第四章综合素质评价
题 号 一 二 三 总 分
得 分
一、选择题(每题3分，共30分)
1.[2024·济南期末]泉城济南，泉甲天下，将如图所示的济南旅游形象标识平移后可以得到( )
A B C D
2.以下图案中，既是轴对称图案又是中心对称图案的是( )
A B C D
3.[2024·青岛月考]下列图形绕某点顺时针旋转90°后，能与原来的图形重合的是( )
A B C D
4.如图，将△ABC沿BC方向平移1 cm得到△A'B'C'.若B'C＝2 cm，则BC'的长是( )
(第4题)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
5.如图，△A'B'C'是由△ABC经过轴对称得到的，△A'B'C'还可以看做是由△ABC经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转.其中所有正确结论的序号是( )
(第5题)
A.①② B.②③ C.①③ D.②
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为点D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是( )
(第6题)
A.△ABC≌△DEC B.∠ADC＝45°
C. AD＝AC D. AE＝AB＋CD
7.[2023·青岛]如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是( )
(第7题)
A.(2，－3) B.(－2，3) C.(3，－2) D.(－3，2)
8.如图，已知四边形A'B'C'D'是由四边形ABCD平移得到的，若BB'＝3，A'D'＝8，则AD'的长可能是( )
(第8题)
A.3 B.5 C.8 D.11
9.如图，BO是等腰三角形ABC底边上的中线，AC＝2，AB＝4，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是( )
(第9题)
A.4 B. C. D.
10.[2024济宁期中 新视角 规律探究题]如图，长方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，OA＝OB＝，AD＝，将长方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次都旋转90°，则第2 025次旋转结束时，点C的坐标为( )
(第10题)
A. B.
C. D.
二、填空题(每题3分，共18分)
11.如果点A(6，－1)与点B关于原点对称，那么点B的坐标是 .
12.如图，已知∠DCE是由∠AOB经过平移得到的，OA与CE交于点F，若∠AOB＝30°，则∠AFC＝ .
(第12题)
13.[2023 枣庄 情境题 自然科学]银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为(－3，2)，(4，3)，将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A的对应点的坐标为 .
(第13题)
14.[新趋势 学科内综合]如图，将图中任意的一个白色方块涂色后，能使所有涂色方块构成的图形是中心对称图形的概率是 .
(第14题)
15.[2024·烟台期中]如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 .
(第15题)
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，4)，点B在第一象限内，将△OAB沿x轴正方向平移得到△O'A'B'，若点A的对应点A'在直线y＝x上，则点B与其对应点B'之间的距离为 .
(第16题)
三、解答题(共72分)
17.(6分)如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A(－1，4)，B(－3，1).
(1)画出线段AB向右平移4个单位长度后得到的线段A1B1；
(2)画出线段AB绕原点O旋转180°后得到的线段A2B2.
18.(6分)[母题教材P112习题T2]如图，在6×6的网格中已经将三个小正方形涂色，请按下列要求画图.
(1)在图①中将一个小正方形涂色，使涂色的四个小正方形组成一个轴对称图形；
(2)在图②中将一个小正方形涂色，使涂色的四个小正方形组成一个中心对称图形.
19.(8分)如图，将△ABC沿AB方向平移后得到△DEF.
(1)若∠A＝80°，∠E＝60°，求∠C的度数.
(2)若AC＝BC，BC与DF相交于点O，则OD与OB相等吗？说明 理由.
20.(8分)如图，在△ABC中，D是BC的中点.
(1)画出△ABD关于点D对称的图形；
(2)若AB＝6，AD＝4，AC＝10，求证：∠BAD＝90°.
21.(10分)如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F.将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上.
(1)若∠B＝50°，求∠DAF的度数；
(2)若∠E＝∠CAD，求证：AD＝CD.
22.(10分) [新视角 存在性探究题]△ABC在平面直角坐标系中如图所示，每个顶点都在格点上.
(1)求△ABC的面积.
(2)若△ABC中任意一点P(x0，y0)平移后的对应点为P1(x0＋3，y0＋4)，请画出△ABC平移后得到的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的 坐标.
(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在点Q，使以A1，B，Q三点为顶点的三角形的面积为3？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
23.(12分)已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D是△ABC所在平面内任意一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接AD，DE，BE.
(1)如图①，若点D为△ABC内一点，求证：AD＝BE；
(2)如图②，若点D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长.
24.(12分) [新视角 过程探究题]综合与实践：
【问题情境】在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含30°角的三角板拼图间存在的关系.
如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AC＝DC＝4.
【操作探究】
(1)如图①，当点D，C，B在同一条直线上时，直线AB与直线DE的位置关系是 ；
(2)如图②，将图①中的三角板DEC绕点C顺时针旋转120°，边DE与边CB交于点G，请判断此时EC与AB的位置关系及△CDG的形状；
(3)如图③，将图①中的三角板DEC绕着点C顺时针旋转，边AB与边EC交于点M，当△CBM是以BM为腰的等腰三角形时，求AM的长.
答案及点拨
一、1. A 2. B 3. C
4. C 【点拨】∵将△ABC沿BC方向平移1 cm得到△A'B'C'，
∴BB'＝CC'＝1 cm.
又∵B'C＝2 cm，
∴BC'＝BB'＋B'C＋CC'＝1＋2＋1＝4(cm).
5. D
6. D 【点拨】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，DE＝AB，△ABC≌△DEC，
∴∠DAC＝∠ADC.
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠DAC＝∠ADC＝45°，∴∠ACD＝90°，
∴AD＝＝AC＝CD，
∴AE＝AD＋DE＝CD＋AB，
故A，B，C正确，D错误.
7. A
8. C 【点拨】连接DD'.
∵四边形A'B'C'D'是由四边形ABCD平移得到的，BB'＝3，A'D'＝8，
∴AD＝A'D'＝8，DD'＝BB'＝3，
∴8－3＜AD'＜8＋3，即5＜AD'＜11.
9. D 【点拨】∵BO是等腰三角形ABC底边上的中线，∴AO＝CO＝AC＝1，∠BOA＝∠BOC＝90°，
∴BO＝＝＝.
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，
∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝，∴AQ＝AC＋CQ＝3，
∴AP＝＝＝.
10. A 【点拨】如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，则∠BEC＝90°.
∵OA＝OB＝，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°.
又∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∴∠BCE＝∠CBE，∴CE＝BE.
∵BC＝AD＝，
∴在Rt△CBE中，BC＝＝，
∴CE＝BE＝1，
∴OE＝OB＋BE＝，∴C.
∵长方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次都旋转90°，
∴第1次旋转结束时，点C的坐标为；
第2次旋转结束时，点C的坐标为；
第3次旋转结束时，点C的坐标为；
第4次旋转结束时，点C的坐标为；….
发现规律：点C的坐标旋转4次为一个循环.
∵2 025÷4＝506……1，
∴第2 025次旋转结束时，点C的坐标为.
二、11.(－6，1) 12.150° 13.(－3，1) 14.
15.16 【点拨】∵在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，∠A1BA＝30°，
∴A1B＝AB＝8，＝S△ABC.
过点A1作A1D⊥AB于点D，则∠A1DB＝90°，
∴A1D＝A1B＝4，∴＝×8×4＝16.
易知S阴影＝＋－S△ABC，
＝S△ABC，
∴S阴影＝＝16.
16.5 【点拨】设点B与其对应点B'之间的距离为a，则△OAB沿x轴正方向平移a个单位长度得到△O'A'B'.∵点A的坐标为(0，4)，
∴点A的对应点A'的坐标为(a，4).
又∵点A'在直线y＝x上，
∴a＝4，解得a＝5，
即点B与其对应点B'之间的距离为5.
三、17.【解】(1)如图，线段A1B1即为所求.
(2)如图，线段A2B2即为所求.
18.【解】(1)如图①.(答案不唯一)
(2)如图②.(答案不唯一)
19.【解】(1)∵将△ABC沿AB方向平移后得到△DEF，
∴∠ABC＝∠E＝60°.
在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠ABC＝180°－80°－60°＝40°.
(2)OD＝OB.理由如下：
∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC.
由平移的性质得∠A＝∠EDF，
∴∠ABC＝∠EDF，∴OD＝OB.
20.(1)【解】画出图形如图，△ECD即为所作图形.
(2)【证明】由中心对称图形的性质得△ECD≌△ABD，
∴CE＝AB＝6，DE＝AD＝4，∠CED＝∠BAD，
∴AE＝8.在△ACE中，AE2＋CE2＝82＋62＝102＝AC2，
∴∠CED＝90°，∴∠BAD＝90°.
21.(1)【解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，∴AD＝AB，∴∠ADF＝∠B.
又∵∠B＝50°，∴∠ADF＝50°.
∵AF⊥BC，∴在Rt△ADF中，∠DAF＝90°－50°＝40°.
(2)【证明】∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，
∴∠C＝∠E.
又∵∠E＝∠CAD，∴∠C＝∠CAD，∴AD＝CD.
22.【解】(1)△ABC的面积为3×4－×3×1－×3×2－×4×1＝5.5.
(2)如图，△A1B1C1即为所作.
A1(2，3)，B1(5，5)，C1(1，6).
(3)存在.点Q的坐标为(－1，0)或(5，0).
23.(1)【证明】∵△ABC是等腰直角三角形，
∠ACB＝90°，∴AC＝BC.
∵CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴∠DCE＝90°＝∠ACB，CD＝CE，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE.
(2)【解】∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°.
同(1)易证△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠A＝45°，AD＝BE＝5，
∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝90°.
在Rt△BDE中，由勾股定理得BD2＋BE2＝DE2，
∴DE2＝BD2＋AD2＝122＋52＝169，
∴DE＝13.
24.【解】(1)垂直
(2)由旋转的性质得∠ACE＝120°.
∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝30°.
∵∠B＝30°，∴∠BCE＝∠B，∴CE∥AB.
∵∠DCE＝90°，∴∠DCG＝∠DCE－∠BCE＝60°.
∵△ABC≌△DEC，∴∠E＝∠B＝30°.
∴∠D＝90°－∠E＝60°，∴∠DGC＝180°－∠DCG－∠D＝60°，∴∠DCG＝∠D＝∠DGC，
∴△CDG是等边三角形.
(3)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8.
△CBM是以BM为腰的等腰三角形，分以下两种情况：
当BC＝BM时，
易知BC＝＝，
∴AM＝AB－BM＝AB－BC＝8－.
当CM＝BM时，∠MCB＝∠B，
∴∠MCA＝90°－∠MCB＝90°－∠B＝∠A，
∴CM＝AM，
∴AM＝CM＝BM＝AB＝4.
综上，AM的长为8－或4.
