人教版八年级下册数学单元测试卷
第十九章 一次函数
（本试卷三个大题，25个小题。满分150分，考试时间120分钟。）
姓名 班级 学号 成绩
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；每个小题只有一项符合题意。）
1．如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点P(﹣3，2)，则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定
2．若常数k、b满足k＜0，b＞0，则函数y＝kx＋b的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表，则y与x之间的函数关系式可能是（ ）
A．y=3x B．y=x-4 C．y=x2-4 D．y=
4．若点与点是正比例函数图象上关于原点的对称点，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．－1
5．如右图，已知函数y＝ax－3和y＝kx的图象交于点P(2，－1)，则关于x，y的方程组的解是( )
A． B． C． D．
6．若点M(－7，m)、N(－8，n)都是函数y＝－(k2＋2k＋4)x＋1（k为常数）的图象上，则m和n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定
7．关于一次函数的图象和性质，下列结论不正确的是（ ）
A．图象与直线平行 B．图象与轴的交点坐标是
C．图象经过第一、二、四象限 D．y随自变量的增大而减小
8．对于一次函数y＝kx+b（k≠0），两个同学分别作出了描述，小刚说：y随x的增大而增大；小亮说：b＜0；则与描述相符的图象是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A(0，8)，AOB沿x轴向右平移后得到，点A的对应点 在直线上，则AOB向右平移的长度为（ ）
A． B．10
C．8 D．6
10．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
B．
C． D．
11．一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
12．将直线向上平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（ ）
A．函数的图象与轴的交点坐标是
B．函数图象经过第一、二、三象限
C．点在函数图象上
D．若，两点在该函数图象上，且，则
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．已知y与x成正比例，且x=5时，y=－2，则y与x的函数解析式为 .
14．在正比例函数 y＝（2m－1）x 中，y 随 x 增大而减小，则 m 的取值范围是 .
15．函数的自变量x的取值范围是
16．如图，一次函数的图象与的图象交于点，则方程组的解是 ．
三、解答题（本题共9个小题，共98分。）
17．（8分）已知一次函数．
(1)若该一次函数图像经过点，求该一次函数表达式；（4分）
(2)若将该一次函数图像向左平移两个单位长度后经过点，求的值．（4分）
18．（10分）如图，直线AB分别x，y轴正半轴相交于A（a，0）和B(0,b)，直线交于y轴与点E，交AB于点F
（1）当a=6，b=6时，求四边形EOAF的面积 （5分）
（2）若F为线段AB的中点，且AB=时，求证：∠BEF=∠BAO （5分）
19．（10分）如图．直线经过，
(1)求直线的解析式；（5分）
(2)直线的解析式为与直线交于点D，与x轴交于点C，求的面积．（5分）
20．（10分）某商店销售A，B两种型号的平板，销售一台A型平板可获利120元，销售一台B型平板可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的平板共100台，其中B型平板的进货量不超过A型平板的3倍．设购进A型平板x台，这100台平板的销售总利润为y元．
(1)购进A型平板至少多少台？ （5分）
(2)该商店购进A型、B型平板各多少台，才能使销售利润最大？（5分）
21．（12分）如图，正方形ABCD边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠AEH＝∠CGF；（4分）
（2）当AH＝DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形；（4分）
（3）设AH＝1，DG＝x，△FCG的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并直接写出S的最小值．（4分）
22．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点在直线上．
(1)求直线表达式； （4分）
(2)点是轴上一动点，当是直角三角形时，求点的坐标；（4分）
(3)如图2，若点，过点作轴平行线，点为直线上一动点，直线与交与点，当平分时，求点坐标． （4分）
23．（12分）规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点O顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．
(1)求出直线的“旋转垂线”的解析式； （4分）
(2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：； （4分）
(3)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，度，求点P的坐标．（4分）
24．（12分）如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接．
(1)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； （4分）
(2)求出的值； （4分）
(3)求出的面积．（4分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．
(1)求直线的解析式； （4分）
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；（4分）
(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．（4分）试卷第1页，共3页
八年级下册 数学单元测试卷 第 1 页，共 6 页
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，根据图象即可求解．
【详解】解：根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，结合图象解方程是解题的关键．
2．A
【分析】根据决定图像的增减性，决定图像与轴交点的位置综合判断即可.当时，一次函数随着的增大而减小，一次函数与轴的交点在轴正半轴，综合可得出答案.
【详解】当时，一次函数随着的增大而减小，说明一次函数与轴的交点在轴正半轴，综合可得出答案.
故选A
【点睛】本题主要考查了一次函数中对图像的影响，掌握一次函数的图像及性质是解题的关键.
3．C
【详解】选项A，y=3x，根据表格对应数据代入得出y≠3x，选项A错误；选项B,y=x-4，根据表格对应数据代入得出y≠x-4，选项B错误；选项C，y=x2-4，根据表格对应数据代入得出y=x2-4，选项C正确；选项D,y= ，根据表格对应数据代入得出y≠，选项D错误.故选C.
4．B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，列出方程组求得m、n的值后，再利用函数解析式即可求得k的值．
【详解】解：∵点A(1，m)与点 B(m n，n) 关于原点对称，
∴．
解得，．
∴．
∵点在正比例函数的图象上，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征和正比例函数、二元一次方程组的解法等知识点，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
5．A
【分析】由题意根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
【详解】解：函数y=ax-3和y=kx的图象交于点P（2，-1），
则关于x，y的二元一次方程组
的解是.
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想进行分析．
6．B
【分析】因， 所以，即可得y随x的增大而减小，又因-7＞-8，所以m＜n，故选B.
【详解】请在此输入详解！
7．B
【分析】根据一次函数的相关性质即可进行判断．
【详解】解：A：当系数k相等时，一次函数表示的两条直线平行，故A不符合题意；
B：令，解得．故图象与 x 轴的交点坐标是，故B符合题意；
C：∵，∴图象经过第一、二、四象限，故C不符合题意；
D：∵，∴y随自变量 x 的增大而减小，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的相关性质．掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．A
【详解】根据甲的说法y随x的增大而增大可知一次函数的图象过一、三象限，故C、D不符合，根据乙说：b<0，可知一次函数与y轴交于负半轴，故B不符合，故只有A符合；故选A.
点睛：本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数y=kx+b（k, b为常数，k≠0）时：
当 k>0时，此函数的图象必过一，三象限；当 k<0时，此函数的图象经必过二，四象限；
当b>0时，直线必过一、二象限；当b<0时，直线必过三、四象限，能熟练地掌握和运用这些知识是解题的关键.
9．B
【分析】根据平移的性质知OO′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即可得OO′的长度，进而可得O′的坐标，然后再利用两点之间的距离公式计算即可．
【详解】解：如图，连接AA′．
∵点A的坐标为（0，8），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，
∴点A′的纵坐标是8；
又∵点A的对应点在直线上一点，
∴=8，则x=10，
∴A`的坐标为（10，8），可知△AOB向右平移了10个单位长度，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的坐标特点，以及坐标与图形的变化--平移，掌握相关性质是解题的关键．
10．D
【分析】首先把点代入，即可求得点A的坐标，再根据两函数的图象，即可求解．
【详解】解：函数过点，
，
解得：，
，
由两函数的图象可知，
当时，，即．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，利用两函数图象的交点，求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
11．B
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据两直线交点的横纵坐标即为两直线解析式组成的二元一次方程组的解进行求解即可．
【详解】解：由函数图象可知，一次函数和的图象交于点，
∴方程组的解是，
故选：B．
12．B
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质．利用一次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”，得出新函数解析式，然后由一次函数的性质进行分析．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
【详解】解：将直线向上平移3个单位长度后得到直线，
A、函数的图象与轴的交点坐标是，原说法错误，不符合题意；
B、函数图象经过第一、二、三象限，正确，符合题意；
C、当时，，所以点不在函数图象上，原说法错误，不符合题意；
D、直线，随的增大而增大，若，则，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
13．y=-x
【详解】试题分析：设函数解析式为：y=kx，将x=5，y=-2代入可得：5k=-2，解得：k=-，则函数解析式为：y=-x.
考点：待定系数法求函数解析式
14．
【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出m的取值范围．
【详解】解：∵函数y=（2m-1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，
∴2m-1＜0，
解得
故答案为
【点睛】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
15．且
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂底数不为0，列式计算即可得解．
【详解】解：依题意有且且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
16．
【分析】
本题考查函数解析式与图象的关系，解题的关键是满足函数解析式的点在函数图象上，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程的解，即可求解．
【详解】∵一次函数的图象与的图象交于点，
∴方程组的解为：，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的平移;
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据平移的性质得出，将点代入，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，得：
解得：，
∴；
（2）解：依题意，平移后的解析式为，
当时，，
解得：．
18．（1）15；（2）见解析.
【分析】（1）小题先求出直线AB的解析式，再求出与直线EF的交点F的坐标（2，4），利用面积公式计算即可；
（2）小题利用三角形的中位线性质和勾股定理求出a b的值，连接AE，证出AE=BE，进而得到EF⊥AB，利用角之间的关系即可出答案．
【详解】解：（1）
当x=0时，y=3，
∴E（0，3），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（6，0），B（0，6）代入y=kx+b得，
解得
∴直线AB的函数关系式是y=-x+6
直线和直线AB交于点F，方程组的解是
∴F（2，4），
S四边形EOAF=S△OAB-S△EFB
所以四边形EOAF的面积是15．
（2）∵F为线段AB的中点，由三角形中位线定理得，
又∵F在直线EF：上，
a=2b-12 ①
又，
，
∴（2b-12）2+b2=80，
整理得：5b2-48b+64=0，
解得，
当时，a＜0，不合题意，∴（舍去），
当b=8时，a=4
∴A（4，0）B（0，8），
∴OE=3，BE=5
连接EA，在RT△OAE中，OE=3，OA=4，
∴EA=5
∴EA=BE=5
∴△BEA是等腰三角形，
又∵F为线段AB的中点
∴EF⊥AB，
∴∠BEF=90°-∠EBF，
∠BAO=90°-∠OBA，
∵∠EBF=∠OBA
∴∠BEF=∠BAO．
【点睛】解本题的关键是能灵活运用一次函数的性质，能根据点的坐标求解析式，或利用解析式求特殊点的坐标，进一步求出线段长，再根据求出条件证明几何问题.
19．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键．
（1）设直线解析式为，由于直线经过，，将两点坐标代入即可求解；
（2）联立直线与直线的解析式，求出点坐标，再根据直线的解析式求出点坐标，利用三角形面积公式即可求解；
【详解】（1）设直线解析式为，由于直线经过，
解得：，
所以的解析式为：
（2） 直线的解析式为与直线交于点D，
联立：，
解得
令得，
．
20．(1)购进A型平板至少25台
(2)该商店购进A型平板25台、B型平板75台，销售利润最大
【分析】（1）根据B型平板的进货量不超过A型平板的3倍列出不等式，求解即可；
（2）先求出y与x的函数解析式，然后再根据x的取值范围和函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）解：设购进A型平板x台，则购进B型平板台，根据题意得：
，
解得：，
答：购进A型平板至少25台．
（2）解：该商店获得的利润为：
，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，获利最大，（台），
答：该商店购进A型平板25台、B型平板75台，销售利润最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用和不等式的应用，根据题目中的不等关系列出不等式，是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），x=时，S最小值为．
【分析】（1）连接EG，根据两直线平行，内错角相等，可证∠AEG=∠CGE，∠HEG=∠FGE，即可证出结论；
（2）易证Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），得∠AHE=∠DGH，由∠DHG+∠DGH=90°，从而∠DHG+∠AHE=90°，则∠GHE=90°，故菱形EFGH是正方形；
（3）过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，易证△AHE≌△GFM（AAS），得AH=MF=1，可表示出S，再求出x的最大值，即可解决问题．
【详解】证明：（1）连接EG，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠CGE，
∵EH∥FG，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEG-∠HEG=∠CGE-∠FGE，
即∠AEH=∠CGF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH=GH，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE=∠DGH，
∵∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH是正方形；
（3）过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，则∠A=∠M=90°，
在△AHE和△GFM中，
，
∴△AHE≌△GFM（AAS），
∴AH=MF=1，
∵CD=3，DG=x，
∴CG=3-x，
∵12+AE2=22+DG2，
当AE最大为AB=3时，DG最大为，
∴S=CG×MF=（3-x）×1= x，
∴S= x，
∴x=时，S最小为．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、函数与几何图形，解题的关键是认真分析图形，寻找相关联信息，利用熟知的知识点，借助辅助线，进而推理、探究和计算．
22．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是明确题意，合理分类讨论求解是解题的关键．
（1）根据非负数的性质求出a，b，然后根据待定系数法求直线表达式即可；
（2）分，两种情况讨论即可；
（3）分点Q在点D的右上方；点Q和D重合；点Q在点D的左下方讨论即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得，
∴，，
设直线表达式为，
则，
解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
设，
当时，轴，
∴C的坐标为，
当时，
则，
解，
解，
∴C的坐标为，
综上，当C的坐标为或时，是直角三角形；
（3）解： 如图，当点Q在点D的右上方时，
此时，
故不符合题意，舍去；
当Q和D重合时，N也与D重合，故不符合题意，舍去；
如图，当点Q在点D的左上方时，过点M作于E，于F，
∵平分，
∴，
又，
∴，
设，
则，
解得，
∴或，
当时，
设表达式为，
则，
解得，
∴表达式为，
联立方程组，
解得，
∴的坐标为
同理：当时，Q的坐标为
综上，当的坐标为或时，平分．
23．(1)直线的“旋转垂线”的解析式是：
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点，再求出这两个交点绕原点顺时针旋转后的点，再用待定系数法求出直线的“旋转垂线”的解析式即可；
（2）分别求出直线和直线与坐标轴的交点，再利“直线绕原点O顺时针旋转得到的直线”得到这些交点横纵坐标的相等关系，从而得解；
（3）作交的延长线于点C，作，作于D，先证明，从而证明，继而推导点C的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，最后用两直线求交点的方法求出点P的坐标．
【详解】（1）解：如图1，
由得：，，
∴点A绕点O顺时针旋转90°后对应的点是，
点B绕点O顺时针旋转90°后对应的点是，
设的解析式为：，
将点，代入得：
解得：，
∴的解析式为：，
即直线的“旋转垂线”的解析式是：；
（2）证明：如图2，设直线与轴、轴分别交于点，直线与轴、轴分别交于点，
对于直线
当时，，
∴
当时，，
解得：，
∴
同理可得：， ，
依题意得：点绕点O顺时针旋转90°后对应的点是，
点绕点O顺时针旋转90°后对应的点是，
∴
由得：
两边同时除以并整理得：；
（3）解：如图3，作交的延长线于点C，作，作于D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
将代入得：
解得
∴直线的解析式为：，
直线与直线的解析式联立得：
，
解得
∴
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，一次函数图像与坐标轴的交点等知识，利用与坐标轴的交点解决旋转问题是解题的关键．第二问中直线与坐标轴的交点无论在原点的哪个方向，它旋转后用字母表示的结果不变．更一般地，直角坐标系内任意一点绕原点旋转顺时针之后的点是，因此可以不对进行讨论．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点的坐标和函数的图象即可求出不等式的解集；
（2）把点的坐标代入两个一次函数的解析式，即可求出、的值；
（3）根据两个一次函数的解析式求出，的坐标，再由的面积的面积的面积即可求得结论．
本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与一元一次不等式，三角形的面积等知识点，能求出点的纵坐标是解此题的关键．
【详解】（1）解：依题意， ，
；
（2）解：直线经过，，
．
直线经过，，
，
；
（3）解：由（2）得直线的解析式为，
令，则，
，
令，则，
，
，
的面积的面积的面积．
25．(1)直线AP的解析式为
(2)
(3)Q的坐标为或或，理由见解析
【分析】（1）由非负数的性质求出，得到，由待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）过作交x轴于D，连接，由三角形面积关系得到，进而得到，待定系数法求出直线的解析式，即可得到点M的坐标；
（3）设，分三种情况分别求解点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：∵，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为；
（2）过作交x轴于D，连接，
∵，的面积等于6，
∴的面积等于6，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴；
（3）Q的坐标为或或．
理由如下：
设，
①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图，
∴，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，如图，
∴，，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图，
∴，，
同②可证，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上，Q的坐标为或或．
【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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