九年级数学综合练习
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A．既不轴对称图形也不是中心对称图形，
B．是轴对称图形但不是中心对称图形，
C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，
D．既是轴对称图形也是中心对称图形．
故选D．
【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，是解题的关键．
3. 如图几何体的俯视图是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了俯视图的定义；从上向下看，看见的轮廓线用实线表示，即可求解；理解俯视图的是解题的关键．
【详解】解：从上向下看得到的视图为：
，
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用整式的混合运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5. 使分式有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分式有意义的条件：分式的分母不为零，即.
【详解】解：分式有意义，
，即．
故选择B．
【点睛】从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 一个游戏中奖的概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖
B. 为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式
C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8
D. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则乙组数据比甲组数据波动小
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，中位数和众数，概率的意义，调查方式的选择等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、一个游戏中奖的概率是，则做10次这样的游戏不一定会中奖，原说法错误，不符合题意；
B、为了了解一批炮弹的杀伤半径，具有破坏性，应采用抽样调查的方式原说法错误，不符合题意；
C、一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8，原说法正确，符合题意；
D、∵甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，，
∴乙组数据比甲组数据波动大，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
7. 在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵二次函数的开口向下，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大．
∵二次函数的对称轴是，
∴x<1．
故选：A．
8. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A. x1≠x2 B. x1+x2＞0 C. x1 x2＞0 D. x1＜0，x2＜0
【答案】A
【解析】
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1 x2=﹣2，结论C错误；D、由x1 x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．综上即可得出结论．
【详解】A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A符合题意；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确，不符合题意；
C、∵x1、x2是关于x方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1 x2=﹣2，结论C错误，不符合题意；
D、∵x1 x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，结论D错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
9. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A. 120° B. 180° C. 240° D. 300°
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故选B．
考点：圆锥的计算
10. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A. 504m2 B. m2 C. m2 D. 1009m2
【答案】A
【解析】
【分析】由OA4n=2n知OA2017=+1=1009，据此得出A2A2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【详解】解：由题意知OA4n=2n，
∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016坐标为(1008，0)，
∴A2018坐标为(1009，1)，
则A2A2018=1009－1=1008(m)，
∴＝A2A2018×A1A2＝×1008×1＝504(m2)．
故选：A．
【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 如图，，直线l分别与，相交，若，则度数为_______．
【答案】##130度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，由两直线平行，同位角相等，即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
故答案：．
12. 某红外线的波长为0.00000094米，用科学记数法表示这个数是_________米．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000094=．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13. 方程组的解是：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
利用加减消元法求解即可．
【详解】解：，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴，
故答案为：．
14. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】提公因式后，再利用平方差公式因式分解．
【详解】解：原式＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法相结合进行因式分解．
15. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是_____千米．
【答案】3
【解析】
【分析】作BE⊥AC于E，根据正弦的定义求出BE，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：作BE⊥AC于E，
在Rt△ABE中，sin∠BAC＝，
∴BE＝AB sin∠BAC＝，
由题意得，∠C＝45°，
∴BC＝＝（千米），
故答案为3．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16. 如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．
【详解】解：是等边三角形，
，
∵折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解不等式组，并在数轴上表示解集：
【答案】画图见解析，
【解析】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：
解得：
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握“一元一次不等式组的解法步骤”是解本题的关键．
18. 如图，已知菱形ABCD，点E和点F分别在BC、CD上，且BE＝DF，连接AE，AF．求证：∠BAE＝∠DAF．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据菱形的性质,运用SAS证明△ABE≌△ADF即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等判定和性质，熟练掌握菱形的性质，三角形全等的判定定理是解题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中是方程的实数根.
【答案】，.
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程的根求出x的值，把x的值代入进行计算即可．
【详解】
∵是方程的实数根，（若解一元二次方程步骤适当得步骤分）
∴.
当时，原式.
当时，原式.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为_________；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，扇形统计图与条形统计图信息相关联：
（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解；
（2）根据的占比乘以得到圆心角的度数；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择同一大学的结果数，最后依据概率计算公式即可求解．
【小问1详解】
解：参与调查的总人数为（人）
∴选择大学的人数为，
补全统计图如图所示，
【小问2详解】
解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：．
【小问3详解】
解：列表如下，
甲 乙
由表格可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选取同一所大学的结果数有3种，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
21. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
（2）或或
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的长，再分两种情形讨论即可．
【小问1详解】
解：把点代入一次函数得，
解得：，
故一次函数的解析式为，
把点代入，得，
，
把点代入，得，
故反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：，，，
当时，或，
当时，点关于直线对称，
，
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
22. 如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）图见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解；
（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证．
本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：依题意，如图所示．
．
【小问2详解】
，
．
又，
，
．
点在以为直径的圆上，
，
．
又为的切线，
．
，
，
，
．
在和中，
．
23. 年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？
【答案】（1）B款文化衫每件元，A款文化衫每件元
（2）购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元
【解析】
【分析】（1）设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（2）设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，依题意得，，可求，由题意知，，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可．
【小问1详解】
解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
∴，
∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元；
【小问2详解】
解：设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，
依题意得，，
解得，，
由题意知，，
∵，
∴当时，费用最低为（元），
∴购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一次函数的图象与性质．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一次函数的图象与性质是解题的关键．
24. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）试猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并加以证明；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
【答案】（1）见解析；（2）BF－AE＝EF，见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由切线的性质可得∠ODP＝90°，∠BOD＝90°，从而根据“内错角相等，两直线平行”即可证明DP∥AB；
（2）先证明△ADE≌△DBF，得到BF＝DE，AE＝DF，进而根据线段的运算得到“BF－AE＝EF”；
（3）由勾股定理运算得出AD，CE，CD的值，再根据PD∥AB得到∠PDA＝∠ACD，从而证明△PAD∽△PDC，根据相似比计算得出PD即可．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，∠ODP＝90°
∵∠ACD＝∠BCD，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD＝×180°＝90°，
∴∠ODP＝∠BOD，
∴PD∥AB
（2）BF－AE＝EF，
证明如下：
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝90°，
∵AE⊥CD，BF⊥CD
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
∴∠FBD＋∠BDF＝90°，
∴∠FBD＝∠ADE，
∵∠AOD＝∠BOD
∴AD＝BD
∴△ADE≌△DBF（AAS），
∴BF＝DE，AE＝DF
∴ BF－AE＝DE－DF，
即BF－AE＝EF
（3）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2＝100，
在Rt△ADB中，AB2＝2AD2，
∴AD＝5，
在Rt△AEC中，AC2＝AE2＋CE2，
∴AE＝CE＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝4，
∴CD＝CE＋DE＝7，
∵PD∥AB，
∴∠PDA＝∠DAB，
∵∠ACD＝∠BCD＝∠DAB，
∴∠PDA＝∠ACD，
又∵∠P＝∠P，
∴△PAD∽△PDC，
∴＝＝＝＝，
∴PA＝PD＋6，
∴＝，
∴PD＝
【点睛】本题考查了圆的综合证明计算问题，涉及切线的性质、全等三角形的判定、相似三角形的证明及应用，解题的关键是综合上述知识点进行推理求证．
25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或（3，4）
（3）存在，
【解析】
分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【小问1详解】
解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
【小问2详解】
设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
【小问3详解】
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．九年级数学综合练习
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
2. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 使分式有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 一个游戏中奖的概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖
B. 为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式
C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8
D. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则乙组数据比甲组数据波动小
7. 在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A. x1≠x2 B. x1+x2＞0 C. x1 x2＞0 D. x1＜0，x2＜0
9. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A 120° B. 180° C. 240° D. 300°
10. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A. 504m2 B. m2 C. m2 D. 1009m2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 如图，，直线l分别与，相交，若，则度数为_______．
12. 某红外线波长为0.00000094米，用科学记数法表示这个数是_________米．
13. 方程组的解是：_______．
14. 分解因式：_______．
15. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是_____千米．
16. 如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解不等式组，并在数轴上表示解集：
18. 如图，已知菱形ABCD，点E和点F分别在BC、CD上，且BE＝DF，连接AE，AF．求证：∠BAE＝∠DAF．
19. 先化简，再求值：，其中是方程的实数根.
20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为_________；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
21. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
22. 如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：．
23. 年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？
24. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O直径．∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）试猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并加以证明；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD长．
25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
