安徽省2024年中考数学模拟测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．－2 C．1 D．0.5
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为4456万人.这个数据可以用科学记数法表示为（ ）.
A．4.456×107人 B．4.456×106人
C．4456×104人 D．4.456×103人
4．（4分）如图是一个由两个小正方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）一元二次方程x2+3x-3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．（4分）下列说法正确的有（ ）
①同位角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③相等的角是对顶角；④三角形两边长分别为3，5，则第三边c的范围是 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（4分）在某学校“国学经典诵读”比赛中，有11名同学参加某项比赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这11名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝12，AB＝5.分别以A，C为圆心，以大于线段AC长度的一半为半径作弧，两弧相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AC于点D，连结BD，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．25
9．（4分）二次函数 的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=
C．当x< ，y随x的增大而减小 D．当 -1 < x < 2时，y>0
10．（4分）如图，△ABC中，AB=10，BC=12，AC= ，则△ABC的面积是（ ）.
A．36 B． C．60 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算：＝ .
12．（5分）分解因式：16﹣4x2= .
13．（5分）如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将 沿PF折叠，使点C落在点E处.若 ，当点E到点A的距离最大时， .
14．（5分）若抛物线 是抛物线 向上平移 个单位，再向右平移 个单位得到，则 的函数关系式为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式，解不等式（组）．
（1）（4分）求不等式 的正整数解．
（2）（4分） ．
16．（8分）化简：
17．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．
（1）（4分）画出△A1B1C，；
（2）（4分）求在旋转过程中，CA所扫过的面积．
18．（8分）如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度.（结果精确到0.1m，参考数据： ≈1.41， ＝1.73）
四、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，一次函数的图象经过点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）（5分）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）（5分）当时，求反比例函数的取值范围．
20．（10分）如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，使．
（1）（5分）求证：是的切线；
（2）（5分）若，求的长．
五、题目(共3题；共38分)
21．（12分）某学生组织全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动，八年级一班同学统计了该天本班学生打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并做了如下直方图和扇形统计图．请根据该班同学所作的两个图形解答：
（1）八年级一班有多少名学生？
（2）求去敬老院服务的学生人数，并补全直方图的空缺部分．
（3）若八年级有800名学生，估计该年级去敬老院的人数．
22．（12分）已知：如图，AB⊥CD于点O，∠1=∠2，OE平分∠BOF，∠EOB=55°，求∠DOG的度数．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4.
（1）（3分）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）（5分）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）（6分）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|为最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵-2<0<0.5<1，
∴最小的数为-2，
故答案为：B.
【分析】利用有理数比较大小的方法分析求解即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项正确.
故答案为：D.
【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方运算对各选项进行判断.
3．【答案】A
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
将4456万用科学记数法表示为4456万=4.456×107．
故选：A．
4．【答案】C
【解析】【解答】从左看共有两层，下面一层是一个小正方形，上面一层是一个三角形，得到选项C是它的左视平面图形；符合题意答案选C.
【分析】根据左视图的定义选择符合题意选项即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝－3，
∴b2－4ac＝9－4×1×(－3)＝21＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】把a＝1，b＝3，c＝－3代入b2－4ac，然后计算b2－4ac，最后根据计算结果判断方程根的情况.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：①同位角相等，错误；
②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；
③相等的角是对顶角，错误；
④三角形两边长分别为3，5，则第三边c的范围是 ，错误.
故答案为：A.
【分析】只有两条平行线被第三条直线所截，才有同位角相等，从而即可判断①；根据平行线的公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，从而即可判断B；根据对顶角的定义可知：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而即可判断C；根据三角形三边的关系，任意两条边之差小于第三边，任意两条边之和大于第三边即可求出第三边的取值范围，从而即可判断D.
7．【答案】A
【解析】【解答】1个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了．
故答案为：A．
【分析】根据中位数、平均数、众数和方差的意义判断即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意知，EF是线段AC的垂直平分线
∴AD=CD
∴BD是Rt△ABC斜边AC上的中线
∴AD=CD=BD
∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC
在Rt△ABC中，由勾股定理
∴△ABD的周长为AB+AC=5+13=18
故答案为：C.
【分析】由作图知，EF是线段AC的垂直平分线，由线段的垂直平分线段上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD=BD，则△ABD的周长AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值即可求解.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x= ，正确，故本选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜ 时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线开口向上，图象有最低点可知，该函数有最小值；由图象可知抛物线的对称轴是直线是x= ，在对称轴左侧，图象从左至右下降，故 当x< ，y随x的增大而减小 ；由于图象与x轴的交点作为为（-1，0）、（2，0），且抛物线的开口向上，故 当 -1 < x < 2时 ，图象位于x轴的下方，即 当 -1 < x < 2时 ，y＜0，从而即可一一判断得出答案.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作 于点D
设 ，则
∴ ，
∴
∵AB=10，AC=
∴
∴
∴
∴△ABC的面积
故答案为：A.
【分析】作 于点D，设 ，得 ， ，结合题意，经解方程计算得BD，再通过勾股定理计算得AD，即可完成求解.
11．【答案】
12．【答案】4（2+x）（2﹣x）
【解析】【解答】原式=4(4-x2)=4(2+x)(2-x)
【分析】观察多项式可知各项含有公因式4，括号内的因式符合平方差公式特征“a2-b2=(a+b)(a-b)”可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：
∵ 且 ，
∴ ，
∵ 折叠得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，根据平行线的性质可得∠CFA=∠DCF=62°，根据折叠的性质可得∠EFP=∠CFP，由邻补角的性质可得∠EFP+∠CFP=118°，据此计算.
14．【答案】
【解析】【解答】 向上平移2个单位是 ，再向右平移2个单位得到 .
【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。
15．【答案】（1）解： ，
，
，
，
，
．
所以正整数解为： ， ， ，
（2）解： 解：①得 ，
，
解②得 ，
，
，
∴
【解析】【分析】将不等式化简合并同类项，求不等式的解集即可；求得每一个不等式的解集，把解集画在数轴上，再求出公共部分.
16．【答案】解：
=
=
=
=
【解析】【分析】先将分子分母中能分解因式的先分解因式，再算乘法进行约分计算，然后再进行分式的减法运算，通分化简即可。
17．【答案】（1）解：△A1B1C为所求作的图形：
（2）解：∵AC= ，∠ACA1=90°
∴在旋转过程中，CA所扫过的面积为：
S扇形CAA1= ．
【解析】【分析】（1）由旋转图形的作图规律可作出旋转后的图形；
（2）在旋转的过程中，AC扫过的部分是个扇形，根据扇形面积公式即可求得。
18．【答案】解：过点 作 于点 ，
， ，
，
设 ，
，
，
，
，
已知四边形 是矩形，
， ，
，
在 中，
，
，
解得： ，
【解析】【分析】 过点 作 于点 ， 根据正切函数的定义，由 算出MD的长度， 设 ， 根据含30°直角三角形的边之间的关系得出 ， 根据矩形的性质得出 ， ， 在 中， 根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 ， 建立方程，求解算出x的值，从而得出AB的长.
19．【答案】（1）解：把点代入一次函数，
得，
∴，
∴一次函数解析式为：，
∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴点的坐标是．
∵反比例函数的图象过点．
∴，
∴反比例函数关系式是：；
（2）解：由（1）知反比例函数，
当时，随的增大而减小，
而当时，，当时，，
∴当时，反比例函数的值：．
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式；把点B的坐标代入y=x+b即可求出b=1，从而可得到一次函数解析式为：y=x+1；把A（1，n）代入y=x+1可得出A（1，2），再把（1，2）代入得出k=2，得出反比例函数的解析式为：；
（2）反比例函数当K＞0时函数图象分布在第一三象限内，在各自象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象分布在第二四象限，在各自象限内y随x的增大而增大；反比例函数（x＞0），k=2＞0，图象分布在第一象限，且每一个象限内y随x的增大而减小，所以1＜x＜6范围内，当x=1时，y有最大值为2；当x=6时，y有最小值为，从而即可得出答案.
20．【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义可得∠DEC=90°，求得∠D+∠DCE=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠ACO，从而得出OC⊥CD，根据切线的判定定理即证；
（2）由勾股定理求出OD，根据 可求出CE，再利用垂径定理即可得解.
21．【答案】解：（1）15÷=50（人），
答：八年级一班有50名学生；
（2）去敬老院服务的学生人数：50﹣25﹣15=10（人），补齐如图，
（3）由样本估计总体得：×800=160（人），
答：八年级大约有160人去敬老院．
【解析】【分析】（1）参加社区文艺演出的有15人，且占，即可求得该班的总人数；
（2）求出去敬老院服务的人数即可补全直方图的空缺部分；
（3）用样本中去敬老院人数所占百分比乘以总人数800即可得．
22．【答案】解：∵OE平分∠BOF，
∴∠BOF=2∠EOB．
∵∠EOB=55°．
∴∠BOF=110°．
∴AB⊥CD，
∴∠AOD=∠BOC=90°．
∴∠1=20°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=20°．
∴∠DOG=70°.
【解析】【分析】根据角平分结合已知条件得 ∠BOF=110°，由垂直定义得 ∠AOD=∠BOC=90°，从而可得 ∠1=∠2 =20°，从而可求得答案.
23．【答案】（1）解：∵OA＝1，OB＝3，OC＝4.
∴A（1，0），B（0，3），C（﹣4，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x+4），
把（0，3）代入得：3＝﹣4a，
a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣1）（x+4），
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x+3；
（2）解：在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，
理由：∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，
∴BC＝AC＝5，
当BP＝AC且BP∥AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP＝AC＝5，且点P到x轴距离等于OB，
∴点P的坐标为（5，3），如图2，
当点P在第二、三象限时，以A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
∴当点P的坐标为（5，3）时，以A、B、C、P为顶点的四边形是菱形；
（3）解：设直线PA的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴点A的坐标为（1，0）点P的坐标为（5，3），
则 ，
解得： ，
∴直线PA的解析式为：y＝ ，
当M与P、A两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM﹣AM|＜PA.当点M与P、A两点在同一直线上时，得|PM﹣AM|＝PA，
∴如图3，当点M与P、A两点在同一直线上时.|PM﹣AM|的值最大，此时点M为直线PA与抛物线的交点，
联立 解得 ， ，
∴当点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣ ）时，|PM﹣AM|的值最大，最大值是5.
【解析】【分析】（1）由 OA＝1，OB＝3，OC＝4. 得出A，B，C三点的坐标，设出所求抛物线的交点式，然后将C点的坐标代入即可算出二次项的系数a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2） 在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得A、B、C、P为顶点的四边形为菱形， 理由如下：首先根据OA，OB，OC的长算出 BC＝AC＝5， 当BP＝AC且BP∥AC时，四边形ACBP为菱形， 故 BP＝AC＝5，且点P到x轴距离等于OB， 从而求出P点的坐标， 当点P在第二、三象限时，以A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形， 从而得出答案；
（3）利用待定系数法，求出直线PA的解析式， 当M与P、A两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM﹣AM|＜PA.当点M与P、A两点在同一直线上时，得|PM﹣AM|＝PA， 如图3，当点M与P、A两点在同一直线上时.|PM﹣AM|的值最大，此时点M为直线PA与抛物线的交点， 联立直线PA与抛物线的解析式求解得出其交点坐标，从而得出答案。
