厦门市金鸡亭中学2024届初中毕业班五月适应练习
数学
一、选择题：本愿共10小题，每小题4分，共40分．
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【详解】解：的相反数为﹣．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．
【详解】解：∵主视图和左视图是矩形，
∴几何体是柱体，
∵俯视图是圆，
∴该几何体是圆柱，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
3. 中国铁路是中国境内的一种交通运输形式，为国家的重要基础设施、大众化的交通工具，在中国综合交通运输体系中处于骨干地位，中国铁路始建于清朝末年，经过一个多世纪的建设和发展，截至2022年12月，中国铁路营业里程达万公里，其中高铁万公里，稳居世界第．将数字用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
4. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中成力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，根据中心对称图形与轴对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方运算法则逐项分析即可．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方运算，熟练掌握公式和运算法则是解答本题的关键．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是掌握求解不等式组的方法和步骤，以及用数轴表示不等式解集的方法．先分别求解两个不等式，再写出不等式的解集，根据解集即可进行解答．
【详解】解：
整理得：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为，
用数轴表示为：
故选：A．
7. 4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动．小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如下图）．下列说法中，正确的是（ ）
A. 小明这组共有名同学 B. 本组同学4月份的课外阅读量的中位数是
C. 本组同学月份的课外阅读量的众数是4 D. 本组同学4月份的课外阅读量的平均数是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数，分别根据折线统计图和中位数、众数、平均数的定义求解即可．
【详解】解：A、随机选取了（名）同学，故该选项错误，不符合题意；
B、将数据从小到大排列，位于第8个位置的数为3，则中位数为3本，故该选项错误，不符合题意；
C、课外阅读量为3的出现次数最多，则众数为3，故该选项错误，不符合题意；
D、该组数据的平均数为（本），故该选项正确，符合题意，
故选：D．
8. 小红同学学习了锐角三角函数后，他认为通过不同观察点与信号塔之间的相对位置，利用观察点与信号塔之间可测数据与在点处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，有一信号塔；小红站在点F处，看到信号塔顶D的仰角为，小红向前走了40米，到达点E处，看到信号塔顶D的仰角为，则信号塔的高度用三角函数表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形求出米，在中，求出即可．
【详解】解：由题意得：，
米，
在中，
，
，
故选：C．
9. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何圈形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点D为边上一动点，过D作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，先连接，过作于，求解及，再利用等面积法可得答案．
【详解】解：连接，
过作于，
∵等腰，，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
，
故选：C．
10. 如图，反比例函数与正比例函数交于点A、点B，已知点，过点A作轴，垂足为垂直平分线交x轴于点D，若的周长为6，则反比例函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，线段的垂直平分线的性质，先证明，可得，再求解，再进一步解答即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交x轴于点D，
∴，
∵的周长为6，
∴，
∴，
∵反比例函数与正比例函数交于点A、点B，点，
∴，
∴，
∴，而轴，
∴，
∴，
∴；
故选A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 五边形的外角和为______．
【答案】##360度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于是解题关键．根据多边形的外角和等于即可得．
【详解】解：因为多边形的外角和等于，
所以五边形的外角和为，
故答案为：．
12. 一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】由一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
13. 甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个，小闽同学所列方程中的x表示______．
【答案】乙每小时做个零件
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用；找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键．设乙每小时做个零件，甲每小时做个零件，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程．
【详解】解：设乙每小时做个零件，则甲每小时做个零件，由题意得：
，
∴x表示乙每小时做个零件；
故答案为：乙每小时做个零件；
14. 如图，是平行四边形的对角线，在和上分别截取，使，分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点P，若，平行四边形面积为24，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质和尺规作图，先由平行四边形的性质得到，再由作图方法可知，平分，则由角平分线的性质得到，再根据三角形面积计算公式得到，则，即可得到．
【详解】解：∵平行四边形面积为24，
∴，
设点P到线段的距离分别为，
由作图方法可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 已知，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．先根据得出，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
．
16. 已知二次函数，若点，，，都在该函数图像上，则和大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据点，在函数图像上，，可得出抛物线的对称轴为：，且抛物线开口向上，再由且，可得出，即可得出．
【详解】解：∵点，在函数图像上，，
∴抛物线的对称轴为：，且抛物线开口向上，
∵，都在该函数图像上，
又∵，
，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算算术平方根，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，零次幂，再合并即可．
【详解】解：
；
【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，化简绝对值，零次幂，求解算术平方根，掌握以上基础运算是解本题的关键．
18. 如图，在矩形中，点E为边的中点连接．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质与全等三角形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得出，根据点为的中点，得出，进而根据，即可证明，从而可得答案．
【详解】证明：∵在矩形中，点为的中点，
∴，，
∴．
∴
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可．
【详解】解：
当时，
原式
20. 如图，已知，
（1）尺规作图：求作点D，使得A，D两点关于直线对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）条件下，点E在线段上，，，连接，求的长度．
【答案】（1）画图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先过作的垂线，交于，再在垂线上截取即可；
（2）如图，过作于，证明，可得，，由A，D两点关于直线对称，可得，再结合勾股定理进一步求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即所求；
．
【小问2详解】
如图，过作于，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∵A，D两点关于直线对称，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查的是作已知线段的垂线，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，熟练的画图是解本题的关键．
21. 如图，是的直径，点D，E在上，位于直径两侧，连接连接并延长至点C．使得．
（1）求证：是的切线：
（2）若点E是弧的中点，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明，可得，结合，，可得，再进一步可得答案；
（2）如图，连接，证明，，再进一步可得答案．
【小问1详解】
解：∵为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线：
【小问2详解】
如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵点E是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定，弧，弦，圆心角之间的关系的应用，掌握切线的判定定理是解本题的关键．
22. 党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．某校积极开展活动，推出四种校本课程，A“砖雕”、B“走进中草药”、C“剪纸”、D“书法”，学生可在学校课后服务系统选择自己心仪的校本课程，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有______人；
（2）A组所对应的扇形圆心角为______度；
（3）在平时的“走进中草药”的课堂学习中，甲、乙、丙三人表现优秀，现决定从这三名同学中任选两名参加趣中草药知识竞赛，用树状图或列表法求出恰好同时选中甲、丙两位同学的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由B组的人数除以其占比即可得到总人数；
（2）由乘以A组的占比即可得到圆心角；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到同时选中甲、乙两位同学的结果数，最后利用概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：人，
∴这次被调查的学生共有200人，
【小问2详解】
解： 在扇形统计图中“A”对应的圆心角的度数为，
【小问3详解】
解：设分别用A、B、C表示甲、乙、丙三人，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中选中甲、丙两位同学的结果数有2种，
∴选中甲、丙两位同学的概率为．
【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用扇形图求解总量与圆心角，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
23. 根据以下思考，探索完成任务
费马点的思考
问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．
素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．
素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．
任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明：
任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（ ） A．内的区域 B．内的区域
任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？
【答案】任务一：见解析；任务二：A；任务三：研发区E应建在内部，且满足时花费最少，最少费用为元
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
任务一：证明是等边三角形即可证明结论；
任务二：结合任务一结论选择即可；
任务三：把绕点B逆时针旋转60度得到，连接，为等边三角形，证出，当且仅当在上时，的值为最小，为，过点作，交延长线于点H，求出最小值，即可求出结论．
【详解】解：任务一：如图，由旋转得：，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
任务二：在素材2中，由题意得：要找一点E到A、B、C三点距离和最小，
研发区E建在内的区域比较合适，
故选：A；
（3）如图，
把绕点B逆时针旋转60度得到，
则 ，
连接，
为等边三角形，
，
绕点B逆时针旋转60度得到，
，
，
，
当且仅当在上时，的值为最小，为，
此时，点E内部，且满足，
过点作，交延长线于点H，
在中，，
，
，
在中，，
最小值为，此时费用为元．
24. 已知，菱形中，，，点P在上，连接，将沿翻折，得到，连接，延长交于点E．
（1）如图1，当点P为的中点时，连接并延长交于点G，求的长；
（2）在图2中，当平分时，判断与位置关系；
（3）当点P在上移动过程中，是否存在的长是长的一半情况？如果存在，求此时的长：如果不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）证明，再证明，可得，再证明四边形为平行四边形，可得结论；
（2）证明，，以及，，．求解，可得，，结合，可得，从而可得答案；
（3）设，则，分别过A，E，P作的垂线，垂足分别为K，F，H．证明四边形为矩形，可得，，求解，．．，．再证明．可得，在建立方程求解即可；
【小问1详解】
解：由对折可得：，，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴；
【小问2详解】
证明：∵菱形，
∴，，
∴，
∵沿翻折，得到，
∴，，．
∵平分．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
存在的情况．
设，则，分别过A，E，P作的垂线，垂足分别为K，F，H．
∴四边形为矩形，
∴，，
在中，，，
∴，．
∴．
在中，，，
∴，．
∴，．
∵沿翻折得到，
∴，，
∴，
又，
∴．
∴，
即．
整理得：，
解得，（负值舍去）．
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，图形的翻折，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
25. 如图，抛物线与x轴交于点A，B两点（点A位于点B左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，连接．
（1）若点A坐标为
①求证：；
②点P为抛物线上的点，点P在第一象限，连接，当时，求点P的坐标；
（2）若点B关于直线的对称点为，请判断是否存在实数a，使三点共线，若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①证明见详解 ②
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）①先利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出，，，利用两点之间的距离公式得出，，，，，，即可得出，即可证明，由相似三角形的性质得出．②过点A作于点H，过点H作轴交x轴于点E，过点C作于点F，先证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，，设，求出，由待定系数法求出的解析式，联立方程组即可求出点P的坐标．
（2）由，得可知顶点，由已知条件可得出a的取值范围，再求出点A，B，的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，假设，C，D三点共线，则在直线上，求得，即a满足条件．
【小问1详解】
①证明：∵当时，，
∴，
∴抛物线的解析式为：，
∴抛物线的顶点坐标为
令，则，
令，则，，
∴，，，
∴，，，，，，
∴，
∴，
∴．
②如图，过点A作于点H，过点H作轴交x轴于点E，过点C作于点F，
由①知
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
则，
解得，
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
由，
解得：或，
∴．
【小问2详解】
存在，此时，理由如下：
由，得
∴顶点，
∵抛物线与x轴有A，B两个交点
∴且，
即且，
解得，
令，
得，，
∴，，
∵点B关于直线的对称点为，
∴．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为．
若，C，D三点共线，则在直线上，
∴
解得：，
∴存在实数，使，C，D三点共线．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出抛物线的解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，两点之间的距离公式，等腰直角三角形的判定以及性质和对称等知识，熟练二次函数的性质和作出辅佐线是解题的关键．厦门市金鸡亭中学2024届初中毕业班五月适应练习
数学
一、选择题：本愿共10小题，每小题4分，共40分．
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. D.
2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 中国铁路是中国境内的一种交通运输形式，为国家的重要基础设施、大众化的交通工具，在中国综合交通运输体系中处于骨干地位，中国铁路始建于清朝末年，经过一个多世纪的建设和发展，截至2022年12月，中国铁路营业里程达万公里，其中高铁万公里，稳居世界第．将数字用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
4. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中成力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动．小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如下图）．下列说法中，正确的是（ ）
A. 小明这组共有名同学 B. 本组同学4月份的课外阅读量的中位数是
C. 本组同学月份的课外阅读量的众数是4 D. 本组同学4月份的课外阅读量的平均数是
8. 小红同学学习了锐角三角函数后，他认为通过不同观察点与信号塔之间的相对位置，利用观察点与信号塔之间可测数据与在点处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，有一信号塔；小红站在点F处，看到信号塔顶D的仰角为，小红向前走了40米，到达点E处，看到信号塔顶D的仰角为，则信号塔的高度用三角函数表示为（ ）
A. B. C. D.
9. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何圈形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点D为边上一动点，过D作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，反比例函数与正比例函数交于点A、点B，已知点，过点A作轴，垂足为的垂直平分线交x轴于点D，若的周长为6，则反比例函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 五边形的外角和为______．
12. 一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为________．
13. 甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个，小闽同学所列方程中x表示______．
14. 如图，是平行四边形的对角线，在和上分别截取，使，分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点P，若，平行四边形面积为24，则的面积是______．
15. 已知，则的值为______．
16. 已知二次函数，若点，，，都在该函数图像上，则和的大小关系是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 如图，在矩形中，点E为边的中点连接．求证：．
19 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，已知，
（1）尺规作图：求作点D，使得A，D两点关于直线对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）条件下，点E在线段上，，，连接，求的长度．
21. 如图，是的直径，点D，E在上，位于直径两侧，连接连接并延长至点C．使得．
（1）求证：是的切线：
（2）若点E是弧的中点，，求的长．
22. 党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．某校积极开展活动，推出四种校本课程，A“砖雕”、B“走进中草药”、C“剪纸”、D“书法”，学生可在学校课后服务系统选择自己心仪的校本课程，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有______人；
（2）A组所对应扇形圆心角为______度；
（3）在平时的“走进中草药”的课堂学习中，甲、乙、丙三人表现优秀，现决定从这三名同学中任选两名参加趣中草药知识竞赛，用树状图或列表法求出恰好同时选中甲、丙两位同学的概率．
23. 根据以下思考，探索完成任务
费马点思考
问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．
素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．
素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．
任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明：
任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（ ） A．内的区域 B．内的区域
任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？
24. 已知，菱形中，，，点P在上，连接，将沿翻折，得到，连接，延长交于点E．
（1）如图1，当点P为的中点时，连接并延长交于点G，求的长；
（2）在图2中，当平分时，判断与位置关系；
（3）当点P在上移动过程中，是否存在的长是长的一半情况？如果存在，求此时的长：如果不存在，说明理由．
25. 如图，抛物线与x轴交于点A，B两点（点A位于点B左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，连接．
（1）若点A坐标为
①求证：；
②点P为抛物线上点，点P在第一象限，连接，当时，求点P的坐标；
（2）若点B关于直线的对称点为，请判断是否存在实数a，使三点共线，若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由．
