21.3 实际问题与一元二次方程（销售问题、图表问题、动点问题）
分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·福建福州·期中）某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件．若某星期该商城销售该商品获利元，则该星期每件商品的定价为多少元？小明根据题意，设某个量为未知数，列出方程，则下列对该方程理解错误的是（ ）
A．代数式的意义是每件商品的利润
B．代数式的意义是销售的数量
C．代数式的意义是销售的所有商品的总进价
D．未知数的意义是每件商品涨了元
2．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为元，经市场调研发现：售价为元时，每天可销售包，售价每上涨元，销量将减少包．如果想获利元，设这种鱼饵的售价上涨元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）毛主席在《水调歌头·重上井冈山》上写道“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”，为我们描绘了科技发展的美好蓝图．如今，我国的航天航海事业飞速发展，取得了举世瞩目的成就．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某商家抓住这一商机，购进了某种航天模型玩具，每件进价30元．经市场预测，销售定价为50元时，每周可卖出300件；每降低一元，每周可多卖出20件．如果商家想在一周时间获利6080元，设每件玩具降价元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）
A． B．或4 C．或 D．
7．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）南果梨是辽宁省农业优势产业之一，也是鞍山市农村经济发展的主导产业、特色产业．鞍山市南果梨种植主要分布在海城和千山区东部山区的14个乡镇，全市总栽培面积约50万亩，年总产量近32万吨，南果梨带动相关产业年总产值约20亿元．一水果超市购进某种南果梨，其进价为每千克3元，按每千克6元出售，平均每天可售出300千克，后来经过市场调查发现，单价每降低0.2元，则平均每天的销售可增加10千克．若该水果超市销售这种南果梨要想平均每天获利700元，则每千克南果梨应降价 元．
8．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
（1）若生产的是第三档的产品时，每件利润为 元；
（2）若生产第档的产品一天的总利润为1120元，则该产品的质量档次为第 档．
9．（2023·江苏常州·模拟预测）随着神舟十五号载人飞船发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价4元，此时每天可获利多少元？
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
10．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）在第22届卡塔尔世界杯中，“中国元素”如满天繁星．卢塞尔体育场、哈尔萨太阳能电站、电动公交、各种纪念小商品多数都是由中国制造．
(1)在卢赛尔体育场内，要建造一个长，宽的矩形足球场，整个足球场用草坪铺设，并在其四周铺设等宽的缓冲草坪，整个草坪总面积为（包括足球场草坪和缓冲草坪），则缓冲草坪的宽度是多少？（参考数据：，）
(2)一家卡塔尔的官方特许商品零售店，从义乌进口了一批阿根廷队的纪念球衣，每件的进价为600元．预计当每件的售价定为1200元时，每天可售出80件；若每件的售价每提高100元，每天就少售出10件．当每件的售价定为多少元时，该零售店每天可获得48000元的利润？
11．（21-22九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
能力提升
12．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；（不要求考虑自变量的取值范围）
(2)该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？
13．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？
(2)点移动多少秒时，的面积为？
(3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？
14．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为．
(1)当t为何值时，为等腰三角形？
(2)当t为何值时，的面积为？
(3)五边形的面积能否达到？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
拔高拓展
15．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
16．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问：
(1)当为何值时，点和点距离是？
(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
17．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知，在直角梯形中，，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向以的速度运动，、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)t为何值时，？为什么？
(2)当时，求t的值．
21.3 实际问题与一元二次方程（销售问题、图表问题、动点问题）
分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·福建福州·期中）某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件．若某星期该商城销售该商品获利元，则该星期每件商品的定价为多少元？小明根据题意，设某个量为未知数，列出方程，则下列对该方程理解错误的是（ ）
A．代数式的意义是每件商品的利润
B．代数式的意义是销售的数量
C．代数式的意义是销售的所有商品的总进价
D．未知数的意义是每件商品涨了元
【答案】A
【分析】根据题意，每涨价元，每星期要少卖出件，设某个量为未知数，根据得出的方程，结合代数式的意义，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴未知数的意义是每件商品涨了元，
A、代数式的意义是每件商品的售价，故该选项不正确，符合题意；
B、代数式的意义是销售的数量，故该选项正确，不符合题意；
C、代数式的意义是销售的所有商品的总进价，故该选项正确，不符合题意；
D、未知数的意义是每件商品涨了元，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为元，经市场调研发现：售价为元时，每天可销售包，售价每上涨元，销量将减少包．如果想获利元，设这种鱼饵的售价上涨元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这种鱼饵的售价上涨元，根据题意，列出方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这种鱼饵的售价上涨元，
由题意可得，，
故选：．
3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）毛主席在《水调歌头·重上井冈山》上写道“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”，为我们描绘了科技发展的美好蓝图．如今，我国的航天航海事业飞速发展，取得了举世瞩目的成就．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某商家抓住这一商机，购进了某种航天模型玩具，每件进价30元．经市场预测，销售定价为50元时，每周可卖出300件；每降低一元，每周可多卖出20件．如果商家想在一周时间获利6080元，设每件玩具降价元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设每件玩具降价x元，则每件利润为元，销量为件，根据“商家想在一周时间获利6080元”即可列出方程．
【详解】设每件玩具降价元，根据题意，得
故选：D
4．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，设房价定为x元，根据利润=房价的净利润入住的房间数可得．
【详解】解：设房价定为x元，
根据题意，得，
故选：C．
5．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设t秒后，的面积等于4
由题意得：，，则
整理得：
解得：，（不合题意，舍去），
即1秒后，的面积等于4，
故选：A．
6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）
A． B．或4 C．或 D．
【答案】C
【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．
作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是,
作，垂足为H，
则，，.
，
可得：，
解得，．
答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是.
故答案为：C.
7．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）南果梨是辽宁省农业优势产业之一，也是鞍山市农村经济发展的主导产业、特色产业．鞍山市南果梨种植主要分布在海城和千山区东部山区的14个乡镇，全市总栽培面积约50万亩，年总产量近32万吨，南果梨带动相关产业年总产值约20亿元．一水果超市购进某种南果梨，其进价为每千克3元，按每千克6元出售，平均每天可售出300千克，后来经过市场调查发现，单价每降低0.2元，则平均每天的销售可增加10千克．若该水果超市销售这种南果梨要想平均每天获利700元，则每千克南果梨应降价 元．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的销售盈利的问题：先设每千克南果梨应降价元，然后增加销售为千克，每千克的利润为元，根据平均每天获利700元，列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，
设每千克南果梨应降价元，然后增加销售为千克，每千克的利润为元
∴
整理得
解得（舍去），
∴则每千克南果梨应降价1元．
故答案为：1．
8．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
（1）若生产的是第三档的产品时，每件利润为 元；
（2）若生产第档的产品一天的总利润为1120元，则该产品的质量档次为第 档．
【答案】 10 6
【分析】（1）根据“第一档次每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元”，列式计算即可得到答案；
（2）由题意得出生产第档的产品的产量为：件，生产第档的产品的每件利润为：元，根据“生产第档的产品一天的总利润为1120元”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意得：（元），
若生产的是第三档的产品时，每件利润为10元，
故答案为：10；
（2）根据题意得：
生产第档的产品的产量为：件，
生产第档的产品的每件利润为：元，
则，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
若生产第档的产品一天的总利润为1120元，则该产品的质量档次为第6档，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出算式及一元二次方程是解此题的关键．
9．（2023·江苏常州·模拟预测）随着神舟十五号载人飞船发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价4元，此时每天可获利多少元？
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【答案】(1)此时每天销售获利1008元
(2)每件模型应降价10元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用平均每天的销售量每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用总利润每个的销售利润日销售量，可求出此时每天获得的总利润；
（2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：（个；
（元．
答：若每个模型降价4元，每天获利1008元；
（2）解：设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又每个模型盈利不少于25元，
．
答：每个模型应降价10元．
10．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）在第22届卡塔尔世界杯中，“中国元素”如满天繁星．卢塞尔体育场、哈尔萨太阳能电站、电动公交、各种纪念小商品多数都是由中国制造．
(1)在卢赛尔体育场内，要建造一个长，宽的矩形足球场，整个足球场用草坪铺设，并在其四周铺设等宽的缓冲草坪，整个草坪总面积为（包括足球场草坪和缓冲草坪），则缓冲草坪的宽度是多少？（参考数据：，）
(2)一家卡塔尔的官方特许商品零售店，从义乌进口了一批阿根廷队的纪念球衣，每件的进价为600元．预计当每件的售价定为1200元时，每天可售出80件；若每件的售价每提高100元，每天就少售出10件．当每件的售价定为多少元时，该零售店每天可获得48000元的利润？
【答案】(1)缓冲草坪的宽度为．
(2)当每件的售价定为1200元或1400元时，该零售店每天可获得48000元的利润
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设缓冲草坪的宽度为，可以表示出草坪的长和宽，知道草坪的面积，据此根据长方形面积公式得到一元二次方程，求解即可；
（2）每件的售价为t元，则每天可以卖出件，再根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设缓冲草坪的宽度是，则草坪的长和宽分别为和，
根据题意，得．
整理，得．
解方程，得，
根据问题的实际意义，不符合题意，应当舍去．符合题意．
∴缓冲草坪的宽度为．
（2）解：设每件的售价为t元，则每天可以卖出件，
由题意，得，
整理得，
解得或，
答：当每件的售价定为1200元或1400元时，该零售店每天可获得48000元的利润．
11．（21-22九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
【答案】(1)x（90－x）元
(2)50度
【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解．
【详解】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
能力提升
12．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；（不要求考虑自变量的取值范围）
(2)该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)
(2)销售价应定为每千克25元．
【分析】此题考查了利用待定系数法求一次函数关系式和一元二次方程的应用，正确理解题意、准确求出一次函数关系式和列出一元二次方程是解答此题的关键．
（1）利用待定系数法求y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据利润=销售量×每千克的利润，得到一元二次方程，解一元二次方程即可得解．
【详解】（1）解：该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，
设y与x之间一次函数关系式为：，
由图可知：一次函数图像经过点，
，
解得，
y与x之间一次函数关系式为：．
（2）根据题意，有，
整理，得，
，
解得或，
要让利给消费者，
．
答：销售价应定为每千克25元．
13．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？
(2)点移动多少秒时，的面积为？
(3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？
【答案】(1)；
(2)秒或秒；
(3)的面积不会达到，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
由三角形的面积公式可求解；
设点移动经过秒，的面积为，列出方程可求解；
列出方程，由，可得的面积不会达到．
【详解】（1）解：当点移动时间为秒时，，，
∴，
∴的面积；
（2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶
，
∴或，
答∶点移动经过秒或秒，的面积为；
（3）解：的面积不会达到．理由如下∶
设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶
，
，
∴，
∴方程无解，
∴的面积不会达到．
14．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为．
(1)当t为何值时，为等腰三角形？
(2)当t为何值时，的面积为？
(3)五边形的面积能否达到？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析．
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、等腰三角形性质、三角形面积、一元二次方程根的判别式等，解题关键是运用方程思想求解．
（1）由题意可得，，根据为等腰三角形，建立方程求解即可；
（2）根据，即可求得答案；
（3）根据，可得，利用根的判别式即可得出答案；
【详解】（1）解：根据题意，，
为等腰三角形，，
，即，
解得：，
∴当时，为等腰三角形．
（2）解：，
，
解得：，
∴当时，的面积为．
（3）解：，
，
整理得：，
，
∴该方程没有实数根，
∴五边形的面积不能达到．
拔高拓展
15．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
【答案】 2 或或
【分析】（1）当四边形为平行四边形时，，由此构建方程解决问题即可；
（2）分两种情况进行讨论：即①当点P在线段上，②当点P在线段上，根据两种情况点的位置，可以确定t的值．
【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，，
，，
如图，
，，
，
解得：，
故答案为：2；
（2）如图1，过A点作于M，则四边形是矩形，
，，
，
，
；
①当点P在线段上时，即时，如图3，
，
解得；
②当点P在线段上时，即时，如图4，
，，
，
整理得：，即，
解得：或，
，
或，
综上所述，或或，的面积为，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用以及三角形的面积等，分类讨论的思想是本题的关键．
16．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问：
(1)当为何值时，点和点距离是？
(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
【答案】(1)，；
(2)，，．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质；
（1）作于E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解；
（2）当时，作于E，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解．当时，作于E，可得，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，作于E，
∴，∵
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
当时，图（1）满足，
当时，图（2）满足，
综上所述：，；
（2）如图3，当时，作于E，
∴∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
如图4，当时，作于E，
∴，．
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴．
∴，解得：；
综上所述：，，．
17．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知，在直角梯形中，，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向以的速度运动，、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)t为何值时，？为什么？
(2)当时，求t的值．
【答案】(1)，理由见解析
(2)或
【分析】
本题考查直角梯形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
（1）四边形为平行四边形时，
（2）分两种情形：如图1，过作于，如图2，过作于，分别利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】（1）
由题意知，，，，
当四边形为平行四边形时，，
，
，四边形为平行四边形，
，
解得：，
即当时，．
（2）
如图1，过作于，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在中，，，，
，
，
解得：，（舍弃）；
如图2，
过作于，
则四边形是矩形，
，，，
，
在中，，，，
，
，
解得：（舍弃），；
综上所述，满足条件的的值为或．
