2024人教七下数学期末模拟押题卷（全国卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点 到原点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．±2
2．函数＝的自变量取值范围是( )
A．－2≤≤2 B．且≠1 C．＞－2 D．－2≤≤2且≠1
3．下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
4．如图，直线与坐标轴交于两点，则时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知平行四边形ABCD中，添加下列条件，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
A． B． C． D．平分
6．下列关于一次函数的说法中，正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象经过一、二、三象限
C．当时， D．随的增大而增大
7．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若，，则OB的长为
A．4 B．5 C．6 D．
8．甲、乙两车从 地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行 驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点 的坐标是；④．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折型，延长交于点G，连，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有( )个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．一次考试中，某小组有10名同学，他们的得分与全班平均分68分的差分别是，则这个小组的平均分是 ．
12．一次函数（k，b是常数，）和直线平行，且经过点，则b的值为 ．
13．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ．
14．如图，三角形材料，，，，点D在边上，添加一块三角形材料，加工成的材料，则的对角线的最小值是 ．
15．如图，在中，，，过点A作交于点D，过点D作交于点E，设的长为y，当时，y关于x的函数解析式为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．已知：如图，在中，，，垂足分别为．
(1)求证：；
(2)四边形是平行四边形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
18．已知一根蜡烛的长为30厘米，点燃后蜡烛每小时燃烧4厘米，设蜡烛燃烧的时间为x（小时），蜡烛燃烧时剩下的长度为y（厘米）．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)求当时，x的值．
19．已知，；
(1)求的值；
(2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
20．某校组织了一场历史知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出10名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：，，，．下面给出了部分信息：
七年级学生的竞赛成绩为：
69，75，75，81，88，88，88，91，94，98．
八年级等级C的学生成绩为：
84，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84.7 88 b 87.12
八年级 84.7 a 91 83.12
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校七年级有600名学生参赛，八年级有500名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为D等级的共有多少人？
21．【教材】我们八年级下册数学课本第16页介绍了我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．
(1)如图1，若的三边长依次为，，，求该三角形的面积；
(2)如图2，四边形中，，，，，，求该四边形的面积．
22．某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往两地，两种货车载重量及到两地的运输成本如下表：
货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆）
甲种 16 1200 900
乙种 12 1000 750
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往地．设甲、乙两种货车到两地的总运输成本为元，前往地的甲种货车为辆．求当为何值时，最小？最小值是多少．
23．（1）[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长 ．
（2）[迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长；
（3）[拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长 ．
24．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
2024人教七下数学期末模拟押题卷（全国卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点 到原点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．±2
【答案】C
【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．
【详解】解：∵点P的坐标为
∴根据勾股定理可得，它到原点的距离为；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用勾股定理求平面直角坐标系中的点到原点的距离，注意横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．
2．函数＝的自变量取值范围是( )
A．－2≤≤2 B．且≠1 C．＞－2 D．－2≤≤2且≠1
【答案】B
【详解】分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知： 据此解得的范围．
详解：要使函数=有意义，
则
解得且x≠1.
故选B.
点睛：考查自变量的取值范围. 分式有意义的条件是分母不为0；二次根式有意义的条件为被开方数大于或等于0.
3．下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据求一个数的立方根、二次根式的性质、负整数指数幂的运算法则、完全平方公式，进行运算，即可一一判定．
【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了求一个数的立方根、二次根式的性质、负整数指数幂的运算法则、完全平方公式，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
4．如图，直线与坐标轴交于两点，则时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像，找到直线与x的交点坐标，观察在x上方的部分即可得到x的取值范围．
【详解】由图可知，直线与x轴的交点坐标为（-2，0），
当y>0时，图像在x轴上方，在与x轴交点的右边，
所以当x>-2时，y>0
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据一次函数图像写出x的取值范围，具有数形结合的思想并且熟练的掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．
5．已知平行四边形ABCD中，添加下列条件，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】C
【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定定理、菱形的判定定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
6．下列关于一次函数的说法中，正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象经过一、二、三象限
C．当时， D．随的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数经过的象限．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
当时，，即图象经过点，不经过点，可判断A的正误；由，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，可判断B的正误；随着的增大而减小，可判断D的正误；当时，，可判断C的正误．
【详解】解：当时，，即图象经过点，不经过点，A错误，故不符合要求；
∵，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，B错误，故不符合要求；
随着的增大而减小，D错误，故不符合要求；
∴当时，，C正确，故符合要求；
故选：C．
7．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若，，则OB的长为
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【分析】由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得OB的长．
【详解】解：四边形ABCD是矩形
，，
,
，且，
，
在中，
点O是斜边AC上的中点，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键．
8．甲、乙两车从 地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行 驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点 的坐标是；④．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据乙追上甲的时间求出乙的速度可判断①，根据乙由相遇点到达B点所用时间可确定m的值，即可判断②，根据乙休息1h甲所行驶的路程可判断③，由乙返回时，甲乙相距80km，可求出两车相遇的时间即可判断④.
【详解】由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④正确．
所以正确的有①②③④，
故选D.
【点睛】本题考查通过分段函数图像解决问题，根据题意明确图像中的信息是解题关键.
9．如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折叠可知，所以当A，，E三点共线时，的长度最小，作交CD的延长线于点G，根据勾股定理分别求出的长度，即可求长度的最小值．
【详解】解：连接AE，过点A作交CD的延长线于点G，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
为CD的中点，，
，
，
；
由折叠可知，，
∴，
当A，，E共线时，的长度最小，
此时，，
故选：C
【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求AE的长度．
10．如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折型，延长交于点G，连，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有( )个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据正方形的性质得到，，求出，，根据HL推出；推出，，设，则，，在中，由勾股定理得出，求出，得出；在中可推得④错误；求出，推出，根据，再求出，求出即可．
【详解】
∵四边形是正方形，
∴
∵，
∴，
∵将沿对折至，
∴，
∵，
∴，又，
∴，即①正确；
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得出，
即，
求出，
∴，②正确；
∵，
∴
∵，
∵，
∴，
∴，③正确；
由沿对折至，得：，
由，得，
∴，
∵，
∴，即，
∴在中，，
∴，④错误；
∵
∴S△EFC=，⑤正确，
故答案为①②③⑤，正确答案个数为4个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质利用勾股定理进行求解．
二、填空题
11．一次考试中，某小组有10名同学，他们的得分与全班平均分68分的差分别是，则这个小组的平均分是 ．
【答案】70.4分
【分析】先由题意得出小组16名学生的总分为68×10+（3+10-2-8+6+0+15-8-1+9）=68×10+24，再计算平均分
【详解】解：68×10+（3+1+0-2-8+6+0+15-8-1+9）=68×10+24，
平均分是（68×10+24）=70.4，
故答案为70.4.
【点睛】本题考查数据平均数的定义及计算，属于基础题，在计算总分时用的是加法的结合律.
12．一次函数（k，b是常数，）和直线平行，且经过点，则b的值为 ．
【答案】3
【分析】根据两直线平行得到k=-2，再代入点故可求解．
【详解】∵一次函数（k，b是常数，）和直线平行，
∴k=-2，
∴一次函数为，经过，
∴-1=-2×2+b，
解得b=3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查一次函数的解析式，解题的关键是熟知两直线平行，k相等．
13．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积的面积的面积．
【详解】解：
∵三个正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴（如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积，
∴c的面积的面积的面积．
故答案为：．
14．如图，三角形材料，，，，点D在边上，添加一块三角形材料，加工成的材料，则的对角线的最小值是 ．
【答案】3
【分析】根据勾股定理求出，易得，则当时，取最小值，根据平行线间的距离处处相等，即可得出．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴当时，取最小值，
∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，平行线间的距离处处相等，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；平行四边形对边互相平行；平行线间的距离处处相等．
15．如图，在中，，，过点A作交于点D，过点D作交于点E，设的长为y，当时，y关于x的函数解析式为 ．
【答案】/
【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形，函数关系式，关键是由等腰三角形的性质推出．由等腰三角形的性质，垂直的定义推出，得到，又，，由直角三角形的性质得到因此，，即可得到
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用绝对值的性质，立方根的定义及零指数幂计算即可；
（2）利用二次根式的乘除法则计算后再合并同类二次根式即可．
【详解】
（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查的是平方差公式的应用，求解立方根，零次幂的含义，二次根式的混合运算，熟记相关的运算法则是解本题的关键．
17．已知：如图，在中，，，垂足分别为．
(1)求证：；
(2)四边形是平行四边形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是，见解析
【分析】（1）利用证明，即可证明；
（2）证明，由，推出，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18．已知一根蜡烛的长为30厘米，点燃后蜡烛每小时燃烧4厘米，设蜡烛燃烧的时间为x（小时），蜡烛燃烧时剩下的长度为y（厘米）．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)求当时，x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据燃烧速度与总长度即可直接写出关系式，当总长烧完时对应的时间即为时间上限；
（2）将代入求出的解析式即可求解．
【详解】（1）
∵，
∴，
∴自变量的取值范围是
（2）当时，，
解得
【点睛】本题考查一次函数与实际问题的应用，根据题意找出函数关系式是关键．
19．已知，；
(1)求的值；
(2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先进行分母有理化，再直接代入计算即可；
（2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a，b的值，再直接代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，
∴，，
由（1）知，，
∴，，
又∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键．
20．某校组织了一场历史知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出10名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：，，，．下面给出了部分信息：
七年级学生的竞赛成绩为：
69，75，75，81，88，88，88，91，94，98．
八年级等级C的学生成绩为：
84，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84.7 88 b 87.12
八年级 84.7 a 91 83.12
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校七年级有600名学生参赛，八年级有500名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为D等级的共有多少人？
【答案】(1)
(2)八年级，理由见详解
(3)人
【分析】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据中位数（排序后位于数据的中间位置的数）以及众数的定义（数据出现次数最多的数）进行作答即可；
（2）运用方差作决策，方差越小的成绩越稳定，结合中位数和众数作答即可（答案不唯一，言之有理即可）．
（3）分别算出本次调查的七年级、八年级的D等级的人数，再运用样本估计总体进行列式，即可作答．
【详解】（1）解：∵八年级参与竞赛的学生中各随机选出10名同学的成绩，
∴，，
∴；
∵八年级等级C的学生成绩为：84，88，89．
∴中位数；
∵七年级学生的竞赛成绩为：69，75，75，81，88，88，88，91，94，98．
∴众数；
故答案为：
（2）解：八年级，理由如下：
∵方差越小的成绩越稳定
∴在八年级成绩的中位数和众数都比七年级的高的前提下，八年级的方差比七年级的要小，
∴在此次知识竞赛中，八年级的成绩更好．
（3）解：依题意本次调查的八年级D等级的人数为（人）
∴（人）
依题意本次调查的七年级D等级的人数为3（人）
∴（人）
∴（人）
∴若该校七年级有600名学生参赛，八年级有500名学生参赛，估计两个年级参赛学生中成绩为D等级的共有人．
21．【教材】我们八年级下册数学课本第16页介绍了我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．
(1)如图1，若的三边长依次为，，，求该三角形的面积；
(2)如图2，四边形中，，，，，，求该四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算，
（1）利用题干给出的海伦公式即可求解；
（2）连接，先利用勾股定理求出，再结合题干的海伦公式计算即可作答．
【详解】（1）∵，，，
∴，
∴；
（2）连接，如图：
∵，，，
∴，，
∵，，
∴在中，，
即： ，
该四边形的面积．
22．某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往两地，两种货车载重量及到两地的运输成本如下表：
货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆）
甲种 16 1200 900
乙种 12 1000 750
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往地．设甲、乙两种货车到两地的总运输成本为元，前往地的甲种货车为辆．求当为何值时，最小？最小值是多少．
【答案】(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆
(2)当时，w最小，最小值为22700元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键．
（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用辆．根据题意列一元一次方程即可求解；
（2）先根据表格信息列出w与t之间的函数解析式，根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．
【详解】（1）解：设甲种货车用x辆，则乙种货车用辆，
根据题意，得，
解得，
∴，
答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆；
（2）解：根据题意，得
，
∵
∴
∵，
∴w随t的减小而减小．
∴当时，w最小，最小值为（元）．
23．（1）[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长 ．
（2）[迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长；
（3）[拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长 ．
【答案】（1）5；（2）；（3）
【分析】[操作与思考] 以为边，向左侧作等边三角形，结合等边三角形的性质利用可证明，可知，再利用勾股定理可求得答案；
[迁移与应用] 作B关于的对称点，连接，可得等边三角形，再以为边，向左侧作等边三角形，类比可证，得，再作延长线于F，利用勾股定理可求得，再结合三角形中位线定理即可求得答案；
[拓展与创新] 连接，以为边作等边，交于点，过点作，由等边三角形的性质可证，得，设，得，，进而可证得为直角三角形，结合等边三角形的性质可得，，，为的中点，则，由直角三角形斜边上的中线可得，由，知，得，则，设，则，由勾股定理可得：，即：，易得，则，，进而可得．
【详解】[操作与思考]解：以为边，向左侧作等边三角形，
，
，
，
∵是等边三角形，
∴，
，，，
，
，
，，
，
故答案为：；
[迁移与应用]解:作B关于的对称点，连接，再以为边，向左侧作等边三角形，再作延长线于F，如图所示：
∵，
∴，
根据轴对称可知：，，
∴，
∴点B、C、在同一直线上，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
，
∵，
，
∵，
∴，
，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
又∵C，D分别为，的中点，
∴；
[拓展与创新]连接，以为边作等边，交于点，过点作于点H，连接，，如图所示：
∵为等边三角形，为的中点，
∴，，，，
则，
∵，为等边三角形，
∴，，，
则，，
∴，
∴，
∴，设
则，，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴平分，
∴，为的中点，则，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴，则，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，勾股定理，旋转的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解决问题的关键．
24．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．
【答案】（1）PQBO，PQ⊥BO；（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由见解析；（3）
【分析】（1）由正方形的性质得出BO⊥AC，BO＝CO，由中位线定理得出PQ∥OC，PQOC，则可得出结论；
（2）连接O'P并延长交BC于点F，由旋转的性质得出△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，证得∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，△O'PE≌△FPC（AAS），则O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，证得△O'BF为等腰直角三角形．同理△BPO'也为等腰直角三角形，则可得出结论；
（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．证明△O'GP≌△BCP（SAS），得出∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，得出∠O'PB＝90°，则△O'PB为等腰直角三角形，由直角三角形的性质和勾股定理可求出O'A和O'B，求出BQ，由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】解:（1）∵点O为对角线AC的中点，
∴BO⊥AC，BO＝CO，
∵P为BC的中点，Q为BO的中点，
∴PQ∥OC，PQOC，
∴PQ⊥BO，PQBO；
故答案为：PQBO，PQ⊥BO．
（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接O'P并延长交BC于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，
∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，
∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，
又∵点P是CE的中点，
∴CP＝EP，
在△O′PE和△FPC中
，
∴△O'PE≌△FPC（AAS），
∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，
∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，
∴BO'＝BF，
∴△O'BF为等腰直角三角形．
∴BP⊥O'F，O'P＝BP，
∴△BPO'也为等腰直角三角形．
又∵点Q为O'B的中点，
∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，
∴△PQB的形状是等腰直角三角形；
（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECG＝45°，
由旋转得，四边形O'ABG是矩形，
∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∵点P是CE的中点，
∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，
在△O'GP和△BCP中,
，
∴△O'GP≌△BCP（SAS），
∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，
∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，
∴∠O'PB＝90°，
∴△O'PB为等腰直角三角形，
∵点Q是O'B的中点，
∴PQO'B＝BQ，PQ⊥O'B，
∵AB＝1，
∴O'A，
∴O'B，
∴BQ．
∴S△PQBBQ PQ．
【点睛】本题考查正方形的性质，中位线定理，图形旋转，等腰直角三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，三角形面积，掌握正方形的性质，中位线定理，图形旋转，等腰直角三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
