2023-2024学年浙教版八年级（下）期末数学模拟试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
甲、乙、丙、丁四名同学参加竞定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（ ）
A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是5 D．方差是8
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于A．B两点，且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+1
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
计算：4﹣9= ．
已知一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值是 _____________
从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，你认为适合参加决赛的选手是 ．
已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 ．
小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为_____dm．
将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝_____．
1 、解答题（本大题共8小题，共52分）
小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
（1）计算：﹣+|﹣2|；
（2）化简：（a+3）（a﹣2）﹣a（a﹣1）．
某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图，
②在80≤x＜90这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，
（2）抽取的40名学生成绩的中位数是 ，
（3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．
（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）当AB=6时，求CD的长．
如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．
随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？
（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．
答案解析
1 、选择题
【考点】中心对称图形
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【考点】二次根式有意义的条件．.
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．解：根据题意得：x+1≥0，
解得x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】考查二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数．
【考点】根的判别式．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点评】本题难度较低，主要考查学生对根的判别式的掌握。
【考点】方差，算术平均数．
【分析】根据方差的意义求解即可．
解：∵，，，，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的是丁，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【考点】根的判别式．
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
【考点】正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定
【分析】A．根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．
解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据图示直接得出不等式的解集．
解：∵A（﹣2，4）在反比例函数图象上，
∴k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
又∵B（m，﹣2）在y＝﹣图象上，
∴m＝4，
∴B（4，﹣2），
∵点A（﹣2，4）、B（4，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
一次函数解析式为：y＝﹣x+2．
由图象可知，不等式0＜ax+b＜的解集﹣2＜x＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数交点的坐
标满足两个函数关系式．
【考点】折线统计图，中位数，众数，极差，方差
【分析】根据极差、众数、中位数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断．
解：由图可知，6月1日至6月5日每天的用水量是：5，7，11，3，9．
A．极差＝11﹣3＝8，结论错误，故A不符合题意，
B．众数为5，7，11，3，9，结论错误，故B不符合题意，
C．这5个数按从小到大的顺序排列为：3，5，7，9，11，中位数为7，结论错误，故C不符合题意，
D．平均数是（5+7+11+3+9）÷5＝7，
方差S2＝[（5﹣7）2+（7﹣7）2+（11﹣7）2+（3﹣7）2+（9﹣7）2]＝8．
结论正确，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了折线统计图，主要利用了极差、众数、中位数及方差的定义，根据图表准确获取信息是解题的关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】代入A点到一次函数中，得出一次函数解析式，再求出B点坐标，连接CO，根据＝，以及△COA和△AOB等高，所以S△COA：S△AOB＝1：2，又因为两个三角形共用一条边OA，作CH⊥OA，得到CH：OB＝1：2，求出CH长度，即C点纵坐标，代入一次函数中求出C点坐标，再求出k值．
解：连接CO，作CH⊥OA交坐标轴于H点（如图），
∵A点在一次函数图象中，代入得到b＝，
∴一次函数解析式：y＝，
∵B点横坐标为0，
∴代入得到纵坐标为，OB＝，
∵△COA和△AOB等高，且，
∴S△COA：S△AOB＝1：2，
又∵△COA和△AOB共用一条边OA，
∴CH：OB＝1：2，
∴CH＝＝，
∴将C的纵坐标代入一次函数中，得到横坐标为3，
∴C点坐标（3，），
∴k＝3×＝，
故选：C．
【点评】本题考查学生反比例函数一次函数的综合运用，属于重难点题型．
【考点】正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理．
【分析】过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH＝，再证明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH＝，即可求得答案．
解：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，
则∠BHE＝∠DGE＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，
∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴EH＝BE sin∠EBH＝2 sin30°＝2×＝1，BH＝BE cos∠EBH＝2cos30°＝，
∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，
∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形，
∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，
∵∠DEG+∠BEG＝90°，
∴∠BEH＝∠DEG，
在△BEH和△DEG中，
，
∴△BEH≌△DEG（AAS），
∴DG＝BH＝，
∴DF＝DG+FG＝+1，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，题目的综合性很好，难度不大．
1 、填空题
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先化简，再做减法运算即可．
解：原式=12=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
【考点】 根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=3、x1 x2=-2，将其代入（x1﹣1）（x2﹣1）=x1 x2﹣（x1+x2）+1中，即可求出结论．
解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=3、x1 x2=-2，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1 x2﹣（x1+x2）+1=﹣2﹣3+1=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，找出x1+x2=3、x1 x2=-2是解题的关键．
【考点】方差
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
解：∵S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，
而1.71＜2.83＜3.52，
∴乙的成绩最稳定，
∴派乙去参赛更好，
故答案为乙．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【考点】 多边形内角与外角．
【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．
解：边数n=360°÷72°=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了多边形的外角和等于360°，是基础题，比较简单．
【考点】正方形的性质
【分析】根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解．
解：∵正方形ABCD的边长为4dm，
∴②的斜边上的高是2dm，④的高是1dm，⑥的斜边上的高是1dm，⑦的斜边上的高是dm，
∴图2中h的值为（4+）dm．
故答案为：（4+）．
【点评】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是求出②④⑥⑦的高．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】由于一次函数y＝kx 2 k（k＞0）的图象过定点P（1， 2），而点P（1， 2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx 2 k（k＞0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．
解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，
平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，），（，b+2），
∴a﹣1＝﹣，
∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．
1 、解答题
【考点】解一元二次方程
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
解：
小敏：两边同除以，得，则．（×） 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
【考点】实数的运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式
【分析】（1）先化简二次根式、计算立方根、去绝对值符号，再计算加减可得；
（2）先计算多项式乘多项式、单项式乘多项式，再合并同类项即可得．
解：（1）原式=2﹣2+2﹣=；
（2）原式=a2﹣2a+3a﹣6﹣a2+a
=2a﹣6．
【点评】本题主要考查实数和整式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质、立方根的定义及绝对值的性质、多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则．
【考点】频数（率）分布直方图，中位数，用样本估计总体．
【分析】（1）样本容量减去其余4组人数即可，
（2）根据中位数的意义，判断出中位数处于80≤x＜90这组，再按求中位数的方法求出即可，
（3）先算出样本中优秀人数所占百分比，再乘以学生总数即可．
解：（1）在70≤x＜80这组的人数为：40﹣4﹣6﹣12﹣10＝8（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，
∵数据处于较小的三组中有4+6+8＝18（个）数据，
∴中位数应是80≤x＜90这一组第2，3个数据的平均数，
∴中位数为：＝82（分），
故答案为：82分，
（3）∵样本中优秀的百分比为：，
∴可以估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：55%×800＝440（人），
答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，熟练掌握相关概念的意义是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质
【分析】（1）利用ASA即可证明；
（2）首先证明四边形AECD是平行四边形，推出CD=AE=AB即可解决问题；
（1）证明：∵AD∥EC，
∴∠A=∠BEC，
∵E是AB中点，
∴AE=EB，
∵∠AED=∠B，
∴△AED≌△EBC．
（2）解：∵△AED≌△EBC，
∴AD=EC，
∵AD∥EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CD=AE，
∵AB=6，
∴CD=AB=3．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）直线AC：y＝﹣x+与双曲线：y＝（x＞0）相交于A（1，2），B两点，联立方程组，求出点B的坐标为（3，），根据组合法（即基本图形面积的和差）即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
解：（1）将A（1，2），C（4，0）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
将A（1，2）代入y＝（x＞0），
得m＝2，
∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝﹣x+与y轴交点D，
∴点D的坐标为（0，），
∵直线AC：y＝﹣x+与双曲线：y＝（x＞0）相交于A（1，2），B两点，
∴，
∴，，
∴点B的坐标为（3，），
∴△AOB的面积＝4×﹣4×﹣×1＝；
（3）观察图象，
∵A（1，2），B（3，），
∴当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集是1＜x＜3．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2015年的床位数=2013年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论；
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于t的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．
解：（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：
2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，
由题意得：t+4t+3=200，
解得：t=25．
答：t的值是25．
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
由题意得：y=t+4t+3=﹣4t+300（10≤t≤30），
∵k=﹣4＜0，
∴y随t的增大而减小．
当t=10时，y的最大值为300﹣4×10=260（个），
当t=30时，y的最小值为300﹣4×30=180（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．
【点评】本题考查了一次函数的应用、解一元一次方程以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程；（2）①根据数量关系找出关于t的一元一次方程；②根据数量关系找出y关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．
【考点】 四边形综合题．
【分析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出结论DE+DF=AD，
（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，
（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，即AD＜DE+DF≤AD．
解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，
∴∠APE=∠DPF，
在△APE和△DPF中
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE=DF，
∴DE+DF=AD，
（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，
∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，
∴△MDP是等边三角形，
∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，
∵∠PAM=30°，
∴∠MPD=60°，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△FPD中，
∴△MPE≌△FPD（ASA）
∴ME=DF，
∴DE+DF=AD，
（3）如图，
在整个运动变化过程中，
①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，
②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，
即AD＜DE+DF≤AD．
【点评】本题主要考查了四边形的综合题，涉及全等三角形，正方形及菱形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）连接PB，由点B在线段PQ的垂直平分线上，推出BP=BQ，由此构建方程即可解决问题；
（2）分两种情形分别构建方程求解即可；
（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．S根据=S△QNC+S△PCQ= CN QF+ PC QE，计算即可；
解：（1）如图1中，连接BP．
在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴AB=4
∵点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴BP=BQ，
∵AQ=t，CP=t，
∴BQ=4﹣t，PB2=42+t2，
∴（4﹣t）2=16+t2，
解得t=8﹣4或8+4（舍弃），
∴t=（8﹣4）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．
（2）①如图2中，当PQ=QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．
则有PA=AQ，
∴4﹣t= t，
解得t=．
②如图3中，当AP=PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．
则有：AQ=AP，
∴t=（4﹣t），
解得t=2，
综上所述：t=s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．
（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．
∵S=S△QNC+S△PCQ= CN QF+ PC QE=t（QE+QF）=2t（0＜t＜4）．
【点评】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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