考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【知识梳理】
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).
[常用结论与微点提醒]
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝.
3.象限角
4.轴线角
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
2.(必修一P176T7(2))已知α是第一象限角，那么是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或二象限角 D.第一或三象限角
答案 D
解析 易知2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，
故kπ＜＜＋kπ，k∈Z，
所以是第一或第三象限角.
3.(必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝________.
答案 －
解析 由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝＋＝－＝－.
4.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________.
答案 12π
解析 ∵α＝30°＝，l＝αr，∴r＝＝12，
∴扇形面积S＝lr＝×2π×12＝12π.
考点一 象限角及终边相同的角
例1 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合为
D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
答案 AD
解析 A项显然正确；
B中，终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}，角度与弧度不能混用，故错误；
C中，第三象限角的集合为，故错误；
D中，所有与45°角终边相同的角可表示为
β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈Z)，
解得－≤k＜－(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°；
当k＝－1时，β＝－315°，故正确.
(2)已知角θ在第二象限，且＝－sin ，则角在( )
A.第一象限或第三象限
B.第二象限或第四象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 C
解析 ∵角θ是第二象限角，
∴θ∈，k∈Z，
∴∈，k∈Z，
∴角在第一或第三象限.
又＝－sin ，∴sin ＜0，
∴角在第三象限.
感悟提升 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
训练1 (1)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k取偶数时，比如k＝0，此时≤α≤，故角的终边在第一象限或y轴正半轴；
当k取奇数时，比如k＝1，此时≤α≤，
故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.
综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.
(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________.
答案
解析 在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角为，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有和π；
在[－2π，0)内满足条件的角有－π和－π，
故满足条件的角α构成的集合为.
考点二 弧度制及其应用
例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0).
(1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解 (1)由题意得
解得(舍去)，
故扇形的圆心角为.
(2)由已知，得l＋2R＝20.
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2.
感悟提升 应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
训练2 (1)(2024·贵港模拟)图①是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，图②是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，扇环ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2.若＝3，则＝( )
A.3 B.4 C.6 D.8
答案 D
解析 因为＝3，所以＝3，
又因为S扇形AOD＝l1·|OA|，
S扇形BOC＝l2·|OB|，
所以＝＝9，
所以＝8，即＝8.
(2)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________.
答案 2π－2
解析 由条件可知，弧长＝＝＝，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为××2＝，中间等边△ABC的面积S＝×2×＝.
所以莱洛三角形的面积是3×－2＝2π－2.
考点三 三角函数的定义及应用
角度1 三角函数的定义
例3 (1)(2024·湖北新高考协作体考试)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合.若P是角α终边上一点，则sin α＝( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 依题意，点P，
则|OP|＝＝，
∴sin α＝＝.
(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值为________.
答案 或－
解析 由题意得，点P与原点间的距离
r＝＝5|m|，
所以sin α＝，cos α＝，
当m>0时，sin α＝，cos α＝－，
故2sin α＋cos α＝；
当m<0时，sin α＝－，cos α＝，
故2sin α＋cos α＝－.
角度2 三角函数值符号的判定
例4 (1)(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角，则下列各式中成立的是( )
A.tan α－sin α>0 B.sin α＋cos α>0
C.cos α－tan α>0 D.tan αsin α>0
答案 A
解析 因为α是第三象限角，
所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，
对于A，tan α－sin α>0，故A正确；
对于B，sin α＋cos α<0，故B错误；
对于C，cos α－tan α<0，故C错误；
对于D，tan αsin α<0，故D错误.
(2)(多选)(2024·衢州质检)若sin xcos x>0，sin x＋cos x>0，则可以是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案 AC
解析 因为sin xcos x>0，sin x＋cos x>0，
所以sin x>0，cos x>0，
故x是第一象限角，
由2kπ
当x为奇数时，是第三象限角，故选AC.
感悟提升 1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
训练3 (1)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 ∵点P(sin α，tan α)在第四象限，
∴sin α>0，tan α<0，
∴角α的终边在第二象限.
(2)(多选)(2024·青岛调研)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y＝4x上，则的值可能是( )
A. B.
C.－ D.－
答案 BD
解析 由题意，若角α的终边位于第一象限，
令x＝1，则y＝4，
故cos α＝＝，
sin α＝＝，tan α＝4，
则＝；
若角α的终边位于第三象限，
令x＝－1，则y＝－4，
故cos α＝－＝－，
sin α＝－＝－，tan α＝4，
则＝－.
【A级 基础巩固】
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋(k∈Z)
答案 C
解析 与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，
但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确.
2.若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案 D
解析 由>0，得>0，所以cos θ>0.
又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，
所以θ为第四象限角.
3.(2024·南通质检)已知点P(1，t)在角θ的终边上，且sin θ＝－，则cos θ的值为( )
A. B.± C.± D.
答案 A
解析 由点P(1，t)在角θ的终边上，
知sin θ＝－＝，
得t＝－，可得角θ为第四象限角，
∴cos θ＝＝.
4.在平面直角坐标系中，角α的终边过点(－1，0)，将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合，则cos β＝( )
A. B.－ C. D.－
答案 A
解析 由题意知α＝π＋2kπ，k∈Z，
∴β＝＋2kπ，k∈Z，
故cos β＝cos ＝.
5.(2024·广州调研)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，m)，B(m，4)，则cos α＝( )
A.± B. C.± D.
答案 B
解析 记O为坐标原点，由题意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三点共线，则m≠0，
所以＝，解得m＝±2，
又A，B两点位于同一象限，
所以m＝2，则A(1，2)，
所以cos α＝＝＝.
6.(多选)下列说法正确的有( )
A.角与角－π终边相同
B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为
D.67°30′化成弧度是
答案 AD
解析 角与角－π相差2π，终边相同，故A正确；
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；
若角α的终边在直线y＝－3x上，
则cos α的取值为±，故C错误；
67°30′化成弧度是，故D正确.
7.(2023·西安二模)扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1)，图2为其结构简化图.设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案 A
解析 如图，连接AB，取AB的中点为D，连接OD，
由题意可得AD＝d，∠DOA＝，OD⊥AB，
设OA＝r，在Rt△ADO中，sin ＝，①
又l＝rθ，②
所以由①②可得＝，即＝.
8.(多选)已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是( )
A. B.
C. D.
答案 AD
解析 由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，
可得sin x－cos x<0，即sin x
当k＝1时，x所在的一个区间是.
9.若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
答案 120°或－240°
解析 因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°.
10.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________.
答案 3π
解析 ∵120°＝，l＝αr，∴r＝＝＝3，
∴S＝lr＝×2π×3＝3π.
11.(2021·北京卷)若P(cos θ，sin θ)与Q，关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值为________.
答案
解析 由题意知，点P，Q都在单位圆上，且θ＋θ＋＝π＋2kπ，k∈Z，所以θ＝＋kπ，k∈Z.
12.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝______.
答案
解析 设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2.
在Rt△PBO中，PB＝rtan α，
所以△POB的面积为r·rtan α.
由题意得r2tan α＝2×αr2，
所以tan α＝2α，所以＝.
【B级 能力提升】
13.(多选)(2024·南开中学质检)已知角α是第二象限角，则下列不等式一定成立的是( )
A.sin <0 B.tan >0
C.sin >cos D.>
答案 BD
解析 由题设，2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，
故kπ＋<
当k＝2n＋1，n∈Z时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，则角的终边在第三象限右下部分(不含边界)；
所以角的终边在第一象限左上部分或第三象限右下部分(不含边界)；
故sin 符号不确定，且与cos 大小关系不确定，tan >0，>.B，D正确.
14.(2024·绵阳模拟)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新月而得名.如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分.若∠ACB＝，AB的长约为20，则该月牙泉模型的面积约为( )
A.300－50π B.120π＋150
C.100π＋180 D.120π＋180
答案 A
解析 如图，设△ABC外接圆圆心为O，半径为R，
则2R＝＝＝40，
R＝20＝AB，
因此∠AOB＝，△ABC所在弓形的面积
S＝×πR2－R2
＝×(20)2－×(20)2
＝200π－300，
从而阴影部分面积
S′＝π×(10)2－S＝300－50π.
15.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形的圆心角α＝________弧度时，这个扇形的面积最大.
答案 2
解析 由已知，得l＋2R＝40，
所以S＝lR＝(40－2R)R＝20R－R2
＝－(R－10)2＋100.
所以当R＝10(cm)时，S取得最大值，
此时l＝20(cm)，α＝2.
16.若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且
sin αcos β<0，则cos αsin β＝________.
答案 ±
解析 由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，
又由sin αcos β<0知，sin α<0，
因为角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α只能是第三象限角.
记P为角α的终边与单位圆的交点，
设P(x，y)(x<0，y<0)，
又由y＝x得x＝－，y＝－，
所以cos α＝x＝－.
因为点在单位圆上，
所以＋m2＝1，解得m＝±，
所以sin β＝±，
所以cos αsin β＝±.考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【知识梳理】
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的______旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝________
弧长公式 弧长l＝________
扇形面积公式 S＝________＝________
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与______交于点P(x，y)
定义 正弦 ________叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝________
余弦 ________叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝________
正切 ________叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝________(x≠0)
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝________；cos α＝________，tan α＝________(x≠0).
[常用结论与微点提醒]
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝.
3.象限角
4.轴线角
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
2.(必修一P176T7(2))已知α是第一象限角，那么是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或二象限角 D.第一或三象限角
3.(必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝________.
4.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________.
考点一 象限角及终边相同的角
例1 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合为
D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
(2)已知角θ在第二象限，且＝－sin ，则角在( )
A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限
C.第三象限 D.第四象限
感悟提升 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
训练1 (1)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________.
考点二 弧度制及其应用
例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0).
(1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
感悟提升 应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
训练2 (1)(2024·贵港模拟)图①是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，图②是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，扇环ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2.若＝3，则＝( )
A.3 B.4
C.6 D.8
(2)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________.
考点三 三角函数的定义及应用
角度1 三角函数的定义
例3 (1)(2024·湖北新高考协作体考试)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合.若P是角α终边上一点，则sin α＝( )
A. B.
C. D.
(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值为________.
角度2 三角函数值符号的判定
例4 (1)(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角，则下列各式中成立的是( )
A.tan α－sin α>0 B.sin α＋cos α>0
C.cos α－tan α>0 D.tan αsin α>0
(2)(多选)(2024·衢州质检)若sin xcos x>0，sin x＋cos x>0，则可以是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
感悟提升 1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
训练3 (1)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(多选)(2024·青岛调研)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y＝4x上，则的值可能是( )
A. B.
C.－ D.－(共57张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
第1节 任意角、弧度制和三角函数的概念
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
端点
正角
负角
零角
象限角
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
半径长
(2)公式
|α|r
3.任意角的三角函数
(1)定义
单位圆
y
y
x
x
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么
sin α＝____；cos α＝____，tan α＝____ (x≠0).
常用结论与微点提醒
4.轴线角
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
×
×
√
√
D
3.(必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝________.
4.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________.
12π
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 象限角及终边相同的角
AD
解析 A项显然正确；
D中，所有与45°角终边相同的角可表示为
β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°；
当k＝－1时，β＝－315°，故正确.
C
解析 ∵角θ是第二象限角，
感悟提升
C
故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.
综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.
考点二 弧度制及其应用
例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0).
(1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解 由已知，得l＋2R＝20.
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2.
感悟提升
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
D
A.3 B.4 C.6 D.8
(2)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________.
考点三 三角函数的定义及应用
D
(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值为_________.
角度2 三角函数值符号的判定
例4 (1)(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角，则下列各式中成立的是( )
A.tan α－sin α>0 B.sin α＋cos α>0
C.cos α－tan α>0 D.tan αsin α>0
A
解析 因为α是第三象限角，
所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，
对于A，tan α－sin α>0，故A正确；
对于B，sin α＋cos α<0，故B错误；
对于C，cos α－tan α<0，故C错误；
对于D，tan αsin α<0，故D错误.
AC
解析 因为sin xcos x>0，sin x＋cos x>0，
所以sin x>0，cos x>0，
故x是第一象限角，
感悟提升
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
训练3 (1)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析 ∵点P(sin α，tan α)在第四象限，
∴sin α>0，tan α<0，
∴角α的终边在第二象限.
BD
解析 由题意，若角α的终边位于第一象限，
令x＝1，则y＝4，
若角α的终边位于第三象限，
令x＝－1，则y＝－4，
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
D
又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，
所以θ为第四象限角.
A
A
解析 由题意知α＝π＋2kπ，k∈Z，
B
解析 记O为坐标原点，由题意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三点共线，
则m≠0，
又A，B两点位于同一象限，
所以m＝2，则A(1，2)，
AD
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；
7.(2023·西安二模)扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1)，图2为其结构简化图.设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为( )
A
AD
解析 由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，
可得sin x－cos x<0，即sin x
120°或－240°
解析 因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°.
10.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________.
3π
BD
A
15.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形的圆心角α＝________弧度时，这个扇形的面积最大.
2
解析 由已知，得l＋2R＝40，
所以当R＝10(cm)时，S取得最大值，
此时l＝20(cm)，α＝2.
所以角α只能是第三象限角.
记P为角α的终边与单位圆的交点，
设P(x，y)(x<0，y<0)，对点练1 任意角、弧度制和三角函数的概念
【A级 基础巩固】
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋(k∈Z)
2.若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.(2024·南通质检)已知点P(1，t)在角θ的终边上，且sin θ＝－，则cos θ的值为( )
A. B.±
C.± D.
4.在平面直角坐标系中，角α的终边过点(－1，0)，将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合，则cos β＝( )
A. B.－
C. D.－
5.(2024·广州调研)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，m)，B(m，4)，则cos α＝( )
A.± B.
C.± D.
6.(多选)下列说法正确的有( )
A.角与角－π终边相同
B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为
D.67°30′化成弧度是
7.(2023·西安二模)扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1)，图2为其结构简化图.设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
8.(多选)已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是( )
A. B.
C. D.
9.若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
10.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________.
11.(2021·北京卷)若P(cos θ，sin θ)与Q，
关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值为________.
12.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝______.
【B级 能力提升】
13.(多选)(2024·南开中学质检)已知角α是第二象限角，则下列不等式一定成立的是( )
A.sin <0
B.tan >0
C.sin >cos
D.>
14.(2024·绵阳模拟)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新月而得名.如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分.若∠ACB＝，AB的长约为20，则该月牙泉模型的面积约为( )
A.300－50π
B.120π＋150
C.100π＋180
D.120π＋180
15.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形的圆心角α＝________弧度时，这个扇形的面积最大.
16.若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且
sin αcos β<0，则cos αsin β＝________.
对点练1 任意角、弧度制和三角函数的概念
1.C [与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，
但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确.]
2.D [由>0，得>0，所以cos θ>0.
又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，
所以θ为第四象限角.]
3.A [由点P(1，t)在角θ的终边上，
知sin θ＝－＝，
得t＝－，可得角θ为第四象限角，
∴cos θ＝＝.]
4.A [由题意知α＝π＋2kπ，k∈Z，
∴β＝＋2kπ，k∈Z，故cos β＝cos ＝.]
5.B [记O为坐标原点，由题意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三点共线，则m≠0，
所以＝，解得m＝±2，
又A，B两点位于同一象限，所以m＝2，则A(1，2)，
所以cos α＝＝＝.]
6.AD [角与角－π相差2π，终边相同，故A正确；
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；
若角α的终边在直线y＝－3x上，
则cos α的取值为±，故C错误；
67°30′化成弧度是，故D正确.]
7.A [如图，连接AB，取AB的中点为D，连接OD，
由题意可得AD＝d，∠DOA＝，OD⊥AB，
设OA＝r，在Rt△ADO中，sin ＝，①
又l＝rθ，②
所以由①②可得＝，即＝.]
8.AD [由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，
可得sin x－cos x<0，即sin x
当k＝1时，x所在的一个区间是.]
9.120°或－240° [因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°.]
10.3π [∵120°＝，l＝αr，∴r＝＝＝3，
∴S＝lr＝×2π×3＝3π.]
11. [由题意知，点P，Q都在单位圆上，且θ＋θ＋＝π＋2kπ，k∈Z，所以θ＝＋kπ，k∈Z.]
12. [设扇形的半径为r，
则扇形的面积为αr2.
在Rt△PBO中，PB＝rtan α，
所以△POB的面积为r·rtan α.
由题意得r2tan α＝2×αr2，
所以tan α＝2α，所以＝.]
13.BD [由题设，2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，
故kπ＋<
当k＝2n＋1，n∈Z时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，则角的终边在第三象限右下部分(不含边界)；
所以角的终边在第一象限左上部分或第三象限右下部分(不含边界)；
故sin 符号不确定，且与cos 大小关系不确定，tan >0，>.B，D正确.]
14.A [如图，设△ABC外接圆圆心为O，半径为R，
则2R＝＝＝40，
R＝20＝AB，
因此∠AOB＝，△ABC所在弓形的面积
S＝×πR2－R2
＝×(20)2－×(20)2
＝200π－300，
从而阴影部分面积
S′＝π×(10)2－S＝300－50π.]
15.2 [由已知，得l＋2R＝40，
所以S＝lR＝(40－2R)R＝20R－R2＝－(R－10)2＋100.
所以当R＝10(cm)时，S取得最大值，
此时l＝20(cm)，α＝2.]
16.± [由角β的终边与单位圆交于点，
得cos β＝，
又由sin αcos β<0知，sin α<0，
因为角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α只能是第三象限角.
记P为角α的终边与单位圆的交点，
设P(x，y)(x<0，y<0)，
又由y＝x得x＝－，y＝－，
所以cos α＝x＝－.
因为点在单位圆上，
所以＋m2＝1，解得m＝±，
所以sin β＝±，所以cos αsin β＝±.]
