2024届四川省成都市第七中学高三下学期模拟考试
文科数学试题
（5月11日）
第I卷
一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 设全集，集合，，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 设命题：，，则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：
则下列结论中正确的是（ ）
A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半
B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍
C. 该家庭2019年休闲旅游消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍
D. 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当
4. 已知向量满足，，则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
5. 一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为
A. B. 4 C. 3 D.
6. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知如图为函数的图象，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点顺时针旋转后，经过点，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球的表面上，则该四棱台的高为（ ）
A 2 B. 8 C. 8或12 D. 2或12
10. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N的值为（ ）
M 2 3 7 11 13
0.301 0.477 0.845 1.041 1.114
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
11. 函数的图象经过伸缩变换后，得到函数的图象，现有如下说法：
①若，函数在上有最小值，无最大值，且，则；
②若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为；
③若在上至少有2个解，至多有3个解，则；
则正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，其中，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
第II卷
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13. 如图是某赛季甲 乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则的值为__________.
14. 若实数x，y满足，则的最小值为____________.
15. 如图，分别是双曲线的左 右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________.
16. 若为锐角三角形，当取最小值时，记其最小值为，对应，则__________.
三 解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
18. 成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
（1）求的值；
（2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在内的概率.
19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，，．
求证：平面平面ABCD；
求点B到面AED的距离．
20. 如图，四边形为坐标原点是矩形，且，，点，点，分别是，的等分点，直线和直线的交点为
（1）试证明点在同一个椭圆C上，求出该椭圆C的方程；
（2）已知点P是圆上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别是A，B，求面积的取值范围.
注：椭圆上任意一点处的切线方程是：
21. 已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）若有2个极值点，求证：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22 23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
22. 在平面直角坐标系中，直线l参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心为，半径为1．
（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）在圆C上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求出最小距离．
【选修4-5：不等式选讲】（10分）
23. 已知函数，其中．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的恒成立时m的最小值为t，且正实数a，b满足，证明：．2024届四川省成都市第七中学高三下学期模拟考试
文科数学试题
（5月11日）
第I卷
一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 设全集，集合，，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得集合，结合韦恩图得到是的真子集，即可求解.
【详解】由题意，集合，且，
根据给定的韦恩图，可得是的真子集，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
2. 设命题：，，则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得结果.
【详解】因为命题是全称命题，故为特称命题，
则将“”改为“”，
将“”改为“”，
故选：D
【点睛】本题考查全称命题的否定，注意命题的否定与一个命题的否命题的区别，属基础题.
3. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：
则下列结论中正确的是（ ）
A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半
B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍
C. 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍
D. 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当
【答案】C
【解析】
【分析】
先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解.
【详解】由折线图可知：不妨设2015年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t，
对于A，该家庭2019年食品的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年食品的消费额为0.4×t=0.4t，故A错误，
对于B，该家庭2019年教育医疗的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年教育医疗的消费额为0.3×t=0.3t，故B错误，
对于C，该家庭2019年休闲旅游的消费额是0.3×2t=0.6t，2015年休闲旅游的消费额是0.1×t=0.1t，故C正确，
对于D，该家庭2019年生活用品的消费额是0.15×2t=0.3t，该家庭2015年生活用品的消费额是0.15×t=0.15t，故D错误，
故选：C.
【点睛】本题解题关键是掌握折线图基础知识，结合所给数据进行简单的合情推理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
4. 已知向量满足，，则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
5. 一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为
A. B. 4 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【详解】
如图所示，正方体被面ABCD所截，截面ABCD是上底为，下底为，两腰长为的等腰梯形，
可得高为.
其面积为.
故选A.
点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
6. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项.
【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
7. 已知如图为函数的图象，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数图象和函数的性质，对选项A，D可进行排除，利用导数，求出选项C中函数在上的最小值，结合图像即可判断选项C错误，由此即可判断出最终答案．．
【详解】由函数图像可知，函数定义域可知可以取到，故排除D；
由函数图象可知函数只有一个零点，且为，故排除A；
对求导可得
令得，且此时取最小值为，与函数图象不符， 排除C；
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象、函数的性质以及导数在求函数最值中的应用，属于中档题．
8. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点顺时针旋转后，经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角的概念以及三角函数的定义，可得和，再根据以及两角和的正弦公式计算可得答案.
【详解】∵角的终边按顺时针方向旋转后得到的角为，
∴由三角函数的定义，可得：，，
∴，
故选：B.
9. 已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球的表面上，则该四棱台的高为（ ）
A. 2 B. 8 C. 8或12 D. 2或12
【答案】D
【解析】
【分析】做出截面，根据圆心是否位于截面内部分两种情况，根据线段关系即可求解.
【详解】
如图，做出截面，
当圆心位于截面内部时，
取中点，中点，连接、和，
易得点在上，由题意得，，，
因为，，
所以，
当不在截面内时，
同第一种情况理可得，，
所以，综上所述：该四棱台的高为2或12.
故选：D.
10. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N的值为（ ）
M 2 3 7 11 13
0.301 0.477 0.845 1.041 1.114
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数的运算公式计算即可.
【详解】由题意知，的70次方为83位数，所以，则，即，整理得，
根据表格可得，，所以，即.
故选：C.
11. 函数的图象经过伸缩变换后，得到函数的图象，现有如下说法：
①若，函数在上有最小值，无最大值，且，则；
②若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为；
③若在上至少有2个解，至多有3个解，则；
则正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，利用在上有最小值，无最大值可得，即可判断①；根据题意建立的方程组，解之即可判断②；由题意直接求出方程的解，则，解之即可判断③.
【详解】由题意知，，得，即.
①：若，则，由，
知的对称轴为：，即当时有最小值，
则，得，解得，
又在上有最小值，无最大值，所以，
得，令，得，故①错误；
②：由题意可得，得，
即，解得或，所以的最大值为，故②正确；
③：令或，
解得或，
所以需要上述相邻三个根的距离不超过，相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过，
即，解得，故③正确.
故选：C
12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，其中，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出抛物线方程，联立，结合韦达定理求得，的坐标，从而求得直线的方程，求出点到直线的距离， 表示出，利用换元，结合基本不等式从而可求答案.
【详解】点在抛物线上，把点代入中得，则，
所以抛物线为，直线，
与抛物线方程联立可得，，则，则，，则，
所以用替换可得，则，
则，故，
直线，即，
则点到直线的距离，
，，
，
而
，
令，因为，所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用点线距及三角函数表示出目标式；二是利用换元法和基本不等式求解最值.
第II卷
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13. 如图是某赛季甲 乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则的值为__________.
【答案】15
【解析】
【分析】根据极差和平均数的概念计算即可求解.
【详解】由茎叶图可知，甲最小的数为8，则最大的数为，
所以；
由乙的平均数为24，知，
解得，所以.
故答案为：15
14. 若实数x，y满足，则的最小值为____________.
【答案】3
【解析】
【分析】作出约束条件的可行域，作出，平移此直线，由图可知目标函数过点时，z取得最小值，代入即可求解.
【详解】作出约束条件的可行域，如图（阴影部分）：
不等式组表示的可行域是以，，为顶点的三角形及其内部，
作出，平移此直线，当目标函数过点时，z取得最小值3.
故答案为：3
【点睛】本题主要考查线性规划问题等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合等思想方法，属于基础题.
15. 如图，分别是双曲线的左 右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】连接，设，根据条件得，可得，由，则，在中，由余弦定理得，解得，得解.
【详解】连接，设，，，
由双曲线定义得，
根据条件得，则，即，
在中，，由，则，，
在中，，
由余弦定理得，
即，
化简整理得，结合，可得，
所以，，则，即，
所以，即.
故答案为：.
16. 若为锐角三角形，当取最小值时，记其最小值为，对应的，则__________.
【答案】160
【解析】
【分析】令，则，，代入中，通过构造，利用基本不等式和二次函数的性质求最小值和最小值成立的条件.
【详解】为锐角三角形，
，，
令，则，，
令，
则
.
前两个“”取“=”的条件是，在时，所有“”全部取“=”，
所以当且仅当时， 取最小值40，
即，所以.
故答案为：160.
【点睛】关键点点睛：令，构造成是关键，可利用基本不等式和二次函数性质求最小值，而且等号成立的条件相同.
三 解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，求得，
解法1：根据题意，转化为，结合，结合基本不等式，即可求解；
解法2：根据题意，转化为，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，，解得，
当时，，
两式相减可得，，
则，
叠加可得，，则，
而时也符合题意，
所以数列的通项公式为．
【小问2详解】
解：由（1）知，可得，
故；
解法1：由，可得，
即，即则，又由，
当且仅当时取等号，故实数的取值范围为．
解法2：由，
可得，
当，即时，，
则，故实数的取值范围为．
18. 成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
（1）求的值；
（2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在内的概率.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形的面积和等于1，可求得的值；
（2）再由和的频率比，确定这5株分别在和的株数，最后由古典概型的计算公式求得结果即可.
【小问1详解】
依题意可得，解得；
【小问2详解】
由（1）可得高度在的频率为：；
高度在的频率为：；
且，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，
因此记高度在植株为，记高度在植株为，
则所有选取的结果为（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）共10种情况，
令抽取的2株高度均在内为事件，事件的所有情况为（，）、（，）、（，）共3种情况，
由古典概型的计算公式得：.
19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，，．
求证：平面平面ABCD；
求点B到面AED的距离．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】过D作，连结EO，推导出≌，，，从而面ABE，由此能证明平面平面ABCD；设B到AED的距离为d，由，能求出点B到面AED的距离．
【详解】如图，过D作，连结EO
∵，，，
∴≌，
∴，，
∵，∴，∴，
∵，，∴面ABE，
∵面ABCD，∴平面平面ABCD．
设到的距离为，
由可知，，
在等腰中，，，∴，
∵，∴，
解得，∴点B到面的距离为．
【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，考查利用等体积法求点到平面的距离，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在考查运算求解能力，是中档题．
20. 如图，四边形为坐标原点是矩形，且，，点，点，分别是，的等分点，直线和直线的交点为
（1）试证明点在同一个椭圆C上，求出该椭圆C的方程；
（2）已知点P是圆上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别是A，B，求面积的取值范围.
注：椭圆上任意一点处的切线方程是：
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】设，求出和的方程，联立可求证在同一个椭圆上，并求得椭圆方程为；
求出直线AB的方程，分和两种情况讨论，求出面积的表达式，换元，构造函数，利用导数即可求解.
小问1详解】
设，又，，
则直线，
直线，
点的坐标是方程的解，可得，
化简得，
所以在同一个椭圆上，该椭圆方程
【小问2详解】
设，，，如图所示：
则，
切线PA方程为：，切线PB方程为：，两直线都经过点P，
所以得：，，从而直线AB的方程是：，
当时，
由得，则，
，
当时，
由，消y得：，
由韦达定理，得：，，
，
，
点P到直线AB的距离，
其中
令，则令，
则，
上单调递增，
综上所述，面积的取值范围是
【点睛】关键点点睛：在第（2）中求出时，要用换元法及利用导数求函数的取值范围.
21. 已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）若有2个极值点，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将在上单调递增转化为恒成立问题，通过参变分离求解最值即可；
（2）通过是方程的两个不同正根将证明转化为，然后通过消参构造函数来求解证明.
【小问1详解】
法一：因为在上单调递增，
所以时，即，
设，则，
所以时单调递减，时单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是；
法二：因为，
所以，
若，则在上单调递增；
若，令，则，
时单调递减；时单调递增，
所以是的极小值点，所以，
所以当，即时，在上单调递增.
综上，的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知是方程的两个不同正根，所以，
经验证，分别是的极小值点，极大值点，
，
下面证明.
由，得，
两边取对数，得，即，
则，
设，则，则要证，即证，
即证.
设，则，
所以在上单调递增，从而，
于是成立，
故.
【点睛】方法点睛：对于含双变量的问题，通常经过变形，产生的结构，然后通过换元令，将式子转化为单变量的的问题，进而构造函数来解决问题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22 23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心为，半径为1．
（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）在圆C上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求出最小距离．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）消去参数可得直线的普通方程，
（2）利用点到直线的距离公式结合三角函数的性质计算即可.
【小问1详解】
直线l的参数方程是（t是参数）
普通方程为：
又圆心C的极坐标为，则，所以C直角坐标为
又圆C的半径为1，
∴圆C的直角坐标方程为；
【小问2详解】
在圆C上，设，
则点P到直线的距离为：
当，即时，，
此时P的坐标为即：
【选修4-5：不等式选讲】（10分）
23. 已知函数，其中．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的恒成立时m的最小值为t，且正实数a，b满足，证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）当时，，再分类讨论，取并集，即可求解；
（2）根据已知条件，结合绝对值三角不等式，求出，再结合作差法，即可求证．
【小问1详解】
当时，，
则，可得，
故的图像如下：
由得：
不等式的解集
【小问2详解】
由对任意的恒成立，，
，
即
，
或，又，则，即，
由正实数a，b满足得：
证法一：分析法证明：
，要证：，
只需证：，即：，
只需证：，即：，
，则，只需证：，即，
且，
，即证，
成立.
证法二：综合法证明：
又，故；
，
，，．
