高2026届第二学期5月月考数学（学科）试题
满分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2. 答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3. 答非选择题时，将答案写在答题卡规定的位置上.写在本试卷上无效.
4. 考试结束后，只将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，且，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据可得出，解出m即可．
【详解】；
；
．
故选D．
【点睛】本题考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．
2. 已知，则的实部是（ ）
A. B. i C. 0 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得.
【详解】因为，所以z的实部是0.
故选：C．
3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦推理判断即可.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
于是，而，则，
所以是等腰三角形.
故选：A
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则角A的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据可解得，代入余弦定理整理计算．
【详解】由得，或（舍），.
故选：A．
5. 将函数图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案.
【详解】因为，
所以.
故选：A
6. 化简=（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简即得.
【详解】
.
故选：C.
7. 在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】先由共线定理得出，再利用基本不等式求出最值即可.
【详解】因为为上任意一点，，
因为三点共线，所以由共线定理得，
则，
当且仅当且，即时取等号，此时的最小值是12．
故选：C
8. 如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解
【详解】设为斜边上的高，则圆的半径，
设为斜边的中点，，则，
因为，，
则
，故当时，
的最小值为.
故选：C.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ）
A. 在复平面对应的点位于第二象限 B.
C. D. 为纯虚数
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可判断各个选项.
【详解】对A，，复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第象限，故A错误；
对B，根据复数模的公式，，故B正确；
对C，，而，故C错误；
对D，，，故D正确.
故选：BD.
10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 向量与的夹角为
D. 向量在上的投影向量为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据数量积的运算律可判断A，根据模长公式可判断B，根据向量夹角公式可判断C，根据投影向量的定义可求解D.
【详解】由得，
对于A. ，故A错误，
对于B. ，故B正确，
对于C. ，由于，所以向量与的夹角为，故C错误，
对于D. 向量在上的投影向量为，故D正确，
故选：BD
11. 在中，角、、所对的边分别为、、，则正确的结论有（ ）
A. 若，则
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则为直角三角形
D. 若，则一定是等腰三角形
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，得到，结合正弦定理，可判定A正确；由为锐角三角形，得到，结合函数的单调性，可判定B正确；由，利用正弦定理可得，可判定C正确；由，得到或，可判定D不正确.
【详解】对于A中，因为，可得，所以，
所以，所以A正确；
对于B中，由为锐角三角形，可得，则，
因为，可得，
又由函数在上为单调递增函数，所以，
所以B正确；
对于C中，由，由正弦定理可得，
所以则为直角三角形，所以C正确；
对于D中，由，可得或，
可得或，所以一定等腰三角形，所以D不正确.
故选：ABC.
12. O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（ ）
A. O为的外心
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量数量积可证垂直，进而可求解A，根据垂直关系，结合内角和即可判断B，根据锐角三角函数即可判断C，由面积公式结合奔驰定理即可求解D.
【详解】因为，
同理，，故O为的垂心，故A错误；
根据垂心可得，，所以，
又，所以，又，
所以，故B正确；
，同理，延长CO交AB于点P(如图)，则，同理可得，所以，故C正确；
设，，的面积分别为，，，则
，
同理可得，所以，又，所以，
故D正确.
故选:BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 复数是纯虚数，则实数______．
【答案】1
【解析】
分析】结合纯虚数的定义，即可求解．
【详解】是纯虚数，
则，解得．
故答案为：1．
14. 已知非零向量，的夹角为，，，则____________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据垂直的向量表示结合数量积的定义，即可求得答案.
【详解】因为，故，
即，
故答案为：6
15. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为____________m.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系计算即得.
【详解】在中，由正弦定理，得，
在中，（）.
故答案为：
16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理及已知可得，结合锐角三角形得、，再由正弦边角关系、三角恒等变换得，即可求范围.
【详解】由，则，故，
所以，又为锐角三角形，则，且，则，
而，则，，
所以，
又，且，
所以，则.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得，再求出角的范围，利用正切函数的值域即可得到答案.
四、解答题：17题10分，18—22题每题12分，共6题，总共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与平行，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简得到，得出，根据共线向量定理，即可证得三点共线．
（2）根据题意，得到存在实数，使得，列出方程组，即可求解.
【小问1详解】
证明：由向量
可得，
，
所以，可得，又因为和有公共点，
所以三点共线．
【小问2详解】
解：由向量与平行，则存在实数，使得，
即，
又是不共线的两个非零向量，可得，解得，
所以实数的值为.
18. 已知．
（1）求及的值；
（2）若，，，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将弦化切，即可求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）首先求出、、，再由两角差的正弦公式计算可得.
【小问1详解】
因为，所以，解得，
所以，
.
【小问2详解】
因为，，所以，
由，解得或（舍去），
又，，所以，
所以.
19 已知，，，求：
（1）；
（2）与的夹角.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由向量的平方等于向量的模的平方可计算得到，从而可计算；
（2）利用向量的夹角公式可求得夹角大小.
【小问1详解】
由得，平方得：，
又因为，，所以，
则.
【小问2详解】
，
设与的夹角为，则，
又因为，所以，即与的夹角为.
20. 如图，在平面四边形中，，，，，．
（1）求边的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中利用正弦定理可得解；
（2）在中，先由余弦定理得，进而得，最后利用面积公式求解即可.
【小问1详解】
在中，，
由正弦定理得．
【小问2详解】
在中，由余弦定理得
．
∴．
∴．
21. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若角为钝角，直接写出的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角，整理化简得，由推得，求得角；
（2）由余弦定理和题设条件，求出，代入三角形面积公式计算即得；
（3）由正弦定理化边为角，再消去角，整理得，利用时正切函数的值域即可求得的取值范围.
【小问1详解】
由和正弦定理得，，
因，
则有，因，则，
又，故.
【小问2详解】
由余弦定理，，代入得，，
因，则有，即得，
故的面积.
【小问3详解】
由正弦定理，可得，
因，代入化简得：
因为钝角，故由可得，
则，，即，故的取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理在求角、面积和解析式范围上的应用，属于难题.
解题思路即是遇到与三角形中的边相关的解析式求范围问题时，一般运用正、余弦定理将其化成内角的三角函数式，利用三角函数的有界性求其范围.
22. 在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．
已知，若______，则唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选择②③，结合三角函数的图象与性质，求得的值，即可求得函数的解析式；但选择①②或①③无法确定的值.
（2）由，再由，求得，根据题意，转化为恒成立，令，结合为单调递增函数，求得，即可求解.
【小问1详解】
若选择①②：
由函数最小正周期为，可得，可得，即，
又由对任意的，都有，可得关于对称，
即，即，
因为，可得或者，则无法确定；
若选择②③：
由函数最小正周期为，可得，可得，即，
又由，可得，
因为函数在为单调递增函数，则满足，解得，
所以，所以；
若选择①③：
由对任意的，都有，可得关于对称，
即，即，
又由函数在为单调递增函数，可得，解得，
又由，可得，
因为函数在为增函数，则满足，
解得，所以，
即，解得，
综上，则无法确定，则无法确定.
【小问2详解】
解：由，
因为，可得，所以，即，
又由对任意的，不等式恒成立，
即不等式恒成立，即恒成立，
令，即恒成立，
令在上为单调递增函数，则，所以，
即实数的取值范围为.高2026届第二学期5月月考数学（学科）试题
满分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2. 答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3. 答非选择题时，将答案写在答题卡规定的位置上.写在本试卷上无效.
4. 考试结束后，只将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，且，则
A. B. C. D.
2. 已知，则实部是（ ）
A. B. i C. 0 D. 1
3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 钝角三角形
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则角A的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A. B.
C D.
6. 化简=（ ）
A. 1 B. C. D. 2
7. 在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ）
A 4 B. 8 C. 12 D. 16
8. 如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ）
A. 0 B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ）
A. 在复平面对应的点位于第二象限 B.
C. D. 为纯虚数
10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 向量与的夹角为
D. 向量在上的投影向量为
11. 在中，角、、所对的边分别为、、，则正确的结论有（ ）
A. 若，则
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则为直角三角形
D. 若，则一定等腰三角形
12. O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（ ）
A. O为的外心
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 复数是纯虚数，则实数______．
14. 已知非零向量，的夹角为，，，则____________.
15. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为____________m.
16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为______.
四、解答题：17题10分，18—22题每题12分，共6题，总共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与平行，求实数值．
18. 已知．
（1）求及的值；
（2）若，，，求．
19. 已知，，，求：
（1）；
（2）与的夹角.
20. 如图，在平面四边形中，，，，，．
（1）求边的长；
（2）求的面积．
21. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若角为钝角，直接写出的取值范围.
22. 在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．
已知，若______，则唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
