2023学年第二学期宁波市五校5月联考 九年级数学 试题卷
选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 2024的倒数是 （ ）
A． B． C． D．
2.截至2023年底，宁波市常住人口为969万人，其中969万用科学记数法表示为 （ ）
A． B． C． D．
3.下列计算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4.第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日在巴黎开幕．如图是运动会的领奖台，那么它的俯视图是 （ ）
A． B． B.
C． D．
5.如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01） （ ）
A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52
6.二次根式中字母的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
7.如图，在△ABC中，∠B＝33°，∠ACB＝77°，根据尺规作图痕迹，可知∠α＝（ ）
A．66° B．77°
C．79° D．101°
8.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十。问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱。若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为，乙持钱为，那么可列方程组为
（ ）
A． B． C． D．
9.点A（﹣2，m），B（5，n）都在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，若m＜n，则下列可能成立的是 （ ）
A．当a＜0时，b－a＝0 B．当a＜0时，2a+b＝0
C．当a＞0时，3a+b＝0 D．当a＞0时，a+b＝0
10.如图，在 ABCD中，E为AB的中点，EF∥AD，交CD于点F，连接BF，在BF上取点G，过点G作HI∥AD，分别交DC，AB于点H，I，过点G作JK∥AB，分别交AD，EF，BC于点J，K，L．记四边形DJKF面积为S1，四边形KEIG面积为S2，四边形FKGH面积为S3，四边形GIBL面积为S4，欧几里得在《几何原本》中利用该图得出：S1＝S2+S3．若S1+S2＝S4，AB＝8，则KG的长为 （ ）
A． B．1
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11.实数的立方根是_____________.
12.因式分解：
13.将一张半径为13cm的扇形纸片卷成一个圆锥形桶（不重叠，无缝隙），通过测量，知该圆锥形桶高为12cm，则扇形纸片的面积为______________cm2（结果保留）.
14.甲、乙、丙、丁四名短跑运动员进行百米测试，每人5场测试成绩的平均数（单位：秒）及方差（单位：）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
10 10.1 10 10.2
2 1.6 2.5 1.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择____________.
15.如图，直线AB的表达式为y＝x+4，与坐标轴交于点A，B，过点B作BC⊥AB交反比例函数y＝于点C，若AC的中点D也在反比例函数图象上，则 k＝ ．
16.如图所示，B’为正方形ABCD内部一点，使得AB=AB’，连结DB’，CB’，过点D作直线BB’的垂线，垂足为点E，连结CE，若AB=8，CE=，则△B’CD的面积为____________.
三、解答题（本大题有8小题，共72分）
17.（6分）（1）计算：
解不等式：
18.（8分）如图，在6X6的方格纸中，有△ABC，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
（1）在图1中，找到一格点D，使△ABC与△ACD全等；
（2）在图2中，在BC上找一点E，使得
19.（8分）2023年10月26日，神舟十七号发射成功，三位宇航员将在太空驻留约6个月．某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分 频数/人 频率
60≤x＜70 10 0.1
70≤x＜80 15 b
80≤x＜90 a 0.35
90≤x≤100 40 c
请根据图表信息解答下列问题：
（1）直接写出a，c的值并补全频数分布直方图；
（2）估计此次航天知识竞赛的平均成绩；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率.
20.（8分）学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系，他想进一步探究“某个弹簧伸长的长度y（cm）与它所受到的拉力x（N）（0≤x≤6）之间的关系”，于是采用了如图装置进行探究．
实验中，他观察到当拉力为2N时，弹簧长度为10cm，同时还收集到了如下数据：
弹簧受到的拉力x（N） 0.5 1 1.5 2 … 6
弹簧伸长的长度y（cm） 1.5 3 4.5 6 … 18
（1）在受到的拉力为0N时，弹簧的长度是多少？
（2）求弹簧伸长的长度y关于它所受到的拉力x的函数表达式．
（3）当弹簧的长度为16cm时，求弹簧受到的拉力x的值．
21.（8分）“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具，在农村发展，甚至城下建设过程中，曾发挥过重要的作用．如图是板车侧面部分的示意图．AB是车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．
（1）求证：∠ADC＝∠DBC；
（2）若CD＝2，CB＝2，求车轮的半径长．
22.（10分）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为3，山坡上点D处测得顶点A的仰角∠ADG的正切值为．斜坡CD的坡比为，两观测点CD的距离为26m．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
任务1：计算C，D两点的垂直高度差．
任务2：求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为．
任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度．
23.（10分）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … n 1 p 1 …
（1）若n＝－1时，求二次函数的表达式；
（2）若当﹣3≤x≤2时，y有最小值为，求a的值；
（3）若A（x，y）是函数图象上的点，若当﹣1≤y≤n时，﹣3≤x≤1，求a的值.
24.（14分）如图1，已知Rt△ACB，AC=2，BC=4，∠ACB=90°，点D、E为边AC，BC上的任意点（不与点A，点B重合），以DE为直径的⊙O交边AB于点F，点G，半径为，连结CF交DE于点H，连结OF，EF.设∠CEF=α,
（1）请用含有α的代数式表示出∠OFC；
（2）若=60°，CH：HF=2:1，求CE的长（用含有的代数式表示）；
（3）若DE∥AB，如图2，若⊙O与边AB相交，求的取值范围；
（4）若D为AC中点，△CEF是以EF为腰的等腰三角形，求⊙O的半径.
第7题
第10题
第16题
第16题
第16题
第16题
第15题
图2
图1
图1
图22023 学年第二学期宁波市五校 5 月联考
九年级数学 试题卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 2024 的倒数是 （ ）
1 1
A． B．－ C． 2024 D．－2024
2024 2024
2.截至2023年底，宁波市常住人口为969万人，其中969万用科学记数法表示为 （ ）
A 969×104 B 9.69×106． ． C．0.969×107 D．9.69×105
3.下列计算正确的是 （ ）
A 5a - 2a=3 B a2 a3 = a6． ． C．（－x3y2）3 =－x9 y6 D 2 2 2．（m－n) =m－n
4.第 33 届夏季奥林匹克运动会将于 2024 年 7 月 26 日在巴黎开幕．如图是运动会的领奖台，
那么它的俯视图是 （ ）
A． B． B.
C． D．
5.如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数
50 100 150 200 250 300 500
（n）
投中次数
28 60 78 104 124 153 252
（m）
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到 0.01） （ ）
A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52
6.二次根式 2x+4中字母 x的取值范围是 （ ）
A． x ≥－2 B． x ≠－2 C． x ≤－2 D． x＞－2
7.如图，在△ABC中，∠B＝33°，∠ACB＝77°，根据尺规作图痕迹，可知∠α＝（ ）
A．66° B．77°
C．79° D．101°
第 7 题
8.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五
十，乙得甲太半而钱亦五十。问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲乙二人，不知其钱包
2
里有多少钱。若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 50；而甲把其 的钱给乙，则乙的钱
3
数也能为 50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为 x，乙持钱为 y，那么可列方程组为
（ ）
1 + 1x+ y=50 x y=502 x+
1 1
y=50 x+ y=50
A． 2 2 B． C．
2 D． 2
y+ x=50 y+ x=50 2 + 2y x=50 y+ x=50
3 3 3
9.点 A（﹣2，m），B（5，n）都在二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，若 m＜n，则
下列可能成立的是 （ ）
A．当 a＜0时，b－a＝0 B．当 a＜0时，2a+b＝0
C．当 a＞0时，3a+b＝0 D．当 a＞0时，a+b＝0
10.如图，在 ABCD中，E为 AB的中点，EF∥AD，交 CD于点 F，连接 BF，在 BF上取
点 G，过点 G作 HI∥AD，分别交 DC，AB于点 H，I，过点 G作 JK∥AB，分别交 AD，
EF，BC于点 J，K，L．记四边形 DJKF面积为 S1，四边形 KEIG面积为 S2，四边形 FKGH
面积为 S3，四边形 GIBL面积为 S4，欧几里得在《几何原本》中利用该图得出：S1＝S2+S3．若
S1+S2＝S4，AB＝8，则 KG的长为 （ ）
A． 4— 2 2 B．1
C． 2 2 2 6— D．
5 第 10 题
二、填空题（每题 3分，共 18 分）
1
11.实数— 的立方根是_____________.
8
12.因式分解：1－4a2 = ____________ .
13.将一张半径为 13cm的扇形纸片卷成一个圆锥形桶（不重叠，无缝隙），通过测量，知该
圆锥形桶高为 12cm，则扇形纸片的面积为______________cm2（结果保留 π）.
_
14.甲、乙、丙、丁四名短跑运动员进行百．米．测．试．，每人 5 场测试成绩的平均数 x（单位：
2 2
秒）及方差 S （单位：秒 ）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
_
x 10 10.1 10 10.2
S 2 2 1.6 2.5 1.5
根据表中数据，要从中选择一名成．绩．好．且．发．挥．稳．定．的运动员参加比赛，应选择____________.
2
15.如图，直线 AB的表达式为 y＝－ x+4，与坐标轴交于点 A，B，过点 B作 BC⊥AB交
3
k
反 比 例 函 数 y ＝ 于 点 C ， 若 AC 的 中 点 D 也 在 反 比 例 函 数 图 象 上 ， 则
x
k＝ ．
第 15 题 第 16 题
16.如图所示，B’为正方形 ABCD内部一点，使得 AB=AB’，连结 DB’，CB’，过点 D作直线
BB’的垂线，垂足为点 E，连结 CE，若 AB=8，CE= 2 2，则△B’CD的面积为____________.
三、解答题（本大题有 8 小题，共 72 分）
0
17.（6 分）（1）计算： (π－3.14) — 4cos45°+ 32+ | 2 2— 3 |
（2）解不等式： 4x+7 ≤ 5(x+2)
18.（8 分）如图，在 6X6 的方格纸中，有△ABC，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
（1）在图 1 中，找到一格点 D，使△ABC与△ACD全等；
（2）在图 2 中，在 BC上找一点 E，使得 SΔABE : SΔACE = 2 :3
图 1 图 2
19.（8 分）2023 年 10 月 26 日，神舟十七号发射成功，三位宇航员将在太空驻留约 6 个月．某
校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学
生中随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分 频数/人 频率
60≤x＜70 10 0.1
70≤x＜80 15 b
80≤x＜90 a 0.35
90≤x≤100 40 c
请根据图表信息解答下列问题：
（1）直接写出 a，c的值并补全频数分布直方图；
（2）估计此次航天知识竞赛的平均成绩；
（3）某班有 2名男生和 1名女生的成绩都为 100分，若从这 3名学生中随机抽取 2名学
生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的 2名学生恰好为 1男 1女的概率.
20.（8 分）学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度
与它受到的拉力成一次函数关系，他想进一步探究“某个弹簧伸长的长度 y（cm）与它所受
到的拉力 x（N）（0≤x≤6）之间的关系”，于是采用了如图装置进行探究．
实验中，他观察到当拉力为 2N时，弹簧长度为 10cm，同时还收集到了如下数据：
弹簧受到的拉力 x（N） 0.5 1 1.5 2 … 6
弹簧伸长的长度 y（cm） 1.5 3 4.5 6 … 18
（1）在受到的拉力为 0N时，弹簧的长度是多少？
（2）求弹簧伸长的长度 y关于它所受到的拉力 x的函数表达式．
（3）当弹簧的长度为 16cm时，求弹簧受到的拉力 x的值．
21.（8 分）“板车”具有悠久的历史，是上世纪 90年代以前农村主要运输及交通工具，在
农村发展，甚至城下建设过程中，曾发挥过重要的作用．如图是板车侧面部分的示意图．AB
是车轮⊙O的直径，过圆心 O的车架 AC一端点 C着地时，地面 CD与车轮⊙O相切于
点 D，连接 AD，BD．
（1）求证：∠ADC＝∠DBC；
（2）若 CD＝2 3，CB＝2，求车轮的半径长．
22.（10 分）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图 1）．两个学习小组为了测量旗杆
的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图 2，在坡角点 C处测得旗杆顶点 A的仰角∠ACE的正切值为 3，山坡上点 D处测得
7
顶点 A的仰角∠ADG的正切值为 ．斜坡 CD的坡比为1∶2.4，两观测点 CD的距离为
9
26m．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
任务 1：计算 C，D两点的垂直高度差．
任务 2：求顶点 A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆 AB的高度，两个小组在共同解决任务 1和 2后，采取了不同的方案：
2
小组一：在坡角点 C处测得旗杆底部点 B的仰角∠BCE的正切值为 ；
3
1
小组二：在山坡上点 D处测得旗杆底部点 B的俯角∠GDB的正切值为 ．
15
任务 3请选择其中一个小组的方案计算旗杆 AB的高度．
23.（10 分）设二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0，b、c是常数），已知函数值 y和自变量 x的部
分对应取值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … n 1 p 1 …
（1）若 n＝－1时，求二次函数的表达式；
1
（2）若当﹣3≤x≤2时，y有最小值为 ，求 a的值；
2
（3）若 A（x，y）是函数图象上的点，若当﹣1≤y≤n时，﹣3≤x≤1，求 a的值.
24.（14 分）如图 1，已知 Rt△ACB，AC=2，BC=4，∠ACB=90°，点 D、E为边 AC，BC
上的任意点（不与点 A，点 B重合），以 DE为直径的⊙O交边 AB于点 F，点 G，半径为 r，
连结 CF交 DE于点 H，连结 OF，EF.设∠CEF=α,
（1）请用含有α的代数式表示出∠OFC；
（2）若α =60°，CH：HF=2:1，求 CE的长（用含有 r的代数式表示）；
（3）若 DE∥AB，如图 2，若⊙O与边 AB相交，求 r的取值范围；
（4）若 D为 AC中点，△CEF是以 EF为腰的等腰三角形，求⊙O的半径.
图 1 图 22023学年第二学期宁波市五校5月联考 九年级数学 答案
选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C B C A C D D A
二、填空题（每题3分，共18分）
_______________ 12._______________ 13._______________
14._______________ 15._______________ 16._______________
三、解答题（本大题有8小题，共72分）
17.（6分）（1）计算：
（2）解不等式：
18.（8分）
19.（8分）
（1）
a＝_______________；c＝_______________
（2）
（3）
男1 男2 女
男1 √
男2 √
女 √ √
（8分）
（1）当拉力为2N时，弹簧的长度为10cm，伸长的长度为6cm，
根据“弹簧的长度＝拉力为0时的长度+伸长的长度”，得10﹣6＝4（cm），
∴在受到的拉力为0N时，弹簧的长度是4cm．
（2）
由表格可知，y＝3x（0≤x≤6）
（3）
当弹簧的长度为16cm时，弹簧伸长的长度为16﹣4＝12（cm），
当y＝12时，得3x＝12，
解得x＝4，
∴当弹簧的长度为16cm时，弹簧受到的拉力x的值为4N．
（8分）
（1）如图2，连接OD，则OD＝OB，
∵AB是⊙O的直径，
∴ADB＝90°，
∴∠A+∠OBD＝90°
∵CD与⊙O相切于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠CDB+∠ODB＝90°，
∵∠OBD＝∠ODB，
∴∠A＝∠CDB，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CDB，
∴∠ADC＝∠DBC．
（2）解：∵△CAD∽△CDB，CD＝2，CB＝2
∴＝＝＝
∴CA＝CD＝×2＝6
∴AB＝CA﹣CB＝6﹣2＝4
∴半径为2
（10分）
任务1：过点D作DH⊥CF，垂足为H，
∵斜坡CD的坡比为，
∴设DH＝x米，则CH＝2.4x米，
在Rt△CDH中，CD＝＝2.6x（米），
∵CD＝26米，
∴2.6x＝26，
解得：x＝10，
∴DH＝10米，CH＝24米，
∴C，D两点的垂直高度差为10米；
任务2：
延长AB交FE的延长线于点M，延长DG交AB于点N，
由题意得：DH＝NM＝10米，DN＝MH，
设CM＝x米，
∵CH＝24米，
∴DN＝MH＝CM+CH＝（x+24）米，
在Rt△ACM中，tan∠ACM＝3，
∴AM＝CM tan∠ACM＝3x（米），
在Rt△ADN中，tan∠ADN＝，
∴AN＝DN tan∠ADN＝（x+24）米，
∵AM＝AN+MN，
∴3x＝（x+24）+10，
解得：x＝12.9，
∴AM＝3.x＝38.7（米），
∴顶点A到水平地面的垂直高度为38.7米；
任务3：
若选择小组一的方案：
在Rt△BCM中，tan∠BCM＝，CM＝12.9米，
∴BM＝CM tan∠BCM＝12.9×＝8.6（米），
∴AB＝AM﹣BM＝38.7﹣8.6＝30.1（米），
∴旗杆AB的高度为30.1米；
若选择小组二的方案：
在Rt△DNB中，tan∠NDB＝，DN＝MH＝CM+CH＝24+12.9＝36.9（米），
∴BN＝DN tan∠NDB＝36.9×＝2.46（米），
在Rt△ADN中，tan∠ADN＝，
∴AN＝DN tan∠ADN＝36.9×＝28.7（米），
∴AB＝AN+BN＝28.7+2.46＝31.16（米），
∴旗杆AB的高度为31.16米．
（10分）
解：
（2）解：设，∵经过，∴，∴
∴
①若,,解得
②若,,解得
∴综上所述：
（3）若，由题意可知：
∴
若，由题意可知：,解得：
∴综上所述：
（14分）
（1）连结OC，∵∠CEF=，∴∠COF=，∴∠OFC=
（2）过点H作HM⊥OF于点M，过点O作ON⊥CF于点N
∵∠FEC==60°，∴∠OFC=30°，
设HM=，则FH=2，CH=4，FM=
∵ON⊥CF，∴FN=3，∴HN=，ON=
∴易证：△OHN≌△FHM，∴FH=OH，∴∠OFC=∠FOD=30°
∵OE=OF，∴∠OFE=15°，∴∠CFE=45°，∴∠COE=90°
∴CE=
（3）如图2，
∵DE=2，∴CE=，BE=
∴
又∵不与A、B两点重合
∴
∴
（4）
∴
∴解得
∴综上所述：
