2023～2024学年度下学期二轮复习验收
九年级数学试题
2024.05
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置，答案全部填涂在答题卡上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的（）
A. -6 B. 6 C. 0 D. 无法确定
2. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 计算的结果是（ ）
A B. C. D.
4. 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
5. 函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
7. 如图，在正方形纸片上进行如下操作：
第一步：剪去长方形纸条；
第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条．
若长方形纸条和的面积相等，则的长度为（）
A. B. C. D.
8. 如图，有公共顶点O两个边长为4的正五边形（不重叠），以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图案（阴影部分），则这个“蘑菇”形图案的面积为（）
A. B. C. D.
9. 如图，在△ABC中，，点D是边上一点，点B关于直线的对称点为，当时，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ②④ D. ③④
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 写一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根：__________（写出一个即可）
12. 现将4种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取两张，则抽出的生活现象都是化学变化的概率是______
13. 已知，，则_____．
14. 如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将绕着点A顺时针旋转得到，则点B的对应点D的坐标是____________．
15. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则长是______．
16. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：
第组：，；
第组：，，，；
第组：，，，，，；
第组：，，，，，，，；
现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是_____．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
18. 2024年4月25日神舟十八号载人飞船发射成功．为增强学生的爱国主义情怀，普及航天知识，弘扬航天精神，某校组织学生观看了相关报道，并开展了“格物致知，叩问苍穹”知识竞赛，现随机抽取了八年级若干名学生的竞赛成绩（百分制），整理并绘制了如下的统计图表：
学生成绩频数分布表
分组/分 频数 频率
组 4 0.08
组 0.20
组 12 0.24
组 14
组 10 0.20
合计 1.00
学生成绩频数分布直方图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在频数分布表中______，______，______，并补全频数分布直方图；
（2）求所抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数；
（3）若该校八年级有200名学生，成绩在80分及以上的学生可获奖，估计此次知识竞赛八年级获奖学生有多少人？
19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书．已知购买1本甲种书和2本乙种书共需元；购买2本甲种书和3本乙种书共需元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买甲，乙两种书共本，且购书总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
20. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上．
（1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若，，求菱形的面积．
21. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“Ε”形图都是正方形结构，同一行“Ε”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“Ε”形图边长，在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳与的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
22. 如图，的直径，为延长线上一点，与相切于点，过点作弦，连接．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，求四边形的面积．
23. 今年五一前后，临沂灯光秀火爆“出圈”，动感炫酷的沂河灯光秀震撼了无数网友．如图，是沂河河畔某楼宇建筑上的矩形电子屏中某光点的运动轨迹示意图，光点从屏边缘点处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到底部的竖直高度记为，光点运行的水平距离记为，测得如下数据：
水平距离
竖直高度
（1）观察表格，直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如图，电子屏一边，中间位置为一挡板，挡板高为，当光点既能跨过挡板，又能击中底部边缘时，挡板就会发光．如果只改变光点的初始高度的大小，不改变运行轨迹形状，为了使挡板发光，请求出的取值范围．（说明：电子屏足够高）
24. 综合与实践
【提出问题】
在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，正方形中，点是射线上的一个动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．求证：．
（1）如图1，当点在边上时，小明的证明思路如下：
在上截取，连接．
则易得，，______．
．．
补全小明证明思路，横线处应填______．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．求证：；
【拓展应用】
（3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，请求出线段的长．2023～2024学年度下学期二轮复习验收
九年级数学试题
2024.05
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置，答案全部填涂在答题卡上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的（）
A. -6 B. 6 C. 0 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
－6的相反数是6，A点表示－6，所以B点表示6.
故答案为：B.
【点睛】考点：相反数的定义
2. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握它们的概念，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；一个平面图形，绕一点旋转后，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对选项逐个判断即可．
解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】本题考查了整式的除法，先算乘方，再算除法即可，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
解：
，
故选：C．
4. 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，根据平行线的性质可得，根据垂直的定义得，最后由角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵直线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
5. 函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数y＝可得出x－5≥0，再解出一元一次不等式即可.
由题意得，x－5≥0，
解得x≥5．
在数轴上表示如下：
故选B．
【点睛】本题要考查的是一元一次不等式的解法以及二次根式成立得出判定，熟练掌握一元一次不等式的解法是本题的解题关键.
6. 九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数、方差的意义．
根据众数的实际意义求解即可．
解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数，
故选：B．
7. 如图，在正方形纸片上进行如下操作：
第一步：剪去长方形纸条；
第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条．
若长方形纸条和的面积相等，则的长度为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质和矩形的性质．设正方形的边长为，则根据题意得到数据：，，结合矩形的面积公式和已知条件“长方形纸条和的面积相等”列出方程并解答．
解：设正方形的边长为，
由题意，得．
解得．
故选：A．
8. 如图，有公共顶点O的两个边长为4的正五边形（不重叠），以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图案（阴影部分），则这个“蘑菇”形图案的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正五边形的性质可得，从而得到，进而得到的长，再由扇形的面积公式计算，即可求解．
解：如图，
根据题意得：，
∴．
∴的长．
∴这个“蘑菇”形图案的面积，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，，点D是边上一点，点B关于直线的对称点为，当时，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质得到，再利用平行线的性质得，接着根据轴对称的性质得到，则可出的度数，然后利用三角形内角和计算出的度数．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点B关于直线的对称点为，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．
10. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．结合函数图象逐个分析即可．
由函数图象可得：
当时，或；故①错误；
当时，有最小值；故②正确；
点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误；
将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确；
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 写一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根：__________（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系．根据一元二次方程有两个相等的实数根可知其判别式为0，继而即可求解．
解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴符合题意的一元二次方程可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 现将4种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取两张，则抽出的生活现象都是化学变化的概率是______
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，得出所有的情况数量，确定都是化学变化的是B，D组合，有2种情况，根据概率公式，即可求解，
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
解：设这四个卡片从左到右分别记为：A，B，C，D， 画树状图得：
∴一共有12种情况，都是化学变化的是B，D组合，有2种情况，
∴抽取的两张卡片上的生活现象都是化学变化的概率是，
故答案为：．
13. 已知，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由，，得，代入即可求解，掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键．
解：∵，，
∴
，
，
∴，
故答案为：．
14. 如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将绕着点A顺时针旋转得到，则点B的对应点D的坐标是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质等知识点，先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为，A点坐标为，则，再根据旋转的性质得，，，，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
当时，，则B点坐标为；
当时，，解得，则A点坐标为，
∴，
∵绕点A顺时针旋转后得到，
∴，，，，
∴轴，轴，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则长是______．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质推出 ，，，，判定是等边三角形，推出是中点，由三角形中位线定理推出，由，求出，最后根据三角函数得．
解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是中点，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
16. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：
第组：，；
第组：，，，；
第组：，，，，，；
第组：，，，，，，，；
现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含的代数式表示出第组最后一个数，判断出第组最后一个奇数，进而可得答案，找到数字类规律是解题的关键．
依题意得：第组中奇数的个数有个，
∴第组最后一个奇数为：，
∴当时，第组最后一个奇数为：，
当时，第组从左往右奇数依次是为：，，，，，，
则表示的数是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值，分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）计算出各项，再加减，即可解答；
（2）先去分母，再按照解方程的步骤，注意检验，即可解答．
】解：（1），
，
；
解：（2）
，
，
，
经检验，是原方程的解．
18. 2024年4月25日神舟十八号载人飞船发射成功．为增强学生的爱国主义情怀，普及航天知识，弘扬航天精神，某校组织学生观看了相关报道，并开展了“格物致知，叩问苍穹”知识竞赛，现随机抽取了八年级若干名学生的竞赛成绩（百分制），整理并绘制了如下的统计图表：
学生成绩频数分布表
分组/分 频数 频率
组 4 0.08
组 0.20
组 12 0.24
组 14
组 10 0.20
合计 1.00
学生成绩频数分布直方图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在频数分布表中______，______，______，并补全频数分布直方图；
（2）求所抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数；
（3）若该校八年级有200名学生，成绩在80分及以上的学生可获奖，估计此次知识竞赛八年级获奖学生有多少人？
【答案】（1）10；50，0.28；补全直方图见解析
（2）所抽取的所有学生成绩的平均数78.2分
（3）估计此次知识竞赛八年级获奖学生有96人．
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案．
（1）利用4除以0.08即可求出，利用14除以50即可求出的值，利用50乘以0.20即可求出的值，根据的值即可补全频数分布直方图；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）用20除以80分及以上的学生所占的百分比即可．
【小问1】
解：，
，，
补全频数分布直方图如图：
故答案为：10；50，0.28；
【小问2】
解：（分，
答：所抽取的所有学生成绩的平均数78.2分；
【小问3】
解：（人，
答：估计此次知识竞赛八年级获奖学生有96人．
19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书．已知购买1本甲种书和2本乙种书共需元；购买2本甲种书和3本乙种书共需元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买甲，乙两种书共本，且购书总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）甲种书的单价是元，乙种书的单价是元
（2）该校最多可以购买甲种书本
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设甲种书的单价是元，乙种书的单价是y元，根据“购买1本甲种书和2本乙种书共需元；购买2本甲种书和3本乙种书共需元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【小问1】
解：（1）设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元．
根据题意，得，
解得，
甲种书的单价是元，乙种书的单价是元；
【小问2】
设该校购买甲种书本，则购买乙种书本．
根据题意，得，
解得，
该校最多可以购买甲种书本．
20. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上．
（1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】此题考查了基本作图和菱形的性质，正确作图是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线，交于点B，以点A为圆心，以为半径画弧，交线段的垂直平分线于点D，连接，即可得到所求菱形；
（2）设与相交于点O，利用特殊角的三角函数和菱形的性质求出，则，即可得到菱形的面积为．
【小问1】
解：如图所示，四边形即为所求菱形，
【小问2】
设与相交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
21. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“Ε”形图都是正方形结构，同一行的“Ε”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“Ε”形图边长，在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳与的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
【答案】探究1：；探究2：
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将代入得：；
探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得．
解：探究
由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究
，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
．
22. 如图，的直径，为延长线上一点，与相切于点，过点作弦，连接．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据垂径定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和得到，推出四边形是平行四边形，于是得到结论．
【小问1】
（1）证明：连接，
与相切于点，
，
度，
，
度，
，
点为的中点．
【小问2】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形的面积．
23. 今年五一前后，临沂灯光秀火爆“出圈”，动感炫酷的沂河灯光秀震撼了无数网友．如图，是沂河河畔某楼宇建筑上的矩形电子屏中某光点的运动轨迹示意图，光点从屏边缘点处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到底部的竖直高度记为，光点运行的水平距离记为，测得如下数据：
水平距离
竖直高度
（1）观察表格，直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如图，电子屏一边，中间位置为一挡板，挡板高为，当光点既能跨过挡板，又能击中底部边缘时，挡板就会发光．如果只改变光点的初始高度的大小，不改变运行轨迹形状，为了使挡板发光，请求出的取值范围．（说明：电子屏足够高）
【答案】（1）；
（2）抛物线解析式为；
（3）的取值范围为．
【解析】
【分析】（）根据二次函数图象的对称性可得对称轴以及抛物线的顶点坐标；
（）待定系数法求解析式即可求解；
（）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，，当时，，代入分别求出抛物线的解析式，即可求解；
本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
【小问1】
观察表格数据，可知当 和 时，函数值相等，
∴对称轴为直线 ，
∴抛物线的顶点坐标为；
【小问2】
设抛物线解析式为，
将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问3】
当光点恰好经过点时，设抛物线的解析式为，
此时，
当时，，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴初始高度，
当光点恰好经过点时，设抛物线的解析式为，此时，
同理可得：当时，，
∴抛物线的解析式为 ，
∴初始高度，
∴的取值范围为．
24. 综合与实践
【提出问题】
在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，正方形中，点是射线上的一个动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．求证：．
（1）如图1，当点在边上时，小明的证明思路如下：
在上截取，连接．
则易得，，______．
．．
补全小明的证明思路，横线处应填______．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．求证：；
【拓展应用】
（3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，请求出线段的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）3或7
【解析】
【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）利用等角的余角相等求得；
（2）在上截取，连接，同理，即可求解；
（3）分当在线段上和当在延长线上时两种情况讨论，利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质即可求解．
解：（1）在上截取，连接．
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，，
．
．
．
故答案为：；
（2）证明：在上截取，连接．
则，
是等腰直角三角形，
，则，，，
，
；
（3），则是等腰直角三角形，
，
，
，
；
当在线段上时，
，即，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当在延长线上时，延长，使，连接，
则是等腰直角三角形，
，，，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
综上，线段的长为3或7．
