2024年中考网上阅卷第二次适应性考试
数 学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置。
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1． 计算－4＋2的结果是
A．－6 B．－2 C．2 D．6
2． 据权威部门统计，2024年一季度全国规模以上文化及相关产业企业约为7.6万家．将7.6万用科学记数法表示为
A．0.76×105 B．7.6×105 C．0.76×104 D．7.6×104
3． 以下调查中，最适宜采用抽样调查的是
A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．了解某班学生的身高情况
C．选出某校短跑最快的学生参加全市比赛 D．企业招聘，对应聘人员进行面试
4． 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体为
(
（第
6
题）
x
y
2
1
O
)A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥
(
（第
4
题）
)
(
（第
5
题）
1
A
B
C
D
)
5． 如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35°，则∠C的度数为
A．45° B．50° C．55° D．60°
6． 如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点（0，2）和点（1，0）.若y＜0，则满足条件的x的值可以是
A．－2 B．0 C． D．
7． 中国古代数学名著《四元玉鉴》中有一个“酒分醇醨”问题：“务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？”其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有x升，薄酒有y升，根据题意列方程组为
A． B．
C． D．
8． 四边形具有不稳定性．对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角大小，且其各边长度不变，得到四边形ABC′D′．连接AC′，若AB＝5，sin∠DAD′＝，则线段AC′的长为
(
（第
10
题）
A
B
C
P
Q
) (
（第
8
题）
C
′
A
B
D
C
D
′
)A．4 B．8 C．4 D．10
9． 若x－2的值同时大于2x＋1和2a－x的值，则a的取值范围是
A．a＞－4 B．a≥－4 C．a＜－4 D．a≤－4
10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，P为边AC上的一动点，以PA，PB为边作□APBQ，则线段PQ长的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，11～12题每小题3分，13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．分解因式：m2－2m＋1＝ ▲ ．
12．若1＜＜2，则整数a的值可以是 ▲ ．（写出一个值即可）
13．五边形的内角和等于 ▲ 度．
(
（第
17
题）
x
y
C
O
A
B
)14．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部6 m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为52°．若测角仪的高度是1.6 m，则建筑物AB的高度约为 ▲ m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）
(
B
C
（
第
1
4
题）
A
D
5
2
°
6
m
)
(
（第
1
5
题）
F
C
D
A
B
E
)
15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边AD上，BE与AC相交于点F．若DE＝3，则AF的长为 ▲ ．
16．若m是方程x2＋x－4＝0的一个实数根，则代数式m3－5m＋2024的值为 ▲ ．
17．如图，△AOB的边AB∥x轴，点C在OB上，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过A，C两点．若△AOB的面积为5，且OC＝2BC，则k的值为 ▲ ．
18．已知实数a，b满足a2＋ab＋b2＝1，若p＝ab＋2a＋2b，则p的最小值为 ▲ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分12分）
（1）解方程：＝－1；
（2）先化简，再求值：÷＋2，其中x＝－1．
20．（本小题满分10分）
某公司甲、乙、丙、丁四个员工乘坐高铁动车去某地参加商务活动，铁路售票系统将4人分配到同一车厢同一排的A，B，C，D四个座位，示意图如下图所示．
窗 A B 过道 C D 窗
（1）若甲员工从四个座位中随机选一个坐下，则甲员工坐到B座位的概率为 ▲ ；
（2）若甲员工先坐在A座位，剩余三名员工随机选择剩余三个座位就坐，求乙，丙两个员工相邻而坐的概率．（注：过道两侧座位B，C不算相邻）
21．（本小题满分10分）
【阅读材料】
(
老师
的问题：
如图，在
□
ABCD
中，点
E
在
BC
上，连接
AE
，只用一把无刻度的直尺
，求作
四边形
AECF
，
使得
四边形
AECF
是平行四边形
．
) (
小明
的作法：
（
1
）
连接
AC
，
BD
，相交于点
O
；
（
2
）
连接
EO
并延长，交
AD
于点
F
；
（
3
）
连接
CF
．
四边形
AECF
即为所
求
.
)
【解答问题】
请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由．
22．（本小题满分10分）
甲、乙两所学校联合组织了某项知识竞赛．经过初选，两所学校各400名学生进行了初赛．为了解两所学校学生初赛的情况，从两校进入初赛的学生中分别随机抽取了50名学生的初赛成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布表如下：
组别（成绩） 40≤x＜50 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
频数（学生数） 3 2 7 10 16 12
b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组的是：
80 80 81 81 82 83 83 84 85 86 86 87 88 88 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数 中位数 众数 优秀率
83.3 84 78 48%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）所抽取的甲学校50名学生初赛成绩的中位数是 ▲ ；
（2）根据上述信息，推断哪个学校初赛成绩更好，并说明理由；（至少从两个不同的角度说明）
（3）若每所学校初赛成绩优秀的学生将被选入复赛，请估计甲，乙两个学校分别有多少人参加复赛．
23.（本小题满分10分）
如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与AC，AB分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线AB，AC于点E，F．
（1）求∠AFD的度数；
(
（第
2
3
题）
F
E
D
P
N
C
O
A
B
M
)（2）若AF＝3，∠ADF＝60°，求的长．
24.（本小题满分12分）
某超市购进某种商品的成本为25元/kg，经过调查发现，这种商品在前30天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为y＝日销量m（kg）与时间x（天）之间满足函数关系：m＝－2x＋72（0＜x≤30，x为整数）．
（1）求前15天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少元？
（2）求前30天中日销售利润不低于1080元的天数．
25.（本小题满分13分）
问题情境：
如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；再一次对折纸片，使EF与BC重合，折痕为GH；把纸片展平，MN也为折痕；点P为线段AD上一点，再次沿BP折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处．
问题解决：
（1）如图1，若点Q在线段EF上，延长PQ交BC于点W，求证：△BPW为等边三角形；
（2）如图2，若点Q在线段GH上，求tan∠ABP的值；
（3）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，直线PQ交DC的延长线于点K.若CK＝CD，求线段PD的长．
(
)
(
Q
H
F
N
G
M
E
C
D
A
B
P
)
(
（第
25
题
图
1
）
（第
25
题
备用图
）
（第
25
题
图
2
）
)
26.（本小题满分13分）
(
（第
26
题）
A
B
C
O
D
E
x
y
)如图，直线y＝kx＋b（b＞0）与抛物线y＝x2相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS＋2＝0．过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的的平行线l1，l2，直线l3（不平行于y轴）与抛物线y＝x2有唯一公共点，分别交l1，l2于P，Q两点．
（1）求b的值；
（2）求点E的纵坐标；
（3）探究CP2－CQ2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
数学试卷 第6页（共6页）2024 年中考网上阅卷第二次适应性考试
数学试题参考答案与评分标准
说明：本评分标准每题只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评
分标准给分．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 B D A B C D A C C D
二、填空题（本大题共 8 小题，第 11～12 小题每小题 3 分，第 14～18 小题每小题 4 分，共
30 分）
11．(m－1)2 12．2（或 3） 13．540 14．9.3
15．1 16．2020 17．8 18．－2
三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分）
19．（本小题满分 12 分）
（1）解：方程两边同时乘以 12，
得 4(1＋2x)＝3(3x－1)－12. ···························································· 3 分
4＋8x＝9x－3－12.
解得 x＝19． ······································································ 6 分
x 3 2 x x 3
（2）解：原式＝ 2 ·················································· 8 分
x 3 x 3 x+3
x 3 x+3
＝ 2
x 3 x x 3
1
＝ 2 ················································································ 9 分
x
1 2x
＝ ············································································· 10 分
x
1 2 1
当 x＝－1 时，原式＝ ＝1． ··········································· 12 分
1
20．（本小题满分 10 分）
1
解：（1） ； ························································································ 3 分
4
（2）画树状图如下：
乙 B C D
丙
C D B D B C
··································································································· 6 分
由树状图可知，乙，丙两个员工选择座位共有 6 种等可能的结果，
其中乙，丙两人相邻而坐的结果有 2 种． ············································· 8 分
∴P(两人相邻而坐)＝ 2 ＝ 1 ． ························································· 10 分
6 3
21．（本小题满分 10 分）
解：正确． ··························································································· 2 分
理由：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，AF∥CE，
∴∠AFE＝∠CEF， ··································································· 4 分
数学试题参考答案与评分标准 第 1 页（共 4 页）
在△AOF 和△COE 中，
∠AOF＝∠COE，
∠AFE＝∠CEF，
AO＝CO.
∴△AOF≌△COE（AAS）. ··························································· 7 分
∴OE＝OF． ··············································································· 8 分
又∵OA＝OC，
∴四边形 ABCD 为平行四边形． ···················································· 10 分
22．（本小题满分 10 分）
解：（1）81； ····················································································· 2 分
（2）我认为乙校选手的成绩好． ······················································· 3 分
①甲校中位数为 81，乙校中位数为 84，乙校的成绩较好；
8 12
②甲校优秀率为 100％＝40％，
50
乙校优秀率为 48％，乙校的成绩较好． ··································· 7 分
（从两个方面进行合理分析即给分）
（3）甲校：400×40％＝160（人），乙校：400×48％＝192（人）． ·········· 9 分
答：甲校约有 160 人参加复赛，乙校约有 192 人参加复赛． ·········· 10 分
23．（本小题满分 10 分）
解：∵EF 是过点 D 的⊙O 的切线，
F ∴OD⊥EF，∴∠ODE＝90°； ······················· 1 分
C D 由作图可知，AD 平分∠FAE，
∴∠FAD＝∠EAD． ···································· 2 分
M P ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠EAD， ·················· 3 分
N ∴∠FAD＝∠ADO，
A O B E ∴AF∥OD． ·············································· 4 分
∴∠AFD＝∠ODE＝90°． ···························· 5 分
（第 23 题答图）
AF 3
（2）∵在 Rt△ADF 中，AF＝3，sin∠ADF＝ ，∴AD＝ 2 3 ．
AD 2
∵∠AFD＝90°，∠ADF＝60°，∴∠FAD＝∠DAE＝30°.
∴∠E＝∠ADF－∠DAE＝30°，∴∠DAE＝∠E，∴DE＝AD＝ 2 3 ．
OD 3
∵∠ODE＝90°，在 Rt△ODE 中，tan∠E＝ ，
DE 3
∴OD＝2. ···························································································· 7 分
∵在 Rt△ODE 中，∠DOE＝90°－∠E＝60°， ············································· 8 分
⌒
∴BD的长为 60π 2 ＝ 2π ． ··································································· 10 分
180 3
24．（本小题满分 12 分）
解：（1）设该商品每天的销售利润为 W 元．
当 0＜x≤15 时，W＝(x＋37－25)(－2x＋72)＝－2x2＋48x＋864， ··········· 3 分
b
∵抛物线的对称轴为直线 x＝ ＝12，
2a
又∵－2＜0，0＜x≤15，∴当 x＝12 时，W 最大值＝1152． ······················ 6 分
∴前 15 天中第 12 天的销售利润最大，最大日销售利润是 1152 元． ······· 7 分
数学试题参考答案与评分标准 第 2 页（共 4 页）
（2）当 0＜x≤15 时，若日销售利润为 1080 元，
则－2x2＋48x＋864＝1080，解得 x1＝6，x2＝18， ······························· 8 分
结合图象可知，前 15 天中日销售利润不低于 1080 元的天数为 10 天． ···· 9 分
当 15＜x≤30 时，W＝(55－25)(－2x＋72)＝－60x＋2160，
由－60x＋2160≥1080，解得 x≤18， ·············································· 10 分
∴日销售利润不低于 1080 元的天数为第 16，17，18 天，共 3 天． ······· 11 分
∵10＋3＝13（天），
∴前 30 天中日销售利润不低于 1080 元的天数为 13 天． ····················· 12 分
25．（本小题满分 13 分），
A P D 解：（1）∵四边形 ABCD 为矩形，
M N ∴∠A＝90°，AD∥BC，
Q
E F ∴∠APB＝∠PBW. ············································· 1 分
G H ∵△PBQ 由△PBA 折叠得到，∴△ABP≌△QBP，
B ∴∠APB＝∠QPB，∠PQB＝∠A＝90°. W C
（第 25 题图 1） ∴∠PBW＝∠QPB，∴BW＝PW． ··························· 2 分
PQ AE
由题意可知，AD∥EF∥BC 且 AE＝BE，∴QW＝BE＝1，∴PQ＝QW．
又∵∠PQB＝90°，∴PQ⊥PW．∴BQ 垂直平分 PW．∴PB＝BW． ·········· 3 分
∴PB＝BW＝PW．∴△PBW 是等边三角形． ······································· 4 分
（2）设 BP 交 GH 于点 R，AB＝4a，则 BG＝a，
A P ∵△PBQ 由△PBA 折叠得到， D
∴△ABP≌△QBP，
M N ∴AP＝PQ，∠APB＝∠QPB，BQ＝AB＝4a．
E F 又 BG＝a，
G R Q H 2 2∴GQ＝ BQ －BG ＝ 15a． ·································· 5 分
B C ∵GQ∥AP，
（第 25 题图 2）
∴∠APB＝∠PRQ，△ABP∽△GBR．
GR BG 1
∴PQ＝RQ，AP＝AB＝4．∴RQ＝AP． ············································· 6 分
GR 1 4 15a
∴RQ＝4. ∴AP＝RQ＝ 5 ． ······················································· 7 分
4 15a
AP 5 15
∴tan∠ABR＝AB＝ 4a ＝ 5 ． ······················································ 8 分
（3）记直线 PK 交边 BC 于点 T.
由 BC∥AD，可得△TKC∽△PKD，
A P D TC CK 1∴PD＝DK＝5．
Q 设 TC＝x，则 PD＝5x，PQ＝AP＝4－5x． ················· 9 分
同（1）可得 BT＝PT＝4－x． ······························· 10 分
∴TQ＝(4－x)－(4－5x)＝4x． ······························· 11 分
B T C ∵在 Rt△BQT 中，BQ2＋TQ2＝BT2，
K ∴32（第 25 题图 3） ＋(4x)
2＝(4－x)2．
7
解得 x1＝－1（舍去），x2＝15． ····························· 12 分
7
∴PD＝5x＝3． ·················································· 13 分
数学试题参考答案与评分标准 第 3 页（共 4 页）
26．（本小题满分 13 分）
b
（1）由题意，得 C（0，b），D（－k，0）．
1 b b2
∴S＝2×(－k)×b＝－2k．
b2
∵kS＋2＝0，∴k×(－2k)＋2＝0．∵b＞0，∴b＝2． ································ 4 分
1
（2）把 y＝kx＋2 代入 y＝4x
2，并整理，得 x2－4kx－8＝0．
解得 x＝2k±2 k2＋2．
∴x 21x2＝(2k＋2 k ＋2)(2k－2 k
2＋2)＝－8． ············································ 6 分
1
设 A(x ， x 2
1
1 4 1 )，则直线 AO 的解析式为 y＝4x1x． ······································· 7 分
1
设 B 横坐标为 x2，则点 E 横坐标也为 x2，将 x＝x2 代入 y＝4x1x 得
1 1
y＝4x1x2＝4×(－8)＝－2．∴点 E 纵坐标为－2． ······································ 8 分
1 1
（3）设直线 l3 的解析式为 y＝mx＋n，代入 y＝ x
2
4 ，并整理，得
2
4x －mx－n＝0．
1
∵直线 l 2 2 23 与抛物线 y＝4x 有唯一公共点，∴m ＋n＝0，即 n＝－m ．
∴直线 l3 的解析式为 y＝mx－m
2． ························································· 9 分
m2＋2 m2＋2
当 y＝2 时，x＝ m ，∴P( m ，2)．∵C(0，2)，
m2＋2
∴CP2＝( m )
2． ············································································ 10 分
m2－2 m2－2
当 y＝－2 时，x＝ m ，∴Q( m ，－2)．∵C(0，2)，
2
∴CQ2
m －2
＝( m )
2＋42． ······································································ 11 分
m2＋2 m2－2
∴CP2－CQ2＝( 2 2 2 m ) －( m ) －4
m2＋2 m2－2 m2＋2 m2－2
＝( m ＋ m )( m － m )－16
4
＝2m·m－16＝－8．
∴CP2－CQ2 的值为定值－8． ····························································· 13 分
数学试题参考答案与评分标准 第 4 页（共 4 页）
