祥华教育集团2023—2024学年联考
高一数学测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算律和复数的模的公式可得.
【详解】，所以.
故选：B
2. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得，，再利用集合交集的运算，即可求解.
详解】由题意，集合，，
所以.
故选D.
【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列结论：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则至少与，中一个平行
则下列说法正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.
【详解】对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以①正确；
对于②，若，，则或，所以②错误；
对于③，由，得或与相交，故③错误；
对于④，，，则至少与，中一个平行，故④正确．
故选：C．
4. 已知偶函数，当时，，则当时，（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，可得出，求出的表达式，利用偶函数的性质可得出函数在时的解析式.
【详解】当，则，，
又为偶函数，所以，当时，．
故选：D.
5. 已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为（ ）
A. ω＝1，φ B. ω＝1，φ C. ω＝2，φ D. ω＝2，φ
【答案】D
【解析】
【分析】先利用周期求再代入最高点求得即可.
【详解】由题三角函数半个周期为,故.易得,
又函数过,故,又,
故.
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解析式的方法,属于基础题型.
6. 有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ）
A. 65，76，82 B. 66，74，82 C. 66，76，79 D. 66，76，82
【答案】D
【解析】
【分析】由百分位数和中位数的定义求解即可.
【详解】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；
中位数为：，
因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82.
故选：D.
7. 已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求棱锥的高，利用球的表面积公式得，然后由求解可得，可求棱锥体积.
【详解】如图，设四棱锥的棱长为，在底面的射影为，则平面，
且为的交点，且，
由正四棱锥的对称性可知在直线上，
设外接球的半径为，则其表面积为，所以，
则，故，解得或（舍），
故正四棱锥的体积为．
故选：A．
8. 已知是函数的零点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对A：根据零点存在定理，即可判断零点范围；对B：，两边取对数，即可判断；对C：，结合的范围，即可得到，从而进行判断；对D：根据的范围，再结合指数函数单调性，即可判断.
【详解】均为单调增函数，故为单调增函数；
对A：因为，故，故A错误；
对B：因为，故，两边取对数可得，故B正确；
对C：，故，则，则，故C错误；
对D：因为，，故，则，，故D错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题A选项是所有选项中最重要的一个，需要根据零点存在定理，取求解的范围；对其它选项的处理关键是要灵活应用所学知识.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为
B. 圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为
C. 正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为
D. 已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用球的截面小圆性质计算判断A；利用球及圆柱的体积公式计算判断B；利用棱台的体积公式计算判断C；求出圆锥的体积判断D.
【详解】对于A，截面小圆半径为1，则球半径，该球表面积为，A错误；
对于B，设容器内水面下降的高度为，则，解得，B正确；
对于C，正四棱台的高，体积为，C正确；
对于D，圆锥底面圆半径，则，解得，圆锥的高，
体积为，D正确.
故选：BCD
10. 已知是定义在上不恒为0的函数，的图象关于直线对称，且函数的图象的对称中心也是图象的一个对称中心，则（ ）
A. 点是的图象的一个对称中心
B. 为周期函数，且4是的一个周期
C. 为偶函数
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，借助平移变换分析函数的性质，再逐项推理判断得解.
【详解】由的图象关于直线对称，得函数关于对称，即为偶函数，，
显然函数图象的对称中心为原点，则函数的图象的对称中心为，即，
对于A，，则是图象的一个对称中心，A正确；
对于B，由，得，即，
，是周期函数，8是该函数的一个周期，
若4是的一个周期，则，而，从而与已知矛盾，B错误；
对于C，，因此为偶函数，C正确；
对于D，由，得，
则，D错误.
故选：AC
11. 已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（ ）
A. 值可能是 B. 的最小正周期可能是
C. 在区间上单调递减 D. 图象的对称轴可能是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的周期公式可判断B选项.
【详解】因为函数在区间上有且仅有个对称中心，
且当时，，
所以，，解得，A对；
因为，则函数的最小正周期为，且，B对；
当时，，
因为，则，
所以，函数在区间上单调递减，C对；
，所以，图象的对称轴不可能是，D错.
故选：ABC.
三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分）
12. 已知向量，若与共线，则m的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】计算出两向量与的坐标，再利用共线向量的坐标表示，求出的值.
【详解】向量，则，
，由向量与共线，得，解得，
所以m的值为.
故答案为：
13. 已知一组数据，，，的方差为4，若数据，，，的方差为36，则b的值为______.
【答案】3或
【解析】
【分析】利用平均数和方差公式可得结果.
【详解】设数据，，，的平均数为，方差为，则，
，
设数据，，，的平均数为，方差为，
则，
，
所以或，
故答案为：3或.
14. 中，为线段上一点，，且，则面积的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，由得，利用基本不等式求得，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】由，得，又，所以，
设，因为，
所以，
则，两边平方得，即，
则，当且仅当即时，等号成立，
故面积的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是找到的等量关系，从而利用基本不等式求解乘积的范围求解面积的范围，面积分割法是解决此类问题的关键.
四、解答题（本大题共5题，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤）
15. 已知复数．
（1）若的实部与的模相等，求a的值；
（2）若复数在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，解方程可求出a的值；
（2）先求出，然后由其在复平面上的对应点在第四象限，可得从而可求出a的取值范围
【小问1详解】
依题意，，
因为的实部与的模相等，
所以，整理得，
解得或，
所以或．
【小问2详解】
因为，又在复平面上的对应点在第四象限，
所以解得，
所以a的取值范围是．
16. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且．
（1）求证：平面平面PAC；
（2）求证：平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明平面PAC，平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面平面PAC；
（2）利用线线垂直证明线面垂直；
（3）由（2）知面PAC，可得为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC，PB的长度可得结论．
小问1详解】
证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，
因为，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，
因为，平面MOE，平面MOE，所以平面平面PAC.
【小问2详解】
证明：因为点C在以AB为直径的圆O上，所以，
即BCAC，因为PA平面ABC，平面ABC，所以PABC，
因为，平面PAC，平面PAC，所以BC平面PAC.
【小问3详解】
由（2）知BC面PAC，所以为直线PB与平面PAC所成的角，
在中，，在中，，
在中，，所以.
直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为.
17. 设函数，．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）内角A，，的对边分别为，，．若，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可求出；
（2）先由解得，再由正弦定理化角为边，由余弦定理求得，即可由正弦定理求得.
【小问1详解】
，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为；
【小问2详解】
，则，
因为，所以，则，解得，
由可得，
由正弦定理可得，由余弦定理得，
因为，所以，
由正弦定理可得，即.
18. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）为奇函数；
（2）在R上单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求函数定义域，再根据与的关系判断奇偶性；
（2）在区间上取，，且，对和作差，比较大小，得在上的单调性，再结合奇偶性得在上的单调性；
（3）利用奇偶性和单调性将原式转化为对恒成立，独立m，求在上的最小值，得m的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为R，
，所以函数为奇函数.
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
设，且，
，
因为，所以，，，
所以，即函数在单调递增，
又因为为R上的奇函数，所以函数在R上单调递增.
【小问3详解】
由（1）知为奇函数，且对恒成立，
即对恒成立，
由（2）知为增函数，所以对恒成立，
所以，令，，
因为在上单调递增，，，
所以实数的取值范围为.
【点睛】判断函数单调性时结合函数的奇偶性，先求函数在上的单调性，再得在上的单调性；第三问利用奇偶性和单调性，将问题转化为求函数的最小值问题.
19. 将某市20到80岁的居民按年龄分组为，，，，，，并制作频率分布直方图如下：
（1）根据频率分布直方图，估计该市20到80岁居民年龄的第80百分位数；
（2）为了解该市居民参与“健步走”活动的实际情况，从该市20到80岁的居民中随机抽取若干人作问卷调查．我们把年龄段的居民参与“健步走”活动的人数与该年龄段居民数之比称为年龄段居民“健步走”活动参与指数（简称健参指数），用表示．被调查居民各年龄段的健参指数如下：
年龄段
0.4 0.5 0.6 0.7 0.75 0.4
假若该市20到80岁的常住居民有100万人，利用样本估计总体的思想，解决下面的问题：
（i）估算该市20到80岁的居民中“健步走”活动的参与人数；
（ii）据权威部门对全国“健步走”活动参与人群调查发现，如果排除20岁以下和80岁以上的居民，60岁以下的人比60岁及以上的人更喜爱“健步走”活动．通过计算与的值，判断本次调查所得结果是否与权威部门给出的结论相符？若不相符，请你从统计学的角度分析产生差异的原因（结论开放，写出其中一条原因即可）．
【答案】（1）59岁 （2）（i）60万人，（ii）见解析
【解析】
【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可，
（2）（i）先根据频率分布直方图求出各年龄段的人数，再根据各个健参指数求出各年龄段参与“健步走”活动的人数，从而可求得结果，
（ii）通过（i）计算的数据计算与的值，进行比较
【小问1详解】
因为前3组的频率和为，前4组的频率和为，
所以第80百分位数在第4组，设为，则
，解得，
所以该市20到80岁居民年龄的第80百分位数为59岁，
【小问2详解】
（i）由频率分直方图可得
年龄在的人数为万人，
在的人数为万人，
在的人数为万人，
在的人数为万人，
在的人数为万人，
在的人数为万人，
所以参数“健步走”活动的人数为万人，
参数“健步走”活动的人数为万人，
参数“健步走”活动的人数为万人，
参数“健步走”活动的人数为万人，
参数“健步走”活动的人数为万，
参数“健步走”活动的人数为万人，
所以该市20到80岁的居民中“健步走”活动的参与人数为
万人，
（ii），，
因为，
所以由调查结果可知60岁以上的人比60岁及以下的人更喜爱“健步走”活动
所以本次调查所得结果与权威部门给出的结论不相符，
产生差异的主要原因调查的样本不一定具有代表性，或一次取样未必能客观的反映总体，或样本容量过小等祥华教育集团2023—2024学年联考
高一数学测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 4 D. 5
2. 已知集合，，则
A. B. C. D.
3. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列结论：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则至少与，中一个平行
则下列说法正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③
4. 已知偶函数，当时，，则当时，（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为（ ）
A. ω＝1，φ B. ω＝1，φ C. ω＝2，φ D. ω＝2，φ
6. 有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ）
A. 65，76，82 B. 66，74，82 C. 66，76，79 D. 66，76，82
7. 已知各棱长均相等正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是函数的零点，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为
B. 圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为
C. 正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为
D. 已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为
10. 已知是定义在上不恒为0的函数，的图象关于直线对称，且函数的图象的对称中心也是图象的一个对称中心，则（ ）
A. 点是的图象的一个对称中心
B. 为周期函数，且4是的一个周期
C. 为偶函数
D.
11. 已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（ ）
A. 的值可能是 B. 的最小正周期可能是
C. 在区间上单调递减 D. 图象的对称轴可能是
三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分）
12. 已知向量，若与共线，则m的值为__________．
13. 已知一组数据，，，的方差为4，若数据，，，的方差为36，则b的值为______.
14. 中，为线段上一点，，且，则面积的最小值为______.
四、解答题（本大题共5题，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤）
15. 已知复数．
（1）若的实部与的模相等，求a的值；
（2）若复数在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．
16. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且．
（1）求证：平面平面PAC；
（2）求证：平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．
17. 设函数，．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）内角A，，的对边分别为，，．若，，且，求的值．
18. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19. 将某市20到80岁居民按年龄分组为，，，，，，并制作频率分布直方图如下：
（1）根据频率分布直方图，估计该市20到80岁居民年龄的第80百分位数；
（2）为了解该市居民参与“健步走”活动的实际情况，从该市20到80岁的居民中随机抽取若干人作问卷调查．我们把年龄段的居民参与“健步走”活动的人数与该年龄段居民数之比称为年龄段居民“健步走”活动参与指数（简称健参指数），用表示．被调查居民各年龄段的健参指数如下：
年龄段
0.4 0.5 0.6 07 0.75 0.4
假若该市20到80岁的常住居民有100万人，利用样本估计总体的思想，解决下面的问题：
（i）估算该市20到80岁居民中“健步走”活动的参与人数；
（ii）据权威部门对全国“健步走”活动参与人群调查发现，如果排除20岁以下和80岁以上的居民，60岁以下的人比60岁及以上的人更喜爱“健步走”活动．通过计算与的值，判断本次调查所得结果是否与权威部门给出的结论相符？若不相符，请你从统计学的角度分析产生差异的原因（结论开放，写出其中一条原因即可）．
