音德尔第三中学2024届高考
理科数学模拟1答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B D A A B C C D B D C
二、填空题：
13．2028． 14．60 15．[，） 16．
参考答案：
1．B
【分析】解二次不等式与求对数型函数定义域化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，
，
所以.
故选：B.
2．B
【分析】根据复数除法运算可求得，再由共轭复数和虚部定义即可求得结果．
【详解】由，
则，
所以，故的虚部为．
故选：B．
3．D
【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的定义及运算律，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当与的夹角为时，，
反之，当时，，解得，
则，而，因此与的夹角为，不是
所以“与的夹角为”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
4．A
【分析】利用奇函数的定义求参数得函数解析式，再求值即可.
【详解】由题意可知，
所以，
所以.
故选：A
5．A
【分析】由题意知，该几何体是一个半圆锥，其底面半径为1，高为1，计算体积即可.
【详解】由题意知，该几何体是一个半圆锥，其底面半径为1，高为1，
则该几何体的体积为．
故选：A.
6．B
【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据极差，中位数的定义可判断A和B；根据折线图可判断C和D.
【详解】将数据按从小到大的顺序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，
对于A，极差是，故A正确；
对于B，因为，所以中位数是第四个数和第五个数的平均数，
即，故B错误；
对于C，这8个月中2月份的销量最低，故C正确；
对于D，这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份，增加了1619，故D正确．
故选：B．
C
【分析】根据古典概型和对立事件，结合排列数、组合数分析求解.
【详解】根据题意可知：若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有种不同安排方法，
记“甲、乙不安排在同一个学校”为事件A，
则为“甲、乙安排在同一个学校”，则有种不同安排方法，
所以.
故选：C
8．C
【分析】由函数的最大值求出的表达式，根据图像变换结合对称性求出的表达式，根据为正数求出最小值
【详解】依题意，在上单调递增，，时，
把的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，
又，得是的一条对称轴，
即，当时，正数取最小值
故选：C．
8．B
【分析】根据古典概型和对立事件，结合排列数、组合数分析求解.
【详解】根据题意可知：若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有种不同安排方法，
记“甲、乙不安排在同一个学校”为事件A，
则为“甲、乙安排在同一个学校”，则有种不同安排方法，
所以.
故选：B.
9．C
【分析】根据是等比数列，由，即，可得，，也是等比数列，结合基本不等式的性质即可求出的最小值.
【详解】因为是正项等比数列，，即，
所以，，也是等比数列，且，
所以，
则，
当且仅当，即取等号，所以的最小值为，故C正确.
故选：C.
10．B
【分析】根据题意利用正、余弦定理求，代入题中公式运算求解.
【详解】因为，由余弦定理可得，解得，
又因为，由正弦定理可得，且，即，解得，
所以.
故选：B.
B
【分析】由渐近线方程和⊥求出，由勾股定理得到，从而求出离心率.
【详解】由题意得，⊥，双曲线的一条渐近线方程为，
故，即，
又，所以，
由勾股定理得，即，
解得，
,
故选：B.
12．C
【分析】由偶函数的定义结合导数可得出与，从而求得，利用导数分析的单调性，进而得到在上为增函数，结合的奇偶性转化所求得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，
因为函数为偶函数，则，
即，得，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，则不恒为零，
所以函数在上为增函数，即函数在上为增函数，
故当时，，所以函数在上为增函数，
又为偶函数，所以由可得，
所以，即，解得.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用复合函数的导数求得，从而可分析的单调性，由此得解.
13．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】因为，满足，作出可行域如下所示：
由，解得，即，
由图可知，当直线过点时，有最大值，
且．
故答案为：．
60
【分析】
建立平面直角坐标系，确定抛物线方程形式，确定点的坐标，代入方程求解，即得答案.
【详解】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴，
和地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线方程为，由题意可知，
代入可得，
即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米，
故答案为：60
15.[，）
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式先化简函数式，再根据三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】由已知易知，
当时，
所以要满足题意有.
16．/
【分析】由题意可得两两垂直，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，补成长方体后计算体对角线即可得其外接球的半径，即可得外接球的体积.
【详解】如图，由题意，当平面平面，
是的中点，，即两两垂直，
又，
如图，作长方体，则三棱锥的外接球，
即是长方体的外接球，
设长方体的外接球的半径为，
则，
.
当平面平面时，
其外接球的体积为.
故答案为：.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前n项和求通项的方法求解作答即可；
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法即可得解.
【详解】（1）因是公差为1的等差数列，而，则，
因此，即，
当时，，
经检验，满足上式，
所以的通项公式是...........................................................................6分
（2）证明：由（1）知：，
所以
............................................................................12分
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可证平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以点四点共面，
又四边形为菱形，所以，
因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面...........................................................................5分
（2）
因为，，所以，又因为，
所以平面，设交于，则以为轴，
为轴，过点且平行于的方向为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系,
因为，四边形为菱形，，
则，
所以有，
则，
不妨设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为..............................................................12分
19．(1)没有
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由题意列出列联表，计算的值，与临界值表比较，即得答案；
（2）确定X的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.
【详解】（1）由题意可得列联表如下：
A队胜 A队负 合计
主场 25 5 30
客场 20 10 30
合计 45 15 60
故，
则没有有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关；....................................5分
（2）由题意可知X的可能取值为，A队在前4场中获胜的概率为，
则，，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故...........................................................12分
20．（1）略
（2）
【详解】解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．
∵ 两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，
∴． 所求椭圆方程为． ……………4分
（Ⅱ）假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为．
由 可得．
∴．
．其中
以为邻边的平行四边形是菱形
．
∴． ………………………12分
21．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意导函数在上恰有两个不同的解，再根据二次函数的区间端点值，对称轴与判别式列式求解即可；
（2）根据题意可得是方程的两个不同的根，所以再代入化简，进而构造函数，再求导分析的单调性与最值，进而可证明不等式.
【详解】（1）在上恰有两个不同的解，
令，所以
解得，即实数的取值范围是；........................................................................5分
（2）证明：由（1）知是方程的两个不同的根，所以
所以
，
令，
令在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以．...........................................................................12分
22．(1)，
(2)1
【分析】（1）在参数方程中利用消去可得曲线的普通方程；求出直线l的参普通方程，再化成极坐标方程即可得出的极坐标方程；
（2）分别联立与和的极坐标方程即可求出，再由即可求出答案.
【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），
消去参数可得其普通方程为．
由题知直线的直角坐标方程为，即，
将代入，得，
则直线的极坐标方程为．......................................5分
（2）由（1）可知的普通方程为，即，
故其极坐标方程为．
曲线的极坐标方程为，
由解得，
由解得，
所以．..............................................................................10分
23．(1)
(2)或6
【分析】（1）分类讨论去绝对值，解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式求解.
【详解】（1）当时，，
又，所以或或，
解得或，所以，
所以不等式的解集为...................................................5分
（2），
因为，当且仅当时等号成立，
而，当且仅当时等号成立，.............................................10分
所以，当且仅当时等号成立，
所以，解得或6.
()
音德尔第三中学2024届高考理科数学模拟试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．设，均为单位向量，则“与的夹角为”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知为奇函数，则（ ）
A． B． C．2 D．-2
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．下图是某全国性冰淇淋销售连锁机构的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月销售量折线图（单位：杯），则下列选项错误的是（ ）
A．这8个月月销售量的极差是3258 B．这8个月月销售量的中位数是3194
C．这8个月中2月份的销量最低 D．这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份
7.为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲 乙在内的4名城区教师前往三所乡镇学校支教.若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则甲 乙不安排在同一个学校的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上的最大值为，当把的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数且满足时，则正数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．若正项等比数列的前n项和为，且，则的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
10.我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（ ）
A． B． C． D．
11. 在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
12．已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，满足，则目标函数的最大值是 .
14.在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米．
15.设函数，当时，方程有且只有两个不相等的实数解，则的取值范围是
16．如图，在中，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当平面平面时，其外接球的体积为 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
18．如图，多面体中，四边形为菱形，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值．
19．中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛．由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）．下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表．
阶段 比赛场数 主场场数 获胜场数 主场获胜场数
第一阶段 30 15 20 10
第二阶段 30 15 25 15
(1)根据表中信息，是否有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？
(2)已知A队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，A队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于A队常规赛60场比赛获胜的频率．记为A队在总决赛中获胜的场数．求的分布列和期望．
附：．
0.100 0.050 0.025
2.706 3.841 5.024
20．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形？ 若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．已知函数．
(1)若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
(2)若的两个极值点分别为，证明:．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（10分）(选修4 – 4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线是经过点且倾斜角为的直线．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．
(1)求的直角坐标方程和的极坐标方程；
(2)若曲线的极坐标方程为，设与和的交点分别为，求的值．
23.（10分）(选修4 – 5：不等式选讲)
已知函数
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的最小值为12，求实数a的值.
()
