2024年初中毕业生学业模拟考试（二）
数学科试题
全卷满分120分 完成时间100分钟
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．
1. 如果与互为相反数，那么的值是（ ）
A. B. C. D. 2024
2. 若代数式 的值为7，则等于（ ）
A. 4 B. C. 10 D.
3. 年3月日8时分，我国在海南文昌发射场成功发射鹊桥二号中继卫星．鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭成功发射升空，飞行分钟后，星箭分离，中继星直接进入了近地点高度公里、远地点高度公里的预定地月转移轨道中．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，是由个完全相同的小正方体组成的几何体，其主视图为（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
7. 一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，分别落在直线，上，若直线，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 为了贯彻“双减”政策，落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程．小东、小亮两名同学分别从“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”4门课程中随机选择一门学习，则小东、小亮两人选择同一门课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形菱形时，则值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，与x轴负半轴相切于点B，交y轴于点，则点A的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
12. 如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 因式分解：ax﹣ay=_____．
14. 已知反比例函数的图象经过，两点，则______（填“”“”或“”） ．
15. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为边的中点．若，则菱形的周长为______．
16. 如图，正方形的边长为，的边，分别与边相交于点，，若的面积为，则_____，的值为_____．
三、解答题（本题满分72分）
17 计算：
（1）；
（2）．
18. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨
19. 年3月日是第届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：分）制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图．
请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查采取的调查方式是 ______（填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）该校抽取的学生一共有______人，其中得分的学生有______人；
（3）在这次抽取的学生中，成绩的中位数是______分；
（4）根据比赛规则，分及以上（含分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数约有______人．
20. 如图，数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度．塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角．
（1）填空：______°， ______°；
（2）求点B到距离；
（3）求塔顶到地面的高度．（结果保留根号）
21. 如图1，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，过点在的右侧作，且，连接、．
（1）求证：；
（2）当时，求的长；
（3）如图2，若三点共线，求点到直线的距离；
（4）直接写出线段的最小值．
22. 如图1，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，点在第一象限的抛物线上．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为时，求的面积；
（3）如图2，若G为x轴正半轴上一点，且，连接，当时，求出点P的横坐标；
（4）如图3，过点P作的平行线与交于点E，与x轴交于点Q，若，求出点P的坐标．2024年初中毕业生学业模拟考试（二）
数学科试题
全卷满分120分 完成时间100分钟
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．
1. 如果与互为相反数，那么的值是（ ）
A. B. C. D. 2024
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反数的应用，根据相反数的定义：相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，即可得到答案，掌握相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴的值是，
故选：D．
2. 若代数式 的值为7，则等于（ ）
A. 4 B. C. 10 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了已知代数式的值，求字母的值，因为的值为7，得，解得的值即可作答．
【详解】解：依题意，
∴
故选：A
3. 年3月日8时分，我国在海南文昌发射场成功发射鹊桥二号中继卫星．鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭成功发射升空，飞行分钟后，星箭分离，中继星直接进入了近地点高度公里、远地点高度公里的预定地月转移轨道中．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：C．
4. 如图，是由个完全相同的小正方体组成的几何体，其主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图形有3列，数量分别为2、1、2，据此即可得到答案．
【详解】解：由几何体可知，其主视图为，
故选：A．
5. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
故选：A．
6. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法，检验根是否符合题意是解题的关键．
根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的方法解分式方程即可．
【详解】解：
去分母得，，
移项，合并同类项得，，
检验，当时，原分式方程中的分母不为零，
∴原分式方程解为，
故选：D ．
7. 一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，分别落在直线，上，若直线，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
过点B作，则，根据平行线的性质得出，进而可得出，最后代入数据计算即可．
【详解】解：如图：过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8. 为了贯彻“双减”政策，落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程．小东、小亮两名同学分别从“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”4门课程中随机选择一门学习，则小东、小亮两人选择同一门课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”这四种课程分别为、、、．
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小东、小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、，
小东、小亮两人选择同一门课程的概率是．
故选：D．
9. 如图，在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平移的性质、菱形性质，由平移性质可知，再由菱形四边相等可得，数形结合表示出从而得到答案，熟记平移的性质、菱形性质是解决问题的关键．
【详解】解：在平行四边形中，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，
，
四边形为菱形，
，
，
，
故选：B．
10. 在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案．
【详解】解：在中，∵，，
，
由作图可知为的中垂线，
，
，
，
故选：B．
11. 如图，与x轴负半轴相切于点B，交y轴于点，则点A的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握切线的性质，垂径定理与勾股定理的运用是解题的关键．
过点A作与点E，连接，设圆的半径为r，根据垂径定理可得，在直角三角形中，根据勾股定理可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作与点，连接，，
∵与x轴切于点B，设圆的半径为，
∴，且，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
12. 如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象．当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3．
，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，
．
则，代入，得，
解得或3，
因为，即，
所以，．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 因式分解：ax﹣ay=_____．
【答案】a（x-y）.
【解析】
【详解】试题分析：直接提公因式分解因式即可.ax-ay= a（x-y）.
考点：分解因式.
14. 已知反比例函数的图象经过，两点，则______（填“”“”或“”） ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据反比例函数的性质比较函数值的大小．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
由，可知，在第一或第三象限，随着的增大而减小，然后比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，在第一或第三象限，随着的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：>．
15. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为边的中点．若，则菱形的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查中位线，菱形的性质．熟练掌握中位线，菱形的性质是解题的关键．
由菱形，E为边的中点，可得，根据菱形的周长为，求解作答即可．
【详解】解：∵菱形，
∴为的中点，
又∵E为边的中点，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为：．
16. 如图，正方形的边长为，的边，分别与边相交于点，，若的面积为，则_____，的值为_____．
【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，过点作于，交于，由正方形的性质可求，，由面积的和差关系可求，，即可求，由相似三角形的判定和性质可求解，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】如图，过点作于，交于，
在正方形中，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵正方形的边长为，
∴正方形的面积，
∴
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；．
三、解答题（本题满分72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简乘方、零次幂、负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）先化简单项式乘多项式以及运用完全平方公式展开，再合并同类项，即可作答．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨
【答案】每台A型机器人每天搬运货物吨，每台B型机器人每天搬运货物吨
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出正确的数量关系是解题的关键．
根据题意列出方程组，最后求解即可．
【详解】解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，则，
解得，
答：每台A型机器人每天搬运货物吨，每台B型机器人每天搬运货物吨．
19. 年3月日是第届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：分）制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图．
请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查采取的调查方式是 ______（填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）该校抽取的学生一共有______人，其中得分的学生有______人；
（3）在这次抽取的学生中，成绩的中位数是______分；
（4）根据比赛规则，分及以上（含分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数约有______人．
【答案】（1）抽样调查
（2）、
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据抽样调查的定义进行判断即可；
（2）由题意知，该校抽取的学生一共有人，其中得分的学生有，计算求解即可；
（3）根据中位数的定义进行作答即可；
（4）根据，求解作答即可．
【小问1详解】
解：由题意知，本次调查采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
【小问2详解】
解：由题意知，该校抽取的学生一共有人，其中得分的学生有人，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：由题意知，中位数为第，位数的平均数为，
故答案为：；
【小问4详解】
解：由题意知，估计全校名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数约有人，
故答案：．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，抽样调查，中位数，用样本估计总体等知识．从统计图中获取正确的信息是解题的关键．
20. 如图，数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度．塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角．
（1）填空：______°， ______°；
（2）求点B到的距离；
（3）求塔顶到地面的高度．（结果保留根号）
【答案】（1），
（2）点B到的距离为米
（3）塔顶到地面的高度为米
【解析】
【分析】（1）如图1，延长交于，由题意知，，由三角形内角和定理求，即可；
（2）如图1，作于，则点B到的距离为，设，由坡度，可得，由勾股定理得，，可求，进而可得点B到的距离；
（3）证明四边形是矩形，则，由（2）可知，，设，则，，，由，可得，可求，进而可求．
【小问1详解】
解：如图1，延长交于，
由题意知，，
∴，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：如图1，作于，则点B到的距离为，
设，
∵台阶坡面的坡度，
∴，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
∴点B到的距离为米；
【小问3详解】
解：∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由（2）可知，，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴塔顶到地面的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，点到直线的距离，矩形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
21. 如图1，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，过点在的右侧作，且，连接、．
（1）求证：；
（2）当时，求长；
（3）如图2，若三点共线，求点到直线的距离；
（4）直接写出线段的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质得到边以及角之间的关系，再由两个三角形全等的判定定理即可得到答案；
（2）连接，如图所示，利用勾股定理得到、长度，再由（1）中三角形全等性质即可得到答案；
（3）过点作交的延长线于点，如图所示，根据已知条件得到相关线段长，由三角形相似的判定与性质，由比例式代值求解即可得到答案；
（4）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，如图所示，利用动点最值问题-点圆模型的解法，结合勾股定理求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：连接，如图所示：
∵，是边的中点，
∴，
在中，则，
在中，，则，
由（1）中可知；
【小问3详解】
解：过点作交的延长线于点，如图所示：
由（2）知，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴点F到直线的距离为；
【小问4详解】
解：线段的最小值为，
连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵，，
∵点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，
∴，
∴，
∴线段的最小值为．
【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形性质、两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质、动点最值问题-点圆模型求最值等知识，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质、动点最值问题-点圆模型求最值的解法是解决问题的关键．
22. 如图1，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，点在第一象限的抛物线上．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为时，求的面积；
（3）如图2，若G为x轴正半轴上一点，且，连接，当时，求出点P的横坐标；
（4）如图3，过点P作的平行线与交于点E，与x轴交于点Q，若，求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）3 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法解二次函数的解析式，即可作答．
（2）先求出，得出，，，根据面积的割补法进行列式代数计算，即可作答．
（3）先证明，再结合和得出的解析式为，运用公式法解出P的横坐标为．
（4）同理算出直线的解析式为，依题意设，其中，得出，结合，证明，得出，同理算出直线的解析式为，依题意联立，解出，即可作答．
【小问1详解】
解：将和分别代入中，
得，解得，
∴该抛物线的函数表达式为.
【小问2详解】
解：如图，过点P作轴于H.
由，解得，，
∴，
∵），
∴，
，
，
∴.
【小问3详解】
解：如图，过点C作于交的延长线于M，再过点M作轴于K.
在中，，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，，
∴；
设的解析式为
由和
得
解得
直线的解析式为，
由，
解得，（舍去），
∴P的横坐标为.
【小问4详解】
解：如图，过点P作轴交直线于点N，
设直线的解析式为，
代入点，，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，其中，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，
得，
解得，
故直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，
把代入，
得，
直线的解析式为，
时，，
∵，
∴
解得（舍去），
把代入
得
∴
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，涉及线段问题、面积问题、求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的图象性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
