11.2.3 三角形的外角 同步分层作业
基础训练
1．（23-24八年级上·河北保定·期末）在中，是的角平分线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，先由三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义得出，最后由三角形外角的定义及性质即可得出答案．
【详解】解： ，，
，
是的角平分线，
，
，
故选：A．
2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你！这个人字架中的，你能求出比大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角的性质，关键是由掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由邻补角的性质求出，由三角形外角的性质得到．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．先求出和的度数，再根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D.
4．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，则的度数为（ ）
A．180° B．220° C．280° D．320°
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和外角，根据三角形的内角和及三角形的外角的性质即可得到结论，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
5．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）下面是投影屏上出示的抢答题，则横线上符号代表的内容正确的是（ ）
如图，．求证：． 证明：延长交※与点F 则 ▲ （□相等，两直线平行）
A．※代表AB B．代表 C．▲代表 D．□代表同位角
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平行线的判定等知识点，正确作出辅助线、构造三角形外角是解答本题的关键．根据图形利用三角形外角的性质、等量代换、平行线的判定将解答补充完整即可解答．
【详解】证明：延长交于点F，
则则
（内错角相等，相等，两直线平行）
则※代表，故A选项不符合题意；
⊙代表,故B选项不符合题意；
▲代表即，故C选项符合题意；
□代表内错角，故D选项不符合题意．
故选C．
6．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查实际问题中的求角度，涉及平行线性质、邻补角、三角形外角性质等知识，先由邻补角定义，再由平行线性质得到中的两个内角，再根据图形中是的一个外角，利用外角性质即可得到答案，熟练掌握平行线性质及外角性质求角度是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
，
一束平行于主光轴的光线，
，
是的一个外角，
，
故答案为：．
7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【详解】解：由折叠的性质得到，
根据外角的性质得：
，如图，
，
，
．
故答案为：．
8．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E为的延长线上一点，过点E作于点F，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和，三角形外角的性质，以及三角形的角平分线，数形结合是解答本题的关键．先求出的度数，然后利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
9．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中点O，E，F在直线l上，点B恰好落在边上，，，，则的度数是 ．
【答案】/65度
【分析】此题考查了三角板中的角度计算，用到了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．先根据三角形内角和定理和平角的定义求出，，再由三角形外角的性质求出，进一步即可得到的度数．
【详解】解：∵，，．
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
10．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，是的外角的平分线，且与的延长线相交于点．
(1)若，，则_______．
(2)小明经过改变，的度数进行多次探究得出，，三个角之间存在固定的数量关系，请你写出这个关系，并进行证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由三角形外角的定义及性质可得，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质进行计算即可得出答案；
（2）由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，结合即可得出答案．
【详解】（1）解：，，
，
是的外角的平分线，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
证明：平分，
，
，
，
．
11．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，在中，，分别是及外角的平分线，且交于点，交于点．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，详见解析
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的相关性质、三角形的外角等相关知识点．掌握相关知识是解题关键．
（1）根据角平分线的定义可得， ，结合，即可求解；
（2）根据题意并结合三角形外角的性质可得，再根据平分求出，最后根据，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
，分别是及外角的平分线，
， ，
，
，即，
；
（2） ，，
平分，
，
，
．
12．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）阅读与思考
有趣的翻折
在学习了三角形内角和后，李老师给大家出了一道有趣的翻折的题目．
如图1，将中的向内部折叠落在处，若，，求的度数．
下面是琳琳同学的解答过程：
，，
，．
由折叠得，
任务：
(1)请仔细阅读上面的部分解答过程，并将剩下的解答过程补充完整．
(2)如图2，将中的向外部折叠落在处，若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)25°
【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角．掌握相关性质和定理，是解题的关键．
（1）根据折叠的性质，求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可；
（2）根据折叠的性质，三角形的外角的性质，以及三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】（1）解：，，
，．
由折叠得，，
∴；
（2）如图：
∵，
，
∵，
∵折叠，
∴，
∵，即：，
∴，
∴．
能力提升
13．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点，下列结论中正确的结论有（ ）
①；
②；
③；
④．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，根据三角形外角的定义及性质以及三角形内角和定理对各个选项进行角度的转化化简即可判断正误，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，，
，，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确，符合题意；
，
，
，
，
，故③正确；
，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：D．
14．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知点D在内，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键．
如图：根据三角形外角的性质可得，根据三角形内角和的性质可得，然后根据并代入计算化简即可．
【详解】解：如图：∵、，，
∴，
∵，
∴
，
故选C．
15．（23-24八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，中，平分，交于D，平分的邻补角，交延长线于点F，交延长线于点M．在下列结论中：①，②；③；④；其中正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质以及三角形内角的性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：如图，
∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
，即；故①正确．
∵，
∴，故②正确．
∵
∴，即，故③正确．
∵，
∴，
∵，
∴，故④错误．
综上所述，正确的说法有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质以及三角形内角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角的性质是解题的关键．
16．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，是的边上点，连接，平分交于点，交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，求出，从而得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得出，从而判断①；求出得到，即可判断②；由以及结合三角形内角和定理计算即可得出，即可判断③；由结合③即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：平分，平分，
，，
，即，
，
，，，
，
，
与互余，故①正确；
，，
，
，
，
，
，故②错误；
，，
，
，故③正确；
，
，故④错误；
综上所述，正确的是①③，
故选：D．
17．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形外角以及三角形内角和定理，根据题意得出，，再由得出和即可求解，解题的关键是熟练应用三角形外角和内角的相关知识．
【详解】解：如图，在图中标记，
由图可知，，，
∵，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
18．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，平分，平分，已知，，则 ．
【答案】/15度
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理．延长交于点，由角平分线可得，，再由外角性质得，，从而有，再利用三角形的内角和定理得，从而可求解．
【详解】解：延长交于点，如图所示：
平分，平分，
，，
是的一个外角，是的一个外角，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
19．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得在第2个中，；在上取一点D，延长到，使得在第3个中，；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以为顶点的内角的度数为 ；第n个三角形中以为顶点的底角的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形外角的性质，解答此题的关键是先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形外角的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以为顶点的底角的度数．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，是的外角，
∴，
同理可得，，，
以此类推，第n个三角形的以为顶点的底角的度数．
故答案为：；．
20．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图1，已知是的内角的平分线，是外角的平分线，且与相交于点D．
(1)若，则的度数是______；
(2)若，请用含a的代数式表示的度数，并写出推导过程.
(3)在（2）的条件下，如图2，若，…分别是，的角平分线，，，…分别是外角，，…的平分线，请直接写出的度数（用含a的式子表示）.
【答案】(1)
(2)，见解析；
(3)
【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，图形类规律探索，找出和之间的数量关系是解题关键．
（1）由三角形外角的定义可得，再结合角平分线的定义，得到，，进而得出，即可求解；
（2）由三角形外角的定义可得，再结合角平分线的定义，得到，，进而得出，即可求解；
（3）同（2）理可得，，，，……，观察发现，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
是的内角的平分线，是外角的平分线，
，，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
是的内角的平分线，是外角的平分线，
，，
；
（3）解：同（2）理可得，，
则，，……
观察发现，．
21．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）在中，平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．
(1)如图，点在线段上运动．
①若，，则的度数是______；的度数是______．
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点在线段上运动时，请在备用图中补全图形，并直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)①的度数是；的度数是；②
(2)
【分析】本题考查角平分线，平行线的性质，三角形内角和定理；掌握角平分线的定义以及弄清题目中各个角之间的关系是解题关键．
（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据角平分线的定义及外角的性质即可解答．
【详解】（1）①解：，
;
,
；
，
．
② ，
，
又，
；
．
（2）如图，
平分交于点，
；
，
；
又 平分，
；
，
．
22．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图1，在中，是与的平分线和的交点．
(1)求证：；
(2)如图2，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，是外角与外角的平分线和的交点，直接写出与的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题关键是利用整体思想，结合三角形内角和关系转化为方程的形式求解．
（1）根据角平分线，利用和的内角和为进行角度转化可得结论；
（2）设，，根据角平分线，利用和的内角和，可得出2个关于、、、的等式：，，再进行整体代换即可；
（3）设，，根据角平分线，利用和的内角和，可得出2个关于、、、的等式：，，再进行整体代换即可．
【详解】（1）解：、分别时和的角平分线
∴，，
在中，，即：，
在中，，即：，
代入上式得：
即：；
（2），理由如下：
设，，
∵是与外角的平分线和的交点
∴，，，
∴在中，，即：，
在中，，即：，
代入上式得：，
即：；
（3）
设，，
∵是外角与外角的平分线和的交点，
∴，，，
∴在中，，即：，
在中，，即：，
代入上式得：，
即：．
23．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）综合与实践
(1)【探索发现】已知：如图1，，点在、之间，连接、．易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点．
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
(2)【深入思考】如图4，点，分别是射线、上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，．若，求证：；
(3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义和三角形的外角的性质：
（1）选择小刚添加辅助线的方法，证得，进而可求得，即可求得答案；选择小红添加辅助线的方法，求得，结合即可求得答案．
（2）延长，，交于点，结合，即可求得答案．
（3）设与相交于点，根据，，可求得，设，结合，即可求得答案．
【详解】（1）选择小刚添加辅助线的方法，证明如下：
∵，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
选择小红添加辅助线的方法，证明如下：
∵，
∴．
又，
∴．
（2）如图所示，延长，，交于点．
∵，，
∴．
∴．
（3）设与相交于点，如图所示．
∵平分，
∴，．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
设．
∵平分，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
，
∴．
∴．
∴．
拔高拓展
24．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图①②③中，，，，则 ．
【答案】205
【分析】图①中，根据三角形内角和为找到和中的内角和关系式，再根据题中所给条件，可推得与的数量关系；
图②中，根据三角形外角的性质：三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得、，结合题中条件即可推得与的数量关系；
图③中，综合三角形内角和为和三角形外角的性质可得、，综合两式子即可推得与的数量关系；
综合三个图推出的对应数量关系可得与的关系式，代入即可求解．
【详解】解：在图①中有，
中，，
中，，
，
又，，
；
在图②中有，
是的外角，则有，
即，
是的外角，则有，
即，
又，，
，
又，
；
在图③中有，
中，，
和是的外角，则有，，
又，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和、三角形外角的性质，解题关键是利用三角形内角和和三角形外角性质推断三角形角的关系．
25．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角．小红还了解到三角形的内角和，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？小红利用类比思想开始了探究．
尝试探究：
如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？
解：数量关系：．
理由：∵与分别为的两个外角，
∴．
∴．
∵三角形的内角和为，
∴．
∴．
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．
(1)初步应用：
如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则=______；
(2)拓展提升：
请聪明的你帮小红解决下列问题．
如图3，在中，分别平分外角，小红很容易推导出与的数量关系为．
如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角和定理，角平分线性质．
（1）根据题意利用外角和定理即可得到本题答案；
（2）根据题意延长线段、线段交于点，利用图3中所得结论及外角和内角和定理即可得到本题答案．
【详解】（1）解：由题意得：在纸片中剪去，
∵，
，
∴，
故答案为：；
（2）解：数量关系为：，理由如下：
如图，延长线段、线段交于点，
，
∵通过图3可知，
∴，即，
∵，
又∵，
∴，
∴．
11.2.3 三角形的外角 同步分层作业
基础训练
1．（23-24八年级上·河北保定·期末）在中，是的角平分线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你！这个人字架中的，你能求出比大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，则的度数为（ ）
A．180° B．220° C．280° D．320°
5．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）下面是投影屏上出示的抢答题，则横线上符号代表的内容正确的是（ ）
如图，．求证：． 证明：延长交※与点F 则 ▲ （□相等，两直线平行）
A．※代表AB B．代表 C．▲代表 D．□代表同位角
6．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是 ．
7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是 ．
8．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E为的延长线上一点，过点E作于点F，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）
9．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中点O，E，F在直线l上，点B恰好落在边上，，，，则的度数是 ．
10．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，是的外角的平分线，且与的延长线相交于点．
(1)若，，则___．
(2)小明经过改变，的度数进行多次探究得出，，三个角之间存在固定的数量关系，请你写出这个关系，并进行证明．
11．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，在中，，分别是及外角的平分线，且交于点，交于点．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
12．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）阅读与思考
有趣的翻折
在学习了三角形内角和后，李老师给大家出了一道有趣的翻折的题目．
如图1，将中的向内部折叠落在处，若，，求的度数．
下面是琳琳同学的解答过程：
，，
，．
由折叠得，
任务：
(1)请仔细阅读上面的部分解答过程，并将剩下的解答过程补充完整．
(2)如图2，将中的向外部折叠落在处，若，，求的度数．
能力提升
13．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点，下列结论中正确的结论有（ ）
①；
②；
③；
④．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
14．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知点D在内，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
15．（23-24八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，中，平分，交于D，平分的邻补角，交延长线于点F，交延长线于点M．在下列结论中：①，②；③；④；其中正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，是的边上点，连接，平分交于点，交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
17．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知，则 ．
18．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，平分，平分，已知，，则 ．
19．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得在第2个中，；在上取一点D，延长到，使得在第3个中，；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以为顶点的内角的度数为 ；第n个三角形中以为顶点的底角的度数为 ．
20．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图1，已知是的内角的平分线，是外角的平分线，且与相交于点D．
(1)若，则的度数是______；
(2)若，请用含a的代数式表示的度数，并写出推导过程.
(3)在（2）的条件下，如图2，若，…分别是，的角平分线，，，…分别是外角，，…的平分线，请直接写出的度数（用含a的式子表示）.
21．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）在中，平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．
(1)如图，点在线段上运动．
①若，，则的度数是______；的度数是______．
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点在线段上运动时，请在备用图中补全图形，并直接写出与之间的数量关系．
22．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图1，在中，是与的平分线和的交点．
(1)求证：；
(2)如图2，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，是外角与外角的平分线和的交点，直接写出与的数量关系．
23．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）综合与实践
(1)【探索发现】已知：如图1，，点在、之间，连接、．易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点．
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
(2)【深入思考】如图4，点，分别是射线、上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，．若，求证：；
(3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，，求的度数．
拔高拓展
24．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图①②③中，，，，则 ．
25．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角．小红还了解到三角形的内角和，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？小红利用类比思想开始了探究．
尝试探究：
如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？
解：数量关系：．
理由：∵与分别为的两个外角，
∴．
∴．
∵三角形的内角和为，
∴．
∴．
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．
(1)初步应用：
如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则=______；
(2)拓展提升：
请聪明的你帮小红解决下列问题．
如图3，在中，分别平分外角，小红很容易推导出与的数量关系为．
如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．)
