河源市新河实验学校2023-2024学年第二学期
七年级期中考试数学学科试卷
（考试时间：120分钟满分：120分）
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用同底数幂的乘除法运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算，进而得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
2. 奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米（1纳米米）．“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：140纳米米米米，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于等于10时，n等于原数的整数数位个数减1，当原数小于1时， n等于原数的第一个不为0的数字前的0的个数的相反数．
3. 下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式及完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．利用平方差公式及完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：，则A不符合题意；
，则B不符合题意；
，则C不符合题意；
，则D符合题意；
故选：D
4. 如图，直线ab，直线c是截线，如果，那么等于（ ）
A. 60° B. 100° C. 120° D. 140°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由平角的定义即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵直线ab，∠1=60°，
∴∠1=∠3=60°，
∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°．
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
5. 如图，下列条件中能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；
B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到得到，符合题意；
C、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；
D、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
6. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．在上述变化中，自变量是（ ）
A. 2 B. 半径 C. D. 周长
【答案】B
【解析】
【分析】可得周长是半径的函数，周长随着半径的变化而变化，周长是因变量，半径为自变量，即可求解．
详解】解：由题意得
周长是半径的函数，
周长随着半径为的变化而变化，
半径为是自变量；
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的定义，理解定义是解题的关键．
7. 为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学白老师为8班孩子购买了5包卡通橡皮和包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费元，则关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意正确列式即可e．
【详解】解：由题意可知，，
故选：D．
8. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：A．，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
B．，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
C．，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
D．，能构成三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
9. 已知△ABC中，则△ABC一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据三个内角的比，利用三角形内角和定理可求出最大的角的度数，即可得答案．
【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=3：4：7，
∴△ABC中最大的角为∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×=90°，
∴△ABC一定直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
10. 如图，内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线于A，交射线于B．当满足下列哪个条件时，的面积一定最小（ ）
A. 为的中线 B. 为的角平分线
C. 为的高 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，过点P的另一条直线交、于点C、D，设，过点A作交于G，证明，得出，证明，根据，得出，即可证明结论．
【详解】解：当点P是的中点时最小；
如图，过点P的另一条直线交、于点C、D，设，过点A作交于G，
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点P是的中点时最小．
故选：A．
二、填空题（共6小题）
11. 若，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】逆向运用同底数幂除法法则计算即可．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
12. 是一个完全平方式，则__________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据完全平方式的结构特征即可求解．
【详解】解：且是一个完全平方式
．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13. 一个角的度数为，则这个角的余角为__________．（用度、分、秒表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个角的余角，根据互余的两个角的和为，进行解答即可．
【详解】解：一个角的度数为，则这个角的余角为：
．
故答案为：．
14. 如图是一条长方形纸片，已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，图形由长方形纸条折叠得到，则折痕是角平分线，长方形的上下两条边互相平行．
【详解】
如图：∵长方形纸条经过折叠得到∠1，
∴∠1=∠3，上下两边互相平行，
∵
∴∠1+∠3=∠2=110°，
∴∠1=∠3=55°；
故答案为：55°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的性质，熟练地掌握平行线的性质和角平分线的性质是解题的关键．
15. 如图，把一个三角尺的直角顶点D放置在△ABC内，使它的两条直角边DE，DF分别经过点B，C，如果∠A=30°，则∠ABD+∠ACD=________．
【答案】60°
【解析】
【分析】本题考查的是三角形内角和定理．已知∠A=30°易求∠ABC+∠ACB的度数．又因为∠D为90°，所以易求∠DBC+∠DCB，相减即可求出∠ABD+∠ACD．
【详解】解：∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠DBA+∠DCA=150°-90°=60°．
故答案为60°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，此题注意运用整体法计算．解决问题的关键是求出∠ABC+∠ACB．
16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系规律按的次数由大到小的顺序．
请根据规律，写出的展开式中含项的系数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算、杨辉三角中展开式系数的规律等知识，根据前四个展开式的系规律可知，含的项是的展开式中的第二项，从而得出的展开式中含项的系数，熟练掌握以上知识点的综合应用及找出规律是解题的关键．
【详解】解：∵展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
∴展开式中的第二项系数为，
由图中规律可知：
含的项是的展开式中的第二项，
∴的展开式中的第二项系数为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据绝对值意义，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
18. 用简便方法计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根据平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式，根据平方差公式求出，再相加即可．
【详解】解：
．
19. 已知 ，求代数式的值.
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将变形为，最后将以整体的形式代入原式，即得答案．
【详解】
，
，
，
原式．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论．
【详解】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．
21. 某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润=票款收入-支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）：
X（人） ．．． 200 250 300 350 400 ．．．
y（元） ．．． -200 -100 0 100 200 ．．．
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）观察表中数据可知，当乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（2）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y= ；
（3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
【答案】（1）300；
（2）2x-600； （3）当乘车人数为800人时，利润为1000元
【解析】
【分析】（1）由表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，进行解答即可；
（2）由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出关系式即可解答；
（3）把y＝1000代入（2）中的关系式进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损，
故答案为：300；
【小问2详解】
由题意得：
y＝0＋×100＝2x 600，
∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x 600，
故答案为：2x 600；
【小问3详解】
把y＝1000代入y＝2x 600中可得：
2x 600＝1000，
解得：x＝800，
答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．
【点睛】本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键．
22. 已知：，（如图）
（1）求作：以为一边，作（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，则的度数为多少？
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
（1）根据作一个角等于一个角方法进行作图即可；
（2）分两种情况进行讨论：当在内部时，当在外部时，分别求出结果即可．
【小问1详解】
解：如图，，即为所求；
【小问2详解】
解：∵，，
∴或．
综上分析可知：的度数为或．
23. 如图，直线、相交于点O，，垂足为点O
（1）若，则____________°；____________°；
（2）若与的度数比为，求的度数．
【答案】（1）125；145
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线的定义，根据邻补角求角度，解题的关键熟练掌握垂线的定义，数形结合．
（1）根据邻补角定义直接求出的度数，先求出，然后再求出的度数即可；
（2）设，则，得出，求出，得出，最后求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵与的度数比为，
∴设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴．
24. 如图，已知直线，，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），，分别平分和．
（1）当点P在点A左侧时，若，则________°．
（2）若点P为点A左侧运动时，求的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明理由．
（3）与之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由．
【答案】（1）70 （2）度数为，不会发生变化，理由见解析
（3）相等或互补，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
（1）根据两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义作答即可；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，根据求出结果即可；
（3）分两种情况进行讨论，当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：不会发生变化，
理由如下：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴
即的度数为，不变化；
小问3详解】
解：与之间存在怎样的数量关系为：相等或互补．
理由如下：设，
①当点P在点A左侧时，
，
，
此时，；
②当点P在点A右侧时，如图，
∵，
，
此时，．
综上，与之间存在怎样的数量关系为：相等或互补．
25. 已知：，平分，点A、B、C分别是射线、、上的动点（A、B、C不与点O重合），连接交射线于点D．设，
（1）如图1，若，则：
①的度数是 ；
②当时， ；
③当时， ．
（2）如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①；②；③54
（2）存在，24、33、42、123
【解析】
【分析】（1）由角平分线和平行线的性质即可得到答案，②由三角形内角和定理即可得到答案，③先求出，，由三角形内角和定理得到答案；
（2）先求出，，再分在左侧和在右侧两种情况进行求解即可
【小问1详解】
解：如图1，①∵，平分，
∴，
∵，
∴；
②当时，，
∵，
∴；
③当时，
∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：①；②；③54
【小问2详解】
如图2，存在这样的x的值，使得中有两个相等的角．
∵，，平分，
∴，，
①当在左侧时：
若，则；
若，则；
若，则，故；
②当在右侧时：
∵，且三角形的内角和为，
∴只有，则．
综上所述，当24、33、42、123时，中有两个相等的角．
【点睛】此题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，应用三角形内角和定理是解决问题的关键．河源市新河实验学校2023-2024学年第二学期
七年级期中考试数学学科试卷
（考试时间：120分钟满分：120分）
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米（1纳米米）．“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3. 下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，直线ab，直线c截线，如果，那么等于（ ）
A 60° B. 100° C. 120° D. 140°
5. 如图，下列条件中能判断的是（ ）
A. B. C. D.
6. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．在上述变化中，自变量是（ ）
A. 2 B. 半径 C. D. 周长
7. 为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学白老师为8班孩子购买了5包卡通橡皮和包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费元，则关系式为（ ）
A B. C. D.
8. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知△ABC中，则△ABC一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
10. 如图，内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线于A，交射线于B．当满足下列哪个条件时，的面积一定最小（ ）
A. 为的中线 B. 为的角平分线
C. 为的高 D.
二、填空题（共6小题）
11. 若，，则的值为______．
12. 是一个完全平方式，则__________．
13. 一个角的度数为，则这个角的余角为__________．（用度、分、秒表示）
14. 如图是一条长方形纸片，已知，则________．
15. 如图，把一个三角尺的直角顶点D放置在△ABC内，使它的两条直角边DE，DF分别经过点B，C，如果∠A=30°，则∠ABD+∠ACD=________．
16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系规律按的次数由大到小的顺序．
请根据规律，写出的展开式中含项的系数是_____．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
18. 用简便方法计算：
19. 已知 ，求代数式的值.
20. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．
21. 某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润=票款收入-支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）：
X（人） ．．． 200 250 300 350 400 ．．．
y（元） ．．． -200 -100 0 100 200 ．．．
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）观察表中数据可知，当乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（2）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）关系式：y= ；
（3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
22. 已知：，（如图）
（1）求作：以为一边，作（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，则的度数为多少？
23. 如图，直线、相交于点O，，垂足为点O
（1）若，则____________°；____________°；
（2）若与的度数比为，求的度数．
24. 如图，已知直线，，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），，分别平分和．
（1）当点P点A左侧时，若，则________°．
（2）若点P为点A左侧运动时，求的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明理由．
（3）与之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由．
25. 已知：，平分，点A、B、C分别是射线、、上的动点（A、B、C不与点O重合），连接交射线于点D．设，
（1）如图1，若，则：
①的度数是 ；
②当时， ；
③当时， ．
（2）如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
