2024年中考数学考前大题冲刺特训：圆5大考点汇总与针对性训练
5大考点汇总
考点1：垂径定理
考点2：垂径定理的实际应用
考点3：圆周角问题
考点4：点、直线、圆位置的关系
考点5：弧长和扇形面积
5大考点针对性训练
考点1：垂径定理
1．如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且
(1)求证：为的切线；
(2)若点F为的中点，的半径为5，，求的长．
2．一条盘水管的截面如图所示，水面宽垂直平分半径．
(1)求的度数；
(2)若的半径为6，求弦的长．
(3)若连结，请判断四边形的形状，并给出证明．
3．如图，已知是的直径，弦于点，弦于点，与交于点，，的延长线交于点连接，．
(1)求证：．
(2)若，求线段的长．
4．如图1，是的弦，是直径，且，垂足为．
(1)求证：．
(2)如图2，是射线上一点，连接，且，，，求证：直线是的切线．
考点2：垂径定理的实际应用
5．如图所示为一个圆柱形大型储油罐固定在型槽上的横截面图.已知图中四边形为等腰梯形，，支点与相距8m，罐底最低点到地面距离为1m.设油罐横截面圆心为，半径为5m，，求：型槽的底部的长.（参考数据：，，，结果保留整数）
6．中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮，竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮在水流的作用下利用竹筒将水运送到到点A处，水沿水槽AP流到田地，与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮的最低点到水面的距离为2米，连接AC，AB．
请解答下列问题，
(1)求证：．
(2)请求出水槽AP的长度．
7．（1）风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图1，在小明设计的“风筝”图案中，已知，，．求证：；
（2）如图2，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是弧的圆心，为弧上一点，，垂足为．已知，，求这段弯路的半径．
8．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶P（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度．
考点3：圆周角问题
9．在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，，
(1)如图①，若，求和的大小；
(2)如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长．
10．如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，，若平分且．
(1)求的度数．
(2)若，求的值．
(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．
11．如图，内接于，是的直径，平分交于点D，交于点E，延长至点F，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若的直径为6，，求的长．
12．如图，已知是的直径，点是的中点，点是的中点，连接，，，与交于点，过点作于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长度．
考点4：点、直线、圆位置的关系
13．如图，四边形内接于，是的直径，两点关于对称，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，且，求线段的长．
14．如图，以的边为直径做交于点A，连接并延长交于点B，连接、，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长（保留根号）．
15．如图，在中，，以为直径的分别交于点D，E．作于点F，于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，求的半径．
16．在中，，以为直径的交于点D，点E在上，的延长线相交于点F．
(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，连接并延长，交于点G，若点B是弧的中点，，求图中阴影部分的面积．
考点5：弧长和扇形面积
17．如图所示，是的直径，点在上，点在上，，的延长线交于点．
(1)在的延长线上取一点，使，求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
18．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：
(1)的长．
(2)阴影部分的面积．
19．如图所示，为的直径，是的一条弦，D为的中点，作于点E，交的延长线于点F，连接．
(1)若，则圆心O到的距离是多少 说明你的理由．
(2)若，求阴影部分的面积（结果保留π）．
20．如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求阴影部分的面积．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，根据垂直可以得到，由可得，最后根据得到，即可得到为的切线；
（2）由可得，点E为的中点，再由点F为的中点，可得，可得，进而得到，最后根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线；
（2）连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)菱形
【分析】（1）结合垂直平分线的性质以及圆的性质，证明，易知为等边三角形，即可获得答案；
（2）结合题意可得，，利用勾股定理可解得，然后由垂径定理可知，即可获得答案；
（3）证明，即可判断四边形的形状．
【详解】（1）解：∵垂直平分，
∴，
由∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
（2）∵的半径为6，即，
又∵垂直平分，
∴，且，
∴，
∵，为半径，
∴，
∴；
（3）四边形为菱形，证明如下：
连接，如下图，
∵垂直平分，
∴，，
由∵，
∴，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了圆的基本概念、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，关键是由推出，由勾股定理列出关于的方程．
（1）由垂径定理推出垂直平分，因此，得到，由余角的性质得到，由圆周角定理得，即可证明．
（2）由，推出，令，则，得到，由勾股定理得到，求出或，而，即可得到的长．
【详解】（1）
证明：直径，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）
解：，，
，
，
令，则，
，
，
，
，
或，
，
．
4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是灵活运用这些性质．
（1）连接、，结合条件和垂径定理可证明，利用相似三角形的性质可证得；
（2）连接，根据题意可得，，根据勾股定理可得，根据，可得，从而得到，，根据，
最后根据即可得证．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
是直径，且，
，
，
，
，
，
即；
（2）证明：连接，
，，，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
直线是的切线．
5．12m
【分析】连接AO、BO，过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交于点M，交AB于点F，则OF⊥AB，先根据垂径定理求出AF的值，由勾股定理求出OF的长，根据四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，可得，然后在中，利用，即可求得答案．
【详解】解：如图，连接AO、BO，过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交于点M，交AB于点F，则OF⊥AB，
∵，，是的半径，，
∴，
∵，
由题意得：，
∴，
∵四边形为等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键．
6．(1)证明见解析；
(2)米；
【分析】（1）连接AO并延长交圆于点E，根据切线的性质，圆周角定理，由角的等量代换即可证明；
（2）过O作OF⊥BC于F，延长OF交圆于点D，连接OC，Rt△OFC中，由勾股定理求得CF的长；再由△PAC∽△PBA，PA2=PB PC，即可解答.
【详解】（1）证明：如图连接AO并延长交圆于点E，
PA是圆的切线，则∠EAP=90°，
∴∠EAC+∠PAC=90°，
AE是圆的直径，则∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠AEC=90°，
∵∠AEC=∠ABC，∴∠ABC=∠PAC，即；
（2）解：如图，过O作OF⊥BC于F，延长OF交圆于点D，连接OC，
BC为水平面，则D为圆的最低点，DF=2米，由垂径定理可得BC=2CF，
Rt△OFC中，OF=OD-DF=5-2=3米，OC=5米，则CF=米，
∴BC=2CF=8米，PB=32+8=40米，
∵∠P=∠P，∠PAC=∠PBA，∴△PAC∽△PBA，
∴PA∶PB=PC∶PA，即PA2=PB PC，
∴PA=米.
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质；掌握相关性质和定理是解题关键．
7．（1）答案见解析；（2）这段弯路的半径是500m
【分析】（1）由“ASA”可证△BAC≌△DAE，可得AC=AE．
（2）根据垂径定理即可求得CF的长，设这段弯路的半径长是r，则在直角△OCF中，OE=r，OF=(r-100)m，CF=300m利用勾股定理即可列方程即可求得r的长
【详解】（1）证明：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC=AE．
（2）连接CO，如图，∵OF⊥CD，
∴△OFC是直角三角形，
∵CD=600m，EF=100m，
∴CF=300m，
设OC=r，则OF=r-100
根据勾股定理：r2=（r-100）2+3002
则r=500，
∴这段弯路的半径是500m．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．
8．(1)25
(2)
(3)此时桥的水面宽度为，桥的水面宽度为
【分析】（1）设所在圆的圆心为点，连接，则，，再设这条桥主桥拱的半径是，则，，然后在中，利用勾股定理求解即可得；
（2）以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，则，再利用待定系数法求解即可得；
（3）根据（1）可得，利用勾股定理可求出的长，再利用垂径定理即可得此时桥的水面宽度；根据（2）的结论求出时，的值，由此即可得此时桥的水面宽度．
【详解】（1）解：如图，设所在圆的圆心为点，连接，
由垂径定理得：点共线，
则，，
设这条桥主桥拱的半径是，则，
，
在中，，即，
解得，
故答案为：25．
（2）解：如图，以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，
由题意得：，
则设桥拱抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
所以桥拱抛物线的解析式为．
（3）解：如图，桥中，由（1）可知：，
由题意得：，
，
在中，，
由垂径定理得：，
即此时桥的水面宽度为；
如图，桥中，，
当时，，
解得或，
所以此时桥的水面宽度为，
答：此时桥的水面宽度为，桥的水面宽度为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和二次函数的性质是解题关键．
9．(1)；
(2)半径为4
【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质．
（1）先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到所以，然后利用为直径得到，则；
（2）连接，如图②，利用垂径定理得到，即垂直平分，所以，于是可判断是等边三角形得到，根据圆周角定理得到，，接着证明是等边三角形得到，，然后根据切线的性质得到，所以，则，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可．
【详解】（1）解：直径于E，
，
，
，
是直径，
，
．
（2）如图：连接，
直径于E，
，即垂直平分，
．
又，
是等边三角形．
，
，
，
．
又，
是等边三角形，
，．
切于点C，
．
，
，
．
，
即半径为4．
10．(1)90°
(2)
(3)
【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案；
（2）证明，可得，设，，可得，，根据勾股定理求出，可得，从而可得答案；
（3）设的半径为r，过点O作于点M，连接交于点N，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案．
【详解】（1）解：如图1，过点C作于点H．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，D为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴；
（3）解：如图2，过点O作于点M，连接交于点N．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴
∴，
解得或（舍去），
由（2）知：，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，等面积法，正确地找出辅助线是解题的关键．
（1）根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，利用同弧所对的圆周角相等即可得到结论；
（2）过D作于H，于G，根据圆周角定理得到，根据角平分线的性质得到，进而得出 四边形是正方形，，再根据圆周角定理得出，利用证明，即可求得，过C作于M，利用等面积法求出，连接，证明，即可利用相似三角形的性质即可求解
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过D作于H，于G，连接，如图所示：
是的直径，
，
平分，
，
四边形是正方形，
，
，
，
是的直径，
在和中，
，
，
过C作于M，
在中，
，
连接，则，
，
，
，
，
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连结交于点由圆周角定理可得，可推出，即可证明DF为的切线．
（2）由可得比例关系（平行线分线段成比例），从而求出的长．
【详解】（1）解：如图，连结交于点，
点为的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
为的切线；
（2）点C为的中点，
，
，
由（1）得，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
．
【点睛】本题重点考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定定角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题关键是正确作出辅助线．
13．(1)见详解
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得，由切线的性质得，再由轴对称的性质得到，即可求证；
（2）可证是等边三角形，再通过三角形的外角得到，则．
在中，．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
．
与相切，是的直径，
，
．
两点关于对称，
，，
，
．
（2）解：如图，连接．
，，
，
，
∴是等边三角形，
．
，
．
，
．
．
在中，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，圆的切线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】题目主要考查切线的判定和性质，正切函数的定义，勾股定理解三角形等；
（1）根据圆周角定理得出，再由各角之间的等量代换得出，利用切线的判定证明即可；
（2）根据（1）可知，，再由正切函数的定义得出，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵（半径相等），
∴（等边对等角），
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴点C在上，
∴是的切线；
（2）由（1）知，，
又∵为的直径，
∴
在和中，
∵，，
∴，
∴设为，则为．
在中，，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴
即线段的长为．
15．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理：
（1）根据等腰三角形的性质以及平行线的判定方法可得，进而得到，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）判断四边形是矩形，进而得到，根据垂径定理得到，再利用半径的代数式表示，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
设半径为，即，，
在中，
∵，即，
∴，
答：的半径为5．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，利用圆周角定理得到，等腰三角形的判定与性质得到，，即可得到从而得到结论；
（2）先证，结合圆周角定理以及切线性质可证明为等边三角形，从而求出，利用正切值求出圆的半径，在中，利用正切值求出的长度，最后根据求出结果即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
为的直径，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
为的半径，
是的切线；
（2）如图：连接，
点B是弧的中点，
，
为的切线，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
为等边三角形，
，即，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的相关计算，圆周角定理，切线的判定与性质，不规则图形面积的求解，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】
此题考查了切线的判定、扇形面积公式、圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理正确进行推理是解题的关键．
（1）根据圆周角定理、等边对等角、对顶角相等、三角形内角和定理等知识可以证明，又由是的半径，即可得到结论；
（2）连接，证明，则，根据扇形面积公式和直角三角形面积公式即可得到图中阴影部分的面积．
【详解】（1）
证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，且是的半径，
是的切线．
（2）
解：如图所示，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积为：．
18．(1)1
(2)
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
（1）由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解；
（2）利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出．
【详解】（1）解：∵E是弧的中点，，
∴，
∴，
∵为半圆O的直径，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的长为1；
（2）解：连接，
在中，，
，
，
，
，
．
19．(1)，见解析
(2)
【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆周角定理分析得出，即可得出圆心O到的距离为圆的半径；
（2）利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可；
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长是圆心O到的距离，
∵，
∴．
（2）解：如图所示，过点O作交于点G．
∵，
∴,
由（1）得，
∴,
∵，
∴,
∴,
∵在中，，
∴，解得,
在中，，，
∴,
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理以及扇形面积求法，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键．
20．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可；
（2）连接，，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案；
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点O，
∴是的切线．
（2）连接，过O作于M，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅佐线是解题的关键．
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