广东（省卷）2024年中考数学适应性考试
本卷满分120分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024·四川成都·二模）某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查正负数和相反意义的量，根据低于最适宜发芽温度记作，即可得到答案
【详解】解：∵某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，
∴高于最适宜发芽温度应该记作，
故选：A
2．（2024·山东淄博·二模）2024年4月16日国家统计局发布，一季度高质量发展取得新成效，国民经济延续回升向好态势，开局良好．初步核算国内生产总值约29.63万亿元，按不变价格计算，同比增长．万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】万亿，
故选：D.
3．（2024·福建宁德·二模）下列图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项分析判断即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意；
B. 不是中心对称图形，不符合题意；
C. 不是中心对称图形，不符合题意；
D. 是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
4．（2024·广东广州·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的加法，同底数幂的除法，积的乘方和合并同类项，根据相关运算法则计算出各选项结果后再判断即可
【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B. ，故此选项计算错误，不符合题意；
C. ,计算正确，符合题意；
D. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：C
5．（2024·福建南平·一模）某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可．
【详解】解：．
故选：B．
6．（2023·山西吕梁·模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点作工作篮底部，
，
工作篮底部与支撑平台平行，工作篮底部
支撑平台，
，
，，
，
，
故选：．
7．若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】第三象限上的点，横坐标小于0，纵坐标小于0，从而得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组，将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
∴，
不等式的解集为：，
在数轴上可表示为： ，
故选：B．
8．（2024·北京·二模）不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的球都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
红 黄 黄
红 红红 黄红 黄红
黄 红黄 黄黄 黄黄
黄 红黄 黄黄 黄黄
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，
∴两次都摸到红球的概率为．
故选：A．
9．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，轴，点、在反比例函数的图象上，若的面积是8，则的值是
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】
连接，根据平行四边形的性质得到的面积的面积，，于是得到结论．
【详解】
解：连接，
四边形是平行四边形，的面积是8，
的面积的面积，，
∴点B、D横坐标互为相反数，
∴点B、D纵坐标也互为相反数，
又轴，，
∴,
∴
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（2024·广东深圳·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，
【详解】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，，（舍）或，
∴，
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共15分。
11．（2024·广东肇庆·一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：，
故答案为：；
12．（2024·安徽芜湖·一模）若是关于x的方程的解，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程即可求出的值．
【详解】解：把代入，得
，
∴，
∴．
故答案为：．
13．浙江地区向来有打年糕的习俗．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得重量增加20%．如果做成年糕后重量为x斤，则原有糯米 斤（用含x的代数式表示）．
【答案】/
【分析】本题考查了列代数式，找出数量关系是解题的关键．基本关系：做成年糕后重量=原有糯米的重量×，据此求解即可．
【详解】解：做成年糕后重量为x斤，
原有糯米的重量为：（斤）．
故答案为：．
14．如图，、是线段的两个黄金分割点，．则线段 ．
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义得到AD=BC=AB=，然后利用CD=AD+BC-AB进行计算．
【详解】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，
∴AD=BC=AB==，
∴CD=AD+BC-AB==，
故答案为：．
15．（2021·重庆·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】先根据菱形的性质得出AB的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可得出答案
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，，
∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；
∴；
∴菱形ABCD的面积=
∵四个扇形的半径相等，都为，且四边形的内角和为360°，
∴四个扇形的面积=，
∴阴影部分的面积=；
故答案为：．
三、简答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17,18题各7分，共24分。
16．（2024·广东韶关·二模）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；5
【分析】本题考查了分式的混合运算和求值，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（2）的关键．
（1）先根据二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算，再求出即可；
（2）先通分，化成同分母的分式，计算加法，再计算除法，最后求出即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
17．（2024·北京朝阳·二模）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．
【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．
【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解
【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩．
由题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．
18．（2024年广东省佛山市中考二模数学试题）已知如图，中．
（1）尺规作图：作的平分线交于点F，在上取点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，连接，证明：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图可得；以点为圆心，的长为半径画弧，与的交点即为点．
（2）根据平行四边形的性质得出，再结合角平分线的定义得出、根据菱形的判定，即可证明．
本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，和点即为所求．
（2）证明：四边形为平行四边形，
，
．
为的平分线，
，
，
．
，
，
四边形为平行四边形．
，
四边形为菱形．
三、简答题（二）：本大题共3小题，每题9分，共27分。
19．（2024·广东韶关·二模）【操作探究】在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动．
【学生】查阅学校资料得知树前的教学楼高度为12米，如图1，某一时刻测得小树、教学楼在同一时刻阳光下的投影长分别是米，米．
（1）请根据同学的数据求小树的高度；
【学生】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度米，在处测得小树顶部的仰角，测角仪到树的水平距离米．
（2）请根据同学的数据求小树的高度（结果保留整数，，）．
【答案】（1）大树高是4米；（2）米
【分析】此题考查了相似三角形的性质和解直角三角形应用，解此题的关键是利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解，解题时还要注意认识图形．
（1）根据题意可得，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）在中，根据解直角三角形即可求解；
【详解】（1）解：根据题意可知，，
，
，
，
即大树高是4米．
（2）如图，在中，
∵，
∴米．
20．（2024·北京大兴·二模）某校有A，B两个合唱队，每队各10名学生，测量并获取了所有学生身高（单位：）的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．A队学生的身高：
165 167 168 170 170 170 171 172 173 174
b．B队学生身高的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）：
c．B队学生身高的数据在这一组的是：
169 169 169 170
d．A，B两队学生身高数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A队 170 170 m
B队 170 n 169
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同队的学生，若学生身高的方差越小，则认为该队舞台呈现效果越好．据此推断：A，B两队舞台呈现效果更好的是______（填“A队”或“B队”）；
（3）A队要选5名学生参加比赛，已确定3名学生参赛，他们的身高分别为170，170，173，他们的身高的方差为2，下列推断合理的是______（填序号）．
①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数大于171，方差小于2；
②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数小于171，方差小于2．
【答案】(1)，
(2)B队
(3)①
【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解即可；
（2）根据两个队的方差进行判断即可；
（3）先求出两种情况下的方差，然后进行判断即可．
【详解】（1）解：∵A队学生身高出现最多的是170，
∴，
∵将B队学生身高从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为169，170，
∴中位数．
（2）解：∵A队学生身高的方差为，A队学生身高的方差为，且，
∴A，B两队舞台呈现效果更好的是B队；
（3）解：①此时5名学生身高的平均数为：
，
此时5名学生身高的方差为：
，
∴5名学生身高的平均数大于171，方差小于2，推断合理；
②此时5名学生身高的平均数为：
，
此时5名学生身高的方差为：
，
∴5名学生身高的平均数大于171，方差大于2，推断不合理．
故答案为：①
【点睛】本题主要考查了中位数、众数的定义，求方差，根据方差进行判断，解题的关键是熟练掌握相关定义，方差的计算公式，准确计算．
21．（2024·北京大兴·二模）综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒．设剪去的小正方形的边长为（），则纸盒的底面边长为．
a．甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到：
无盖纸盒的底面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为；
b．乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到：
无盖纸盒的侧面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为；
c．丙同学研究无盖纸盒的体积，得到：
无盖纸盒的体积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为． 与x的几组对应值如下表：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）当剪去小正方形的边长x为时，则无盖纸盒的底面积为______；
（2）当无盖纸盒的侧面积取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值；
（3）下列推断合理的是______（填序号）；
①当时，无盖纸盒的体积随着剪去小正方形的边长x的增大而减小；
②当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于；
③当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm．
（4）当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的侧面积为______．
【答案】(1)100
(2)cm
(3)②
(4)400
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
（1）把x的值代入函数解析式计算即可；
（2）把函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）根据函数图象和性质分别进行分析即可得到答案；
（4）由图象可知，当无盖纸盒的体积为时，即，再代入的函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）当剪去小正方形的边长x为10cm时，
故答案为：100；
（2）解：∵，，
当时，取最大值，最大值为，
即当无盖纸盒的侧面积取最大值时，剪去小正方形的边长x的值为；
（3）①∵，，
∴当时，随着剪去小正方形的边长x的增大而减小；
故①不合理，
②由的图象可知，当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于，故②合理；
③由的图象可知，当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x除了10cm，还有一个值在1和2之间．
故③不合理；
故选：②；
（4）由图象可知，当无盖纸盒的体积为时，即，
此时，
故答案为：400．
三、简答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分。
22．（2024·安徽阜阳·三模）如图1，点E是正方形的对角线上一个动点（不与重合），连接，作等腰直角，其中与相交，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，点G为的中点，连接．
①是什么特殊三角形，并说明理由；
②线段与之间的有什么数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)①是等边三角形，理由见解析；②，证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出，则，即可证明；
（2）①连接，通过证明，推出，进而得出，则，即可得出，得出结论是等边三角形；②设，先求出，则，通过证明是等边三角形，得出，则，进而得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：①连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点G为的中点，，
∴，即，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形；
②，证明如下：
证明：设，
∵是等边三角形；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点G为的中点，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，即，
整理得：，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活运用．
23．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连接OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当ACx轴时，
①已知点A的坐标是（﹣4，2），求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：．
（2）如图2，若b＝﹣2，，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）①先确定点C的坐标，再用待定系数法求解即可；②先确定抛物线的顶点坐标，进而得出，再判断出，得出，即可求解；
（2）作AM⊥y轴，BN⊥y轴，根据解析式求得顶点坐标，再根据得到，设B(3m，n)，利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：①点A的坐标是（-4，2），轴，
∴C点的纵坐标为2，
∴点C的坐标为(0，2)，
将C(0，2)、A（-4，2）代入可得
，
解得
解析式为：；
②由可得对称轴为，
点C坐标为（0，c），
过点D作DE⊥x轴，交AC于点F，如图1，
由题意可得：EF=OC=c，DE=，
∴，
在平行四边形OADB中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：存在点A，使得四边形AOBD为平行四边形，理由如下：
如图2，作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，
由题意可得：抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，，
∴，
∴，
设点B(3m，n)，则BN=3m，AM=5m，
由B平移到O与D平移到A，平移方式相同，可得A（-5m，c+1-n），
∴CN=ON-OC=n-c，CM=OC-OM=c-(c+1-n)=n-1，
∴，解得，
∴
∵四边形AOBD为平行四边形，
∴AB的中点即为DO的中点，
∴，解得，
∴
将代入得：
，
解得，
∴
【点睛】此题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求解析式，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定等等，构造出是解题的关键．
广东（省卷）2024年中考数学适应性考试
本卷满分120分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024·四川成都·二模）某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东淄博·二模）2024年4月16日国家统计局发布，一季度高质量发展取得新成效，国民经济延续回升向好态势，开局良好．初步核算国内生产总值约29.63万亿元，按不变价格计算，同比增长．万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·福建宁德·二模）下列图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东广州·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建南平·一模）某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山西吕梁·模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·北京·二模）不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的球都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，轴，点、在反比例函数的图象上，若的面积是8，则的值是
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2024·广东深圳·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共15分。
11．（2024·广东肇庆·一模）因式分解： ．
12．（2024·安徽芜湖·一模）若是关于x的方程的解，则的值为 ．
13．浙江地区向来有打年糕的习俗．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得重量增加20%．如果做成年糕后重量为x斤，则原有糯米 斤（用含x的代数式表示）．
14．如图，、是线段的两个黄金分割点，．则线段 ．
15．（2021·重庆·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
三、简答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17,18题各7分，共24分。
16．（2024·广东韶关·二模）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（2024·北京朝阳·二模）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．
18．（2024年广东省佛山市中考二模数学试题）已知如图，中．
（1）尺规作图：作的平分线交于点F，在上取点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，连接，证明：四边形是菱形．
三、简答题（二）：本大题共3小题，每题9分，共27分。
19．（2024·广东韶关·二模）【操作探究】在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动．
【学生】查阅学校资料得知树前的教学楼高度为12米，如图1，某一时刻测得小树、教学楼在同一时刻阳光下的投影长分别是米，米．
（1）请根据同学的数据求小树的高度；
【学生】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度米，在处测得小树顶部的仰角，测角仪到树的水平距离米．
（2）请根据同学的数据求小树的高度（结果保留整数，，）．
20．（2024·北京大兴·二模）某校有A，B两个合唱队，每队各10名学生，测量并获取了所有学生身高（单位：）的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．A队学生的身高：
165 167 168 170 170 170 171 172 173 174
b．B队学生身高的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）：
c．B队学生身高的数据在这一组的是：
169 169 169 170
d．A，B两队学生身高数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A队 170 170 m
B队 170 n 169
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同队的学生，若学生身高的方差越小，则认为该队舞台呈现效果越好．据此推断：A，B两队舞台呈现效果更好的是______（填“A队”或“B队”）；
（3）A队要选5名学生参加比赛，已确定3名学生参赛，他们的身高分别为170，170，173，他们的身高的方差为2，下列推断合理的是______（填序号）．
①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数大于171，方差小于2；
②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数小于171，方差小于2．
21．（2024·北京大兴·二模）综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒．设剪去的小正方形的边长为（），则纸盒的底面边长为．
a．甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到：
无盖纸盒的底面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为；
b．乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到：
无盖纸盒的侧面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为；
c．丙同学研究无盖纸盒的体积，得到：
无盖纸盒的体积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为． 与x的几组对应值如下表：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）当剪去小正方形的边长x为时，则无盖纸盒的底面积为______；
（2）当无盖纸盒的侧面积取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值；
（3）下列推断合理的是______（填序号）；
①当时，无盖纸盒的体积随着剪去小正方形的边长x的增大而减小；
②当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于；
③当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm．
（4）当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的侧面积为______．
三、简答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分。
22．（2024·安徽阜阳·三模）如图1，点E是正方形的对角线上一个动点（不与重合），连接，作等腰直角，其中与相交，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，点G为的中点，连接．
①是什么特殊三角形，并说明理由；
②线段与之间的有什么数量关系，并证明你的结论．
23．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连接OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当ACx轴时，
①已知点A的坐标是（﹣4，2），求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：．
（2）如图2，若b＝﹣2，，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
