直接代入计算即可；
（2）先求出b的值，再代入计算．
【详解】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：，
因为对应的系数相等，故，
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：．
因为对应的系数相等，故，，
∴
（2）解：乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果得出：
，
故，
∴b=-1，
把a=3，b=-1代入，
得(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3，
故答案为：2x2+5x-3．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．
【考试题型18】求完全平方根字母的系数
33．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）若二次三项式是完全平方式，则k的值是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据所给多项式可以确定两平方项分别为，则一次项为，据此可得答案．
【详解】解：∵，是完全平方式，
∴，
解得．
故选：C．
【考试题型19】因式分解的判断
34．（23-24八年级下·云南文山·期中）下列由左边到右边的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义以及因式分解的方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、，正确；
D、，原选项分解错误；
故选C．
35．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判定即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：、该式从左边到右边的变形是整式乘法，不是因式分解，不合题意；
、该式左边和右边不相等，左边不能因式分解，变形错误，不合题意；
、该式从左边到右边是因式分解，符合题意；
、该式左边不能因式分解，不合题意；
故选：．
【考试题型20】因式分解
36．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）把下列各式分解因式．
(1)；
(2)；
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解；
（）利用平方差公式分解即可；
本题考查了因式分解的综合运用，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式，
，
．
37．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
(1)根据材料1，把分解因式；
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：；
②分解因式：．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）①利用十字相乘法分解因式即可；
②利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）
；
（2）①
；
②
．
【考试题型21】二元一次方程组的定义
38．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的系数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，
∴，
∴．
【考试题型22】二元一次方程组的解
39．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
∴，
∴，，，．
故☆表示的方程可能是．
故选C．
40．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 .
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出关于、的方程组，进而得出答案．
【详解】解：关于关于、的二元一次方程组的解是，
方程组中，
解得：．
故答案为：．
【考试题型23】已知二元一次方程组的解求参数
41．（23-24七年级下·河北沧州·期中）小刚解出了方程组，解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则 ．
【答案】8
【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
将代入原方程组，解出和即可．
【详解】解：由题意得，
解得：，．
∴．
故答案为：8．
【考试题型24】解二元一次方程组
42．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组：
（1）代入消元法解方程组即可；
（2）加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴原方程组的解为；
（2）解：得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴原方程组的解为．
43．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为，
解得，∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，试求方程组的解；
(2)仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．
（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令，，则原方程组可化为，解出m，n，代入得到，再解出关于x，y的方程组即可．
【详解】（1）解：∵方程组的解是，
∴，
解得；
（2）解：设，，
则原方程组可化为，
解得，
∴，
∴原方程组的解为．
44．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为．
(1)求m和n的值；
(2)求方程组的正确的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键．
（1）由于嘉嘉把方程①抄错，求得解满足方程②，淇淇把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值，
（2）将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案．
【详解】（1）嘉嘉把方程①抄错，求得解为，
满足方程②，
即；
又淇淇把方程②抄错，求得的解为，
满足方程①，
即；
因此有，
解得；
（2）所以原方程组可变为，
即，
①②得，
，
解得，
把代入①得，，
解得，
原方程组的正确的解为．
【考试题型25】二元一次方程组的应用
45．（23-24七年级下·福建南平·期中）“五一”期间小欣在超市买了“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”共包，已知“雀巢巧克力”每包元，“趣多多小饼干”每包元，总共花费了元．
(1)请求出小欣在这次采购中，“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”各买了多少包？
(2)若小欣决定用元购进这两种零食，两种都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明.
【答案】(1)“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”各买了包和包；
(2)有两种购买方案，方案：购进包“雀巢巧克力”，包“趣多多小饼干”；
方案：购进包“雀巢巧克力”，包“趣多多小饼干”．
【分析】（）设“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”各买了包和包，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（）设购买包“雀巢巧克力”，包“趣多多小饼干，根据题意，列出二元一次方程，根据、均为正整数，分情况讨论即可求解；
本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程和二元一次方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：设“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”各买了包和包，
根据题意得，，
解得，
答：“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”各买了包和包 ；
（2）解：设购买包“雀巢巧克力”，包“趣多多小饼干，
依题意得，，
、均为正整数，
当时，；当时，；
有两种购买方案，方案：购进包“雀巢巧克力”，包“趣多多小饼干”；
方案：购进包“雀巢巧克力”，包“趣多多小饼干”．
46．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）2024年五一假期期间，太原市某中学开展以“红色经典”为主题的研学活动，组织七年级师生参观红色文化传承实践教育基地．原计划租用45座甲型客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座乙型客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆甲型客车？
(2)若同时租用甲、乙两种型号的客车，要使每位师生都有座位且无空位，有哪几种租车方案？
【答案】(1)参加此次研学活动的师生人数是600，原计划租用13辆甲型客车
(2)有三种租车方案，分别是租用甲型客车4辆，乙型客车7辆；租用甲型客车8辆，乙型客车4辆；租用甲型客车12辆，乙型客车1辆
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用：
（1）设参加此次研学活动的师生人数是，原计划租用辆甲型客车．根据原计划租用45座甲型客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座乙型客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满可列方程组求解；
（2）设租用甲型客车辆，乙型客车辆．根据参加此次研学活动的师生人数是600列出二元一次方程，求出方程的整数解即可得到答案
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生人数是，原计划租用辆甲型客车．
根据题意，得，
解得，
答：参加此次研学活动的师生人数是600，原计划租用13辆甲型客车．
（2）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆．
依题意得，
整理得．
都为正整数，
或或．
答：有三种租车方案，分别是租用甲型客车4辆，乙型客车7辆；租用甲型客车8辆，乙型客车4辆；租用甲型客车12辆，乙型客车1辆．
【考试题型26】解三元一次方程组
47．（2024六年级下·上海·专题练习）解方程组：．
【答案】
【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
方程组前两个方程相加消去得到与的方程，与第三个方程联立求出与的值，进而求出的值即可．
【详解】解：
①②得：④，
④③得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
把，代入②得：，
解得：，
则方程组的解为．
【考试题型27】不等式的性质
48．（23-24六年级下·上海·期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，，，那么
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘上或除以一个正数，不等式符号不变，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式的符号不变；若不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式符号改变，据此即可作答．
【详解】解：A、如果，说明，那么，该选项是正确的；故不符合题意；
B、如果，当，那么是错误的，该选项是错误的，故符合题意；
C、如果，则，那么，该选项是正确的；故不符合题意；
D、如果，，，那么，该选项是正确的；故不符合题意；
故选：B
49．（23-24七年级下·北京朝阳·期中）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，则下列不等式不成立是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质，可得答案．
【详解】解：如图所示，，
A、两边都减，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意；
B、两边乘，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意；
C、两边都减，不等号的方向不变，故C成立，不符合题意；
D、当时，不成立，故D成立， 符合题意；
故选：D．
【考试题型28】求一元一次不等式的解集
50．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）小米同学求解一元一次不等式的过程：
解不等式：. 解：去分母，得.第一步 去括号，得.第二步 移项，得.第三步 合并同类项，得.第四步 系数化为1，得.第五步 所以原不等式的解为.
(1)该解题过程中从第_________步开始出现错误；
(2)请你按照上面演算步骤写出正确的解答过程.
【答案】(1)一
(2)见详解
【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；
（1）根据去分母可进行求解；
（2）根据一元一次不等式的解法可进行求解．
【详解】（1）由题意可知解题过程中从第一步开始出现错误；
故答案为一；
（2）解：
去分母得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴原不等式的解集为．
51．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）解不等式，并在数轴上表示其解集．
【答案】．数轴表示见详解．
【分析】本题考查了不等式的解法和不等式的数轴表示法，熟悉不等式的性质是解决问题的关键．在解不等式的过程中，需要注意的是当不等式两边乘或除同一个负数，不等号方向改变，乘或除同一个正数，不等号方向不变，加或减同一个数，不等号方向不变．在数轴表示中，注意实心点包含该点，空心点不包含该点，即可解决问题．
【详解】解：，
去分母得，，
展开得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1，得．
故不等式解集为：．
用数轴表示解集为：
．
【考试题型29】求一元一次不等式的整数解
52．（19-20七年级下·江苏苏州·期末）一元一次不等式的解在数轴上表示如下图所示，若该不等式有两个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到负整数解．根据关于x的一元一次不等式的两个负整数解只能是、，求出a的取值范围即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元一次不等式有两个负整数解，
∴2个负整数解只能是、．
∴a的取值范围是．
故选B
53．（23-24七年级上·重庆梁平·期末）若关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的整数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为正整数，列不等式，结合为整数得出的所有值，取最小值即可得答案．正确表示出方程的解是解题关键．
【详解】解：
去分母得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵一元一次方程有正整数解，
∴，
∴的值为、、、，
∵为整数，
∴的值为、、、，
∴整数的最小值为，
故选：A．
【考试题型30】一元一次不等式的应用
54．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）某校计划购买两种不同品种的树苗进行校园绿化，现有品种树苗每棵25元，品种树苗每棵15元，已知购买品种树苗的棵数比品种树苗棵数的3倍多10棵．
(1)若购买两种不同品种的树苗的总费用不超过3650元，则最多可以购买品种树苗多少棵？
(2)为保证绿化效果，学校决定再购买两种不同品种的树苗共20棵，总费用不超过350元，则最多可以购买品种树苗多少棵？
【答案】(1)50棵
(2)5棵
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设购买品种树苗棵，则购买品种树苗棵，根据题意列出一元一次不等式，求解即可获得答案；
（2）设购买品种树苗棵，则购买品种树苗棵，根据题意列出一元一次不等式，求解即可获得答案．
【详解】（1）解：设购买品种树苗棵，则购买品种树苗棵，
根据题意，可得 ，
解得 ，
∴最多可以购买品种树苗50棵；
（2）解：设购买品种树苗棵，则购买品种树苗棵，
根据题意，可得，
解得
∴最多可以购买品种树苗5棵．
55．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）希望工程为贫困山区留守儿童购买A、B两种型号的学习用品共100件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．
(1)若购买这批学习用品共用了2600元，则购买A、B两种学习用品各多少件？
(2)若购买这批学习用品的费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？
【答案】(1)购买A型学习用品40件，B型学习用品60件．
(2)最多可以购买B型学习用品为80件．
【分析】（1）本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，找到相等关系是解决问题的关键．设购买A、B型号学习用品分别为、件，根据总件数和总花费，可列出二元一次方程组，解方程组即可求购买A、B两种学习用品各多少件．
（2）本题考查了不等式的实际应用问题，找到不等关系是解决问题的关键．根据题意，设购买B型学习用品为件，列出总费用的代数式，总费用不超过2800元，可列出不等式，解不等式，取最大整数解即是最多可购买B型学习用品的件数．
【详解】（1）解：购买了A型学习用品件，B型学习用品件，
根据题意得，
解方程组得，
答：购买了A型学习用品40件，B型学习用品60件．
（2）解：设购买B型学习用品件，购买学习用品总费用为，
则购买A型学习用品为件，
，
，
，
解不等式得，，因为为整数，
．
答：最多可以购买B型学习用品为80件．
【考试题型31】求一元一次不等式组的解集
56．（2019·广东深圳·二模）解不等式组
，并写出它的所有整数解．
【答案】原不等式组的解集是：；它的所有整数解是：；；0；1
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数即可．
【详解】
解不等式①，得：
解不等式②，得：
所以，原不等式组的解集是：
它的所有整数解是：；；0；1．
57．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）解不等式组，并在数轴表示不等式组的解集．
【答案】，数轴表示见解析．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示不等式组的解集如图所示：
【考试题型32】求一元一次不等式组的整数解
58．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是．
若三个整数解为，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B．
59．（2023八年级上·浙江·专题练习）不等式组的整数解的和是（ ）
A．9 B．10 C．23 D．6
【答案】B
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，然后得到整数解求和即可．
【详解】解：不等式组，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为：，
的整数解为1、2、3、4，
整数解的和是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是求一元一次不等式组得整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．
60．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质解一元一次不等式组，再根据不等式组的取值方法，所有整数解的和是，可判定的取值范围，由此即可求解．
【详解】解：
解①式，去括号，，
移项，，
合并同类项，，
系数化为，；
解②式，移项，，
系数化为，；
∵由①时，能取到的负数有，且不等组所有整数解的和是，
∴不等式组的整数解为：或和0，
∴，解得，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，不等式组的取值方法，根据解集求解参数等知识，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键．
【考试题型33】一元一次不等式组的应用
61．（2024七年级下·安徽·专题练习）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式．某家电商场计划用万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台．三种家电的进价及售价如表．
品名 单价（台元）
电视机 5000
洗衣机 2000
空调 2400
在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？
【答案】共有3 种方案：方案一：购进电视机8台，洗衣机8台，空调24台；方案二：购进电视机9台，洗衣机9台，空调22台；方案三：购进电视机10台，洗衣机10台，空调20台
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式即可求解．设购进电视机台，则购进洗衣机台、购进空调台，根据若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，且以及都是非负整数，即可确定的范围，从而确定进货方案．
【详解】解：设购进电视机台，则购进洗衣机台、购进空调台，
根据题意，得，
解得：．
∴共有3 种方案：
方案一：购进电视机8台，洗衣机8台，空调24台；
方案二：购进电视机9台，洗衣机9台，空调22台；
方案三：购进电视机10台，洗衣机10台，空调20台．
62．（23-24七年级下·广西贺州·期中）为贯彻落实教育部《关于推进中小学生研学旅行的意见》，我市某中学组织七年级师生到爱莲湖开展研学活动，学校计划租用两种不同型号的客车前往爱莲湖，两种客车的载客量与租金如下表所示：
中型客车 大型客车
载客量（人/辆） 18 30
租金（元/辆） 800 1200
若共有172名师生参加此次研学活动，学校计划租用这两种客车共8辆，租金总费用不超过8000元，要使全部师生均有座位，则怎样租车更划算？
【答案】租用5辆中型客车，3辆大型客车更划算
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用以及有理数混合运算的实际应用，设租用中型客车x辆，则租用大型客车辆，根据题意列出一元一次不等式组并求出整数解，再通过计算比较出费用的大小即可得出答案．
【详解】解：设租用中型客车x辆，则租用大型客车辆，
根据题意，得
解得，
∵x为非负整数，
∴x取4，5
∴当租用4辆中型客车，4辆大型客车时，租金总费用为：
（元）；
当租用5辆中型客车，3辆大型客车时，租金总费用为：
（元）：
∵，
∴租用5辆中型客车，3辆大型客车更划算．
【考试题型34】判断是否是命题
63．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）角平分线上的点到角两边的距离相等．
（2）生活在水里的动物是鱼．
（3）作两条相交直线．
（4）和相等吗？
（5）全等三角形的对应边相等．
（6）三个角对应相等的两个三角形全等．
（7）画线段．
【答案】（1）、（2）、（5）、（6）是命题；（3）、（4）、（7）不是命题．
【分析】根据命题的概念，逐个判断即可．
【详解】根据命题的概念，可得（1）、（2）、（5）、（6）是命题，（3）、（4）、（7）不是命题；
【点睛】本题考查了命题的概念，一个命题有两个必不可少的要素：（1）条件；（2）结论．掌握命题的概念是解题的关键．命题的概念∶一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
【考试题型35】判断命题真假
64．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假．
(1)如果两个角是直角，那么这两个角相等；
(2)绝对值相等的两个数相等；
(3)两个钝角的和一定大于．
【答案】(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题
(2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题
(3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题
【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键．
（1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可；
（2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可；
（3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可．
【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；
直角为，故原命题是真命题；
（2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；
绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题；
（3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；
钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题．
【考试题型36】判断是否为互逆命题
65．（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
(1)同位角相等；
(2)全等三角形的对应角相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
（1）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后判断原命题与逆命题不是互逆定理；
（2）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后判断原命题与逆命题不是互逆定理．
【详解】（1）解：逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同位角；
由于原命题及逆命题均为假命题，因此原命题和逆命题不是互逆定理；
（2）解：逆命题是：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形．
由于逆命题为假命题．因此原命题和逆命题不是互逆定理；
66．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假．
(1)两个全等三角形的面积相等．
(2)如果，那么，．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）其逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等.
显然是假命题．
（2）逆命题是如果，，那么，是真命题．
本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键．
【详解】（1）逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．
判断：逆命题是假命题．
（2）逆命题：如果，，那么．
判断：逆命题是真命题．
苏科版七年级下学期期末考试易错题专项练习
【考试题型1】三线八角的识别
1．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号）
【考试题型2】判定两直线平行
2．（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，下列能判定的条件有（ ）个
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平分平分，且与互余．试说明：．
【考试题型3】平行线的性质
4．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如下图所示放置，下列结论：
（1），（2），（3），（4），
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（23-24八年级上·河北保定·期末）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，．
A．15 B．65 C．70 D．115
6．（22-23七年级上·山东日照·期末）如图，小明从A处出发沿北偏东方向行走至B处，又沿北偏西方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则小明应该（ ）
A．左转 B．右转 C．左转 D．右转
【考试题型4】平行线的性质与判定
7．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图 ，，，， 将求 的过程填写完整．
解：∵（已知），
∴（_______________________ ），
∵，
∴（等量代换），
∴_______ （_______________________），
∴_______ （______________________），
∵，
∴_________．
8．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，点是上一点，于点，，，平分，试求的度数．以下为求的度数的过程，请补充相关过程及依据．
解：，
，（ ）
，（ ）
，
，（ ）
_____________，（ ）
平分，
，（ ）
，
，
，
，
_____________，（ ）
．
【考试题型5】生活中的平移现象
9．（22-23七年级下·广西南宁·期末）下列生活现象不属于平移的是（ ）
A．物体随升降电梯上下移动 B．拉抽屉
C．电风扇扇叶转动 D．汽车在平直的公路上直线走
【考试题型6】利用平移的性质求解
9．（22-23七年级下·广西南宁·期末）下列生活现象不属于平移的是（ ）
A．物体随升降电梯上下移动 B．拉抽屉
C．电风扇扇叶转动 D．汽车在平直的公路上直线走
10．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接．则下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④；其中正确结论的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（22-23七年级下·山东临沂·期末）如图所示，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条笔直的小路和一条弯曲的小路，笔直的小路宽度为，弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（ ）
A． B． C． D．
【考试题型7】构成三角形的条件
12．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）在中，若、，且的长度为整数，则的周长可能是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
13．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知，的三边长分别为，，．
(1)求的取值范围；
(2)若它是一个等腰三角形，求它的周长．
【考试题型8】三角形高、中线、角平分线的识别
14．（22-23七年级下·重庆黔江·期中）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，于H，下面判断正确的有（ ）
是的角平分线；
是的边上的中线；
是的边上的高；
是的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考试题型9】三角形高、中线、角平分线的计算
15．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，现给出以下结论：①；②；③；④；其中结论正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．
(1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长；
(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．
【考试题型10】证明三角形内角和定理
17．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（ ）
A．如图①，过点作
B．如图②，延长到，过点作
C．如图③，过上一点作，
D．如图④，过点作
【考试题型11】三角形内角和定理
18．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）【问题背景】观察小猪的主题，从中可以抽象出如图1所示的图形，
【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数．
19．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数．
+
20．（2024七年级下·全国·专题练习）将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为．
(1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明．
【考试题型12】三角形外角的性质
21．（23-24七年级下·四川眉山·期中）如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
22．（23-24七年级下·山东威海·期中）①如图1，，则；
②如图2，，则；
③如图3，，则；
④如图4，直线，点O在直线上，则．
以上结论正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②
【考试题型13】多边形的相关计算
23．（2024·北京门头沟·二模）某个正多边形的一个内角是它的外角的2倍，则该正多边形是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
24．（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列四组多边形中，能密铺地面的是( )
①正六边形与正三角形；②正十二边形与正三角形；③正八边形与正方形；④正三角形与正方形．
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①②③
25．（23-24七年级下·陕西西安·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下：
多边形的边数n 3 4 5 6 …
对角线的条数y 0 2 5 9 …
(1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）；
(2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y．
(3)求一个十边形的对角线的条数．
【考试题型14】幂的混合运算
26．（23-24七年级下·广东深圳·开学考试）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)已知，求的值；
(6)已知，求的值；
【考试题型15】用科学记数法表示绝对值小于1的数
27．（23-24八年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列数或算式的结果：
(1)；
(2)；
(3)．
【考试题型16】整式的乘法混合运算
28．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
29．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若规定符号的意义：．
(1)计算：_________．
(2)若，，则的值为________．
【考试题型17】整式乘法的应用
30．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）（1）先化简，再求值．
，其中．
（2）已知的展开式中不含项，常数项是6．
若，，求的值．
31．（23-24七年级下·浙江·期中）先化简，再求值：
，其中，．
32．（21-22七年级下·广东河源·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求的值；
(2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果．
【考试题型18】求完全平方根字母的系数
33．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）若二次三项式是完全平方式，则k的值是（ ）
A．6 B． C． D．
【考试题型19】因式分解的判断
34．（23-24八年级下·云南文山·期中）下列由左边到右边的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考试题型20】因式分解
36．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）把下列各式分解因式．
(1)；
(2)；
37．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
(1)根据材料1，把分解因式；
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：；
②分解因式：．
【考试题型21】二元一次方程组的定义
38．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值．
【考试题型22】二元一次方程组的解
39．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
40．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 .
【考试题型23】已知二元一次方程组的解求参数
41．（23-24七年级下·河北沧州·期中）小刚解出了方程组，解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则 ．
【考试题型24】解二元一次方程组
42．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）解方程组：
(1)
(2)
43．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为，
解得，∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，试求方程组的解；
(2)仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
44．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为．
(1)求m和n的值；
(2)求方程组的正确的解．
【考试题型25】二元一次方程组的应用
45．（23-24七年级下·福建南平·期中）“五一”期间小欣在超市买了“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”共包，已知“雀巢巧克力”每包元，“趣多多小饼干”每包元，总共花费了元．
(1)请求出小欣在这次采购中，“雀巢巧克力”和“趣多多小饼干”各买了多少包？
(2)若小欣决定用元购进这两种零食，两种都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明.
46．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）2024年五一假期期间，太原市某中学开展以“红色经典”为主题的研学活动，组织七年级师生参观红色文化传承实践教育基地．原计划租用45座甲型客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座乙型客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆甲型客车？
(2)若同时租用甲、乙两种型号的客车，要使每位师生都有座位且无空位，有哪几种租车方案？
【考试题型26】解三元一次方程组
47．（2024六年级下·上海·专题练习）解方程组：．
【考试题型27】不等式的性质
48．（23-24六年级下·上海·期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，，，那么
49．（23-24七年级下·北京朝阳·期中）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，则下列不等式不成立是（ ）
A． B． C． D．
【考试题型28】求一元一次不等式的解集
50．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）小米同学求解一元一次不等式的过程：
解不等式：. 解：去分母，得.第一步 去括号，得.第二步 移项，得.第三步 合并同类项，得.第四步 系数化为1，得.第五步 所以原不等式的解为.
(1)该解题过程中从第_________步开始出现错误；
(2)请你按照上面演算步骤写出正确的解答过程.
51．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）解不等式，并在数轴上表示其解集．
【考试题型29】求一元一次不等式的整数解
52．（19-20七年级下·江苏苏州·期末）一元一次不等式的解在数轴上表示如下图所示，若该不等式有两个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
53．（23-24七年级上·重庆梁平·期末）若关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的整数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【考试题型30】一元一次不等式的应用
54．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）某校计划购买两种不同品种的树苗进行校园绿化，现有品种树苗每棵25元，品种树苗每棵15元，已知购买品种树苗的棵数比品种树苗棵数的3倍多10棵．
(1)若购买两种不同品种的树苗的总费用不超过3650元，则最多可以购买品种树苗多少棵？
(2)为保证绿化效果，学校决定再购买两种不同品种的树苗共20棵，总费用不超过350元，则最多可以购买品种树苗多少棵？
55．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）希望工程为贫困山区留守儿童购买A、B两种型号的学习用品共100件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．
(1)若购买这批学习用品共用了2600元，则购买A、B两种学习用品各多少件？
(2)若购买这批学习用品的费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？
【考试题型31】求一元一次不等式组的解集
56．（2019·广东深圳·二模）解不等式组
，并写出它的所有整数解．
57．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）解不等式组，并在数轴表示不等式组的解集．
【考试题型32】求一元一次不等式组的整数解
58．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
59．（2023八年级上·浙江·专题练习）不等式组的整数解的和是（ ）
A．9 B．10 C．23 D．6
60．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考试题型33】一元一次不等式组的应用
61．（2024七年级下·安徽·专题练习）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式．某家电商场计划用万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台．三种家电的进价及售价如表．
品名 单价（台元）
电视机 5000
洗衣机 2000
空调 2400
在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？
62．（23-24七年级下·广西贺州·期中）为贯彻落实教育部《关于推进中小学生研学旅行的意见》，我市某中学组织七年级师生到爱莲湖开展研学活动，学校计划租用两种不同型号的客车前往爱莲湖，两种客车的载客量与租金如下表所示：
中型客车 大型客车
载客量（人/辆） 18 30
租金（元/辆） 800 1200
若共有172名师生参加此次研学活动，学校计划租用这两种客车共8辆，租金总费用不超过8000元，要使全部师生均有座位，则怎样租车更划算？
【考试题型34】判断是否是命题
63．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）角平分线上的点到角两边的距离相等．
（2）生活在水里的动物是鱼．
（3）作两条相交直线．
（4）和相等吗？
（5）全等三角形的对应边相等．
（6）三个角对应相等的两个三角形全等．
（7）画线段．
【考试题型35】判断命题真假
64．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假．
(1)如果两个角是直角，那么这两个角相等；
(2)绝对值相等的两个数相等；
(3)两个钝角的和一定大于．
【考试题型36】判断是否为互逆命题
65．（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
(1)同位角相等；
(2)全等三角形的对应角相等．
66．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假．
(1)两个全等三角形的面积相等．
(2)如果，那么，．
