第十九章一次函数题型归纳总结与跟踪训练-2023-2024学年数学八年级下册人教版
7大题型归纳总结
题型1：变量与函数
题型2：函数的图像
题型3：正比例函数
题型4：一次函数与坐标轴的交点问题
题型5：求一次函数解析式问题
题型6：求直线围成的图形面积
题型7：一次函数与实际问题
7大题型跟踪训练
题型1：变量与函数
1．下列是关于变量x，y的关系式：①②；③；④.其中是的函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
2．某商场为了增加销售额，推出了“元旦期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡元旦期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间有如下关系，则（ ）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8
A．y随x的增大而增大 B．质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
C．不挂物体时，弹簧的长度为6cm D．质量为6kg时，弹簧的长度为8.5cm
4．已知A，B两地相距，小黄从地到地，平均速度为.若用表示行走的时间（单位：h），表示余下的路程（单位：），则关于的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
题型2：函数的图像
5．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿长方形的边由运动，设点运动的路程为，的面积为，把看作的函数，函数的图象如图所示，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图（1），在中，，，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y（当A，B，P点共线时，不妨设），y与x之间的函数关系的图象如图（2）所示，则图（2）中a的值为（ ）
图（1） 图（2）
A．16 B．15 C．14 D．13
7．海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h（单位：m）随时间t（单位：h）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，该港口水深最浅
B．当时，t的值是1或5
C．0时到3时和9时到12时，海水均在上涨
D．某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口
8．如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，下面可以近似的刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（min）的变化情况的图形是（ ）
A． B．
C． D．
题型3：正比例函数
9．若是正比例函数，则 ．
10．点是正比例函数上一点，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点仍在正比例函数的图象上，则的值为 ．
11．已知正比例函数图像经过二、四象限，则k 0．
12．若正比例函数的图象经过点，则该函数的解析式为 ．
题型4：一次函数与坐标轴的交点问题
13．已知一次函数的图象经过点，
(1)求一次函数的解析式；
(2)直线与轴的交点为，求的面积．
14．如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点．
(1)求点和点的坐标；
(2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标．
15．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，直线交轴的正半轴于点，交于点，连接，设的面积为，求与的函数解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，若，，求点的坐标．
16．如图，直线分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．
(1)直接写出两点的坐标；
(2)在轴上方是否存在点，使以点为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，求此时直线的函数表达式．
题型5：求一次函数解析式问题
17．下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值．
0
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)已知直线，当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围．
18．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若点在该一次函数的图象上，求a的值．
19．已知函数．
(1)若这个函数经过原点，求m的值．
(2)若函数的图象平行于直线，求m的值；
(3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，，直线交轴于，过点A作交轴于点D．
(1)求直线和直线的关系式；
(2)点M在直线上，且与的面积相等，求点M的坐标．
题型6：求直线围成的图形面积
21．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点.
(1)求点的坐标；
(2)点是直线上一点，求当时，点的坐标；
(3)若直线，当时，对的每一个值都有，直接写出的取值范围.
22．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与轴，轴交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4．
(1)求点的坐标及直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若直线上有一点使得的面积等于的面积，直接写出点的坐标．
23．已知：直线与平行，且经过点．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标；
(3)求直线m，直线n与x轴围成的三角形面积．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线相交于点．
(1)求a和k的值．
(2)求面积．
(3)直接写出不等式的解集．
题型7：一次函数与实际问题
25．如图，甲、乙两人分别从同一公路上的、两地同时出发骑车前往地，两人骑行的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图中信息解答下列问题：
(1)、两地相距______，乙骑行的速度是______；
(2)何时甲骑行的路程大于乙骑行的路程？
26．原价为每千克10元的优质水果，若批发购买量在2000千克以上，则有两种优惠方案可以选择：
第一种方案：按原价的8折出售，商家负责送货上门．
第二种方案：按原价的7折出售，但需要自己租车运回，租车的费用为4000元．
(1)分别写出两种方案的所需总费用y（元）与购买水果质量（千克）之间的函数关系式；
(2)根据购买量判断哪种方案更加合算．
27．生活需要仪式感，随着人们生活质量的提高和品位的提升，鲜花深受广大消费者喜爱．某鲜花店为了满足消费者的需要，准备购进一批玫瑰花和康乃馨．已知购买玫瑰花花费1800元，购买康乃馨花费1380元，每枝玫瑰花的价格是每枝康乃馨的倍，购买玫瑰花的数量比康乃馨的数量少30枝．
(1)玫瑰花和康乃馨的单价分别是多少元？
(2)两种鲜花到店后很快售馨，鲜花店老板准备再次购进玫瑰花和康乃馨共600枝，且玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，则玫瑰花和康乃馨各购买多少枝花费最少？最少费用是多少元？
28．信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的毛尖，进价和售价如下表所示：
品牌 A B
进货（元/袋） x
销售（元/袋） 70 90
(1)第一次进货时，该专卖店用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌毛尖每袋上涨5元，B品牌毛尖每袋上涨6元．该茶叶专卖店计划购进A，B两种品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍．销售时，A品牌毛尖售价不变，B品牌毛尖售价提高，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
参考答案：
1．B
【解析】略
2．C
【分析】本题考查根据实际问题列出函数关系式．根据活动方案，应付款等于超出元的部分的费用之和，列出函数关系式即可．找准等量关系，正确的列出表达式，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：；
故选C．
3．C
【解析】略
4．D
【解析】略
5．A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．根据图可知当动点由时，点运动的路程为5，当和时，的面积相等，可得，进而根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：连接，，由图知：
当动点由时，点运动的路程为5，
，
当和时，的面积相等，
，
四边形是长方形，
，
∴，
故选：A．
6．C
【分析】本题首先根据图2得到对应的信息，当点运动到点时，的面积和的面积相等为6，根据图中的10，可得到，然后根据，可得到，根据三角函数，可得到，然后代入，可得和的长度，即可求出的值．
本题考查动点问题和函数图象相结合，30度所对的直角边是斜边的一半，主要考查对函数图象的读图能力，动点问题的特定点的寻找和基本计算能力．
【详解】解：由图（2）可知，当点与点重合是时，的面积为6，当点运动到点时，共走的路程为10，即，过作交延长线于点，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
可解得，，
故，
故选．
7．D
【分析】
本题考查函数的图象，根据图1和图2分别分析判断即可．
【详解】解：当时，纵坐标植最小，该港口水深最浅，故A正确，不符合题意．
当时，t的值是1或5，故B正确，不符合题意．
0时到3时和9时到12时，海水均在上涨，故C正确，不符合题意．
该货船吃水深度为，而且由图2信息窗可知，船舶进出港口时底与港口水底间的距离最少，故该货船进出港口时要求水深最少为．
而当时，，故此时它不可以进出港口．
故D错误，符合题意．
故选：D
8．C
【分析】此题考查了用图象描述实际问题中变化情况的能力， 根据三个阶段甲容器的水面高度随时间的增长速度确定出此题正确的结果．
【详解】解：刚开始时注水都在甲容器，水面高度增长速度不变；
当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度不变；
当乙容器水位也到达连通部分后，甲、联通部分和乙三个容器水面一起升高，但升高速度较慢；
当水面超过联通部分，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度上升比三个容器一起上升的快，但速度比只有甲容器时慢，
选项C中图象符合该变化过程．
故选：C．
9．
【分析】根据正比例函数的定义可得,.
【详解】因为函数是正比例函数，
所以,，
所以，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数，解题的关键是掌握正比例函数的概念.
10．
【分析】设，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点的坐标为，代入，解方程即可求解．
【详解】解：设，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点的坐标为，
∵在正比例函数的图象上，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的平移，正比例函数的性质，根据题意得出平移后的坐标是解题的关键．
11．
【分析】对于正比例函数，当时，函数图象经过一、三象限；当 时，函数图象经过二、四象限；由此判断即可．
【详解】解：∵正比例函数图象经过二、四象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正比例函数图象的性质，理解正比函数图象的性质与比例系数之间的关系是解题关键．
12．
【分析】设该正比例函数的解析式为，然后将点代入到该解析式并列出关于系数的方程，通过解方程即可求出值，从而求出这个函数解析式．
【详解】设该正比例函数的解析式为，
这个正比例函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标的特征，待定系数法确定正比例函数的解析式，灵活运用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键．
13．(1)
(2)2
【分析】本题考查了一次函数的解析式以及一次函数与轴的交点等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答．
（2）先求出与轴的交点为，再根据三角形的面积公式进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，
∴把，分别代入
得
解得
∴；
（2）解：∵直线与轴的交点为，
∴当时，则
∴
∴的面积
14．(1)，
(2)当点在点上方时，；当点在点下方时，
【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
（1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标；
（2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论．
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，，，
；
（2）点在轴上，若的面积为6，
，
，
，
当点在点上方时，．
当点在点下方时，．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得出，待定系数法求出直线解析式，令，则，即可得解；
（2）求出，得到，，从而得出，再由，计算即可得出；
（3）求出，作交于，轴于，证明得出，求出直线的解析式为，得出，作交轴于，证明平分，作于，由角平分线的性质定理得出，待定系数法求出直线的解析式为，得出，由勾股定理得出，由，得出，求出的值，取符合题意的的值即可得解．
【详解】（1）解：，
，
将代入直线得：，
解得：，
直线解析式为，
令，则，
；
（2）解：在中，令，则，
，
，
在中，令，则，
解得：，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
如图，作交于，轴于，
，
则为等腰直角三角形，，，
，
，
，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
，
，
作交轴于，
，
，
，
平分，
作于，
，
，直线解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，，
，
整理得：，
解得：或或，
点在轴正半轴，
，
，
，经检验，是原分式方程的根，
当时，，
．
【点睛】本题考查了一次函数函数综合、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
16．(1)点的坐标为，点的坐标为；
(2)或；
(3)或．
【分析】()由直线过点，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，进而可得出点的坐标及的长度，结合，可求出点的坐标；
()分和两种情况解答即可求解；
()设，则或，在中，利用勾股定理可得出关于的方程，解之得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出；
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的性质，运用分类思想是解题的关键．
【详解】（1）解：直线过点，
∴，
∴，
当时，，
∴点的坐标为，即，
∵，
∴，
∵点在轴正半轴，
∴点的坐标为；
（2）解：分和两种情况考虑，如图，
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
当时，，，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：依照题意画出图形，如图所示，
由翻折得，，，
∵，，
∴，
∴或，
∴设，则或，
在中，，
∴ ，
即或，
解得或，
∴点的坐标为或，
设直线的函数表达式为，
∴或，
解得或，
∴直线的函数表达式为或．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式：
（1）将与的两组对应值代入求解即可；
（2）先求得时的值，画出图象，根据一次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得
一次函数的表达式为；
（2）解：当时，，
将代入，得，
解得，
当时，方程无解，两直线平行，总有；
如图，
当时，对于x的每一个值，都有，
．
18．(1)该一次函数的解析式为
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征；
（1）设一次函数解析式为，再把两组对应值代入得到的方程组，然后解方程组即可；（2）把代入（1）中的解析式得到的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为，
分别把代入得：
解得：
所以，该一次函数的解析式为．
（2）把代入，
得：，
解得：
a的值：
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据这个函数经过原点，则满足函数，代入解析式计算即可．
（2）根据函数的图象平行于直线，得，求m的值即可；
（3）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，得到，求m的取值范围即可．
本题考查了图象过点，一次函数图象的平行条件，一次函数图象的分布，熟练掌握平行条件，图象分布的条件是解题的关键．
【详解】（1）∵关于x的函数的图象经过原点，
∴点满足函数的解析式，
∴，
解得．
（2）∵函数的图象平行于直线，
∴，
∴；
（3）函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴m的取值范围是．
20．(1)直线的解析式为：；直线的解析式为：
(2)或
【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、平行线间的距离处处相等等知识点，掌握待定系数法是解题关键．
（1）设直线的解析式为：，将两点代入即可求解；设直线的解析式为：，将点代入即可求解；
（2）求出直线的解析式，过点作的平行线，则点M是直线与直线的交点，据此即可求解；
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵
∴设直线的解析式为：，
则,
解得：
∴直线的解析式为：，
（2）解：如图所示：过点作的平行线，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
则直线的解析式为：，
∵点M在直线上，且与的面积相等，
∴点M是直线与直线的交点
则，
解得：
∴
点关于点的对称点为：
综上所述：点M的坐标为或
21．(1)点的坐标为
(2)或点
(3)
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的旋转是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可；
（2）先求出点A的坐标，然后设点，根据列方程解题即可；
（3）利用数形结合，分和两种情况，利用直线旋转进行解题即可．
【详解】（1）解：将点代入，得，解得.
.
解方程组，解得.
点的坐标为；
（2）直线与轴的交点，设点，.
当时，有或，解得或.
则点或点；
（3）解：由题可知直线是绕原点旋转的直线，
当时，直线自开始逆时针旋转，设与的交点为点N，当N的坐标为时，，
∴此时的取值范围为；
当时，直线自开始顺时针旋转到时，均满足题意，即，
∴此时的取值范围为；
综上所述的取值范围为．
22．(1)；直线的解析式为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算．
（1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）先求出，再根据图象即可求解；
（3）设，根据或即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴将点代入得，
∴；
∵的长为4，
∴，
设直线的解析式为，
将点和代入得：
，
解得：，
故直线的解析式为；
（2）令，得，
∴，
∴．
（3）根据题意得：，
设，
令，得，
∴，
如图：
，
解得：，
或，
解得：，
故或．
23．(1)
(2)
(3)3
【分析】本题考查了求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴围成的面积问题，解题关键是熟练掌握一次函数的图象与性质．
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解；
（3）首先求出，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵直线与平行，
∴，
∴，
将代入得，，
解得，
∴；
（2）根据题意得：
，解得：，
则C的坐标是；
（3）如图所示，
∵直线，
令，得，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线m，直线n与x轴围成的三角形面积为3．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，两直线围成的图形面积，一次函数与不等式之间的关系：
（1）分别代入两个直线解析式中进行求解即可；
（2）根据（1）所求先求出点B坐标，进而求出的长，再根据进行求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解；∵直线与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线相交于点
∴，
∴；
（2）解；在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由函数图象可知，当时，直线的函数图象在直线的函数图象上方或二者交点处，
∴当时，．
25．(1)，
(2)甲行驶的时间大于小时
【分析】本题考查了函数的图象及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是根据函数图像得到信息．
（1）根据图象得出、两地之间的距离，根据速度=路程÷时间可得到乙的速度；
（2）分别求出和的解析式，令，解不等式即可得答案．
【详解】（1）解：由图像可知：、两地相距，
乙的速度为，
故答案为：，
（2）设，，
把代入得：，
解得：，
∴，
把，代入得：，
解得：，
∴，
∵甲骑行的路程大于乙骑行的路程，
∴，
解得：，
∴甲行驶的时间大于小时，甲骑行的路程大于乙骑行的路程．
26．(1)第一种方案：；第二种方案：
(2)见解析
【分析】此题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出关系式．
（1）根据优惠方案列出函数解析式即可；
（2）分三种情况求解即可．
【详解】（1）第一种方案：按原价的8折出售，商家负责送货上门，
根据题意得：；
第二种方案：按原价的5折出售，但需要自己租车运回，
根据题意得：；
（2）根据题意可得：当时，
，
当购买4000千克时两种购买方案付款相同，
∵当时，，
∴当大于4000千克时，第一种方案付款多，第二种方案付款少，
∵当时，，
∴当大于2000千克小于4000千克时，第一种方案付款少，第二种方案付款多．
27．(1)每枝康乃馨6元，每枝玫瑰花9元
(2)购买康乃馨150枝、玫瑰花450枝时花费最少，最少费用为4950元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设每枝康乃馨x元，则每枝玫瑰花元，根据购买玫瑰花的数量比康乃馨的数量少30枝列出方程求解即可；
（2）设购买康乃馨m枝，则购买玫瑰花枝，购买玫瑰花和康乃馨共花费W元．根据玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每枝康乃馨x元，则每枝玫瑰花元，
依题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，则．
答：每枝康乃馨6元，每枝玫瑰花9元．
（2）解：设购买康乃馨m枝，则购买玫瑰花枝，购买玫瑰花和康乃馨共花费W元．
依题意得，
解得．
，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W取得最小值，此时，．
答：购买康乃馨150枝、玫瑰花450枝时花费最少，最少费用为4950元．
28．(1)x的值为50
(2)购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用；
（1）根据用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的数量相同列出方程求解即可；
（2）设A为m袋，则B为袋，根据B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍列出不等式求出，设总利润为w元，根据总利润A的单件利润数量B的单件利润数量列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，
∴x的值为50．
（2）解：设A为m袋，则B为袋，
由题知：，
解得，
设总利润为w元，，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，，
∴购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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