5.4分式方程 分层练习
考查题型一、分式方程的定义
1．下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
3．给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．有下列方程：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号）
6．有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
考查题型二、解分式方程
7．解方程：
(1)； (2)．
8．解下列分式方程：
(1)； (2)
9．解方程：
(1)； (2)．
10．解方程：
11．解方程
(1)； (2)．
12．解分式方程：．
考查题型三、已知分式方程的解求参数值
13．已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
14．如果分式方程的解是，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
15．已知是分式方程的解，则k的值为 ．
16．已知是分式方程的解，则m的值为 ．
17．已知关于x的方程的解是x=-1，则a=
18．若方程的根为1，则 .
考查题型四、根据分式方程的解的情况求参数范围
19．若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
20．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
21．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
22．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
23．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是 ．
24．关于x的方程的解为非负数，则k的取值范围是 ．
考查题型五、分式方程的增根与无解问题
25．如果方程有增根，那么m的值等于 ．
26．关于的分式方程有增根，则 ．
27．若关于的方程有增根，则 ．
28．关于的分式方程无解，则 ．
29．若关于的分式方程无解，则 ．
30．已知关于的方程无解，则的值是 ．
单选题
1．不等式的最小整数解，恰好是关于的分式方程的解，则的取值为（ ）
A．4 B．-2 C．1 D．-1
2．若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．15 B．11 C．10 D．18
3．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．28 B． C．7 D．56
4．已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
填空题
6．已知是分式方程的解，那么实数k的值为 ．
7．已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ．
8．已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ．
9．若关于的分式方程无解，则的值为 ．
10．如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为 ．
11．当m= 时，关于x的分式方程没有实数解.
三、解答题
12．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且，则称点为点的“之称心点”．例如：的“2之称心点”为，即．
(1)①点的“2之称心点”的坐标为________；
②若点的“之称心点” 的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______；
(2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k之称心点”为点，且为等腰直角三角形，则k的值为______；
(3)在（2）的条件下，若关于x的分式方程无解，求m的值．
13．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即．
(1)点的“3之立信点”的坐标为________．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．
14．已知关于的方程，其中，均为整数且．
(1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？
(2)若是方程的解，求的值．
15．已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
5.4分式方程 分层练习
考查题型一、分式方程的定义
1．下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
【详解】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程，不符合题意；
B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程，不符合题意；
C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程，符合题意；
D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程，不符合题意；
故选：C．
2．关于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．
【详解】解：方程①是分式方程，符合题意；方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③是整式方程，不符合题意；方程④是整式方程，不符合题意；故其中是分式方程的有：①②，故选：B．
3．给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可．
【详解】解：中分母不含未知数，不是分式方程；中分母含有未知数，是分式方程；中分母含有未知数，是分式方程；中分母不含未知数，不是分式方程，共有两个是分式方程，故B正确．故选：B．
4．在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案．
【详解】解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意；
②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意；
③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意；
④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意；
关于的分式方程的个数为1个，故选：A．
5．有下列方程：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号）
【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨
【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程．
∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨．
故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨．
6．有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
【答案】②
【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可．
【详解】解：①是一元一次方程，②是分式方程，
③（为不等于2的常数），是一元一次方程，故答案为：②．
考查题型二、解分式方程
7．解方程：
(1)； (2)．
【分析】本题考查了解分式方程：
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：，去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解；
（2）解：，去分母得：，即，
解得：，当时，，经检验是增根，分式方程无解．
8．解下列分式方程：
(1)； (2)
【分析】此题考查了解分式方程，
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解析：方程两边都乘，得，
去括号得：，移项合并同类项得：，解得，
经检验，是分式方程的解，
（2）解：去分母，得，去括号得：
移项合并同类项得：，经检验，是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
9．解方程：
(1)； (2)．
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
【详解】（1）解：，去分母得：，整理得：，
解得：，检验：当时，，∴是原方程的根；
（2），∴，去分母得：，
整理得：，解得：，检验：当时，，
∴是方程的增根，原方程无解．
10．解方程：
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，解方程，最后检验，即可求解．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得，，解得：，
当时，，∴是原方程的解．
11．解方程
(1)； (2)．
【分析】本题考查了解分式方程；
（1）方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案；
（2）方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案．
【详解】（1）解：方程两边同乘得：，
解得：，检验：当时，，故分式方程的解为；
（2）解：方程两边同乘得：，
解得：，检验：当时，，
所以是增根，分式方程无解．
12．解分式方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查解分式方程，找到最贱公分母，合理去分母是解题的关键，通过观察最简公分母是，最后注意分式方程必须检验．
【详解】解：；去分母，等式两边同时乘以得：
；整理得：；；解得：；
检验：把带入中，；
所以是分式方程的解．
考查题型三、已知分式方程的解求参数值
13．已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】将代入方程，即可求解．
【详解】解：将代入方程，得
解得：
故选：B．
14．如果分式方程的解是，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
【答案】C
【分析】先把代入原方程，可得关于a的方程，再解方程即得答案．
【详解】解：∵方程的解是，∴，解得：a=﹣2．
经检验，a=﹣2符合题意．
故选：C．
15．已知是分式方程的解，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了分式方程解的定义，分式方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出k的值即可．
【详解】解：∵是分式方程的解，
∴，解得，
故答案为：3．
16．已知是分式方程的解，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是根据是分式方程的解，得出关于m的方程，解关于m的方程即可．
【详解】解：∵是分式方程的解，
∴，解得：，故答案为：．
17．已知关于x的方程的解是x=-1，则a=
【答案】7
【分析】把x=-1代入原方程可得到关于a的分式方程，解出方程，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程的解是x=-1，
∴，去分母得：，解得：a=7，
检验：当a=7时，a-1≠0，∴方程的解为a=7．
故答案为：7．
18．若方程的根为1，则 .
【答案】
【分析】把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．
【详解】∵分式方程的根为1，
∴，整理，得：3=2k－2，解得k=，经检验，k=符合题意.
故答案为.
考查题型四、根据分式方程的解的情况求参数范围
19．若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围．
【详解】解：
∵方程的解为正数，且分母不等于0
∴，
∴，且
故选：D．
20．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
∵，即：，
∴，
又∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
∴的取值范围是且，
故选：A．
21．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴ ，
∴，
又∵是增根，当时，
，即，
∴，
∵有意义，
∴，
∴，
因此 且，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，
故选：D．
22．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键，别忘记分式的分母不为零．解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据时分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴m的取值范围是且，
故选：D．
23．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数，解题的关键是掌握分式方程的解法，并且注意分式方程增根的问题．
根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可．
【详解】，
去分母得：，
解得：，
方程的解为正数，且方程的增根为，
，且，
解得：，且，
故答案为：且．
24．关于x的方程的解为非负数，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】此题考查了分式方程的解，正确进行分式的计算是解题的关键．根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案．
【详解】解：，
去分母得：
解得，
∵，
∴且，
解得且，
∴k的取值范围是且．
故答案为：且．
考查题型五、分式方程的增根与无解问题
25．如果方程有增根，那么m的值等于 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：.
①让最简公分母为0确定增根；.
②化分式方程为整式方程；.
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【详解】方程两边都乘，得，
∵原方程有增根，.
∴最简公分母，解得，.
当时，．.
故答案为1.
26．关于的分式方程有增根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根以及分式方程的解法等相关知识点，熟记分式方程增根的定义是解方程的关键．根据分式方程有增根，即可得到，进而得到m的值．
【详解】解：去分母，得，
解得，
∵分式方程有增根，
∴该分式方程增根为，
∴，
∴，
故答案为：．
27．若关于的方程有增根，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题，掌握解决增根问题的基本步骤“①让最简公分母为0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值”是解题的关键．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母的值为0，确定x的可能值，然后代入整式方程即可求出k的值．
【详解】解：方程两边都乘得，
∵原方程有增根，
∴最简公分母，解得：，
将代入，解得：．
故答案为1．
28．关于的分式方程无解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将原分式方程去分母，并整理得：，再根据该分式方程无解得出，从而几可求出a的值．
【详解】解：，
去分母，得：，
整理，得：．
∵该分式方程无解，
∴，即，
∴．
故答案为：0．
29．若关于的分式方程无解，则 ．
【答案】或/或1
【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解．
【详解】解：去分母并整理得（），
①当时，该整式方程无解，
此时；
②当时，要使原方程无解，
则（），即或，
把代入整式方程，的值不存在，
把代入整式方程，得．
综合①②得或．
故答案为：或．
30．已知关于的方程无解，则的值是 ．
【答案】或0
【分析】本题考查了分式方程无解的情况．分式方程无解有两种情况：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母化为整式方程后，整式方程无解，据此解答即可．
【详解】解：去分母，得，
整理，得，
当时，整式方程无解；
当时，分式方程有增根或．
当时，，
解得；
当时，，此情况不存在，
综上，的值是或0．
故答案为：或0．
单选题
1．不等式的最小整数解，恰好是关于的分式方程的解，则的取值为（ ）
A．4 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【分析】先求出不等式的最小整数解，代入分式方程即可求解．
【详解】解不等式得x＞1，故最小整数解为x=2，
代入得，解得m=4，故选A．
2．若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．15 B．11 C．10 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有4个整数解得到，则，再解分式方程得到，根据，且，求出且，结合，可确定整数a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
即根据题意有：不等式的解集为：，
∵该不等式组有且只有4个整数解，
∴不等式的整数解为：，0，1，2，
∴，
解得．
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
∵，且，
∴，，
∴且，
又∵，
综上所述，，
∴符合题意的整数a有5和6，
所有满足条件的整数a的值之和为，
故选：B．
3．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．28 B． C．7 D．56
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点．先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得答案．
【详解】解：∵，
解不等式 ，
去分母得： ，
移项合并同类项得：，
的解集为，
由“同小取小”得：；
解分式方程：，
分式方程去分母，得：，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得：，
∵分式方程有正整数解，
，
∴，
，
∴满足条件的整数可以取7，1，
其积为．
故选C．
4．已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含a的代数式表示x，根据方程有整数解求出a的所有值，再去掉产生增根的a的值，再求出满足条件的所有整数a的和即可
【详解】解：
去分母得，，
解得，，
∵分式方程有整数解，且
∴
∴，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故选：B
5．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查根据不等式的解集求出参数的范围，根据分式方程的解的情况求参数的范围，求出不等式组和分式方程的解，进而求出的取值范围，得到所有满足条件的整数a的值，求和即可．
【详解】解：解不等式组，得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
解方程，得：，
∵方程的解为负整数且，
∴为负整数，且，
∴整数或，
∴所有满足条件的整数a的值之和是；
故选B．
填空题
6．已知是分式方程的解，那么实数k的值为 ．
【答案】6
【分析】将代入分式方程，得到关于k的一元一次方程，然后解方程即可．
【详解】解：把代入原方程可得，
解得：，故答案为：6．
7．已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查分式方程的解，分式方程有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是负数，确定出m的范围，但是必须保证分母不为零即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
分式方程的解是负数，
，且，
解得：且，
故答案为：且．
8．已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程解题的关键，分式方程一定要进行检验．
将代入关于x的方程中，求出，再将，代入关于y的方程中，求出，再进行检验即可得出答案．
【详解】解：∵方程的解为，
∴，解得：
当时，关于y的方程是：，
∴，
∴，
经检验：是关于y的方程的解．
故答案为：
9．若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【答案】10或或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【详解】解：（1）为原方程的增根，
此时有，即，
解得；
（2）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（3）方程两边都乘，
得，
化简得：．
当时，整式方程无解．
综上所述，当或或时，原方程无解．
故答案为：10或或3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
10．如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为 ．
【答案】或．
【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：原方程变形为，
方程去分母后得：，
整理得：，分以下两种情况：
令，，；
令，，，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键．
11．当m= 时，关于x的分式方程没有实数解.
【答案】4或-6
【分析】先将分式方程化为整式方程，根据方程没有实数解会产生增根判断增根是x=3或x=-2，再把增根x=3或x=-2代入整式方程即可求出m的值．
【详解】解：方程变形为，
方程两边同时乘以去分母得：x+m+3+x-3=0；
整理得：2x+m=0
∵关于x的分式方程没有实数解.
∴分式方程有增根x=3或x=-2.
把x=3和x=-2分别代入2x+m=0中
得m=-6或m=4.
【点睛】分式方程无解问题或增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．但也要注意，有时分式方程转化成的整式方程本身没有实数根，也是导致分式方程没有实数根的一种情况，所以要考虑全面，免得漏解.
三、解答题
12．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且，则称点为点的“之称心点”．例如：的“2之称心点”为，即．
(1)①点的“2之称心点”的坐标为________；
②若点的“之称心点” 的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______；
(2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k之称心点”为点，且为等腰直角三角形，则k的值为______；
(3)在（2）的条件下，若关于x的分式方程无解，求m的值．
【分析】（1）①根据点为点的“之称心点”的定义计算；
②根据点为点的“之称心点”的定义列出算式，求出、的值，计算即可；
（2）根据轴的正半轴上点的特征、点为点的“之称心点”的定义计算；
（3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
【详解】（1）解：①当，，时，，，
点的“2之称心点”的坐标为，
故答案为：；
②点的“之称心点”的坐标为，
，，
解得，，，
当时，，
符合条件的点的坐标可以是，
故答案为：；
（2）解：点在轴的正半轴上，
，．
点的坐标为，
点的“之称心点”为点，
点的坐标为，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
故答案为：；
（3）解：当时，去分母整理得：，
原方程无解，
①，即，
②，即，则；
当时，去分母整理得：，
原方程无解，
①，
②，则；
综上所述，或．
13．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即．
(1)点的“3之立信点”的坐标为________．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．
【分析】（1）根据点为点P的“之立信点”的定义计算；
（2）根据x轴的正半轴上点的特征、点为点P的“之立信点”的定义计算；
（3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
【详解】（1）解：当时，
，
∴点的“3之立信点”的坐标为，
故答案为：；
（2）∵点P在x轴的正半轴上，
．
∴点P的坐标为，
∵点P的“k之立信点”为点，
∴点的坐标为，
时，
为等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：1；
（3）当时，去分母整理得：，
∵原方程无解，
∴①，即，
②，即，则，；；
综上所述，或．
14．已知关于的方程，其中，均为整数且．
(1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？
(2)若是方程的解，求的值．
【分析】（1）由分式方程有增根，得到，求出的值即为增根；
（2）将代入求得，根据题意可得或或，分别带入求得的值即可．
【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到，
解得：，
将分式方程化为整式方程：，
整理得：，
将代入得：，
即若方程有增根，则．
（2）解：∵是方程的解，
将代入得：，
整理得：，
∴，
∴，且
∵，均为整数且，
∴或2或（舍去）或，
当时，即，；
当时，即，；
当时，即
当时，即，；
当时，即，；
综上，的值为或或8．
15．已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；
（2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可；
（3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值．
【详解】（1）解：把，代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入，
所以原分式方程的解是；
（2）解：把代入分式方程，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
①当时，即，方程无解，
②当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，，
综上所述，或时，分式方程无解；
（3）解：把代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
整理得：，
∵，且为正整数，为整数，
∴必为65的因数，，
∵，
∴65的因数有1，5，13，65，
1，5小于11，
可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55，
满足条件的可取3，55这两个数．
