河南省洛阳市部分学校2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在复平面内,点对应的复数的模等于( )
A.5 B. C. D.1
2．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
3．( )
A. B. C. D.
4．已知m,n为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若,,,,则
B.若,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
5．从A班随机抽一名学生是女生的概率是,从B班随机抽一名学生是女生的概率是,现从两个班各随机抽一名学生,那么两名学生不全是女生的概率是( )
A. B. C. D.
6．已知是偶函数,则( )
A.2 B.1 C. D.
7．如图,二面角为,,,点A,B在棱l上的射影分别是,,若,,,则AB长度为( )
A.2 B. C. D.
8．已知单位圆O是的外接圆,若,则的最大值为( )
A. B. C.1 D.
二、多项选择题
9．某厂7月生产A型,B型产品共900件,其中A型400件.按型号进行分层,用分层随机抽样的方法,从7月产品中抽取一个容量为45的样本,如果样本按比例分配,下列说法中正确的有( )
A.应抽取的A型产品件数为20
B.应抽取的B型产品件数为25
C.应抽取的A型产品件数为25
D.应抽取的B型产品件数为20
10．已知函数,下列说法正确的是( )
A.的图象的一条对称轴为直线
B.在上单调递增
C.的图象可由函数图象向右平移个单位得到
D.函数是奇函数
11．在棱长为1的正方体中,M,N分别是,的中点,则下列结论正确的是( )
A.平面
B.平面截正方体所得截面为等腰梯形
C.
D.异面直线MN与所成角的正弦值为
12．设函数的定义域为R,且满足,,当时,.则下列说法正确的是( )
A.
B.为偶函数
C.当时,的取值范围为
D.函数与图象仅有5个不同的交点
三、填空题
13．______.
14．从1,2,3,4,5,6中任取两个不同的数,则这两个数的积为奇数的概率为______.
15．已知实数M,N满足,则的最小值是______.
16．如图,在三棱锥中,平面ABC,,,若三棱锥外接球的表面积为,则三棱锥体积的最大值为__________.
四、解答题
17．已知复数,且为纯虚数.
（1）求b;
（2）设复数满足,且复数对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.
18．已知向量,,满足:,,.
（1）若,求向量在向量方向上的投影向量;
（2）求的最小值.
19．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.
（1）求A;
（2）若角A的平分线与BC交于点D,且,,求的面积.
20．某单位组织一场党史知识竞赛活动,随机抽取100名员工的成绩作为样本进行统计,得到如图所示频率分布表:
分组 频率
0.05
0.15
0.25
0.3
0.2
0.05
（1）求样本成绩的第80百分位数;
（2）试利用表格中数据估算这次党史知识竞赛的平均成绩;
（3）已知样本中成绩落在区间内的员工男女比例为,现从该样本中分数在的员工中随机抽出2人,求至少有1人是女员工的概率.
21．如图,在三棱柱中,,,.
（1）证明:;
（2）求与平面所成角的正弦值.
22．已知函数有两个零点.
（1）求实数a的取值范围;
（2）设,是的两个零点,证明:.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以对应复数为,
其模为.
故选:B.
2．答案：D
解析：由,得,则,
所以,又集合,
所以
故选:D
3．答案：A
解析：由二倍角正弦公式可得,
故选:A
4．答案：C
解析：对于选项A,若,,,,由面面平行判定定理知,得不出,故选项A错误;
对于选项B,若,,则直线n与平面,可平行,相交或在平面内,故选项B错误;
对于选项C,因为,所以直线m,n的方向向量互相垂直,又,,则,故选项C正确;
对于选项D,若,,,则或异面,故选项D错误.
故选:C.
5．答案：A
解析：从A班选一名女生从B班选一名男生的概率为:;
从A班选一名男生从B班选一名女生的概率为:;
从A班选一名男生从B班选一名男生的概率为:,
所以两名学生不全是女生的概率是,
故选:A
6．答案：A
解析：根据偶函数的定义:
即,
得,
即,
可得,即,
故选:A
7．答案：D
解析：由题意:,,,的夹角为,
所以,,,
,
所以
故选:D
8．答案：C
解析：如图所示:
因为单位圆O是的外接圆,,所以,
且,
,
故当,共线反向时,取到最大值1,
故选:C.
9．答案：AB
解析：应抽取的A型产品件数为,
应抽取的B型产品件数为,
故选:AB
10．答案：AC
解析：对于A,,
所以的图象的一条对称轴为直线,故A正确;
对于B,时,,
因为,所以在上不单调,故B错误;
对于C,函数图象向右平移个单位得到,
所以的图象可由函数图象向右平移个单位得到,故C正确;
对于D,,为偶函数,故D错误.
故选:AC.
11．答案：ABD
解析：对于A,连接,因为M,N分别是,的中点,所以,
因为在正方体中,,所以,
因为平面,平面,所以平面,所以A正确,
对于B,连接,由选项A,知,所以平面截正方体所得截面为平面,
因为M,N分别是,的中点,所以,,
因为,所以,
因为,,所以,所以,
因为,,所以四边形为等腰梯形,所以B正确,
对于C,连接AC,因为,所以MN与所成的角为,
因在正方体中,,所以为正三角形,
所以,所以MN与不垂直,所以C错误,
对于D,因为,所以异面直线MN与所成角为,
因为平面,平面,所以
在中,,,则,
所以,所以D正确,
故选:ABD
12．答案：BCD
解析：依题意,当时,,当时,,
函数的定义域为R,由,可知的图象关于对称,
由,则,的图象关于对称,
又,因此有,即,
于是有,从而得函数的周期,
又,令可得,所以,
对于A,,故A不正确;
对于B,
,
所以函数为偶函数,B正确;
对于C,当时,,有,则,
当时,,,,所以,
所以当时,的取值范围为,C正确;
对于D,在同一坐标平面内作出函数,的部分图象,如图:
方程的实根,即是函数与的图象交点的横坐标,
观察图象知,函数与的图象有5个交点,因此方程仅有5个不同实数解,D正确.
故选:BCD
13．答案：5
解析：
,
故答案为:5
14．答案：或0.2
解析：设取的两个数为,
则所有可能结果为:,,,,,,,
,,,,,,,,共15种情况,
这两个数的积为奇数有:,,,共3种情况,
则这两个数的积为奇数的概率为,
故答案为:.
15．答案：4
解析：因为实数a,b满足,
所以,,且,
即,
可得,当且仅当取得最小值.
故答案为:.
16．答案：
解析：如图所示:
设三棱锥的外接球球心为O,半径为R,
外接圆半径为,圆心为M,连接OM,AO,AM,
则,解得,
在,,
故:,故,
又,
,
,
,当且仅当时取等号,
三棱锥的体积.
17．答案：（1）
（2）.
解析：（1）,
是纯虚数,.
.
（2）复数,
复数所对应的点在第二象限,
,解得:.
实数a的取值范围为.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）向量在向量方向上的投影向量为.
（2）
,
当时,,即.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,,
整理可得,即,
因为,则,由余弦定理可得,
因为,故.
（2）由,即,
即,解得,
所以,的面积为.
20．答案：（1）82.5
（2）71分
（3）
解析：（1）样本中成绩在的频率为,
样本中成绩在的频率为,
所以样本中成绩的第80百分位数在,
所以样本中成绩的第80百分位数为:.
（2）样本平均值为:(分),
估计这次党史知识竞赛的平均成绩为71分.
（3）这次党史竞赛成绩落在区间内的员工有名,男员工3人,女员工2人,
记“至少有一个女员工被选中”为事件A,
记这5人为1,2,3,4,5号,其中女员工为1,2号,
则样本空间:
,
其中,
所以至少有1人是女员工的概率为.
21．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）取BC中点为N,连接,AN,
,,
又,,
,平面,平面,
平面,,
又,;
（2）,,,
,,
由（1）BC⊥平面,平面,所以,
,,平面,
平面,为在平面内的射影,
为与平面所成的角,
在直角中,,,,
即与平面所成角的正弦值为.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）.
由可得,
令,由可得,
故.
当或,即或时,无解,
所以不存在零点;
当,即时,有一解,此时x仅有一解,
所以只存在一个零点;
当,即时,有两解
,此时在各有一解,故有两个零点.
综上,实数a的取值范围为.
（2）证明:函数有两个零点,,
令,,则,为方程的两根,
则,,所以,
两边平方得,因为,
所以,
所以,
由可得,所以,
则,因为在上单调递减,
所以,即
