第1讲 电场力的性质
学习目标 1.了解静电现象，能用电荷守恒定律分析问题。 2.知道点电荷模型，体会建立物理模型的意义。 3.掌握并会应用库仑定律分析问题。 4.掌握电场强度的概念和公式，会用电场线描述电场。 5.掌握电场强度叠加的计算方法。
1.思考判断
(1)两个带异种电荷的金属球接触时，正电荷从一个球转移到另一个球。(×)
(2)点电荷是理想化模型，均匀带电的绝缘球也可以视为点电荷。(√)
(3)相互作用的两个点电荷，电荷量大的受到的库仑力也大。(×)
(4)电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。(×)
(5)由E＝知，当试探电荷q变为一半时，电场强度E变为2倍。(×)
2.如图所示是描述甲、乙两个点电荷电场的部分电场线，下列说法正确的是( )
A.甲带负电，乙带正电
B.甲的电荷量大于乙的电荷量
C.在P点由静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子会沿电场线运动到Q点
D.P点的电场强度小于Q点的电场强度
答案 B
考点一 库仑定律的理解和应用
1.对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
2.对于两个距离较近的带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布，如图所示。
(1)同种电荷：F＜k。
(2)异种电荷：F＞k。
3.不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
角度 库仑力的叠加
例1 (多选)(2024·山西名校高三联考)如图1所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为q1和q2，球c在图示位置处于静止状态，已知ab、bc和ac的连线的长度分别为4 cm、3 cm和2 cm，则( )
图1
A.球a和球b一定带同种电荷
B.球a和球b一定带异种电荷
C.＝
D.＝
答案 BD
解析 球c受重力及球a和球b对它的库仑力而平衡，球b对它的库仑力必须是斥力，而球a对它的库仑力必须是引力，球a和球b一定带异种电荷，故A错误，B正确；画出球c受力图，如图所示，三力平衡，设球c的带电荷量为q，在相似三角形中，有＝，整理有＝，故C错误，D正确。
角度 库仑力作用下的平衡问题
例2 (2023·海南卷，8)如图2所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2 cm，OB＝4 cm，在A、B固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，则Q1∶Q2是( )
图2
A.2n2∶1 B.4n2∶1
C.2n3∶1 D.4n3∶1
答案 C
解析 如图所示，设∠OPB＝α，∠APO＝β，P球受到A、B的库仑斥力FA、FB和指向圆心的轨道弹力FN作用，三力平衡，由三角形知识和正弦定理有＝，在△APO中，有＝，同理在△BPO中，有＝，设小球的带电量为q，则FA＝k，FB＝k，联立解得Q1∶Q2＝2n3∶1，C正确。
库仑力作用下平衡问题的解题思路
例3 (多选)如图3所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处于平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。下列说法正确的是( )
图3
A.若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷
B.若q1、q2为负电荷，则q3为正电荷
C.q1∶q2∶q3＝9∶4∶36
D.q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
答案 AD
解析 在同一直线上的三个点电荷都处于平衡状态，由两同夹一异知，A正确，B错误；设q2、q3间距离为r，则q1、q2间距离为2r，对q1∶k＝k，则q2∶q3＝4∶9，对q2∶k＝k，则q1∶q3＝4∶1，综上有q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，C错误，D正确。
三个自由点电荷的平衡问题的速解技巧
考点二 电场强度的理解和计算
1.电场强度的性质
矢量性 电场强度方向与正电荷受力方向相同
唯一性 电场强度决定于电场本身，与试探电荷无关
2.电场强度的三个公式的比较
角度 电场强度的计算
例4 (2024·河南高三校联考)如图4所示，在孤立的点电荷Q所形成的电场中画一条直线AB，发现A点是直线上电场强度最大的点，其大小是E，B点电场强度大小是E，电子在A点的电势能比在B点的电势能小，则下列说法正确的是( )
图4
A.Q是负电荷
B.AB中点的电场强度大小是E
C.AB中点的电场强度大小是E
D.若将孤立的点电荷Q移到B点，则A点电场强度大小变成E
答案 D
解析 由于电子在A点的电势能比在B点的电势能小，由Ep＝qφ可知φA>φB，由沿电场线方向电势逐渐降低可知，Q是正电荷，故A错误；根据题意，由于A点的电场强度最大，则点电荷Q离A点最近，设距离为r，Q到B点的距离为r1，如图所示，由点电荷电场强度公式E＝可得，E＝，E＝，解得r1＝2r，由几何关系可得AB＝＝r，设Q到AB中点C的距离为r2，由几何关系可得r2＝＝r，则AB中点的电场强度大小是EC＝＝E，故B、C错误；若将孤立的点电荷Q移到B点，则A点电场强度大小变成EA＝＝＝E，故D正确。
角度 电场强度的叠加
例5 (点电荷电场强度的叠加)(2023·重庆卷，3)真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x＝x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距( )
A.x0 B.(2－1)x0
C.2x0 D.(2＋1)x0
答案 B
解析 由于两点电荷电性相反，且Q2的电荷量较大，则Q2的位置应该在x轴的负半轴，设两点电荷相距L，根据点电荷电场强度公式和电场强度叠加可得＝，又Q2＝8Q1，解得L＝(2－1)x0，故B正确。
例6 (对称法)(2022·山东卷，3)半径为R的绝缘细圆环固定在如图5所示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为( )
图5
A.正电荷，q＝ B.正电荷，q＝
C.负电荷，q＝ D.负电荷，q＝
答案 C
解析 取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，剩余圆环上的电荷在O点产生的电场强度与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和相等，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有E1＝k＝k，由题意可知，两电场强度方向的夹角为120°，由几何关系得两者的合电场强度大小为E＝E1＝k，根据O点的合电场强度为0，则放在D点的点电荷带负电，在O点产生的电场强度大小为E′＝k，E′＝E，解得q＝，故C正确。
例7 (等效法、补偿法)(2024·山东烟台高三期中)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图6所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为( )
图6
A.－E B.－E
C. D.＋E
答案 A
解析 先将带电球体补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场强度大小为E0＝＝，左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则EQ＝E0－E＝－E，故A正确。
方法总结 求解特殊带电体电场强度的计算方法
等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景
对称法 空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性
补偿法 将有缺损的带电空腔球补全为全球，或将缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面等
微元法 可将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和电场强度叠加原理求出合电场强度
考点三 电场线的理解和应用
两种等量点电荷的电场线
等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐减小；O点两侧方向相同 O点为零，向外先变大后变小；O点两侧方向相反
连线上的电场强度 沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度最小，不为零；方向始终相同 沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度为零；O点两侧方向相反
例8 (2023·北京卷)如图7所示，两个带等量正电的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂线上的两点，O为EF、MN的交点，EO ＝ OF。一带负电的点电荷在E点由静止释放后( )
图7
A.做匀加速直线运动
B.在O点所受静电力最大
C.由E到O的时间等于由O到F的时间
D.由E到F的过程中电势能先增大后减小
答案 C
解析 带负电的点电荷在E点由静止释放，将以O点为平衡位置做简谐运动，在O点所受静电力为零，故A、B错误；根据简谐运动的对称性可知，负点电荷由E到O的时间等于由O到F的时间，故C正确；点电荷由E到F的过程中静电力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。
例9 (2023·全国甲卷，18)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
答案 A
解析 带电粒子在电场中做曲线运动，粒子所受静电力指向轨迹的凹侧，如图所示，故A正确。
电场线与轨迹问题的判断方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况。
(2)三不知时要用“假设法”——电荷的正负、电场强度的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，若已知其中的任意一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用假设法分别讨论各种情况。
A级 基础对点练
对点练1 库仑定律的理解和应用
1.如图1所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷)，所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷，该电荷受到的静电力大小为F1，已知AB＝BC。若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，电荷受到的静电力大小为F2，则为( )
图1
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设AB＝BC＝l，根据库仑定律得F1＝－＝，将两带电金属小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝＋＝，所以＝，故C正确。
2.(人教版必修第三册改编)在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图2所示。静电力常量为k。如果保持它们的位置不变，则电荷A受到其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
图2
A. B.
C. D.
答案 D
解析 电荷D对电荷A的静电力大小F1＝k，电荷B和电荷C对电荷A的静电力大小F2＝F3＝k，根据力的合成法则可知，电荷A所受的静电力大小F＝＝＝，故D正确。
3.(2024·广东梅州模拟)如图3所示，三个带电小球A、B、C分别位于等边三角形的三个顶点且放在光滑绝缘的水平桌面上，空间存在水平且与BC连线垂直的匀强电场，三个小球均可看成点电荷且均静止不动，则三个带电小球所带电荷的电性及电荷量的关系是( )
图3
A.A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1∶1∶1
B.A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2∶1∶1
C.A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1∶1∶1
D.A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2∶1∶1
答案 D
解析 三个带电小球两两之间存在库仑力，且库仑力的方向一定沿两小球的连线方向，假设C球带负电，对C球进行受力分析，可知匀强电场对C球的电场力方向水平向左，要使C球受力平衡，则A球带正电，B球带负电，故A、B错误；A球带正电，则匀强电场对A球的电场力方向水平向右，要使A球受力平衡，则B、C两球须均带负电且两者电荷量相等，对B球进行受力分析，可得kcos 60°＝k，可得qA＝2qC，因此有qA∶qB∶qC＝2∶1∶1，故C错误，D正确。
对点练2 电场强度的理解和计算
4.(2024·山东泰安模拟)如图4，A、B、C、D是边长为a的菱形的四个顶点，O点为菱形的中心，∠A＝∠C＝60°，在A、D两点分别放有电荷量分别为＋q、－q的点电荷，在C点放了某个未知点电荷Q后，O点的电场强度E＝，设此时B点的电场强度的大小为EB。已知静电力常量为k，下列表达式正确的是( )
图4
A.Q＝＋q，EB＝0 B.Q＝＋2q，EB＝k
C.Q＝＋q，EB＝k D.Q＝－2q，EB＝0
答案 A
解析 由点电荷电场强度公式可知，D处点电荷在O点产生的电场强度为E1＝＝，由电场强度的叠加原理可知，A处点电荷和C处点电荷在O点产生的电场的电场强度大小相等，方向相反，可知，在C处放置的点电荷与A处的点电荷相同，即Q＝＋q，两个正点电荷在B点的合电场强度为E1＝2×sin 30°＝，方向沿DB方向，D点处点电荷在B点产生的电场强度为E2＝，方向沿BD方向，则B点的电场强度为EB＝E1－E2＝0，故A正确。
5.(2024·湖南汉寿一中高三校考)如图5所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，静电力常量为k，则图中B点的电场强度大小为( )
图5
A. B.
C. D.
答案 D
解析 图中A点的电场强度为0，表明薄板带负电，且薄板在A点的电场强度大小为EA＝k＝，根据对称性，薄板在B点的电场强度大小与薄板在A点的相等，方向相反，图中B点的电场强度大小为EB＝k＋k＝，故D正确。
6.(2024·天津津南区高三月考)硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊、显影装置、粉仓和清洁装置构成，工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀地布上一层负电荷。我们可以用下面的模型模拟上述过程：电荷量均为－q的点电荷，对称均匀地分布在半径为R的圆周上，若某时刻圆周上P点的一个点电荷的电荷量突变成＋q，则圆心O点处的电场强度为( )
图6
A.，方向沿半径指向P点
B.，方向沿半径背离P点
C.，方向沿半径指向P点
D.，方向沿半径背离P点
答案 B
解析 当P点的电荷量为－q时，根据电场的对称性，可得在O点的电场强度为0；当P点的电荷变为＋q时，可由－q和＋2q两个电荷等效替代，故O点电场可以看作均匀带电圆环－q和P点的＋2q产生的两个电场的叠加，故O点的电场强度为E＝0＋k，电场方向为＋2q在O点的电场方向，即方向沿半径背离P点，故B正确，A、C、D错误。
对点练3 电场线的理解和应用
7.(2024·江西高三联考)如图7所示，以等量正点电荷连线的中点O作为原点，沿其中垂线建立x轴，x轴上电场强度最大的两个点记为A、B，将一电子从A点由静止释放，电子仅在静电力的作用下在A、B两点之间做往复运动。下列说法正确的是( )
图7
A.x轴上O点的电势最低
B.电子经过O点时的速度最大
C.电子经过O点时的加速度最大
D.A、B两点的电场强度相同
答案 B
解析 根据等量同种正点电荷周围电场线的特点可知中垂线上O点的电势最高，故A错误；电子从A点由静止释放做加速运动，经过O点后做减速运动，所以电子经过O点时的速度最大，故B正确；O点的电场强度为0，电子经过O点时受到的合力为零，加速度为零，故C错误；根据电场线特点可知A、B两点的电场强度大小相等，方向相反，故D错误。
8.如图8所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q，两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k。由图可知( )
图8
A.P、Q两点的电场强度相同
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.右边的小球带电荷量为－2q
D.两点电荷连线的中点处的电场强度大小为3k
答案 D
解析 电场线的疏密表示电场强度的大小，根据题图可知，P点电场强度大小等于Q点电场强度大小，但是两点电场强度的方向不同，则电场强度不相同，故A错误；M点的电场线较N点密集，可知M点的电场强度大于N点的电场强度，故B错误；根据电场线的方向可知，右边的小球带负电，但是带电荷量小于左边球的带电荷量，故右边的小球带电荷量为－q，故C错误；依据点电荷的电场强度公式E＝k及叠加原则，则两点电荷连线的中点处的电场强度大小为E合＝k＋k＝3k，故D正确。
9.(多选)如图9，A、B两个点电荷固定在空间，实线为两点电荷电场中的部分电场线，弯曲虚线为一个带电粒子仅在电场力作用下运动的轨迹，a、b为轨迹上两点，下列说法正确的是( )
图9
A.A、B带同种电荷
B.A、B带电荷量的绝对值不相等
C.a点电场强度比在b点电场强度大
D.带电粒子在a点加速度比在b点加速度小
答案 BD
解析 图中电场线起源于A，终止于B，由电场线分布的特征可知两粒子带异种电荷，且A带正电，B带负电，故A错误；由于题图中电场线分布不具有对称性，则两点电荷带电荷量的绝对值不等，故B正确；由于电场线分布的密集程度表示电场的强弱，所以b点的电场强度比a点的电场强度大，故C错误；根据qE＝ma，可知粒子在a点加速度比在b点加速度小，故D正确。
B级 综合提升练
10.(2024·辽宁三校联合高三模拟)用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图10所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，下列说法正确的是( )
图10
A.小球1带电荷量一定小于小球2的带电荷量
B.细线a拉力大小为2G
C.细线b拉力大小为G
D.小球1与2的质量比为1∶2
答案 B
解析 由F库＝可知，不能确定小球1与小球2的带电荷量，故A错误；对小球2，由平衡条件可得Fb＝F库cos 30°，G＝F库sin 30°，解得细线b拉力大小为Fb＝＝G，F库＝2G，故C错误；对小球1，由平衡条件可得Fasin 30°＝F库cos 30°，m1g＋F库sin 30°＝Facos 30°，解得细线a拉力大小为Fa＝2G，m1g＝2G，则小球1与2的质量比为m1∶m2＝2∶1，故B正确，D错误。
11.(2023·湖南长沙模拟)如图11所示，真空中孤立的带电绝缘球体，半径为R，电荷均匀分布在球体各个部位，a点距球心距离为r，b点距球心距离为2r，＜r＜R。已知电荷分布均匀的球壳在壳内形成的电场强度为零，在外部形成的电场强度可视为集中在球心的点电荷在该处形成的。则a和b两点处电场强度大小之比为( )
图11
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意可知，a点电场强度应为以a所在球面为球体边缘的内部电荷产生，设球体的总电荷量为Q，则以a所在球面为球体边缘的内部球体带电荷量为q＝·πr3＝Q，故a点的电场强度大小为Ea＝k，同理b点的电场强度大小为Eb＝k，解得＝，选项C正确。
12.(2024·湖南长郡中学校考)如图12所示。绝缘水平天花板上的O点用绝缘丝线悬挂一电荷量为＋q的小球A，丝线长为L，在同一水平线距离O点为L处固定另一电荷量为＋Q的点电荷(Q未知)。当小球静止时，丝线和竖直方向的夹角θ＝30°，已知小球质量为m，重力加速度为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
图12
A.丝线的拉力大小为mg
B.两带电体间的相互作用力为mg
C.Q＝
D.由于漏电，电荷量Q减小时，丝线的拉力不变
答案 C
解析 小球受力情况如图所示，由几何关系可知φ＝30°，则两带电体的相互作用力FC＝mg，丝线的拉力T＝2mgcos θ＝mg，选项A、B错误；根据库仑定律有FC＝k，解得Q＝，选项C正确；由于漏电，电荷量Q减小时，FC减小，小球将下移，故图中h变大，根据相似三角形有＝，故丝线的拉力T′减小，选项D错误。
C级 培优加强练
13.(2023·全国乙卷，24)如图13，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求：
图13
(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
(2)C点处点电荷的电荷量。
答案 (1)q 3个点电荷均带正电 (2)q
解析 (1)题中已知M点的电场强度竖直向下，可知A、B处点电荷在M点产生的电场强度等大反向，C处点电荷带正电，又M为AB边的中点，结合点电荷的电场强度公式E＝可知A、B处两点电荷的电荷量大小相等，电性相同，即B点处点电荷的电荷量的绝对值为q。C处点电荷在N点产生的电场强度方向为N→B，假设A、B两点处点电荷均带负电，则三个点电荷在N处产生的合电场强度方向不可能竖直向上，所以A、B两点处点电荷均带正电，即3个点电荷均带正电。
(2)设C点处点电荷的电荷量为qC，等边三角形的边长为2L，则AN＝L，对三个点电荷在N处产生的电场强度分析，如图所示，其中EBC是B、C处点电荷在N处产生的合电场强度，EAN是A处点电荷在N处产生的电场强度，EN为N点处的合电场强度。
根据几何关系得＝tan 30°
故＝tan 30°
解得qC＝q。第1讲 电场力的性质
学习目标 1.了解静电现象，能用电荷守恒定律分析问题。 2.知道点电荷模型，体会建立物理模型的意义。 3.掌握并会应用库仑定律分析问题。 4.掌握电场强度的概念和公式，会用电场线描述电场。 5.掌握电场强度叠加的计算方法。
1.思考判断
(1)两个带异种电荷的金属球接触时，正电荷从一个球转移到另一个球。( )
(2)点电荷是理想化模型，均匀带电的绝缘球也可以视为点电荷。( )
(3)相互作用的两个点电荷，电荷量大的受到的库仑力也大。( )
(4)电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。( )
(5)由E＝知，当试探电荷q变为一半时，电场强度E变为2倍。( )
2.如图所示是描述甲、乙两个点电荷电场的部分电场线，下列说法正确的是( )
A.甲带负电，乙带正电
B.甲的电荷量大于乙的电荷量
C.在P点由静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子会沿电场线运动到Q点
D.P点的电场强度小于Q点的电场强度
考点一 库仑定律的理解和应用
1.对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
2.对于两个距离较近的带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布，如图所示。
(1)同种电荷：F＜k。
(2)异种电荷：F＞k。
3.不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
角度 库仑力的叠加
例1 (多选)(2024·山西名校高三联考)如图1所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为q1和q2，球c在图示位置处于静止状态，已知ab、bc和ac的连线的长度分别为4 cm、3 cm和2 cm，则( )
图1
A.球a和球b一定带同种电荷
B.球a和球b一定带异种电荷
C.＝
D.＝
听课笔记
角度 库仑力作用下的平衡问题
例2 (2023·海南卷，8)如图2所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2 cm，OB＝4 cm，在A、B固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，则Q1∶Q2是( )
图2
A.2n2∶1 B.4n2∶1
C.2n3∶1 D.4n3∶1
听课笔记
库仑力作用下平衡问题的解题思路
例3 (多选)如图3所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处于平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。下列说法正确的是( )
图3
A.若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷
B.若q1、q2为负电荷，则q3为正电荷
C.q1∶q2∶q3＝9∶4∶36
D.q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
听课笔记
三个自由点电荷的平衡问题的速解技巧
考点二 电场强度的理解和计算
1.电场强度的性质
矢量性 电场强度方向与正电荷受力方向相同
唯一性 电场强度决定于电场本身，与试探电荷无关
2.电场强度的三个公式的比较
角度 电场强度的计算
例4 (2024·河南高三校联考)如图4所示，在孤立的点电荷Q所形成的电场中画一条直线AB，发现A点是直线上电场强度最大的点，其大小是E，B点电场强度大小是E，电子在A点的电势能比在B点的电势能小，则下列说法正确的是( )
图4
A.Q是负电荷
B.AB中点的电场强度大小是E
C.AB中点的电场强度大小是E
D.若将孤立的点电荷Q移到B点，则A点电场强度大小变成E
听课笔记
角度 电场强度的叠加
例5 (点电荷电场强度的叠加)(2023·重庆卷，3)真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x＝x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距( )
A.x0 B.(2－1)x0
C.2x0 D.(2＋1)x0
听课笔记
例6 (对称法)(2022·山东卷，3)半径为R的绝缘细圆环固定在如图5所示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为( )
图5
A.正电荷，q＝ B.正电荷，q＝
C.负电荷，q＝ D.负电荷，q＝
听课笔记
例7 (等效法、补偿法)(2024·山东烟台高三期中)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图6所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为( )
图6
A.－E B.－E
C. D.＋E
听课笔记
方法总结 求解特殊带电体电场强度的计算方法
等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景
对称法 空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性
补偿法 将有缺损的带电空腔球补全为全球，或将缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面等
微元法 可将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和电场强度叠加原理求出合电场强度
考点三 电场线的理解和应用
两种等量点电荷的电场线
等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐减小；O点两侧方向相同 O点为零，向外先变大后变小；O点两侧方向相反
连线上的电场强度 沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度最小，不为零；方向始终相同 沿连线先变小后变大，中点O处的电场强度为零；O点两侧方向相反
例8 (2023·北京卷)如图7所示，两个带等量正电的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂线上的两点，O为EF、MN的交点，EO ＝ OF。一带负电的点电荷在E点由静止释放后( )
图7
A.做匀加速直线运动
B.在O点所受静电力最大
C.由E到O的时间等于由O到F的时间
D.由E到F的过程中电势能先增大后减小
听课笔记
例9 (2023·全国甲卷，18)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
电场线与轨迹问题的判断方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况。
(2)三不知时要用“假设法”——电荷的正负、电场强度的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，若已知其中的任意一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用假设法分别讨论各种情况。 (共64张PPT)
第1讲 电场力的性质
第八章 静电场
了解静电现象，能用电荷守恒定律分析问题。
知道点电荷模型，体会建立物理模型的意义。
掌握并会应用库仑定律分析问题。
掌握电场强度的概念和公式，会用电场线描述电场。
掌握电场强度叠加的计算方法。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
1.60×10－19
整数
转移
保持不变
感应
电子
形状
大小
真空
点电荷
正比
反比
9.0×109
真空
点电荷
切线
疏密
1.思考判断
(1)两个带异种电荷的金属球接触时，正电荷从一个球转移到另一个球。( )
(2)点电荷是理想化模型，均匀带电的绝缘球也可以视为点电荷。( )
(3)相互作用的两个点电荷，电荷量大的受到的库仑力也大。( )
(4)电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。( )
×
√
×
×
×
2.如图所示是描述甲、乙两个点电荷电场的部分电场线，下列说法正确的是( )
B
A.甲带负电，乙带正电
B.甲的电荷量大于乙的电荷量
C.在P点由静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子会沿电场线运动到Q点
D.P点的电场强度小于Q点的电场强度
研透核心考点
2
考点二 电场强度的理解和计算
考点一 库仑定律的理解和应用
考点三 电场线的理解和应用
1.对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
2.对于两个距离较近的带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布，如图所示。
考点一 库仑定律的理解和应用
3.不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
BD
例1 (多选)(2024·山西名校高三联考)如图1所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为q1和q2，球c在图示位置处于静止状态，已知ab、bc和ac的连线的长度分别为4 cm、3 cm和2 cm，则( )
角度 库仑力的叠加
图1
C
例2 (2023·海南卷，8)如图2所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2 cm，OB＝4 cm，在A、B固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，则Q1∶Q2是( )
角度 库仑力作用下的平衡问题
图2
A.2n2∶1 B.4n2∶1 C.2n3∶1 D.4n3∶1
库仑力作用下平衡问题的解题思路
AD
A.若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷
B.若q1、q2为负电荷，则q3为正电荷
C.q1∶q2∶q3＝9∶4∶36
D.q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
例3 (多选)如图3所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处于平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。下列说法正确的是( )
图3
三个自由点电荷的平衡问题的速解技巧
1.电场强度的性质
考点二 电场强度的理解和计算
矢量性 电场强度方向与正电荷受力方向相同
唯一性 电场强度决定于电场本身，与试探电荷无关
2.电场强度的三个公式的比较
D
角度 电场强度的计算
图4
解析 由于电子在A点的电势能比在B点的电势能小，由Ep＝qφ可知φA>φB，由沿电场线方向电势逐渐降低可知，Q是正电荷，故A错误；根据题意，由于A点的电场强度最大，则点电荷Q离A点最近，设距离为r，Q到
B
例5 (点电荷电场强度的叠加)(2023·重庆卷，3)真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x＝x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距( )
角度 电场强度的叠加
例6 (对称法)(2022·山东卷，3)半径为R的绝缘细圆环固定在如图5所示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为( )
图5
C
解析 取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，剩余圆环上的电荷在O点产生的电场强度与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和相等，如图所示，因为两段弧长非常小，故
A
例7 (等效法、补偿法)(2024·山东烟台高三期中)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图6所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为( )
图6
方法总结 求解特殊带电体电场强度的计算方法
等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景
对称法 空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性
补偿法 将有缺损的带电空腔球补全为全球，或将缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面等
微元法 可将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和电场强度叠加原理求出合电场强度
两种等量点电荷的电场线
考点三 电场线的理解和应用
等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布
C
例8 (2023·北京卷)如图7所示，两个带等量正电的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂线上的两点，O为EF、MN的交点，EO ＝ OF。一带负电的点电荷在E点由静止释放后( )
图7
A.做匀加速直线运动
B.在O点所受静电力最大
C.由E到O的时间等于由O到F的时间
D.由E到F的过程中电势能先增大后减小
解析 带负电的点电荷在E点由静止释放，将以O点为平衡位置做简谐运动，在O点所受静电力为零，故A、B错误；根据简谐运动的对称性可知，负点电荷由E到O的时间等于由O到F的时间，故C正确；点电荷由E到F的过程中静电力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。
A
例9 (2023·全国甲卷，18)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
解析 带电粒子在电场中做曲线运动，粒子所受静电力指向轨迹的凹侧，如图所示，故A正确。
电场线与轨迹问题的判断方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况。
(2)三不知时要用“假设法”——电荷的正负、电场强度的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，若已知其中的任意一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用假设法分别讨论各种情况。
提升素养能力
3
C
A级 基础对点练
图1
D
2.(人教版必修第三册改编)在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图2所示。静电力常量为k。如果保持它们的位置不变，则电荷A受到其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
图2
D
3.(2024·广东梅州模拟)如图3所示，三个带电小球A、B、C分别位于等边三角形的三个顶点且放在光滑绝缘的水平桌面上，空间存在水平且与BC连线垂直的匀强电场，三个小球均可看成点电荷且均静止不动，则三个带电小球所带电荷的电性及电荷量的关系是( )
图3
A.A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1∶1∶1
B.A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2∶1∶1
C.A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1∶1∶1
D.A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2∶1∶1
A
图4
D
5.(2024·湖南汉寿一中高三校考)如图5所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，静电力常量为k，则图中B点的电场强度大小为( )
图5
B
6.(2024·天津津南区高三月考)硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊、显影装置、粉仓和清洁装置构成，工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀地布上一层负电荷。我们可以用下面的模型模拟上述过程：电荷量均为－q的点电荷，对称均匀地分布在半径为R的圆周上，若某时刻圆周上P点的一个点电荷的电荷量突变成＋q，则圆心O点处的电场强度为( )
图6
B
对点练3 电场线的理解和应用
7.(2024·江西高三联考)如图7所示，以等量正点电荷连线的中点O作为原点，沿其中垂线建立x轴，x轴上电场强度最大的两个点记为A、B，将一电子从A点由静止释放，电子仅在静电力的作用下在A、B两点之间做往复运动。下列说法正确的是( )
图7
A.x轴上O点的电势最低
B.电子经过O点时的速度最大
C.电子经过O点时的加速度最大
D.A、B两点的电场强度相同
解析 根据等量同种正点电荷周围电场线的特点可知中垂线上O点的电势最高，故A错误；电子从A点由静止释放做加速运动，经过O点后做减速运动，所以电子经过O点时的速度最大，故B正确；O点的电场强度为0，电子经过O点时受到的合力为零，加速度为零，故C错误；根据电场线特点可知A、B两点的电场强度大小相等，方向相反，故D错误。
D
8.如图8所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q，两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k。由图可知( )
图8
解析 电场线的疏密表示电场强度的大小，根据题图可知，P点电场强度大小等于Q点电场强度大小，但是两点电场强度的方向不同，则电场强度不相同，故A错误；M点的电场线较N点密集，可知M点的电场强度大于N点的电场强度，故B错误；根据电场线的方向可知，右边的小球带负电，但是带电荷量小于左边球的带电荷量，故右边的小球带电荷量为－q，故C错误；依据点电荷的
BD
9.(多选)如图9，A、B两个点电荷固定在空间，实线为两点电荷电场中的部分电场线，弯曲虚线为一个带电粒子仅在电场力作用下运动的轨迹，a、b为轨迹上两点，下列说法正确的是( )
图9
A.A、B带同种电荷
B.A、B带电荷量的绝对值不相等
C.a点电场强度比在b点电场强度大
D.带电粒子在a点加速度比在b点加速度小
解析 图中电场线起源于A，终止于B，由电场线分布的特征可知两粒子带异种电荷，且A带正电，B带负电，故A错误；由于题图中电场线分布不具有对称性，则两点电荷带电荷量的绝对值不等，故B正确；由于电场线分布的密集程度表示电场的强弱，所以b点的电场强度比a点的电场强度大，故C错误；根据qE＝ma，可知粒子在a点加速度比在b点加速度小，故D正确。
B
10.(2024·辽宁三校联合高三模拟)用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图10所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，下列说法正确的是( )
图10
B级 综合提升练
C
图11
C
12.(2024·湖南长郡中学校考)如图12所示。绝缘水平天花板上的O点用绝缘丝线悬挂一电荷量为＋q的小球A，丝线长为L，在同一水平线距离O点为L处固定另一电荷量为＋Q的点电荷(Q未知)。当小球静止时，丝线和竖直方向的夹角θ＝30°，已知小球质量为m，重力加速度为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
图12
C级 培优加强练
13.(2023·全国乙卷，24)如图13，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求：
图13
(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
(2)C点处点电荷的电荷量。
本节内容结束
THANKS 第1练 电场力的性质
A级 基础对点练
对点练1 库仑定律的理解和应用
1.如图1所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷)，所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷，该电荷受到的静电力大小为F1，已知AB＝BC。若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，电荷受到的静电力大小为F2，则为( )
图1
A. B.
C. D.
2.(人教版必修第三册改编)在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图2所示。静电力常量为k。如果保持它们的位置不变，则电荷A受到其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
图2
A. B.
C. D.
3.(2024·广东梅州模拟)如图3所示，三个带电小球A、B、C分别位于等边三角形的三个顶点且放在光滑绝缘的水平桌面上，空间存在水平且与BC连线垂直的匀强电场，三个小球均可看成点电荷且均静止不动，则三个带电小球所带电荷的电性及电荷量的关系是( )
图3
A.A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1∶1∶1
B.A、B带正电，C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2∶1∶1
C.A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为1∶1∶1
D.A带正电，B、C带负电，A、B、C所带电荷量之比为2∶1∶1
对点练2 电场强度的理解和计算
4.(2024·山东泰安模拟)如图4，A、B、C、D是边长为a的菱形的四个顶点，O点为菱形的中心，∠A＝∠C＝60°，在A、D两点分别放有电荷量分别为＋q、－q的点电荷，在C点放了某个未知点电荷Q后，O点的电场强度E＝，设此时B点的电场强度的大小为EB。已知静电力常量为k，下列表达式正确的是( )
图4
A.Q＝＋q，EB＝0 B.Q＝＋2q，EB＝k
C.Q＝＋q，EB＝k D.Q＝－2q，EB＝0
5.(2024·湖南汉寿一中高三校考)如图5所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，静电力常量为k，则图中B点的电场强度大小为( )
图5
A. B.
C. D.
6.(2024·天津津南区高三月考)硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊、显影装置、粉仓和清洁装置构成，工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀地布上一层负电荷。我们可以用下面的模型模拟上述过程：电荷量均为－q的点电荷，对称均匀地分布在半径为R的圆周上，若某时刻圆周上P点的一个点电荷的电荷量突变成＋q，则圆心O点处的电场强度为( )
图6
A.，方向沿半径指向P点
B.，方向沿半径背离P点
C.，方向沿半径指向P点
D.，方向沿半径背离P点
对点练3 电场线的理解和应用
7.(2024·江西高三联考)如图7所示，以等量正点电荷连线的中点O作为原点，沿其中垂线建立x轴，x轴上电场强度最大的两个点记为A、B，将一电子从A点由静止释放，电子仅在静电力的作用下在A、B两点之间做往复运动。下列说法正确的是( )
图7
A.x轴上O点的电势最低
B.电子经过O点时的速度最大
C.电子经过O点时的加速度最大
D.A、B两点的电场强度相同
8.如图8所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q，两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k。由图可知( )
图8
A.P、Q两点的电场强度相同
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.右边的小球带电荷量为－2q
D.两点电荷连线的中点处的电场强度大小为3k
9.(多选)如图9，A、B两个点电荷固定在空间，实线为两点电荷电场中的部分电场线，弯曲虚线为一个带电粒子仅在电场力作用下运动的轨迹，a、b为轨迹上两点，下列说法正确的是( )
图9
A.A、B带同种电荷
B.A、B带电荷量的绝对值不相等
C.a点电场强度比在b点电场强度大
D.带电粒子在a点加速度比在b点加速度小
B级 综合提升练
10.(2024·辽宁三校联合高三模拟)用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图10所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，下列说法正确的是( )
图10
A.小球1带电荷量一定小于小球2的带电荷量
B.细线a拉力大小为2G
C.细线b拉力大小为G
D.小球1与2的质量比为1∶2
11.(2023·湖南长沙模拟)如图11所示，真空中孤立的带电绝缘球体，半径为R，电荷均匀分布在球体各个部位，a点距球心距离为r，b点距球心距离为2r，＜r＜R。已知电荷分布均匀的球壳在壳内形成的电场强度为零，在外部形成的电场强度可视为集中在球心的点电荷在该处形成的。则a和b两点处电场强度大小之比为( )
图11
A. B.
C. D.
12.(2024·湖南长郡中学校考)如图12所示。绝缘水平天花板上的O点用绝缘丝线悬挂一电荷量为＋q的小球A，丝线长为L，在同一水平线距离O点为L处固定另一电荷量为＋Q的点电荷(Q未知)。当小球静止时，丝线和竖直方向的夹角θ＝30°，已知小球质量为m，重力加速度为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
图12
A.丝线的拉力大小为mg
B.两带电体间的相互作用力为mg
C.Q＝
D.由于漏电，电荷量Q减小时，丝线的拉力不变
C级 培优加强练
13.(2023·全国乙卷，24)如图13，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求：
图13
(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
(2)C点处点电荷的电荷量。
第1练 电场力的性质
1.C [设AB＝BC＝l，根据库仑定律得F1＝－＝，将两带电金属小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝＋＝，所以＝，故C正确。]
2.D [电荷D对电荷A的静电力大小F1＝k，电荷B和电荷C对电荷A的静电力大小F2＝F3＝k，根据力的合成法则可知，电荷A所受的静电力大小F＝＝＝，故D正确。]
3.D [三个带电小球两两之间存在库仑力，且库仑力的方向一定沿两小球的连线方向，假设C球带负电，对C球进行受力分析，可知匀强电场对C球的电场力方向水平向左，要使C球受力平衡，则A球带正电，B球带负电，故A、B错误；A球带正电，则匀强电场对A球的电场力方向水平向右，要使A球受力平衡，则B、C两球须均带负电且两者电荷量相等，对B球进行受力分析，可得kcos 60°＝k，可得qA＝2qC，因此有qA∶qB∶qC＝2∶1∶1，故C错误，D正确。]
4.A [由点电荷电场强度公式可知，D处点电荷在O点产生的电场强度为E1＝＝，由电场强度的叠加原理可知，A处点电荷和C处点电荷在O点产生的电场的电场强度大小相等，方向相反，可知，在C处放置的点电荷与A处的点电荷相同，即Q＝＋q，两个正点电荷在B点的合电场强度为E1＝2×sin 30°＝，方向沿DB方向，D点处点电荷在B点产生的电场强度为E2＝，方向沿BD方向，则B点的电场强度为EB＝E1－E2＝0，故A正确。]
5.D [图中A点的电场强度为0，表明薄板带负电，且薄板在A点的电场强度大小为EA＝k＝，根据对称性，薄板在B点的电场强度大小与薄板在A点的相等，方向相反，图中B点的电场强度大小为EB＝k＋k＝，故D正确。]
6.B [当P点的电荷量为－q时，根据电场的对称性，可得在O点的电场强度为0；当P点的电荷变为＋q时，可由－q和＋2q两个电荷等效替代，故O点电场可以看作均匀带电圆环－q和P点的＋2q产生的两个电场的叠加，故O点的电场强度为E＝0＋k，电场方向为＋2q在O点的电场方向，即方向沿半径背离P点，故B正确，A、C、D错误。]
7.B [根据等量同种正点电荷周围电场线的特点可知中垂线上O点的电势最高，故A错误；电子从A点由静止释放做加速运动，经过O点后做减速运动，所以电子经过O点时的速度最大，故B正确；O点的电场强度为0，电子经过O点时受到的合力为零，加速度为零，故C错误；根据电场线特点可知A、B两点的电场强度大小相等，方向相反，故D错误。]
8.D [电场线的疏密表示电场强度的大小，根据题图可知，P点电场强度大小等于Q点电场强度大小，但是两点电场强度的方向不同，则电场强度不相同，故A错误；M点的电场线较N点密集，可知M点的电场强度大于N点的电场强度，故B错误；根据电场线的方向可知，右边的小球带负电，但是带电荷量小于左边球的带电荷量，故右边的小球带电荷量为－q，故C错误；依据点电荷的电场强度公式E＝k及叠加原则，则两点电荷连线的中点处的电场强度大小为E合＝k＋k＝3k，故D正确。]
9.BD [图中电场线起源于A，终止于B，由电场线分布的特征可知两粒子带异种电荷，且A带正电，B带负电，故A错误；由于题图中电场线分布不具有对称性，则两点电荷带电荷量的绝对值不等，故B正确；由于电场线分布的密集程度表示电场的强弱，所以b点的电场强度比a点的电场强度大，故C错误；根据qE＝ma，可知粒子在a点加速度比在b点加速度小，故D正确。]
10.B [由F库＝可知，不能确定小球1与小球2的带电荷量，故A错误；对小球2，由平衡条件可得Fb＝F库cos 30°，G＝F库sin 30°，解得细线b拉力大小为Fb＝＝G，F库＝2G，故C错误；对小球1，由平衡条件可得Fasin 30°＝F库cos 30°，m1g＋F库sin 30°＝Facos 30°，解得细线a拉力大小为Fa＝2G，m1g＝2G，则小球1与2的质量比为m1∶m2＝2∶1，故B正确，D错误。]
11.C [由题意可知，a点电场强度应为以a所在球面为球体边缘的内部电荷产生，设球体的总电荷量为Q，则以a所在球面为球体边缘的内部球体带电荷量为q＝·πr3＝Q，故a点的电场强度大小为Ea＝k，同理b点的电场强度大小为Eb＝k，解得＝，选项C正确。]
12.C [小球受力情况如图所示，由几何关系可知φ＝30°，则两带电体的相互作用力FC＝mg，丝线的拉力T＝2mgcos θ＝mg，选项A、B错误；根据库仑定律有FC＝k，解得Q＝，选项C正确；由于漏电，电荷量Q减小时，FC减小，小球将下移，故图中h变大，根据相似三角形有＝，故丝线的拉力T′减小，选项D错误。]
13.(1)q 3个点电荷均带正电 (2)q
解析 (1)题中已知M点的电场强度竖直向下，可知A、B处点电荷在M点产生的电场强度等大反向，C处点电荷带正电，又M为AB边的中点，结合点电荷的电场强度公式E＝可知A、B处两点电荷的电荷量大小相等，电性相同，即B点处点电荷的电荷量的绝对值为q。C处点电荷在N点产生的电场强度方向为N→B，假设A、B两点处点电荷均带负电，则三个点电荷在N处产生的合电场强度方向不可能竖直向上，所以A、B两点处点电荷均带正电，即3个点电荷均带正电。
(2)设C点处点电荷的电荷量为qC，等边三角形的边长为2L，则AN＝L，对三个点电荷在N处产生的电场强度分析，如图所示，其中EBC是B、C处点电荷在N处产生的合电场强度，EAN是A处点电荷在N处产生的电场强度，EN为N点处的合电场强度。
根据几何关系得＝tan 30°
故＝tan 30°
解得qC＝q。
