2024年内蒙古中考最后一卷
数学参考答案
一、单选题
1．A
【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：2的相反数是；
故选A．
2．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、内错角相等成为解题的关键．
根据平行线的性质得到，然后根据邻补角互补即可解答．
【详解】解：如图：∵，，
∴，
∴．
故选D．
3．D
【分析】根据实数运算法则化简各式子即可.
【详解】解：(A)原式＝a2+2ab+b2，故A错误；
(B)原式＝27a6，故B错误；
(C)原式＝1÷()2＝25，故C错误；
(D)原式＝2﹣5＝﹣3，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查实数运算和整式运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
4．A
【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体．熟练掌握由几何体的三视图还原几何体是解题的关键．由题意知，该几何体为三棱柱，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，该几何体如下；
故选：A．
5．B
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的图象，明确函数的图象是解题的关键.
【详解】解：函数的图象经过二、四象限，而的图象位于一、三象限，
∴符合的图象为B，
故选B.
6．B
【分析】本题考查了作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，令交于，由线段垂直平分线的性质得出，证明得出，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：令交于，
，
由作图可得：垂直平分，
，，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：二次根式在实数范围有意义，
，
，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了几何概率，用黑色方砖的面积除以方砖的总面积即可得到答案．
【详解】解：由题意得，硬币停落在黑色方砖上的概率是，
故选：C ．
9．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
周长为20，
，
，
，
．
故选：B．
10．D
【分析】本题主要考查抛物线的性质，根据题意将点代入抛物线得到a和b的关系即可得到对称轴是；将点代入并结合即可得到b和c的关系式；结合点和对称轴即可得到与x轴的另一个交点3，即可判定关于x的一元二次方程的两根；将已知点代入得到关系式，结合整理得到，由得到a的正负，即可求得m的范围．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，解得，
则，故①正确；
∵抛物线经过点，
∴，
∵，
∴，解得，
则b与c同号，故②正确；
∵抛物线经过点，且对称轴是，
∴抛物线与x轴的交点为3，
则关于x的一元二次方程的两根是，，故③正确；
∵抛物线上的两个点，且，
∴，
整理得
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，解得，故④正确；
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考出来圆锥关于圆锥的计算．根据圆锥的底面直径是，母线长，可以求出圆锥的底面半径是，周长是，底面积是，进而求出侧面展开图面积为，圆锥的全面积为．设圆锥的侧面展开图的圆心角是，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列出方程，即可求出，问题得解．
【详解】解：∵圆锥的底面直径是，
∴圆锥的底面半径是，
∴圆锥的底面周长是，底面积是，侧面展开图面积为，
∴圆锥的全面积为．
设圆锥的侧面展开图的圆心角是，
由题意得，
解得．
∴圆锥的侧面展开图的圆心角是，这个圆锥的全面积是．
故答案为：，
13．乙
【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义即数据波动越小，数据越稳定即可得出答案．
【详解】解：根据统计图可得：乙的成绩波动范围是，甲的成绩波动范围是，乙的成绩波动小，数据更稳定，则两人成绩较为稳定的是乙．
故答案是：乙．
14． 8 45
【分析】已知AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知：∠ACB=90°
①Rt△ACB中，利用勾股定理可求得BC的长；
②CD平分∠ACB，则∠ACD=45°，根据同弧所对的圆周角的关系，可求出∠ABD的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
Rt△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，由勾股定理，得：BC==8cm；
②∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=45°，
∴∠ABD=∠ACD=45°
故答案为：8；45．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理及勾股定理的综合应用．
15．
【分析】根据A用的时间比B用的时间多列方程求解即可．
【详解】解：设A的速度为，则B的速度为，
根据题意得方程：．
解得：．
经检验：是原方程的根．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
16．
【分析】作，可通过面积比求出；连接，易证，，所以点F在射线上运动，作点A关于射线对称点，当，F，D三点共线时，，此时周长最小，求出结论即可．
【详解】解：作，如图：
是等腰的角平分线，
，
，
边上的高相同，
；
连接，
，
，
，
，
，
，
点F在射线上运动，
作点A关于射线对称点，当，F，D三点共线时，
，
此时周长最小，
由点A与点对称，得：
，
平分，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线的性质、三角形全等的判定与性质及两点之间线段最短等知识，添加辅助线解决问题是解题关键．
三、解答题
17．（1）2；（2）
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、解二元一次方程组等知识点，灵活运用相关运算法则和方法成为解题的关键．
（1）先运用乘方、绝对值、零次幂、算术平方根进行化简，然后再进行计算即可；
（2）先化简方程组，然后再运用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1）
．
（2）可化简为：
得：，解得：，
将代入②可得：．
所以该方程组的解为．
18．支撑板端点从最里面一档调到最外面一档时离地面的高度下降了大约．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．过点作于点，根据正弦的定义求出，进而得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点，
在中，，，
，
，
，
答：支撑板端点从最里面一档调到最外面一档时离地面的高度下降了大约．
19．(1)，
(2)
(3)1170人
【分析】本题主要考查了统计表与扇形统计图的相关知识，中位数的定义以及用样本估计总体等知识．
（1）根据A组的人数以及占比即可求出样本的总量，用样本总量乘以D组的占比即可求出m的值．
（2）根据中位数的定义求解即可．
（3）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：此次被调查的学生共有（人）．
则（人）．
故答案为：40，10．
（2）由于共有40个数据，按从小到大的顺序排列后，其中位数是第20，21个数据的平均数，
∴中位数是．
（3）（人）．
答：估计一周参加家庭劳动时间不低于140分钟的学生人数为1170．
20．(1)见详解
(2)
【分析】（1）由题意得，且，则四边形为平行四边形，结合菱形的性质得，即可判定；
（2）由题意可证四边形为平行四边形，则有，进一步得为等边三角形，即可求，则有．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
∵，
，
又，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是菱形
∴，
∴四边形为矩形．
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵在菱形中，，
又，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定、平行四边形判定和性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练菱形的性质和平行四边形性质．
21．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.
（1）将点坐标代入即可得出反比例函数求得函数的解析式，进而求得的坐标，再将两点坐标分别代入可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由题意,设 且 一则求得，根据三角形面积公式得到解得即可.
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点,
，解得
∴反比例函数解析式为，
把代入 得
∴点坐标为
∵一次函数解析式 图象经过
，解得 ，
故一次函数解析式为：；
（2）由题意,设且
，
，
，解得 ，
.
22．(1)
(2)共有种租车方案
(3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元
【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可；
（2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案；
（3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题．
【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，
；
（2）∵租车总费用不超过元，师生共有人,
，
解得 ，
∵为整数,
∴可取,
∴一共有种租车方案；
（3）在中，随的增大而增大, 又可取,
∴当时，取最小值，最小值为(元),
∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元．
23．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）连接，根据垂径定理，则垂直平分，根据垂直平分线的性质，则；再根据切线的性质，，根据等边对等角，等量代换，则，即可；
（2）根据，，则，则，再根据角平分线的性质，，相似三角形的判定，即可；由得，，则，推出，即，根据等角对等边，则，过点作交于点，根据等腰三角形的三线合一，则，根据勾股定理求出，再根据和是直角三角形，，求出的值，根据勾股定理，，求出，最后根据，求出，即可．
【详解】（1）证明，如下：
连接，
∵为切线，
∴，
∵，且为直径，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作交于点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵和是直角三角形，
∴，
∴，
解得：；
在中，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定和性质，正切的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正切的运用．
24．(1)
(2)存在，点的坐标为
(3)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的几何应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出点的坐标，先分别求出和的面积，再建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①点在轴上方，②点在轴下方，再利用等腰三角形的判定与性质求解即可得．
【详解】（1）解：∵，，点位于轴的正半轴，
∴，
将点代入得：，
解得，
则抛物线对应的函数表达式为．
（2）解：由（1）可知，，
∵，，
∴，
设点的坐标为，
∴的面积为，的面积为，
∵的面积等于面积的，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
所以存在点，使得的面积等于面积的，此时点的坐标为．
（3）解：①如图，在轴上方作，交直线于点，交轴于点，则，
∵轴，
，
，
∴，
当时，，
解得或，
∴，
设点的坐标为，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
∴点的坐标为；
②如图，在轴下方作，交轴于点，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴点与点关于轴对称，
∴点的坐标为，
综上，存在点，使得，此时点的坐标为或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年内蒙古中考最后一卷
数学
注意事项：
1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．2的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是( )
A．(a+b)2＝a2+b2 B．(3a2)3＝9a6
C．50÷5﹣2＝ D．＝﹣3
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，连接．若，，则的长是（ ）
A．4 B． C．8 D．
7．如果要使有意义，那么的取值范围是( )
A． B．且
C． D．且
8．如图，随意抛出的一枚硬币落在如图所示地板的某块方砖上（每一块方砖的大小相同），它停落在黑色方砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
10．已知抛物线经过点，，下列四个结论：
① 抛物线的对称轴是；
② b与c同号：
③ 关于x的一元二次方程的两根是，；
④ 当，抛物线上的两个点，且时，．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．分解因式： ．
12．圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是 ，这个圆锥的全面积是 ．
13．如图是甲、乙两组数据的统计图，则较为稳定的数据是 组（填“甲”或“乙”）．
14．如图，在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC= cm，∠ABD= °．
15．甲乙两地相距，骑自行车从甲地到乙地，出发后，骑摩托车也从甲地去乙地，已知的速度是的速度的3倍，结果两人同时到达乙地，则的速度是 ．
16．如图，是等腰的角平分线，，，则的值是 ；E为线段（端点除外）上的动点，连接，作，且，连接，当的周长最小时，则的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题10分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．（本题7分）图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，支撑板．当支撑板卡到最里面一档，正好垂直于地面；当支撑板卡到最外面一档，与地面的夹角，求支撑板端点从最里面一档调到最外面一档时离地面的高度下降了多少．（结果精确到，参考数据，，）
19．（本题10分）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育．该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对该校学生一周参加家庭劳动时间情况开展了一次调查研究，将调查获取到的数据进行整理，并得到下列信息．
信息一：抽取的学生一周参加家庭劳动时间统计表．
时间x/分钟 A B C D E
人数 4 6 12 m 8
信息二：抽取的学生一周参加家庭劳动时间扇形统计图．
信息三：抽取的学生一周参加家庭劳动时间在C组的数据是124，125，125，125，125，128，130，131，132，135，135，138．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生共有_____人，表格中的_____；
(2)在这次调查中，抽取的学生一周参加家庭劳动时间的中位数是_____；
(3)该校学生有2600人，请估计一周参加家庭劳动时间不低于140分钟的学生人数．
20．（本题7分）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接交于点F，连接、．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若菱形的边长为12，，求的面积．
21．（本题7分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于， 两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)点P在线段上（与A，B不重合），过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点Q，若面积为 ，求点P的坐标．
22．（本题9分）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元．
型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆）
甲 45 1500
乙 33 1200
(1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）；
(2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
23．（本题10分）如图1，为的直径，为延长线上的点，为的切线，切点为，，垂足为，在上，连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)如图2，是线段上一点，若平分，与线段交于点．
①求证：；
②若，，求的长．
24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
