第3节 圆的方程
考试要求 1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【知识梳理】
1.圆的定义和圆的方程
定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|＜r M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 M在圆内.
[常用结论与微点提醒]
1.几种特殊位置的圆的方程
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
2.在圆的一般方程中：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形.
3.圆的三个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)方程x2＋y2＝a2表示半径为a，圆心为(0，0)的圆.( )
(2)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0一定表示圆.( )
(3)若(x0，y0)满足x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0，则点(x0，y0)必在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内.( )
(4)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
解析 (1)当a＝0时，x2＋y2＝0表示点(0，0)；当a≠0时，表示半径为|a|的圆.
(3)配方后，＋>，
即>，点(x0，y0)在圆外.
2.已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为( )
A.－6
C.k>－6 D.k<
答案 A
解析 法一 ∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝.
若点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足>，且1－2k>0，
即13>1－2k且k<，即－6
又因为(－2)2＋42－4(2k＋4)>0，
得k<，所以－6
答案 －3
解析 由x2＋y2－4y－m＝0得
x2＋(y－2)2＝m＋4，
故半径r＝，
∴π(m＋4)＝π，解得m＝－3.
4.(选修一P85T4改编)已知△AOB的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则△AOB的外接圆的标准方程是________.
答案 (x－2)2＋＝
解析 显然△AOB为直角三角形，AB为斜边，AB中点为，|
AB|＝＝5，
于是△AOB的外接圆是以为圆心，以为半径的圆，
即(x－2)2＋＝.
考点一 圆的方程
例1 (1)已知圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 A
解析 设两端点分别为(a，0)和(0，b)，
则a＋0＝2×2，0＋b＝2×(－3)，
即a＝4，b＝－6，
∴直径为＝2，即半径为，
方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________.
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析 法一 设⊙M的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法二 设⊙M的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则M(－，－)，
∴解得
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法三 设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，
则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，
∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，
即3x－y－4＝0.
联立解得
所以M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
感悟提升 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，标准方程或一般方程，用待定系数法求系数.
训练1 (1)(2024·邯郸模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为______________.
答案 (x＋3)2＋(y＋1)2＝1
解析 到两直线3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
联立解得
又两平行线间的距离为2，
所以圆M的半径为1，
从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
(2)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________.
答案 (x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或＋＝或＋(y－1)2＝(写出一个即可)
解析 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
①若圆过(0，0)，(4，0)，(－1，1)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
②若圆过(0，0)，(4，0)，(4，2)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
③若圆过(0，0)，(4，2)，(－1，1)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，
即＋＝；
④若圆过(－1，1)，(4，0)，(4，2)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，
即＋(y－1)2＝.
考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 (1)法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
法二 设AB的中点为D，
由中点坐标公式得D(1，0)，
由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)，
所以直角顶点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，M是线段BC的中点，
由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为
(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
感悟提升 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
训练2 (1)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，若动点M满足＝，则点M的轨迹方程是( )
A.x2＋(y＋2)2＝2 B.x2＋(y－2)2＝2
C.x2＋(y＋2)2＝8 D.x2＋(y－2)2＝8
答案 D
解析 设M(x，y)，因为＝，A(0，－2)，
所以＝，
所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，
所以x2＋(y－2)2＝8为点M的轨迹方程.
(2)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________.
答案 x2＋y2＝25
解析 设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，
则＝10，a2＋b2＝100，
且∴代入a2＋b2＝100，
得4x2＋4y2＝100，
即点M的轨迹方程为x2＋y2＝25.
考点三 与圆有关的最值问题
角度1 利用几何意义求最值
例3 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.
求：(1)的最大值和最小值；
(2)x＋y的最大值和最小值；
(3)的最大值和最小值.
解 (1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，
解得k＝－2＋或k＝－2－，
∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，
t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，
解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
(3)＝，
求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.
又圆心到定点(－1，2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1.
角度2 利用对称性求最值
例4 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.
答案 5－4
解析 P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.
作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，
所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，
即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
角度3 建立函数关系求最值
例5 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________.
答案 12
解析 由题意，知＝(2－x，－y)，
＝(－2－x，－y)，
所以·＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，
当y＝4时，·的值最大，
最大值为6×4－12＝12.
感悟提升 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
训练3 (1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足 x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A.1＋ B.4
C.1＋3 D.72
答案 C
解析 将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆.
设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，
此时＝3，解得z＝1±3，
故z＝x－y的最大值为1＋3.
(2)(2024·福州质检)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1关于直线ax＋2y＋1＝0对称的圆记为⊙O2，点E，F分别为⊙O1，⊙O2上的动点，EF长度的最小值为4，则a＝________.
答案 或
解析 记⊙O1的半径为r，则⊙O2的半径也为r，且r＝2.点O1(2，3)到直线ax＋2y＋1＝0的距离d＝，
因为⊙O1和⊙O2关于直线ax＋2y＋1＝0对称，
所以|O1O2|＝2d，则EF长度的最小值为
||O1O2|－2r|＝|2d－4|，
又EF长度的最小值为4，所以|2d－4|＝4，
易知d>0，所以d＝4，
所以＝4，即12a2－28a＋15＝0，
解得a＝或a＝.
阿波罗尼斯圆
1.若点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|，则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆.
2.阿波罗尼斯圆问题受到高考命题者的青睐，此类题目题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解.
例 (1)已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为，求点M的轨迹.
解 如图所示，
设动点M(x，y)，连接MO，MA，
有|MA|＝2|MO|，
即＝2，
化简得x2＋y2＋2x－3＝0，
即(x＋1)2＋y2＝4，
则方程即为所求点M的轨迹方程，它表示以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆.
(2)已知点C到点A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为，求点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值.
解 设C(x，y)，则＝，
即＝，化简得(x－2)2＋y2＝3，
所以点C的轨迹是以(2，0)为圆心，r＝的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0的距离d＝＝2，
所以点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为2－.
训练 (1)已知平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(2，0)，求满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹.
解 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
整理得＋y2＝，
所以点P的轨迹方程为＋y2＝，它表示以为圆心，半径为的圆.
(2)已知平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，求△PAB面积的最大值.
解 设以经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，以线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0).
设P(x，y)，∵＝，
∴＝，
两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，
即点P的轨迹为(x－3)2＋y2＝8.
要使△PAB的面积最大，只需点P到AB(x轴)的距离最大，
此时面积为×2×2＝2.
【A级 基础巩固】
1.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是( )
A.(0，2) B.(3，3)
C.(－2，2) D.(4，2)
答案 A
解析 由(0－1)2＋(2＋2)2<25知(0，2)在圆内；
由(3－1)2＋(3＋2)2>25知(3，3)在圆外；
由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圆上，
由(4－1)2＋(2＋2)2＝25知(4，2)在圆上.
2.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心为(1，1)且过原点，
所以该圆的半径r＝＝，
则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为( )
A.x2＋y2－2y－3＝0
B.x2＋y2－2y－15＝0
C.x2＋y2＋2y－3＝0
D.x2＋y2＋2y－15＝0
答案 A
解析 由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2.
故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2，
故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，
即x2＋y2－2y－3＝0.
4.已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法错误的是( )
A.圆M的圆心坐标为(1，3)
B.圆M的半径为
C.圆M关于直线x＋y＝0对称
D.点(2，3)在圆M内
答案 C
解析 设△ABC的外接圆M的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则解得
所以△ABC的外接圆M的方程为
x2＋y2－2x－6y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝5.
故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为，
因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，
所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.
因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，
故点(2，3)在圆M内.
5.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是( )
A.6 B.25 C.26 D.36
答案 D
解析 (x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，
∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[＋1]2＝36.
6.(2024·惠州调研)已知圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4关于直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值为( )
A. B.9 C.4 D.8
答案 B
解析 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心为(－1，－2)，
依题意，点(－1，－2)在直线ax＋by＋1＝0上，
因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)，
所以＋＝(a＋2b)＝5＋＋
≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”，
所以＋的最小值为9.
7.(多选)已知圆C关于y轴对称，过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程可能为( )
A.x2＋＝ B.x2＋+＝
C.(x－)2＋y2＝ D.(x＋)2＋y2＝
答案 AB
解析 由已知得圆C的圆心在y轴上，且被x轴所截得的劣弧所对的圆心角为.
设圆心的坐标为(0，a)，半径为r，
则rsin ＝1，rcos ＝|a|，
解得r＝，即r2＝，
|a|＝，即a＝±.
故圆C的方程为x2＋＝或x2＋＝.
8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.
答案 (－2，－4) 5
解析 依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，
解得a＝－1或2.
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
则圆心为(－2，－4)，半径是5；
当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，
即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，该方程不表示圆.
9.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为________________.
答案 x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))
解析 设C(x，y)，
根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，
可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，
即x2＋y2＝2.
考虑到A，B，C三点要构成三角形，
因此点C不能为(1，1)和(－1，－1).
所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)).
10.(2024·德州联考)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
答案 2
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆.
设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为
A′(m，n)，
所以解得
故A′(－4，－2).
连接A′C交圆C于Q(图略)，此时，|PA|＋|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|＝|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
11.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2，高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.
解 (1)设圆心E(0，b)，则C(，3)，B(3，0).
由|EB|＝|EC|，得＝
，
解得b＝1，
所以外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)设P(x，y)，由于P是MN中点，
由中点坐标公式，得M(2x－5，2y－2)，
代入x2＋(y－1)2＝10，
化简得＋＝，
即线段MN的中点P的轨迹方程为＋＝.
12.已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点.
求：(1)m＋2n的最大值；
(2)的最大值和最小值.
解 (1)易知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心为(2，7)，半径r＝2，
设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝≤2，
解得16－2≤t≤16＋2，
所以m＋2n的最大值为16＋2.
(2)记点Q(－2，3)，则表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得≤2.
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
【B级 能力提升】
13.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列说法正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
答案 ABD
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，
化简得2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4＜0，
∴2k2－6k＋5＝0无实数根， B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，
化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，
∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
14.若点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为________.
答案 10
解析 由题意，知＝(－x，2－y)，
＝(－x，－2－y)，
所以＋＝(－2x，－2y)，
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，
故y2＝－(x－3)2＋4，
所以|＋|＝＝2.
由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，
所以当x＝5时，||＋|的值最大，最大值为2×＝10.
15.(2024·泰安模拟)已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是________.
答案 [－16，4]
解析 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，
圆心为C(2，0)，半径为r＝，
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得∠MPN≥90°，
而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为
d＝|CP|＝.
所以＝≥，解得－16≤m≤4.
16.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，
＝(2－x，2－y).
由题设知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，
为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
点P(2，2)适合圆N的方程，
易知P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
所以|PM|＝，
S△POM＝××＝，
故△POM的面积为.第3节 圆的方程
考试要求 1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【知识梳理】
1.圆的定义和圆的方程
定义 圆是平面上到定点的距离等于______的点的集合
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：____________
圆心坐标：____________
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|＜r M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 M在圆内.
[常用结论与微点提醒]
1.几种特殊位置的圆的方程
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
2.在圆的一般方程中：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形.
3.圆的三个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)方程x2＋y2＝a2表示半径为a，圆心为(0，0)的圆.( )
(2)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0一定表示圆.( )
(3)若(x0，y0)满足x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0，则点(x0，y0)必在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内.( )
(4)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( )
2.已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为( )
A.－6
C.k>－6 D.k<
3.(2023·上海卷)已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝________.
4.(选修一P85T4改编)已知△AOB的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则△AOB的外接圆的标准方程是________________.
考点一 圆的方程
例1 (1)已知圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________.
感悟提升 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，标准方程或一般方程，用待定系数法求系数.
训练1 (1)(2024·邯郸模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为_______________.
(2)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为___________________.
考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
感悟提升 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
训练2 (1)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，若动点M满足＝，则点M的轨迹方程是( )
A.x2＋(y＋2)2＝2 B.x2＋(y－2)2＝2
C.x2＋(y＋2)2＝8 D.x2＋(y－2)2＝8
(2)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________________.
考点三 与圆有关的最值问题
角度1 利用几何意义求最值
例3 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.
求：(1)的最大值和最小值；
(2)x＋y的最大值和最小值；
(3)的最大值和最小值.
角度2 利用对称性求最值
例4 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.
角度3 建立函数关系求最值
例5 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________.
感悟提升 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
训练3 (1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A.1＋ B.4
C.1＋3 D.72
(2)(2024·福州质检)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1关于直线ax＋2y＋1＝0对称的圆记为⊙O2，点E，F分别为⊙O1，⊙O2上的动点，EF长度的最小值为4，则a＝________.
阿波罗尼斯圆
1.若点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|，则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆.
2.阿波罗尼斯圆问题受到高考命题者的青睐，此类题目题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解.
例 (1)已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为，求点M的轨迹.
(2)已知点C到点A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为，求点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值.
训练 (1)已知平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(2，0)，求满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹.
(2)已知平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，求△PAB面积的最大值.
(共63张PPT)
第八章 平面解析几何
第3节 圆的方程
1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.圆的定义和圆的方程
定长
D2＋E2－4F＞0
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|＜r M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 M在圆内.
圆外
圆上
圆内
常用结论与微点提醒
×
√
×
√
解析 (1)当a＝0时，x2＋y2＝0表示点(0，0)；当a≠0时，表示半径为|a|的圆.
A
解析 法一 ∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
3.(2023·上海卷)已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝________.
－3
解析 由x2＋y2－4y－m＝0得x2＋(y－2)2＝m＋4，
∴π(m＋4)＝π，解得m＝－3.
4.(选修一P85T4改编)已知△AOB的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则△AOB的外接圆的标准方程是______________________.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 圆的方程
例1 (1)已知圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
A
解析 设两端点分别为(a，0)和(0，b)，
则a＋0＝2×2，0＋b＝2×(－3)，
即a＝4，b＝－6，
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_______________________.
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析 法一 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法三 设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
感悟提升
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，标准方程或一般方程，用待定系数法求系数.
训练1 (1)(2024·邯郸模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为____________________.
(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
解析 到两直线3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为
3x－4y＋5＝0，
又两平行线间的距离为2，
所以圆M的半径为1，
从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
(2)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为_______________________________________________________________
_______________________ (写出一个即可).
解析 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
①若圆过(0，0)，(4，0)，(－1，1)三点，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
③若圆过(0，0)，(4，2)，(－1，1)三点，
考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
解 法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1.
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
法二 设AB的中点为D，
由中点坐标公式得D(1，0)，
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)，
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，M是线段BC的中点，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
感悟提升
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
D
所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，
所以x2＋(y－2)2＝8为点M的轨迹方程.
(2)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为______________.
x2＋y2＝25
解析 设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，
得4x2＋4y2＝100，
即点M的轨迹方程为x2＋y2＝25.
考点三 与圆有关的最值问题
(2)x＋y的最大值和最小值；
解 设t＝x＋y，则y＝－x＋t，
t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
解析 P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.
作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，
12
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
感悟提升
C
解析 将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆.
设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，
(2)(2024·福州质检)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1关于直线ax＋2y＋1＝0对称的圆记为⊙O2，点E，F分别为⊙O1，⊙O2上的动点，EF长度的最小值为4，
则a＝________.
因为⊙O1和⊙O2关于直线ax＋2y＋1＝0对称，
所以|O1O2|＝2d，则EF长度的最小值为||O1O2|－2r|＝|2d－4|，
又EF长度的最小值为4，所以|2d－4|＝4，
易知d>0，所以d＝4，
拓展视野 阿波罗尼斯圆
1.若点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|，则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆.
2.阿波罗尼斯圆问题受到高考命题者的青睐，此类题目题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解.
解 如图所示，
设动点M(x，y)，连接MO，MA，
有|MA|＝2|MO|，
化简得x2＋y2＋2x－3＝0，
即(x＋1)2＋y2＝4，
则方程即为所求点M的轨迹方程，它表示以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆.
(2)已知点C到点A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为，求点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值.
训练 (1)已知平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(2，0)，求满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹.
解 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，
即点P的轨迹为(x－3)2＋y2＝8.
要使△PAB的面积最大，只需点P到AB(x轴)的距离最大，
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是( )
A.(0，2) B.(3，3)
C.(－2，2) D.(4，2)
A
解析 由(0－1)2＋(2＋2)2<25知(0，2)在圆内；
由(3－1)2＋(3＋2)2>25知(3，3)在圆外；
由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圆上，
由(4－1)2＋(2＋2)2＝25知(4，2)在圆上.
2.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D
解析 因为圆心为(1，1)且过原点，
3.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为( )
A.x2＋y2－2y－3＝0
B.x2＋y2－2y－15＝0
C.x2＋y2＋2y－3＝0
D.x2＋y2＋2y－15＝0
A
解析 由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2.
故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2，
故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，
即x2＋y2－2y－3＝0.
C
解析 设△ABC的外接圆M的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
所以△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝5.
因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，
所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.
因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，
故点(2，3)在圆M内.
5.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是( )
A.6 B.25 C.26 D.36
D
解析 (x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，
∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
B
解析 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心为(－1，－2)，
依题意，点(－1，－2)在直线ax＋by＋1＝0上，
因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)，
AB
8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________.
(－2，－4)
5
解析 依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，
解得a＝－1或2.
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
则圆心为(－2，－4)，半径是5；
当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，
9.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为_______________________________________.
x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))
解析 设C(x，y)，
根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，
可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，
即x2＋y2＝2.
考虑到A，B，C三点要构成三角形，
因此点C不能为(1，1)和(－1，－1).
所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)).
10.(2024·德州联考)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
解得b＝1，
所以外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.
解 设P(x，y)，由于P是MN中点，
由中点坐标公式，得M(2x－5，2y－2)，
代入x2＋(y－1)2＝10，
12.已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点.
求：(1)m＋2n的最大值；
设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
13.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列说法正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
ABD
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4＜0，
∴2k2－6k＋5＝0无实数根， B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，
化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，
∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
10
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，
15.(2024·泰安模拟)已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是____________.
[－16，4]
解析 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得∠MPN≥90°，
16.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
解 圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
故O在线段PM的垂直平分线上，点P(2，2)适合圆N的方程，
易知P在圆N上，从而ON⊥PM.对点练3 圆的方程
【A级 基础巩固】
1.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是( )
A.(0，2) B.(3，3)
C.(－2，2) D.(4，2)
2.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
3.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为( )
A.x2＋y2－2y－3＝0 B.x2＋y2－2y－15＝0
C.x2＋y2＋2y－3＝0 D.x2＋y2＋2y－15＝0
4.已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法错误的是( )
A.圆M的圆心坐标为(1，3)
B.圆M的半径为
C.圆M关于直线x＋y＝0对称
D.点(2，3)在圆M内
5.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是( )
A.6 B.25
C.26 D.36
6.(2024·惠州调研)已知圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4关于直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值为( )
A. B.9
C.4 D.8
7.(多选)已知圆C关于y轴对称，过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程可能为( )
A.x2＋＝ B.x2＋＝
C.(x－)2＋y2＝ D.(x＋)2＋y2＝
8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.
9.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为________________.
10.(2024·德州联考)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
11.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2，高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.
12.已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点.
求：(1)m＋2n的最大值；
(2)的最大值和最小值.
【B级 能力提升】
13.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列说法正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
14.若点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为________.
15.(2024·泰安模拟)已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是________.
16.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
对点练3 圆的方程
1.A [由(0－1)2＋(2＋2)2<25知(0，2)在圆内；
由(3－1)2＋(3＋2)2>25知(3，3)在圆外；
由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圆上，
由(4－1)2＋(2＋2)2＝25知(4，2)在圆上.]
2.D [因为圆心为(1，1)且过原点，
所以该圆的半径r＝＝，
则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]
3.A [由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2.
故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2，
故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，
即x2＋y2－2y－3＝0.]
4.C [设△ABC的外接圆M的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则解得
所以△ABC的外接圆M的方程为
x2＋y2－2x－6y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝5.
故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为，
因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，
所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.
因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，
故点(2，3)在圆M内.]
5.D [(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，
∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝
[＋1]2＝36.]
6.B [圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心为(－1，－2)，
依题意，点(－1，－2)在直线ax＋by＋1＝0上，
因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)，
所以＋＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”，
所以＋的最小值为9.]
7.AB [由已知得圆C的圆心在y轴上，且被x轴所截得的劣弧所对的圆心角为.
设圆心的坐标为(0，a)，半径为r，
则rsin ＝1，rcos ＝|a|，
解得r＝，即r2＝，
|a|＝，即a＝±.
故圆C的方程为x2＋＝或x2＋＝.]
8.(－2，－4) 5 [依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，
解得a＝－1或2.
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
则圆心为(－2，－4)，半径是5；
当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，
即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，该方程不表示圆.]
9.x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)) [设C(x，y)，
根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，
可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，
即x2＋y2＝2.
考虑到A，B，C三点要构成三角形，
因此点C不能为(1，1)和(－1，－1).
所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)).]
10.2 [因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆.
设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
所以解得
故A′(－4，－2).
连接A′C交圆C于Q(图略)，此时，|PA|＋|PQ|取得最小值，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|＝|A′Q|＝|A′C|－r＝2.]
11.解 (1)设圆心E(0，b)，则C(，3)，B(3，0).
由|EB|＝|EC|，得＝，
解得b＝1，
所以外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)设P(x，y)，由于P是MN中点，
由中点坐标公式，得M(2x－5，2y－2)，
代入x2＋(y－1)2＝10，
化简得＋＝，
即线段MN的中点P的轨迹方程为＋＝.
12.解 (1)易知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心为(2，7)，半径r＝2，
设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝≤2，
解得16－2≤t≤16＋2，
所以m＋2n的最大值为16＋2.
(2)记点Q(－2，3)，则表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得≤2.
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
13.ABD [圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4＜0，
∴2k2－6k＋5＝0无实数根， B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，
∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.]
14.10 [由题意，知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)，
所以＋＝(－2x，－2y)，
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，
故y2＝－(x－3)2＋4，
所以|＋|＝＝2.
由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，
所以当x＝5时，||＋|的值最大，最大值为2×＝10.]
15. [－16，4] [圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2，0)，半径为r＝，
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为
d＝|CP|＝.所以＝≥，解得－16≤m≤4.]
16.解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y).
由题设知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
点P(2，2)适合圆N的方程，
易知P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
所以|PM|＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面积为.
