第五章综合素质评价
题 号 一 二 三 总 分
得 分
一、选择题(每题3分，共30分)
1.在 ABCD中，∠A＝50°，则∠C的度数是( )
A.130°
B.40°
C.60°
D.50°
2.若 ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为( )
A.4 B.12 C.24 D.28
3.若一个正多边形的外角是72°，则这个正多边形的边数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝3，则BD的长为( )
(第4题)
A.6
B.5
C.4
D.3
5.综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.图①～图③是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O； (2)连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO； (3)连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等
6.把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDM的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长MG交AF于点N，则∠ANG等于( )
(第6题)
A.140° B.144° C.148° D.150°
7.如图，在 ABCD中，AC的垂直平分线交AD于点E，且△CDE的周长为8，则 ABCD的周长是( )
(第7题)
A.10 B.12 C.14 D.16
8.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为( )
(第8题)
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图，点E是 ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE与CD交于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
(第9题)
A. DE＝DA B.∠ABD＝∠DCE
C. DF＝CF D.∠DEB＝∠BCD
10. 如图，E是 ABCD的边AB上的点，连接CE，DE，Q是CE的中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF，AF与DE相交于点P，若S△APD＝3 cm2，S△BQC＝7 cm2，则阴影部分的面积为( )
(第10题)
A.24 cm2 B.17 cm2
C.13 cm2 D.10 cm2
二、填空题(每题3分，共18分)
11.若 ABCD的周长是30，AB＝6，则BC的长是 .
12.如果正n边形的一个内角与一个外角的度数比是3∶2，那么n＝ .
13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，请你只添加一个条件： ，使得四边形BDFC为平行四边形.
(第13题)
14.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝60°，则∠FEG＝ .
(第14题)
15.如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A'处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 .
(第15题)
16.如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE.有下列结论：
(第16题)
①∠ADO＝30°；②S ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④S四边形OECD＝ S△AOD.
其中成立的个数为 .
三、解答题(共72分)
17.(6分)若某正多边形的一个外角的度数等于一个内角的度数的，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数.
18.(6分)如图，在 ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE，连接AE，CF.
(1)求证：BE＝DF；
(2)求证：△ABE≌△CDF.
19.(8分)如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且BC＝2CF，连接OE，EF，求证：四边形OCFE是平行四边形.
20.(8分)如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD.
(1)若∠1＝48°，求∠2的度数；
(2)求证：AB∥DE.
21.(10分)学行四边形后，小虹进行了拓展性研究.她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为O.(只保留作图痕迹)
已知：四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O.
求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∴∠ECO＝① .
∵EF垂直平分AC，∴② .
又∵∠EOC＝③ .
∴△COE≌△AOF(ASA).∴OE＝OF.
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.
请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线④ .
22.(10分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长.
23.(12分)如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接CE，AF.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AD＝13，AE＝12，AB＝20，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，求CH的长.
24.(12分)问题 如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案 EF＝2.
探究 (1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
(2)把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值.
答案及点拨
一、1. D 2. B 3. B 4. A 5. C
6. B 【点拨】正六边形的内角为(6－2)×180°÷6＝120°，正五边形的内角为(5－2)×180°÷5＝108°.
在六边形ABCDMN中，易得∠ANG＝(6－2)×180°－120°× 3－108°×2＝720°－360°－216°＝144°.
7. D 【点拨】∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝CD＋DE＋AE＝CD＋AD＝8，
∴ ABCD的周长＝2(CD＋AD)＝16.
8. A 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝6，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，
∴∠CDP＝∠APD.
∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP，
∴∠ADP＝∠APD，∴AP＝AD＝4，
∴BP＝AB－AP＝6－4＝2.
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴OE＝BP＝1.
9. D 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝AD，∴DE＝BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故A能判定.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，
又∵∠ABD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CDB，
∴CE∥BD.
又∵AE∥BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故B能判定.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠CBF，
在△DEF和△CBF中，
∴△DEF≌△CBF(AAS)，∴EF＝BF.
又∵DF＝CF，
∴四边形BCED为平行四边形，故C能判定.
由∠DEB＝∠BCD不能得出四边形BCED为平行四边形.
10. B 【点拨】连接EF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BEC＝∠FCE.
∵Q是CE的中点，∴EQ＝CQ.
在△BEQ和△FCQ中，
∴△BEQ≌△FCQ(ASA)，∴BE＝CF.
又∵BE∥CF，∴四边形BCFE为平行四边形，
∴易得S△BEF＝2S△BQC＝14 cm2.
∵AB＝CD，BE＝CF，∴AB－BE＝CD－CF，
∴AE＝FD.
又∵AE∥FD，∴四边形ADFE为平行四边形，
∴S△PEF＝S△APD＝3 cm2，
∴S阴影＝S△BEF＋S△PEF＝14＋3＝17(cm2).
二、11.9 12.5 13. BD∥FC(答案不唯一)
14.20° 【点拨】∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴FG∥AD，FG＝AD，EG∥BC，EG＝BC，
∴∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝60°，
∴∠FGE＝∠FGC＋∠EGC＝20°＋(180°－60°)＝140°.
∵AD＝BC，∴FG＝GE，∴∠GFE＝∠FEG，
∴∠FEG＝×(180°－∠FGE)＝20°.
15.16 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠AED＝∠A'DE.
由折叠得∠ADE＝∠A'DE，AD＝A'D，AE＝A'E，
∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A'D＝A'E，
∴AB－AE＝CD－A'D，∴A'C＝BE，
∴四边形A'EBC是平行四边形，
∴ A'EBC的周长＝2(A'C＋A'E)＝2(A'C＋A'D)＝2CD＝16.
16.2 【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴OB＝OD，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE，∠AEB＝60°.
∵AB＝BC，∴BE＝BC，
∴CE＝BE＝AE，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠OAB＝90°，∴∠OAD＝30°，
∴在Rt△AOB中，OB＞OA，OB＞AB，
∴③不成立，OD＞OA，
∴∠ADO≠∠OAD，即∠ADO≠30°，
∴①不成立.
∵∠OAB＝90°，即AB⊥AC，
∴S ABCD＝AB·AC，∴②成立.
设 ABCD的面积为8a(a＞0)，
则S△AOD＝S△COD＝S△BOC＝S ABCD＝2a.
∵BE＝CE，∴S△BOE＝S△COE＝S△BOC＝a，
∴S四边形OECD＝S△COE＋S△COD＝3a＝S△AOD，
∴④成立.
综上，成立的个数为2.
三、17.【解】设这个正多边形的一个内角的度数为x°.
由题意，得180－x＝x，解得x＝150，∴边数为360°÷(180°－150°)＝12，∴这个多边形的每一个内角的度数都为150°，边数为12.
18.【证明】(1)∵BF＝DE，
∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
19.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.
又∵E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥BC，OE＝BC.
又∵BC＝2CF，∴OE＝CF，
∴四边形OCFE是平行四边形.
20.(1)【解】∵六边形ABCDEF的每个内角都相等，
∴一个内角为＝120°，
∴∠E＝∠F＝∠BAF＝120°.
∵∠1＝48°，
∴∠FAD＝∠FAB－∠1＝120°－48°＝72°.
∵∠2＋∠FAD＋∠F＋∠E＝360°，
∴∠2＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝360°－72°－120°－120°＝48°.
(2)【证明】由题意得∠1＝120°－∠DAF，∠2＝360°－120°－120°－∠DAF＝120°－∠DAF，
∴∠1＝∠2，∴AB∥DE.
21.【解】如图.
①∠FAO ②AO＝CO ③∠FOA
④被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分
22.(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.
在△DFO和△BEO中，
∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
(2)【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC.
∵EF⊥AC，∴AE＝CE.
∵△BEC的周长是10，
∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10，
∴ ABCD的周长＝2(BC＋AB)＝20.
23.(1)【证明】连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴EO＝FO，∴四边形AFCE是平行四边形.
(2)【解】∵四边形AFCE，四边形ABCD都是平行四边形，AE＝12，AD＝13，
∴CF＝AE＝12，BC＝AD＝13.
∵CF⊥BD，AE⊥BD，∴∠CFB＝∠AEB＝90°，
∴BF＝＝＝5，
BE＝＝＝16.
由(1)可知BO＝DO，EO＝FO，∴DE＝BF＝5，
∴BD＝21.
易知S△ABD＝S ABCD，
∴×BD×AE＝×AB×CH，
即×21×12＝×20×CH，∴CH＝12.6.
24.【解】(1)①如图①，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠DEA＝∠EAB.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB.
∴∠DAE＝∠DEA.∴DE＝AD＝5.
同理可得，BC＝CF＝5.
∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝10.
①
②如图②，点E与点C重合，
由①可得DE＝DC＝AD＝5，CF＝BC＝5，
∴点F与点D重合，∴EF＝DC＝5.
②
(2)如图③，当DE＝EF＝FC时，
易得AD＝DE＝EF＝CF，∴＝＝.
③
如图④，当DF＝FE＝EC时，
易得AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，∴＝＝.
④
如图⑤，当FD＝DC＝CE时，
易得AD＝DE＝CF，
∵FD＝DC＝CE，∴＝＝2.
综上，的值是或或2.
⑤
