第11章 一元一次不等式 章末测试
（时间：120分钟，满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列式子是不等式的是
A． B． C． D．
【详解】解：．是不等式；
．是多项式，不是不等式；
．是等式；
．不是不等式．
故本题选：．
2．下列说法不正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【详解】解：、若，当时，则，原说法不正确；
、若，则，原说法正确；
、若，则，原说法正确；
、若，则，原说法正确．
故本题选：．
3．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：关于的不等式的解集为，
，
．
故本题选：．
4．下列是一元一次不等式的有
，，，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：，是一元一次不等式；
，未知数的次数是次，不是一元一次不等式；
，是一元一次不等式；
，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
，是等式，不是一元一次不等式；
，未知数的次数是2次，不是一元一次不等式；
综上，是一元一次不等式的有2个．
故本题选：．
5．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：解方程组得：，
，
，解得：．
故本题选：．
6．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示如图所示：
．
故本题选：．
7．若关于的一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
，解得：．
故本题选：．
8．将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为，则列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：由题意可得：．
故本题选：D．
9．已知关于的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；
④若它有解，则．
其中正确的结论个数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
①它的解集是，，解得：，原结论正确；
②，，故不等式组无解，故原结论错误；
③它的整数解仅有3个，，解得：，故原结论错误；
④不等式组有解，，，原结论正确；
综上，正确的结论个数是2个．
故本题选：．
10．数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如：，，，给出如下结论：
①；
②若，则的取值范围是；
③当时，的值为1或2；
④是方程的唯一一个解．
其中正确的结论有
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【详解】解：表示不大于的最大整数，当时，，①不一定正确；
若，则的取值范围是，②正确；
当时，，
当时，，
当时，，③是正确的；
由题意可得：，，，，
，
，
当时，方程变形为，解得：，
当时，方程变形为，解得：；
与都是方程的解，④是错误的．
故本题选：．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知100克的糖水中含有10克糖，再添加克糖，溶解后糖水变甜了（即浓度比例变大）．将这一现象表示为不等式： ．
【详解】解：由题意可得：．
故本题答案为：．
12．若是关于的一元一次不等式，则 ．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，，解得：．
故本题答案为：1．
13．在“建党百年”知识抢答赛中，共有20道题，对于每一题，答对得10分，答错或不答扣5分，则至少答对 题，得分才不低于95分．
【详解】解：设答对了道题，则答错或不答道题，
由题意可得：，解得：，
的最小值为13，即至少答对13道题，得分才不低于95分．
故本题答案为：13道．
14．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组无解，
，解得：．
故本题答案为：．
15．已知，，则的取值范围是 ．
【详解】解：，，
，，
，
由可得：，
由可得：，
综上，．
故本题答案为：．
16．已知关于的不等式的解集为，则关于的一元一次不等式的解集为 ．
【详解】解：不等式的解集是，
，且，整理得：，
，即，
，
，
，即．
故本题答案为：．
17．已知三个实数，，，满足，，且，，，则的最小值为 ．
【详解】解：联立，解得：，
，，，
，解得：，
，
，
，
当时，有最小值14．
故本题答案为：14．
18．若关于的不等式组所有整数解的和为12，则的取值范围是 ．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
不等式组所有整数解的和为12，
①不等式组所有整数解为5、4、3，，解得：；
②不等式组所有整数解为5、4、3、2、1、0、、，，解得：．
故本题答案为：或．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（1）解不等式：，并把解在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：，并求它的所有整数解的和．
【详解】解：（1），
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
两边都除以得：，
在数轴上表示为：
；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
它的所有整数解的和为：．
20．（6分）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题：
（1）比较与的大小；
（2）若，比较、的大小．
【详解】解：（1）
，
；
（2），
，
，
，
．
21．（8分）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母得：，第一步
去括号得：，第二步
移项得：第三步
合并同类项得：，第四步
两边都除以得：．第五步
（1）第一步变形的依据是 ，第三步变形的依据是 ；
（2）第二步变形所依据的运算律是 ；
（3）第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（4）请直接写出该不等式正确的解集．
【详解】解：（1）第一步变形的依据是“不等式的基本性质2”，
第三步变形的依据是“不等式的基本性质1”，
故本题答案为：不等式的基本性质2，不等式的基本性质1；
（2）第二步变形所依据的运算律是乘法分配律，
故本题答案为：乘法分配律；
（3）第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以，不等号方向没有改变，
故本题答案为：五，不等式两边同时除以，不等号方向没有改变；
（4）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边都除以得：．
22．（8分）阅读下列材料，并完成问题解答：
已知“，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，，
又，，，
又，①，
同理可得：②，
由①②得：，
的取值范围是．
（1）【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知，且，，则的取值范围是 ；
（2）【拓展推广】请仿照上述方法，深入思考后完成下列问题：
已知，且，，试确定的取值范围．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
①，
同理可得：②，
由①②得：，
的取值范围是，
故本题答案为：；
（2），
，
，
，
，
，
，
①，
同理可得：②，
由①②得：，
的取值范围是．
23．（8分）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多，某品牌的“”店主销纯电动汽车和插电混动汽车，两种主销车型的有关信息如表：
车型 纯电动汽车 插电混动汽车
进价/（万元/辆） 25 12
新能源积分/（分/辆） 8 2
购进数量/辆
（1）2月份该“”店共花费550万元购进，两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，设购进，型号的车分别为辆、辆，则，分别为多少？
（2）因汽车供不应求，该“”店5月份决定购进，两种车型共50辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于220分，已知新能源积分每分可获得0.2万元的补贴，那么5月份如何进货才能使“”店获得的补贴最大？并求出最大值．
【详解】解：（1）由题意可得：，解得：；
（2）设5月购进型车辆，则购进型车辆，
由题意可得：，解得：，
设5月份“”店获得的补贴为万元，
由题意可得：，
，
随的增大而增大，
当时，最大，最大值为1.2×20+20＝44，
，
购进型车20辆，型车30辆时才能使“”店获得的补贴最大，最大为44万元．
24．（10分）定义一种新运算“☆”为：当时，☆：当时，☆．
例如：3☆，☆
（1）填空：☆ ；
（2）若☆，求的值；
（3）若☆，求的取值范围．
【详解】解：（1），
☆，
故本题答案为：；
（2）由题意可知：分两种情况：
①当时，即，
☆，
，符合题意；
②当时，即，
☆，
，不合题意；
综上，；
（3）由题意可知：分两种情况：
①当时，即，
☆，
，符合题意；
②当时，即，
☆．
，不合题意，舍去；
综上，．
25．（10分）为拓宽学生视野，亲近大自然，我市某中学决定组织部分师生去九华天池开展研学活动，在参加此次活动的师生中若每位老师带14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人辆） 35 30
租金（元辆） 400 340
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）为安全起见，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 辆；
（3）在（2）的基础上，学校计划此次研学活动的租车总费用不超过3000元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【详解】解：（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，
由题意可得：，解得：，
答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人；
（2）设租车总辆数为，
由题意可得：，解得：，
为整数，
，
故本题答案为：8；
（3）最节省费用的租车方案是：租用甲型客车2辆，乙型客车6辆，理由如下：
设租35座客车辆，则需租30座的客车辆，
由题意可得：，解得：．
为正整数，
，3，4，
共有3种租车方案：
方案一：租用甲型客车2辆，乙型客车6辆，租车费用为2840元，
方案二：租用甲型客车3辆，乙型客车5辆，租车费用为2900元，
方案三：租用甲型客车4辆，乙型客车4辆，租车费用为2960元，
最节省费用的租车方案是：租用甲型客车2辆，乙型客车6辆．
26．（10分）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①，②，③中，关于的不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求的取值范围．
【详解】解：（1）①，解得：，
②，解得：，
③，解得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
的解集为，
，在范围内，
不等式组 “关联方程”是①②，
故本题答案为：①②；
（2），解得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
的解集为，
关于的方程是不等式组的“关联方程”，
在范围内，
，解得：；
（3），解得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
的解集为，
此时不等式组有4个整数解，
，解得：，
关于的方程是不等式组的“关联方程”，
在范围内，
，解得：，
综上，．
第11章 一元一次不等式 章末测试
（时间：120分钟，满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列式子是不等式的是
A． B． C． D．
2．下列说法不正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．下列是一元一次不等式的有
，，，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
7．若关于的一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为，则列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；
④若它有解，则．
其中正确的结论个数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如：，，，给出如下结论：
①；
②若，则的取值范围是；
③当时，的值为1或2；
④是方程的唯一一个解．
其中正确的结论有
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知100克的糖水中含有10克糖，再添加克糖，溶解后糖水变甜了（即浓度比例变大）．将这一现象表示为不等式： ．
12．若是关于的一元一次不等式，则 ．
13．在“建党百年”知识抢答赛中，共有20道题，对于每一题，答对得10分，答错或不答扣5分，则至少答对 题，得分才不低于95分．
14．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
15．已知，，则的取值范围是 ．
16．已知关于的不等式的解集为，则关于的一元一次不等式的解集为 ．
17．已知三个实数，，，满足，，且，，，则的最小值为 ．
18．若关于的不等式组所有整数解的和为12，则的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（1）解不等式：，并把解在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：，并求它的所有整数解的和．
20．（6分）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题：
（1）比较与的大小；
（2）若，比较、的大小．
21．（8分）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母得：，第一步
去括号得：，第二步
移项得：第三步
合并同类项得：，第四步
两边都除以得：．第五步
（1）第一步变形的依据是 ，第三步变形的依据是 ；
（2）第二步变形所依据的运算律是 ；
（3）第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（4）请直接写出该不等式正确的解集．
22．（8分）阅读下列材料，并完成问题解答：
已知“，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，，
又，，，
又，①，
同理可得：②，
由①②得：，
的取值范围是．
（1）【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知，且，，则的取值范围是 ；
（2）【拓展推广】请仿照上述方法，深入思考后完成下列问题：
已知，且，，试确定的取值范围．
23．（8分）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多，某品牌的“”店主销纯电动汽车和插电混动汽车，两种主销车型的有关信息如表：
车型 纯电动汽车 插电混动汽车
进价/（万元/辆） 25 12
新能源积分/（分/辆） 8 2
购进数量/辆
（1）2月份该“”店共花费550万元购进，两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，设购进，型号的车分别为辆、辆，则，分别为多少？
（2）因汽车供不应求，该“”店5月份决定购进，两种车型共50辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于220分，已知新能源积分每分可获得0.2万元的补贴，那么5月份如何进货才能使“”店获得的补贴最大？并求出最大值．
24．（10分）定义一种新运算“☆”为：当时，☆：当时，☆．
例如：3☆，☆
（1）填空：☆ ；
（2）若☆，求的值；
（3）若☆，求的取值范围．
25．（10分）为拓宽学生视野，亲近大自然，我市某中学决定组织部分师生去九华天池开展研学活动，在参加此次活动的师生中若每位老师带14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人辆） 35 30
租金（元辆） 400 340
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）为安全起见，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 辆；
（3）在（2）的基础上，学校计划此次研学活动的租车总费用不超过3000元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
26．（10分）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①，②，③中，关于的不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求的取值范围．
