第5节 三角函数的图象与性质
考试要求 1.能画出三角函数的图象. 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
【知识梳理】
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
[常用结论与微点提醒]
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(4)y＝sin|x|是偶函数.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间
(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1；
当k<0时，ymax＝－k＋1.
2.(必修一P214T10)函数y＝cos，x∈的值域是________.
答案
解析 由x∈得x＋∈，
所以y＝cos∈.
3.(必修一P214T16改编)函数f(x)＝sin(2x－)，x∈R的单调递减区间是________.
答案 (k∈Z)
解析 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故f(x)的单调递减区间是
(k∈Z).
4.函数f(x)＝－2tan的定义域是________.
答案
解析 由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠kπ＋，k∈Z.
考点一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝lg sin x＋的定义域为________.
答案
解析 要使函数有意义，则有
即
解得(k∈Z)，
所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z.
所以函数的定义域为.
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
答案
解析 设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
感悟提升 1.三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解.
2.三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin的形式求值域.
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
训练1 (1)函数y＝的定义域为________.
答案 (k∈Z)
解析 由cos x－≥0，得cos x≥，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________.
答案
解析 因为x∈，所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x
＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝2＋，
所以当sin x＝时， ymin＝，
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
即函数的值域为.
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、
对称性
例2 (1)(多选)(2024·福州调研)设f(x)＝2cos 2x，则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的最小正周期是
C.f(x)的图象关于直线x＝对称
D.f(x)的图象关于点对称
答案 AD
解析 ∵f(x)＝2cos 2x，
∴f(x)为偶函数，最小正周期T＝＝π，A正确，B错误；
∵f＝2cos ＝≠±2，∴f(x)的图象不关于直线x＝对称，C错误；
∵f＝2cos＝0，∴f(x)的图象关于点对称，D正确.
(2)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间(，)单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－)＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案 D
解析 由题意得×＝－，解得ω＝2，
易知x＝是f(x)的最小值点，
所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
于是f(x)＝sin＝sin，
f＝sin＝sin ＝.
感悟提升 有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式.
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解.
(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.
训练2 (1)(多选)(2024·苏州模拟)已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的最大值为
B.f(x)的最小正周期为π
C.f为奇函数
D.f(x)的图象关于直线x＝对称
答案 ABD
解析 因为函数f(x)＝sin，
所以f(x)的最大值为，A正确；
最小正周期T＝＝π，B正确；
f＝sin＝
sin＝－cos 2x为偶函数，C错误；
f(x)的对称轴满足2x－＝＋kπ，k∈Z，
当k＝1时，x＝，故D正确.
(2)函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________.
答案 ，k∈Z
解析 若f(x)＝3sin＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
则φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
∴f(x)＝3sin＋1＝3cos 2x＋1，
由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
考点三 三角函数的单调性
例3 (1)(多选)(2024·石家庄调研)下列不等式成立的是( )
A.sin
C.sin
解析 因为－<－<－<0，且函数y＝sin x在上单调递增，
所以sin
且当0°≤x≤90°时，函数y＝cos x单调递减，
所以cos 40°>cos 50°，
即cos 400°>cos(－50°)，故B正确；
因为<<<，且函数y＝sin x在区间上单调递减，
所以sin >sin ，故C错误；
因为<2<3<，且函数y＝sin x在区间上单调递减，
所以sin 3
答案 ，k∈Z
解析 f(x)＝sin的单调递减区间是函数y＝sin的单调递增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的单调递减区间为
，k∈Z.
迁移 本例(2)中，若函数不变，求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.
解 令A＝，k∈Z，
B＝[0，π]，
∴A∩B＝∪，
∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
感悟提升 1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解.
训练3 (1)(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )
A.f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)在上单调递减
D.f(x)在上单调递增
答案 C
解析 依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x.
对于A，因为x∈，
所以2x∈，f(x)＝cos 2x在上单调递增，所以A不正确；
对于B，因为x∈，
所以2x∈，f(x)＝cos 2x在上不单调，所以B不正确；
对于C，因为x∈，所以2x∈，f(x)＝cos 2x在上单调递减，所以C正确；
对于D，因为x∈，所以2x∈，f(x)＝cos 2x在上不单调，所以D不正确.
(2)若tan 2＝a，tan 3＝b，tan 5＝c，则( )
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
答案 D
解析 因为tan 5＝tan(5－π)，＜5－π＜2＜3＜π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，
所以tan(5－π)＜tan 2＜tan 3，
所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b.
【A级 基础巩固】
1.函数f(x)＝的定义域为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 B
解析 由题意，得2sin x－1≥0，
x∈(k∈Z)，
则x∈(k∈Z).
2.函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A.－1 B.－ C. D.0
答案 B
解析 由已知x∈，
得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
3.(2024·济南调研)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于( )
A.直线x＝对称 B.直线x＝对称
C.点对称 D.点对称
答案 B
解析 因为函数f(x)的最小正周期为π，
由π＝得ω＝1，所以f(x)＝2sin.
f＝1，故直线x＝不是f(x)图象的对称轴，点也不是f(x)图象的对称中心；
f＝2，故直线x＝是f(x)图象的对称轴，点不是f(x)图象的对称中心.故选B.
4.已知α，β为锐角三角形的两个内角，则下列结论正确的是( )
A.sin α
答案 B
解析 因为α，β是锐角三角形的两个内角，
所以α＋β>，
所以0<－β<α<.
所以cos α
A.f(x)＝cos2x＋sin xcos x
B.f(x)＝
C.f(x)＝cos＋cos
D.f(x)＝sincos
答案 C
解析 对于A，f(x)＝＋sin 2x＝sin＋，
∴T1＝π.
对于B，sin x≠0且cos x≠0，
f(x)＝＝＝tan x，
∴T2＝π.
对于C，f(x)＝cos x－sin x＋cos x＋sin x＝cos x，
∴T3＝2π.
对于D，f(x)＝sin
＝sin，
∴T4＝π.
6.(2024·景德镇质检)将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象关于原点中心对称，则φ可能的取值是( )
A.－ B.－ C. D.
答案 B
解析 将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos的图象.
因为g(x)的图象关于原点中心对称，
所以φ－＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝kπ＋，k∈Z，
所以φ可能的取值是－.
7.(多选)已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
答案 AD
解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；
当
f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确；
∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，
∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.
8.写出一个具有下列性质①②③的函数f(x)＝________.
①定义域为R；②函数f(x)是奇函数；
③f(x＋π)＝f(x).
答案 sin 2x(答案不唯一)
解析 由③f(x＋π)＝f(x)知要求函数的周期为π，故要求的函数可以是f(x)＝sin 2x，此时亦满足①②，答案不唯一.
9.(2024·衡水调研)函数f(x)＝2cos x－cos 2x的最大值为________.
答案
解析 f(x)＝2cos x－cos 2x
＝－2cos2x＋2cos x＋1，
设t＝cos x，t∈[－1，1]，
g(t)＝－2t2＋2t＋1＝－2＋，
则当t＝时，g(t)max＝，
∴函数f(x)＝2cos x－cos 2x的最大值为.
10.已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是________(用“<”表示).
答案 c
＝2sin，
a＝f＝2sin ，b＝f＝2sin ，
c＝f＝2sin ＝2sin ，
因为y＝sin x在上单调递增，且<<，
所以sin
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
解 (1)因为函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，
所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减.
综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减.
12.已知函数f(x)＝4sin ωxsin－1(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω及f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)图象的对称中心.
解 (1)f(x)＝4sin ωx－1
＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx－1
＝1－cos 2ωx＋sin 2ωx－1
＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝2sin.
∵函数f(x)的最小正周期为π，
∴＝π，
∴ω＝1，∴f(x)＝2sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
(2)令2x－＝kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
【B级 能力提升】
13.(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若
答案 A
解析 因为
即sin＝0，
所以ω＋＝kπ(k∈Z)，
又2<ω<3，所以<ω＋<，
所以ω＋＝4π，解得ω＝，
所以f(x)＝sin＋2，
所以f＝sin＋2
＝sin ＋2＝1.
14.(多选)(2024·广州模拟)若直线x＝是函数f(x)＝asin x＋bcos x(ab≠0)图象的一条对称轴，则下列说法正确的是( )
A.b＝a
B.直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴
C.点是函数f(x)图象的一个对称中心
D.函数f(x)在上单调递减
答案 ABC
解析 对于A，因为直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，
即f(0)＝f，
所以asin 0＋bcos 0＝asin ＋bcos ，
得b＝a，所以A正确；
对于B，由A选项可知
f(x)＝asin x＋acos x＝2asin，
则f＝2asin
＝2asin＝－2a，
所以直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴，所以B正确；
对于C，因为f＝2asin
＝2asin π＝0，
所以点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以C正确；
对于D，当＜x＜时，＜x＋＜，
所以当a＞0时，f(x)在上单调递减，当a＜0时，f(x)在上单调递增，所以D错误.
15.(2024·杭州调研)若函数f(x)＝(ω>0)的最小正周期为4，则在下列区间中f(x)单调递增的是( )
A. B.
C. D.(3，4)
答案 C
解析 作出函数y＝|tan u|的图象如图所示.
由图可知，函数y＝|tan u|的最小正周期为π，且其单调递增区间为(k∈Z).
对于函数f(x)，其最小正周期T＝＝4，
可得ω＝，
则f(x)＝.
由kπ
所以f(x)在上单调递减，在上不单调，在上单调递增，在(3，4)上单调递减.
16.已知函数f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合.
解 (1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)因为当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4.
解得a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或
2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.第5节 三角函数的图象与性质
考试要求 1.能画出三角函数的图象. 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
【知识梳理】
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，________，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，________，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R __________
值域 __________ __________ R
最小正周期 __________ __________ __________
奇偶性 __________ __________ 奇函数
递增区间 __________ __________ __________
递减区间 __________ __________ 无
对称中心 __________ __________
对称轴方程 __________ __________ 无
[常用结论与微点提醒]
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(4)y＝sin|x|是偶函数.( )
2.(必修一P214T10)函数y＝cos，x∈的值域是________.
3.(必修一P214T16改编)函数f(x)＝sin，x∈R的单调递减区间是________.
4.函数f(x)＝－2tan的定义域是________.
考点一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝lg sin x＋的定义域为________.
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
感悟提升 1.三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解.
2.三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin的形式求值域.
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
训练1 (1)函数y＝的定义域为________.
(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________.
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例2 (1)(多选)(2024·福州调研)设f(x)＝2cos 2x，则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的最小正周期是
C.f(x)的图象关于直线x＝对称
D.f(x)的图象关于点对称
(2)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝( )
A.－ B.－
C. D.
感悟提升 有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式.
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解.
(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.
训练2 (1)(多选)(2024·苏州模拟)已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的最大值为
B.f(x)的最小正周期为π
C.f为奇函数
D.f(x)的图象关于直线x＝对称
(2)函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________.
考点三 三角函数的单调性
例3 (1)(多选)(2024·石家庄调研)下列不等式成立的是( )
A.sin
C.sin
迁移 本例(2)中，若函数不变，求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.
感悟提升 1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解.
训练3 (1)(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )
A.f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)在上单调递减
D.f(x)在上单调递增
(2)若tan 2＝a，tan 3＝b，tan 5＝c，则( )
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
(共55张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
第5节 三角函数的图象与性质
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
[－1，1]
[－1，1]
2π
2π
π
奇函数
偶函数
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
(kπ，0)
x＝kπ
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(4)y＝sin|x|是偶函数.( )
×
×
×
√
解析 (1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 三角函数的定义域和值域
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为_____________.
解析 设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
感悟提升
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
AD
D
感悟提升
ABD
考点三 三角函数的单调性
BD
因为cos 400°＝cos 40°，cos(－50°)＝cos 50°，
且当0°≤x≤90°时，函数y＝cos x单调递减，
所以cos 40°>cos 50°，即cos 400°>cos(－50°)，故B正确；
迁移 本例(2)中，若函数不变，求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.
感悟提升
1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解.
C
解析 依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x.
(2)若tan 2＝a，tan 3＝b，tan 5＝c，则( )
A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b
D
所以tan(5－π)＜tan 2＜tan 3，
所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b.
B
B
B
解析 因为函数f(x)的最小正周期为π，
4.已知α，β为锐角三角形的两个内角，则下列结论正确的是( )
A.sin α
B
解析 因为α，β是锐角三角形的两个内角，
C
B
AD
解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；
f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确；
∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，
∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.
8.写出一个具有下列性质①②③的函数f(x)＝________(答案不唯一).
①定义域为R；②函数f(x)是奇函数；③f(x＋π)＝f(x).
sin 2x
解析 由③f(x＋π)＝f(x)知要求函数的周期为π，
故要求的函数可以是f(x)＝sin 2x，此时亦满足①②，答案不唯一.
9.(2024·衡水调研)函数f(x)＝2cos x－cos 2x的最大值为________.
解析 f(x)＝2cos x－cos 2x＝－2cos2x＋2cos x＋1，
设t＝cos x，t∈[－1，1]，
c
ABC
C
解析 作出函数y＝|tan u|的图象如图所示.对点练5 三角函数的图象与性质
【A级 基础巩固】
1.函数f(x)＝的定义域为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
2.函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A.－1 B.－
C. D.0
3.(2024·济南调研)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于( )
A.直线x＝对称 B.直线x＝对称
C.点对称 D.点对称
4.已知α，β为锐角三角形的两个内角，则下列结论正确的是( )
A.sin α
5.(2024·茂名模拟)下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是( )
A.f(x)＝cos2x＋sin xcos x
B.f(x)＝
C.f(x)＝cos＋cos
D.f(x)＝sincos
6.(2024·景德镇质检)将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象关于原点中心对称，则φ可能的取值是( )
A.－ B.－
C. D.
7.(多选)已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
8.写出一个具有下列性质①②③的函数f(x)＝________.
①定义域为R；②函数f(x)是奇函数；
③f(x＋π)＝f(x).
9.(2024·衡水调研)函数f(x)＝2cos x－cos 2x的最大值为________.
10.已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是______(用“<”表示).
11.已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
12.已知函数f(x)＝4sin ωxsin－1(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω及f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)图象的对称中心.
【B级 能力提升】
13.(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若
C. D.3
14.(多选)(2024·广州模拟)若直线x＝是函数f(x)＝asin x＋bcos x(ab≠0)图象的一条对称轴，则下列说法正确的是( )
A.b＝a
B.直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴
C.点是函数f(x)图象的一个对称中心
D.函数f(x)在上单调递减
15.(2024·杭州调研)若函数f(x)＝(ω>0)的最小正周期为4，则在下列区间中f(x)单调递增的是( )
A. B.
C. D.(3，4)
16.已知函数f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合.
对点练5 三角函数的图象与性质
1.B [由题意，得2sin x－1≥0，
x∈(k∈Z)，
则x∈(k∈Z).]
2.B [由已知x∈，
得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.]
3.B [因为函数f(x)的最小正周期为π，
由π＝得ω＝1，所以f(x)＝2sin.
f＝1，故直线x＝不是f(x)图象的对称轴，点也不是f(x)图象的对称中心；
f＝2，故直线x＝是f(x)图象的对称轴，点不是f(x)图象的对称中心.故选B.]
4.B [因为α，β是锐角三角形的两个内角，
所以α＋β>，
所以0<－β<α<.
所以cos α
∴T1＝π.
对于B，sin x≠0且cos x≠0，
f(x)＝＝＝tan x，
∴T2＝π.
对于C，f(x)＝cos x－sin x＋cos x＋sin x＝cos x，∴T3＝2π.
对于D，f(x)＝sin＝sin，∴T4＝π.]
6.B [将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到
g(x)＝cos的图象.
因为g(x)的图象关于原点中心对称，
所以φ－＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝kπ＋，k∈Z，
所以φ可能的取值是－.]
7.AD [f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故A正确；
当
f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，
由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确；
∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，
∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.]
8.sin 2x(答案不唯一) [由③f(x＋π)＝f(x)知要求函数的周期为π，故要求的函数可以是f(x)＝sin 2x，此时亦满足①②，答案不唯一.]
9. [f(x)＝2cos x－cos 2x＝－2cos2x＋2cos x＋1，
设t＝cos x，t∈[－1，1]，
g(t)＝－2t2＋2t＋1＝－2＋，
则当t＝时，g(t)max＝，
∴函数f(x)＝2cos x－cos 2x的最大值为.]
10.c
c＝f＝2sin ＝2sin ，
因为y＝sin x在上单调递增，且<<，
所以sin
所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减.
综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减.
12.解 (1)f(x)＝4sin ωx－1
＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx－1
＝1－cos 2ωx＋sin 2ωx－1
＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝2sin.
∵函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，
∴ω＝1，∴f(x)＝2sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x－＝kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
13.A [因为
所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，
所以ω＋＝kπ(k∈Z)，
又2<ω<3，所以<ω＋<，
所以ω＋＝4π，解得ω＝，
所以f(x)＝sin＋2，
所以f＝sin＋2＝sin ＋2＝1.]
14.ABC [对于A，因为直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，即f(0)＝f，
所以asin 0＋bcos 0＝asin ＋bcos ，
得b＝a，所以A正确；
对于B，由A选项可知f(x)＝asin x＋acos x＝2asin，
则f＝2asin＝2asin＝－2a，
所以直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴，所以B正确；
对于C，因为f＝2asin＝2asin π＝0，
所以点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以C正确；
对于D，当＜x＜时，＜x＋＜，
所以当a＞0时，f(x)在上单调递减，当a＜0时，f(x)在上单调递增，所以D错误.]
15.C [作出函数y＝|tan u|的图象如图所示.
由图可知，函数y＝|tan u|的最小正周期为π，且其单调递增区间为(k∈Z).
对于函数f(x)，其最小正周期T＝＝4，
可得ω＝，
则f(x)＝.
由kπ
所以f(x)在上单调递减，在上不单调，在上单调递增，在(3，4)上单调递减.]
16.解 (1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4.
解得a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，可解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.
