2026届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣高一联考
数学（北师大版）
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数除法运算可解.
【详解】根据题意，，
则.
故选：A
2 已知，则（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角基本关系式，可得，从而得解.
【详解】由，
又，
故选：D
3. 已知复数，（，为虚数单位），且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.
【详解】由复数，（，为虚数单位），
因为，可得，则，解得.
故选：D.
4. 在平行四边形中，为的中点，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用向量的减法表示，再利用向量的加法表示.
【详解】如图：
因为，
.
故选：A
5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，，，
于．
故选：C.
6. 在中，，点为边上一点，且，则（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求得，再由向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解.
【详解】由，可得，
因为点为边上一点，且，可得，
所以，
所以.
故选：D.
7. 如图，在菱形中，，，，，分别是边，，，的中点，以点为圆心，以，为半径作出两段圆弧，与分别交于点，，分别以，，为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中.若扇环的周长为，则扇环的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据扇环的周长，求出的长度，再根据扇形的面积公式求扇环的面积.
【详解】设，则，因为扇环的周长为，
所以：.
所以扇环的面积为：.
故选：B
8. 已知，，，均为非零向量，与的夹角为，与的夹角为，满足，，则，的夹角（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量夹角公式化简已知，可得，再根据数量积的定义计算可解.
详解】根据题意，，
则，
因为，可得，
化简为，，则，
所以，而，
所以.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 的虚部为 D. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：根据模长公式分析求解；对于B：先根据乘法运算求，再结合共轭复数的概念分析判断；对于C：先根据除法运算求，再结合虚部的概念分析判断；对于D：先求，再结合复数的几何意义分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：因为，所以，故A错误；
对于选项B：因为，所以的共轭复数为，故B正确；
对于选项C：因为，所以的虚部为，故C正确；
对于选项D：因为，所以复数对应的点为，位于第四象限，故D错误；
故选：BC.
10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 直线为图象的一条对称轴
D. 将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的图象，求得，可得判定A正确，B不正确，再结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，可判定C、D正确.
【详解】由函数的图象，可得，可得，则，
又由，所以，
又由，即，
因为，所以，可得，所以，
所以A正确；B不正确；
对于C中，由为函数的最大值，
所以直线为图象的一条对称轴，所以C正确；
对于D中，将图象上的所有点向左平移个单位长度，
可得，所以D正确
故选：ACD.
11. 已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 对于任意与不共线的非零向量，都有
C. 对于任意的非零实数，都有
D. 若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据题中定义即可判断；对于BC：根据题意结合数量积的运算律分析判断；对于D：分析可知，可得，进而可知，即可得结果.
【详解】对于选项A：因为，，
所以，故A正确；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：因为，
当且仅当时，，故C错误；
对于选项D：若，，
则，
可得，则，
且，可知，
结合题意可知，，所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量与单位向量的方向相同，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示求得，并代入检验即可.
【详解】因为向量与单位向量共线，
则，解得，
若，则，可知，
且，则同向，所以符合题意.
故答案为：2.
13. 如图，已知山体与山体的底部在同一水平面上，且两个山体的高线与均与水平面垂直，，在山体的最高点处测得山顶的仰角为，测得山底A的俯角为，则______m.
【答案】
【解析】
【分析】在中，可得，在中，利用正弦定理分析求解.
【详解】在中，可知，可得，
在中，可知，
由正弦定理可得，
所以m.
故答案为：.
14. 已知为钝角，且，角，，满足，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】首先“切化弦”，再利用两角和与差的三角函数公式求，再结合的范围求角.
【详解】因为
所以，
则，
即.
因为，所以，且为钝角，.
所以，
故.
所以，又为锐角，所以.
故答案为：
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为虚数单位，复数为纯虚数，为的共轭复数.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数的运算，结合纯虚数的概念列式即可求解参数m；
（2）由（1）得到复数，再根据复数的四则运算化简，再求得复数的模，从而得解.
【小问1详解】
由，得
因为为纯虚数，所以，解得.
【小问2详解】
由第一问得，所以，
所以，
从而，即的值为.
16. 在平面直角坐标系中，已知向量，.
（1）求向量在向量上的投影向量；
（2）若点满足，与的夹角为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求，可得，结合投影向量的定义分析求解；
（2）由题意可知为线段的中点，进而可得，根据向量的坐标运算结合夹角公式分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
【小问2详解】
因为，可知为线段的中点，
则，，
可得，
所以.
17. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）结合二倍角公式和同角三角函数的基本关系求值.
（2）利用二倍角的余弦公式化简求值.
【小问1详解】
因为，
所以
.
【小问2详解】
.
18. 已知的图象关于点对称，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，.
（1）求的解析式；
（2）若，求满足不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对称轴和对称中心求出周期，再由关于点对称，求出，最后由解出函数；
（2）根据题意，得，结合函数的性质可解.
【小问1详解】
根据题意，且在区间上单调递减，
在区间上单调递增，则为函数的对称轴，
又函数图象关于点对称，且对称点在单调区间内，
所以，则，，
且，又，所以，
再由，即，所以，
所以；
【小问2详解】
由，得，
而，则，，
则，则或，
解得或，
所以满足不等式的解集为.
19. 如果三角形的一个内角等于另外一个内角的二倍，我们称这样的三角形为二倍角三角形.设的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）证明：为二倍角三角形；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得，再由余弦定理，得到，结合正弦定理求得，得到，即可得证；
（2）由（1）知，则，结合为锐角三角形，求得，由正弦定理得，求得，结合函数单调性，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为，由正弦定理得，可得,
又由余弦定理得，即，
由正弦定理得，
因为，
可得，
因为为三角形的内角，所以，可得，
所以为二倍角三角形.
【小问2详解】
解：由（1）知，为二倍角三角形，即，则，
因为为锐角三角形，则满足，
解得，可得
又由正弦定理得且，即
可得
，
因为函数上为单调递增函数，
所以，当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为，
故实数的取值范围为.2026届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣高一联考
数学（北师大版）
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A B.
C. D.
2. 已知，则（ ）
A. 2 B. C. D.
3. 已知复数，（，为虚数单位），且，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 在平行四边形中，为的中点，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，点为边上一点，且，则（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
7. 如图，在菱形中，，，，，分别是边，，，的中点，以点为圆心，以，为半径作出两段圆弧，与分别交于点，，分别以，，为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中.若扇环的周长为，则扇环的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，，均为非零向量，与的夹角为，与的夹角为，满足，，则，的夹角（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 的虚部为 D. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 直线为图象的一条对称轴
D. 将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象
11. 已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 对于任意与不共线的非零向量，都有
C. 对于任意的非零实数，都有
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量与单位向量的方向相同，则______.
13. 如图，已知山体与山体的底部在同一水平面上，且两个山体的高线与均与水平面垂直，，在山体的最高点处测得山顶的仰角为，测得山底A的俯角为，则______m.
14. 已知为钝角，且，角，，满足，则______.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为虚数单位，复数为纯虚数，为的共轭复数.
（1）求的值；
（2）求值.
16. 在平面直角坐标系中，已知向量，.
（1）求向量在向量上的投影向量；
（2）若点满足，与夹角为，求的值.
17 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
18. 已知的图象关于点对称，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，.
（1）求的解析式；
（2）若，求满足不等式的解集.
19. 如果三角形的一个内角等于另外一个内角的二倍，我们称这样的三角形为二倍角三角形.设的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）证明：二倍角三角形；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
