第7节 抛物线
考试要求 1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.理解抛物线的简单应用.
【知识梳理】
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质 顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
[常用结论与微点提醒]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦.
4.抛物线定义中，如果定点F在直线l上，此时动点的轨迹为过点F且与l垂直的直线.
5.不同的方程中，焦半径公式、焦点弦公式也不相同.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)抛物线的离心率一定大于椭圆的离心率.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，
是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
2.(选修一P138T2(2))抛物线y2＝8x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________.
答案 (4，±4)
解析 设所求点为P(x0，y0)，
则y＝8x0且x0＋2＝6，
解得x0＝4，y0＝±4.
3.(选修一P133T1(3)改编)焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程是______________.
答案 y2＝±4x或x2＝±4y
解析 由题知p＝2，2p＝4，但焦点轴不确定，故答案为y2＝±4x或x2＝±4y.
4.(2021·新高考Ⅱ卷改编)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝________.
答案 2
解析 抛物线的焦点坐标为，
其到直线x－y＋1＝0的距离
d＝＝，
解得p＝2(p＝－6舍去).
考点一 抛物线的定义和标准方程
例1 (1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为( )
A.3 B. C.5 D.
答案 B
解析 由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，
分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，
根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，
|NF|＝|NN′|，
所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，
所以线段MN的中点到准线的距离为
(|MF|＋|NF|)＝，
所以线段MN的中点到y轴的距离为－1＝.
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A.y2＝x B.y2＝9x
C.y2＝x D.y2＝3x
答案 D
解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，
由抛物线的定义得|BD|＝a，
故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴3＋3a＝6，解得a＝1，
∵BD∥FG，∴＝，∴p＝，
因此抛物线的方程为y2＝3x.
感悟提升 1.“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
训练1 (1)(2024·兰州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A.y2＝2x B.y2＝4x
C.y2＝－4x D.y2＝－8x
答案 D
解析 由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为________________.
答案 y2＝4x
解析 根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，
又∠DAF＝60°，
所以|AD|－p＝|AF|cos 60°＝|AF|，
所以4－p＝2，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
考点二 抛物线的几何性质
角度1 焦半径和焦点弦
例2 (1)(2024·武汉调研)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B
解析 抛物线y2＝6x的焦点F，
准线l：x＝－.
设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则Q，
因为QF的倾斜角为120°，
所以kQF＝＝＝－，
即y0＝3，
所以x0＝＝＝，
所以|PF|＝x0＋＝＋＝6.
(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
答案 2
解析 直线AB的方程为y＝x－，
与抛物线方程联立消去y得x2－3px＋p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据抛物线的定义，得
|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.
角度2 与抛物线有关的最值问题
例3 (1)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A.2 B. C. D.3
答案 A
解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.
∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
答案 4
解析 如图，过点B作BQ垂直于准线，交准线于点Q，交抛物线于点P1，
连接P1F，
则|P1Q|＝|P1F|.
又F(1，0)，
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
迁移 若将本例(2)中的“B(3，2)”改为“B(3，4)”，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
答案 2
解析 由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部，
因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
感悟提升 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
训练2 (1)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且＝t(t＞1)，|AB|＝，则t＝________.
答案 3
解析 由题意得焦点F(1，0)，设直线l为
x＝λy＋1(λ≠0)，
代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得y1y2＝－4，①
由＝t，即(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，
有y1＝－ty2，②
∴由①②得y2＝，y1＝－2或y2＝－，
y1＝2，即x1＝t，x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋t＋2＝，
化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝(舍).
(2)(2024·南京调研)P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________.
答案 －4
解析 圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3，3)，抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，点P到y轴的距离为d1，到圆C上动点Q的距离为d2，
如图，连接PC，PF，FC，
则d1＝|PF|－2，d2≥|PC|－2，
设FC与抛物线的交点为P′，
由图可知当点P在P′的位置时，d1＋d2取得最小值，最小值是|FC|减去圆的半径再减去抛物线焦点到原点的距离，
即|FC|－2－2＝－4＝－4.
考点三 抛物线的综合问题
例4 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解 设直线l的方程为y＝x＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得F，
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)>0，
则x1＋x2＝－，
从而－＝，得t＝－(满足Δ>0)，
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3，可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，
其中Δ＝4－8t>0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
所以A(3，3)，B，故|AB|＝.
感悟提升 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
训练3 过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得⊥，求直线l的方程.
解 (1)抛物线C：x2＝2py(p＞0)的准线方程为y＝－，焦点为F.
∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
∴y0＝＝1.又F(0，1)，
∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1).
∵⊥，
∴·＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，
解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，舍去，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
抛物线中的二级结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
例 (1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4 B. C.5 D.6
答案 B
解析 [通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，
由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
[优解]因为|AF|＝2|BF|，
所以＋＝＋
＝＝＝1，
解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为，则|AB|＝( )
A. B.4 C.8 D.24
答案 C
解析 [通法]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴kAB＝＝＝.
∵线段AB中点的纵坐标为，
∴y1＋y2＝2，
又直线AB的倾斜角为，∴kAB＝，
即＝，得p＝3.
∴抛物线C的方程为y2＝6x，
则焦点F，
直线AB的方程为y＝，
与抛物线方程y2＝6x联立并整理，
得3＝6x，即x2－5x＋＝0，
∴x1＋x2＝5，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋3＝8.
[优解]抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的弦长l＝，其中θ为焦点弦所在直线的倾斜角.
在求出p＝3后，可直接利用此二级结论得出
|AB|＝＝＝8.
(3)(2024·武汉调研)过抛物线y2＝8x焦点的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|＝________.
答案 8
解析 [通法]由题意可知A(－2，0)，焦点坐标为(2，0).
设过抛物线焦点的直线方程为x＝ky＋2，
代入y2＝8x，消去x，得y2－8ky－16＝0.
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则yMyN＝－16，
所以xMxN＝＝4.
因为MA⊥NA，
所以kMA·kNA＝·
＝＝－1，
所以8＋2(xM＋xN)＝16，即xM＋xN＝4，
所以由抛物线的定义知|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
[优解]由题意可知A(－2，0)，
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，
则xMxN＝＝4，yMyN＝－p2＝－16.
·＝(xM＋2，yM)(xN＋2，yN)＝0，
即(xM＋2)(xN＋2)＋yMyN＝0，
得4＋2(xM＋xN)＋4－16＝0，
∴xM＋xN＝4，|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
训练 (1)(2024·广州联考)直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 D
解析 焦点F(1，0)，∴p＝2，
∴|AB|＝＝＝8(α为直线y＝x－1的倾斜角).
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，过点F且斜率为的直线交C于A，B(A在上方)，且|AF|＝6，则|BF|＝________.
答案 2
解析 由k＝得∠AFx＝60°，
法一 利用
解得|AF|＝2p，|BF|＝p，
∵|AF|＝2p＝6，∴p＝3，
∴|BF|＝＝×3＝2.
法二 由焦半径公式|AF|＝＝＝2p＝6，得p＝3，
∴|BF|＝＝＝p＝2.
【A级 基础巩固】
1.抛物线x2＝y的准线方程为( )
A.y＝－ B.x＝－
C.y＝ D.x＝
答案 A
解析 由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程为y＝－.
2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3.(2024·合肥质检)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝8，则△MOF的面积为( )
A.4 B.3 C.8 D.3
答案 A
解析 抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2.
设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离，
所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6.
因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x上，
所以y＝8×6＝48，则|y0|＝4，
所以S△MOF＝|OF|·|y0|＝×2×4＝4.
4.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若|PA|＝3|PB|，|AF|＝8，|BF|＝4，则p＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 过点A，B分别作抛物线准线的垂线AD，BM，垂足分别为D，M，且AD，BM与y轴分别相交于E，N，
则△PAE∽△PBN，得＝.
由抛物线的定义知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BM|，
则＝＝＝＝＝3，解得p＝4.
5.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过x轴负半轴上的动点A作C的一条切线，切点B在第一象限，若M为线段AB的中点，则·的取值范围是( )
A.(1，2] B.(1，2)
C.[1，＋∞) D.(1，＋∞)
答案 D
解析 由题意可设切线AB的方程为
x＝ty＋m(t＞0，m＜0)，
则A(m，0)，由
得y2－4ty－4m＝0，
由Δ＝(－4t)2＋4×4m＝0，得m＝－t2，
∴A(－t2，0)，B(t2，2t)，∴M(0，t).
结合F(1，0)，得＝(t2－1，2t)，＝(－1，t)，
∴·＝－(t2－1)＋2t2＝t2＋1＞1.
6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A.p＝4
B.抛物线方程为y2＝16x
C.直线l的方程为y＝2x－4
D.|AB|＝10
答案 ACD
解析 由焦点F到准线的距离为4，
根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，故B错误；
则y＝8x1，y＝8x2，
若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，
∴y－y＝8x1－8x2，
即＝＝＝2，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
7.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A.p＝2
B.|MN|＝
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
答案 AC
解析 对于A，因为直线y＝－(x－1)经过抛物线C的焦点，且直线与x轴的交点为(1，0)，
所以抛物线C的焦点坐标为(1，0)，
所以＝1，即p＝2，所以A正确；
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1
消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝3.
由抛物线的定义得，
|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故B错误；
对于C，法一 由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝|MN|＝＝＋1，
所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确；
法二 由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C正确；
对于D，由B知M，N(3，－2)，
所以由两点间距离公式可得
|OM|＝，|ON|＝，
又|MN|＝，故D错误.
8.(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为_____________________.
答案
解析 将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，
于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，
所以A到准线的距离为1－(－)＝.
9.(2023·天津卷)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________.
答案 6
解析 由题意得直线OP的斜率存在.
设直线OP的方程为y＝kx，
因为该直线与圆C相切，
所以＝，解得k2＝3.
将直线方程y＝kx与曲线方程y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－2px＝0，
因为k2＝3，
所以3x2－2px＝0，解得x＝0或，
设P(x1，y1)，则x1＝，又O(0，0)，
所以|OP|＝|x1－0|＝2×＝8，
解得p＝6.
10.(2024·南京、盐城模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴，则AF的长度为________.
答案 3
解析 易得F(1，0)，设P(－1，t)，
则kPF＝＝－，所以kPA＝，
直线PA的方程为y－t＝(x＋1)，
即y＝x＋＋t，
易得A，B，A，B，F共线，
所以＝，得t2＝2，
所以|AF|＝＝＝3.
11.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解 (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，
故抛物线焦点在y轴的正半轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0).
又＝2，∴2p＝8，
故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为
y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
则2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；
令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)，
∴所求抛物线的标准方程为
x2＝－20y或y2＝－60x.
12.已知抛物线C：x2＝my(m>0)的焦点F到其准线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为P，证明：AB⊥FP.
(1)解 抛物线C的焦点为F，准线方程为y＝－，所以焦点F到其准线的距离为＝1，
因为m>0，所以m＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)证明 由题意，直线AB的斜率一定存在，
设直线AB的方程为y＝kx＋，
代入抛物线方程x2＝2y，
整理得x2－2kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1.
函数y＝x2的导函数为y′＝x，
故抛物线在点A处的切线方程为
y－y1＝x1(x－x1)，
化简得y＝x1x－，
同理，抛物线在点B处的切线方程为
y＝x2x－，
联立上述两切线方程，
解得x0＝＝k，y0＝＝－.
因为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)(1，k)，＝，
所以·＝(x2－x1)＝(x2－x1)＝0，
所以AB⊥FP.
【B级 能力提升】
13.(2024·长沙调研)已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴上，过点(2，0)的直线交C于P，Q两点，且OP⊥OQ，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
答案 A
解析 设抛物线C：y2＝2px，p>0.
显然直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为x＝ty＋2，
P(xP，yP)，Q(xQ，yQ).
将直线PQ的方程代入抛物线C的方程得
y2－2pty－4p＝0，
∴Δ＝4p2t2＋16p>0，yP＋yQ＝2pt，yPyQ＝－4p，
∴xPxQ＝＝4.
∵OP⊥OQ，∴xPxQ＋yPyQ＝4－4p＝0，
∴p＝1，此时yP＋yQ＝2t，xP＋xQ＝2t2＋4，
∴M(t2＋2，t)，
又F，∴直线MF的斜率
kMF＝＝，
当t＝0时，kMF＝0，
当t≠0时，kMF＝＝≤，
当且仅当t2＝时取等号.
∴直线MF的斜率的最大值为.
14.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A.p＝4 B.＝
C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4
答案 ABC
解析 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.
设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.
因为直线l的斜率为，
所以其倾斜角为60°.
因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，
则△AEF为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，
所以∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，
得p＝4，故A正确.
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
所以F为AD的中点，则＝，故B正确.
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确.
因为|BD|＝2|BF|，
所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误.
15.(2024·福州调研)已知点P在抛物线y2＝8x上，点F为该抛物线的焦点，点A的坐标为(6，3)，则△PAF周长的最小值为________.
答案 13
解析 由题意可知，点A在抛物线的内部，抛物线的焦点F(2，0)，
抛物线的准线方程为x＝－2，
△PAF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|，
|AF|＝＝5.
如图，过点P作准线的垂线，交准线于点D，
由抛物线的定义可知，|PF|＝|PD|，
∴要使得|PA|＋|PF|最小，即使得|PA|＋|PD|最小，
则当D，P，A三点共线时，
|PA|＋|PD|取得最小值，
即(|PA|＋|PF|)min＝6＋2＝8，
∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.
16.已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点.
(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程.
解 由已知可得F(0，1)，
设A，B，
由得x2－4kx－8＝0，
所以x1＋x2＝4k，①
x1x2＝－8.②
(1)|FA|＋|FB|＝＋1＋＋1
＝＋2.
当k＝1时，由①②得|FA|＋|FB|＝10.
(2)由题意可知＝，
＝，＝(－3，－3).
由∠CFA＝∠CFB，
得cos〈，〉＝cos〈，〉，
即＝，
又|FA|＝＋1，|FB|＝＋1，
所以＝，
可得4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，
即4＋8k＋8＝0.解得k＝－，
所以所求直线l的方程为3x＋2y－4＝0.第7节 抛物线
考试要求 1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.理解抛物线的简单应用.
【知识梳理】
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的________.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质 顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
[常用结论与微点提醒]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦.
4.抛物线定义中，如果定点F在直线l上，此时动点的轨迹为过点F且与l垂直的直线.
5.不同的方程中，焦半径公式、焦点弦公式也不相同.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)抛物线的离心率一定大于椭圆的离心率.( )
2.(选修一P138T2(2))抛物线y2＝8x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________.
3.(选修一P133T1(3)改编)焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程是______________.
4.(2021·新高考Ⅱ卷改编)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝________.
考点一 抛物线的定义和标准方程
例1 (1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为( )
A.3 B.
C.5 D.
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A.y2＝x B.y2＝9x
C.y2＝x D.y2＝3x
感悟提升 1.“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
训练1 (1)(2024·兰州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A.y2＝2x B.y2＝4x
C.y2＝－4x D.y2＝－8x
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为________________.
考点二 抛物线的几何性质
角度1 焦半径和焦点弦
例2 (1)(2024·武汉调研)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝( )
A.3 B.6
C.9 D.12
(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
角度2 与抛物线有关的最值问题
例3 (1)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A.2 B.
C. D.3
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
迁移 若将本例(2)中的“B(3，2)”改为“B(3，4)”，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
感悟提升 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
训练2 (1)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且＝t(t＞1)，|AB|＝，则t＝________.
(2)(2024·南京调研)P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________.
考点三 抛物线的综合问题
例4 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
感悟提升 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
训练3 过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得⊥，求直线l的方程.
抛物线中的二级结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
例 (1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4 B.
C.5 D.6
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为，则|AB|＝( )
A. B.4
C.8 D.24
(3)(2024·武汉调研)过抛物线y2＝8x焦点的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|＝________.
训练 (1)(2024·广州联考)直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝( )
A.2 B.4
C.6 D.8
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，过点F且斜率为的直线交C于A，B(A在上方)，且|AF|＝6，则|BF|＝________.(共73张PPT)
第八章 平面解析几何
第7节 抛物线
1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.理解抛物线的简单应用.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的______.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
相等
准线
2.抛物线的标准方程与几何性质
常用结论与微点提醒
×
×
×
√
2.(选修一P138T2(2))抛物线y2＝8x上与焦点的距离等于6的点的坐标是____________.
解析 设所求点为P(x0，y0)，
3.(选修一P133T1(3)改编)焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程是____________________.
y2＝±4x或x2＝±4y
解析 由题知p＝2，2p＝4，但焦点轴不确定，故答案为y2＝±4x或x2＝±4y.
2
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 抛物线的定义和标准方程
B
解析 由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，
分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，
根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，
所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，
D
解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，
由抛物线的定义得|BD|＝a，
故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴3＋3a＝6，解得a＝1，
感悟提升
1.“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
训练1 (1)(2024·兰州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A.y2＝2x B.y2＝4x C.y2＝－4x D.y2＝－8x
D
解析 由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为________.
y2＝4x
解析 根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，
又∠DAF＝60°，
所以4－p＝2，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
考点二 抛物线的几何性质
角度1 焦半径和焦点弦
例2 (1)(2024·武汉调研)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝( )
A.3 B.6 C.9 D.12
B
(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.
A
解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
4
解析 如图，过点B作BQ垂直于准线，交准线于点Q，交抛物线于点P1，
连接P1F，
则|P1Q|＝|P1F|.
又F(1，0)，
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
迁移 若将本例(2)中的“B(3，2)”改为“B(3，4)”，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
解析 由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部，
因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
感悟提升
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
3
解析 由题意得焦点F(1，0)，设直线l为x＝λy＋1(λ≠0)，
代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得y1y2＝－4，①
(2)(2024·南京调研)P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为___________.
解析 圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3，3)，抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，点P到y轴的距离为d1，到圆C上动点Q的距离为d2，
如图，连接PC，PF，FC，
则d1＝|PF|－2，d2≥|PC|－2，
设FC与抛物线的交点为P′，
由图可知当点P在P′的位置时，d1＋d2取得最小值，最小值是|FC|减去圆的半径再减去抛物线焦点到原点的距离，
考点三 抛物线的综合问题
感悟提升
1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
训练3 过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
解 ∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，
解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，舍去，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
拓展视野 抛物线中的二级结论
B
解析 [通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
因为|AF|＝2|BF|，
由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②
C
解析 [通法]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(3)(2024·武汉调研)过抛物线y2＝8x焦点的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|＝________.
8
解析 [通法]由题意可知A(－2，0)，焦点坐标为(2，0).
设过抛物线焦点的直线方程为x＝ky＋2，
代入y2＝8x，消去x，得y2－8ky－16＝0.
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则yMyN＝－16，
所以8＋2(xM＋xN)＝16，即xM＋xN＝4，
所以由抛物线的定义知|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
即(xM＋2)(xN＋2)＋yMyN＝0，
得4＋2(xM＋xN)＋4－16＝0，
∴xM＋xN＝4，|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
训练 (1)(2024·广州联考)直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
D
解析 焦点F(1，0)，∴p＝2，
2
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
A
2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A.9 B.8 C.7 D.6
B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
A
解析 抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2.
设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离，
所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6.
因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x上，
4.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若|PA|＝3|PB|，|AF|＝8，|BF|＝4，则p＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
解析 过点A，B分别作抛物线准线的垂线AD，BM，垂足分别为D，M，且AD，BM与y轴分别相交于E，N，
D
解析 由题意可设切线AB的方程为x＝ty＋m(t＞0，m＜0)，
由Δ＝(－4t)2＋4×4m＝0，得m＝－t2，
∴A(－t2，0)，B(t2，2t)，∴M(0，t).
6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A.p＝4
B.抛物线方程为y2＝16x
C.直线l的方程为y＝2x－4
D.|AB|＝10
ACD
解析 由焦点F到准线的距离为4，
根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，故B错误；
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
AC
解析 将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，
9.(2023·天津卷)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________.
6
解析 由题意得直线OP的斜率存在.
设直线OP的方程为y＝kx，
10.(2024·南京、盐城模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴，则AF的长度为________.
3
解析 易得F(1，0)，设P(－1，t)，
11.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)准线方程为2y＋4＝0；
解 准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，
故抛物线焦点在y轴的正半轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0).
(2)过点(3，－4)；
解 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解 令x＝0得y＝－5；
令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)，
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
12.已知抛物线C：x2＝my(m>0)的焦点F到其准线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
因为m>0，所以m＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为P，证明：AB⊥FP.
证明 由题意，直线AB的斜率一定存在，
代入抛物线方程x2＝2y，
整理得x2－2kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1.
A
解析 设抛物线C：y2＝2px，p>0.
显然直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为x＝ty＋2，
P(xP，yP)，Q(xQ，yQ).
将直线PQ的方程代入抛物线C的方程得y2－2pty－4p＝0，
∴Δ＝4p2t2＋16p>0，yP＋yQ＝2pt，yPyQ＝－4p，
∵OP⊥OQ，∴xPxQ＋yPyQ＝4－4p＝0，
∴p＝1，此时yP＋yQ＝2t，xP＋xQ＝2t2＋4，∴M(t2＋2，t)，
ABC
解析 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.
设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.
所以其倾斜角为60°.
因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，所以∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确.
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
因为∠DAE＝60°，
所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确.
15.(2024·福州调研)已知点P在抛物线y2＝8x上，点F为该抛物线的焦点，点A的坐标为(6，3)，则△PAF周长的最小值为________.
13
解析 由题意可知，点A在抛物线的内部，抛物线的焦点F(2，0)，
抛物线的准线方程为x＝－2，
如图，过点P作准线的垂线，交准线于点D，
由抛物线的定义可知，|PF|＝|PD|，
∴要使得|PA|＋|PF|最小，即使得|PA|＋|PD|最小，
则当D，P，A三点共线时，|PA|＋|PD|取得最小值，
即(|PA|＋|PF|)min＝6＋2＝8，
∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.
16.已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点.
(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
解 由已知可得F(0，1)，
(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程.对点练7 抛物线
【A级 基础巩固】
1.抛物线x2＝y的准线方程为( )
A.y＝－ B.x＝－
C.y＝ D.x＝
2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A.9 B.8
C.7 D.6
3.(2024·合肥质检)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝8，则△MOF的面积为( )
A.4 B.3
C.8 D.3
4.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若|PA|＝3|PB|，|AF|＝8，|BF|＝4，则p＝( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过x轴负半轴上的动点A作C的一条切线，切点B在第一象限，若M为线段AB的中点，则·的取值范围是( )
A.(1，2] B.(1，2)
C.[1，＋∞) D.(1，＋∞)
6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A.p＝4
B.抛物线方程为y2＝16x
C.直线l的方程为y＝2x－4
D.|AB|＝10
7.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A.p＝2
B.|MN|＝
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
8.(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为____________.
9.(2023·天津卷)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________.
10.(2024·南京、盐城模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴，则AF的长度为________.
11.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
12.已知抛物线C：x2＝my(m>0)的焦点F到其准线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为P，证明：AB⊥FP.
【B级 能力提升】
13.(2024·长沙调研)已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴上，过点(2，0)的直线交C于P，Q两点，且OP⊥OQ，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的最大值为( )
A. B.
C. D.1
14.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A.p＝4 B.＝
C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4
15.(2024·福州调研)已知点P在抛物线y2＝8x上，点F为该抛物线的焦点，点A的坐标为(6，3)，则△PAF周长的最小值为________.
16.已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点.
(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程.
对点练7 抛物线
1.A [由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程为y＝－.]
2.B [抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]
3.A [抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2.
设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离，
所以|MF|＝x0＋2＝8，
所以x0＝6.
因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x上，
所以y＝8×6＝48，则|y0|＝4，
所以S△MOF＝|OF|·|y0|＝×2×4＝4.]
4.D [过点A，B分别作抛物线准线的垂线AD，BM，垂足分别为D，M，且AD，BM与y轴分别相交于E，N，
则△PAE∽△PBN，得＝.
由抛物线的定义知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BM|，
则＝＝＝＝＝3，解得p＝4.]
5.D [由题意可设切线AB的方程为x＝ty＋m(t＞0，m＜0)，则A(m，0)，
由得y2－4ty－4m＝0，
由Δ＝(－4t)2＋4×4m＝0，得m＝－t2，
∴A(－t2，0)，B(t2，2t)，∴M(0，t).
结合F(1，0)，得＝(t2－1，2t)，＝(－1，t)，
∴·＝－(t2－1)＋2t2＝t2＋1＞1.]
6.ACD [由焦点F到准线的距离为4，
根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，故B错误；
则y＝8x1，y＝8x2，
若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，
∴y－y＝8x1－8x2，即＝＝＝2，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.]
7.AC [对于A，因为直线y＝－(x－1)经过抛物线C的焦点，且直线与x轴的交点为(1，0)，
所以抛物线C的焦点坐标为(1，0)，
所以＝1，即p＝2，所以A正确；
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1
消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝3.
由抛物线的定义得，
|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故B错误；
对于C，法一 由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为(，－)，半径r＝|MN|＝＝＋1，
所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确；
法二 由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C正确；
对于D，由B知M，N(3，－2)，
所以由两点间距离公式可得
|OM|＝，|ON|＝，
又|MN|＝，故D错误.]
8. [将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，
于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，
所以A到准线的距离为1－(－)＝.]
9.6 [由题意得直线OP的斜率存在.
设直线OP的方程为y＝kx，
因为该直线与圆C相切，
所以＝，解得k2＝3.
将直线方程y＝kx与曲线方程y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－2px＝0，
因为k2＝3，
所以3x2－2px＝0，解得x＝0或，
设P(x1，y1)，则x1＝，又O(0，0)，
所以|OP|＝|x1－0|＝2×＝8，
解得p＝6.]
10.3 [易得F(1，0)，设P(－1，t)，
则kPF＝＝－，所以kPA＝，
直线PA的方程为y－t＝(x＋1)，
即y＝x＋＋t，
易得A，B，A，B，F共线，
所以＝，得t2＝2，
所以|AF|＝＝＝3.]
11.解 (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，
故抛物线焦点在y轴的正半轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0).
又＝2，∴2p＝8，
故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为
y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
则2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)，
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
12.(1)解 抛物线C的焦点为F，准线方程为y＝－，所以焦点F到其准线的距离为＝1，
因为m>0，所以m＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)证明 由题意，直线AB的斜率一定存在，
设直线AB的方程为y＝kx＋，
代入抛物线方程x2＝2y，
整理得x2－2kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1.
函数y＝x2的导函数为y′＝x，
故抛物线在点A处的切线方程为
y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－，
同理，抛物线在点B处的切线方程为y＝x2x－，
联立上述两切线方程，
解得x0＝＝k，y0＝＝－.
因为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)(1，k)，＝，
所以·＝(x2－x1)＝(x2－x1)＝0，
所以AB⊥FP.
13.A [设抛物线C：y2＝2px，p>0.
显然直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为x＝ty＋2，
P(xP，yP)，Q(xQ，yQ).
将直线PQ的方程代入抛物线C的方程得y2－2pty－4p＝0，
∴Δ＝4p2t2＋16p>0，yP＋yQ＝2pt，yPyQ＝－4p，
∴xPxQ＝＝4.
∵OP⊥OQ，∴xPxQ＋yPyQ＝4－4p＝0，
∴p＝1，此时yP＋yQ＝2t，xP＋xQ＝2t2＋4，
∴M(t2＋2，t)，
又F，∴直线MF的斜率
kMF＝＝，
当t＝0时，kMF＝0，
当t≠0时，kMF＝＝≤，
当且仅当t2＝时取等号.
∴直线MF的斜率的最大值为.]
14.ABC [如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.
设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.
因为直线l的斜率为，
所以其倾斜角为60°.
因为AE∥x轴，
所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，
|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，所以∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，
得p＝4，故A正确.
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
所以F为AD的中点，则＝，故B正确.
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确.
因为|BD|＝2|BF|，
所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误.]
15.13 [由题意可知，点A在抛物线的内部，抛物线的焦点F(2，0)，
抛物线的准线方程为x＝－2，
△PAF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|，
|AF|＝＝5.
如图，过点P作准线的垂线，交准线于点D，
由抛物线的定义可知，|PF|＝|PD|，
∴要使得|PA|＋|PF|最小，即使得|PA|＋|PD|最小，
则当D，P，A三点共线时，|PA|＋|PD|取得最小值，
即(|PA|＋|PF|)min＝6＋2＝8，
∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.]
16.解 由已知可得F(0，1)，
设A，B，
由得x2－4kx－8＝0，
所以x1＋x2＝4k，①
x1x2＝－8.②
(1)|FA|＋|FB|＝＋1＋＋1＝＋2.
当k＝1时，由①②得|FA|＋|FB|＝10.
(2)由题意可知＝，＝，＝(－3，－3).
由∠CFA＝∠CFB，
得cos〈，〉＝cos〈，〉，
即＝，
又|FA|＝＋1，|FB|＝＋1，
所以＝，
可得4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，
即4＋8k＋8＝0.解得k＝－，
所以所求直线l的方程为3x＋2y－4＝0.
