2023-2024 学年下学期高二第二次月考联考数学参考答案
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D B A D C B D C CD AD BCD
an 1
11.【详解】A. 2n 2 n N* 2 a ，变形为 a
2
n 2 2n 2an 2 0，
n
a 2 2n 2 2 2n根据求根公式可知 ，因为 an 1n ，2
a 2 2n 2 2 2n所以 n 2n 2 2n ，故 A错误；2
B. S3 a1 a2 a3 4 2 6 4 8 6 8 2 2 ，故 B正确；
a 0 an 1 2n 4 2n 2 n 2 n 1C. n ， an 2n 2 2n n 1 n
n 2 n 1 n 2 n 1 n 1 n n 1 n
1
，n 2 n 1 n 1 n n 1 n n 2 n 1
所以 a *n 1 an（ n N ）,故 C正确；
D. Sn 4 2 6 4 8 6 ... 2n 2 2n
2n 2 2
所以 Sn 2 2n 2
ln S 1n 2 ln 2n 2 ，2
设 f x ln x x 1， x 0，
f x 1 1 x 1 ，当 x 0,1 时， f x > 0，函数 f x 单调递增，
x x ( )
当 x 1, 时， f x 0，函数 f x 单调递减，所以当 x 1时，函数 f x 取得最大值 0，所以 f x 0，即
ln x x 1，当 x 1时，等号成立，
1
{#{QQABQQoAogAIAJBAAAhCAwUyCAEQkACAAQgGAFAIsAABwBFABAA=}#}
所以 ln 2n 2 2n 1， n N*，
所以 ln S1 2 ln S2 2 ln S n 2 1 ln 4 ln 6 ... ln 2n 2 2
1 n 3 2n 1 n n 2
3 5 ...
1
2n 1 ，故 D正确.2 2 2 2
故选：BCD
三、填空题
3n2 n
12． 13． ( 3, 2] 14．e 2
2
f x aln2x 1 x f x 2alnx14.【详解】因为 ，所以 1 (x ,aln2，设切点为 x
x 0 0
1 x0 )，
aln2x0 1 x0 2alnx0 2
由题意， 1有且仅有一解，即 aln x 2alnx
x x 0 0
1 0只有一解，
0 0
则 4a2 4a 0，解得 a 1或 a 0（舍），所以 x 1, ， ln2x 1 x mlnx 0恒成立，即
ln2x 1 x mlnx在 1, 上恒成立，
当 x 1时，0 ( m) 0 0，此时m R；
x 1 m ln
2x 1 x
当 时， 在 1, 上恒成立，
lnx
2 2
记 g(x) ln x 1 x ln x 1 x xlnx ，则 m g(x)max ， g (x) ，
lnx xln2x
2 x lnx
令 h(x) ln 2x 1 x xlnx h ，则 (x) ， x 1，
x
令 h x 0，得 x 2，令 h x 0，得1 x 2，
所以 h x 在 1,2 单调递增，在 (2, )单调递减，
又 h 1 h e 0,h 2 0，所以当1 x e时， g (x) 0，当 x e时， g (x) 0，
g(x) ln
2x 1 x
所以 在 1,e 单调递增，在 e, 单调递减，
lnx
所以 g x g e 2 emax ，所以 m 2 e，即m e 2，
综上，m e 2，所以实数m的最大值是 e 2
故答案为： e 2
2
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四、解答题
15.（13分）
【答案】（1）9x y 0. （2）最小值为-14，最大值 18
【小问 1详解】
3
因 f x ax bx 2，故 f x 3ax2 b ………………………………………………………1 分
f 2 12a b 0
由于 f x 在 x 2处取得极值-14，故有
f 2 8a
，
2b 2 14
12a b 0 a 1
化简得 a b ，解得 ，4 8 b 12 ………………………………………………………………3 分
经检验， a 1,b 12时，符合题意，所以 a 1,b 12 .……………………………………4 分
则 f x x3 12x 2 f x 3x2， 12，故 f 1 9, f 1 9 .…………………………5 分
所以曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为： y 9 9 x 1
即9x y 0. ………………………………………………………………………………………6 分
【小问 2详解】
f x x3 12x 2， f x 3x2 12，
f x 0解得 x 2或 x 2； f x 0解得 2 x 2， ……………………………………8 分
即函数 f x 在 3, 2 上单调递增， 2,2 上单调递减， 2,3 上单调递增，…………10 分
f 3 11, f 2 18, f 2 14, f 3 7，…………………………………………………11 分
因此 f x 在 3,3 的最小值为 f 2 14 .最大值为 f 2 18…………………………13 分
16.(15 分）
S 1
2n 3 3
【答案】（1） n （2） n 2 n 1 n 2 4
【小问 1详解】
因为an 1 Sn 1 Sn， an 1 SnSn 1 Sn 0 ， ………………………………………………………2 分
所以 Sn 1 Sn Sn ·S
1 1
n 1 ，两边同除以 Sn·Sn 1得 1Sn 1 Sn ， …………………………………4 分
a 1 1 1因为 1 ，所以 1
S ，因此数列
1 1
Sn 是首项为 ，公差为 的等差数列，1
1
所以 1 (n 1) ( 1) n
1
，所以 Sn . ………………………………………………7 分Sn n
【小问 2详解】
3
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1 Sn 1 1 1 1
由（1）知 Sn ，∴
n 2 n n 2 2 n n 2 ，………………………………11 分n
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∴ n
1
2 3
L 1
2 4 n n 2 2 2 n 1 n 2
2n 3 3
2 n 1 n 2 4 .………………………………………………………………………………………15 分
17.(15 分）
解 设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm．
60－2x
由已知得 a＝ 2x，h＝ ＝ 2(30－x)，（0＜x＜30）． ………………………………3 分
2
注：没有写定义域扣 1分
2
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15) ＋1 800，
所以当 x＝15 时，S取得最大值． ……………………………………………………………………7 分
2 3 2
(2)V＝a h＝2 2(－x ＋30x )，V′＝6 2x(20－x)． …………………………………………9 分
令 V′＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝20．
当 x∈(0，20)时，V′＞0；当 x∈(20，30)时，V′＜0． ………………………………11 分
h 1
所以当 x＝20 时，V取得极大值，也是最大值．此时 ＝ ， ……………………………13 分
a 2
所以包装盒的容积最大时，x＝20
1
此时，包装盒的高与底面边长的比值为 ． ……………………………………………………15 分
2
18.(17 分）
【小问 1详解】
2
f x 2 2 mx mx (x 0)………………………………………………………………………1 分
x x
（ⅰ）当m 0时， f ' x 0， f x 在 0， 上为单调递增 ………………………………2 分
2
（ⅱ）当m 0时， f ' x 0 2，解得：0 x ， f x 在 0, 为单调递增m m
f ' x 0 2 2，解得： x ， f x 在 , 为单调递减……………………………………4 分
m m
【小问 2详解】
4
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2
当m 1时， f x 2lnx 1 x2 1(x 0)， f x 2 x 2 x (x 0)， …………5 分2 x x
令 f x 0，得 x 2，当 x 0, 2 时， f x 0, f x 单调递增；
当 x 2, 时， f x 0, f x 单调递减， ………………………………………………7 分
所以 f x 在 x 2处取得唯一的极大值，即为最大值，
所以 f (x)max f 2 2ln 2 1 2 1 ln2，所以 f x ln2，2
而 ln2 < lne =1，所以 f x 1. ……………………………………………………………………9 分
【小问 3详解】
G x f x m 2 x 2lnx 1 mx2令 2 m x 1.
2
2
2 mx 2 m x 2则G x mx 2 m .
x x
当m 0时，因为 x 0 ，所以G x 0，所以G x 在 0, 上单调递增，
又因为G 1 3 m 3 0.所以关于 x的不等式G x 0不能恒成立； ……………11 分
2
m x 2 x 1
当m 0时， G x m .
x
令G x 0 x 2 2 ，得 ，所以当 x 0, 时，G x 0 x
2
, G ；当 时， x 0.m m m
2 2
因此函数G x 在 0, 上单调递增，在 ,
m 上单调递减. m
2 2
故函数G x 的最大值为G 2lnm 2ln2 1m m .…………………………………………14 分
令 h m 2 2lnm 2ln2 1，
m
因为 h 1 1 2ln2 0,h 2 1 0,h 3 2ln2 2ln3 0， …………………………………15 分
3
又因为h m 在 0, 上单调递减，所以当m 3时， h m 0 .
所以整数m的最小值为 3. ……………………………………………………………………17 分
19、(17 分）
【答案】(1)1，2，3；
5
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(2)不是；
(3)) (i)95；(ii)见解析.
【详解】(1)解：因为S1= 1 =20， 所
以1 为该数列的“佳幂数”；
又因为S2= 1 + 1 = 2 = 21，S3= 1 + 1 + 2 = 4 =
22， 所以2，3 为该数列的“佳幂数”；
所以该数列的前3 个“佳幂数”为：1，2，3； ……………………………………………………………4 分
(2)解：由题意可得，数列如下：
第1组:1；
第2 组:1,2；
第3组：1,2,4；
第k 组：1,2,4， , 2k-1，
则该数列的前1 + 2 + +k = 项的和为:
S k k 1 1 (1 2) (1 2 2
k 1) 2k 1 k 2 ①
2
当 ≤50 时，k ≤9，
则 S S 1 2 22 23 24 21050 45 11 31 2
10 20，
由于210 210 20 211 , p N ,S50 2
p
故 50 不是“佳幂数”.……………………………………………………………………10分
(3) (i)解：在①中，要使 > 70，有k ≥12，
此时 1 2 4 2k 2k 1 1 1 1 k 1 1 1 C1 kk 1 Ck 1 1 1 k 2
所以k+ 2 是第k+ 1 组等比数列1,2,4， , 2k 的部分项的
和， 设 k 2 1 2 2t 1 2t 1,t ∈N*.
所以k = 2t-3 ≥12，则t≥4，此时k = 24-3 = 13，
所以对应满足条件的最小“佳幂数”m = + 4 = 95.……………………………14 分
(ii)证明：由(i)知：k + 2 = 1 + 2 + +2t-1= 2t-1,t ∈N*.
当t ≥2，且取任意整数时，可得“佳幂数”m = + t，
所以，该数列的“佳幂数”有无数个。…………………………………………………17分
6
{#{QQABQQoAogAIAJBAAAhCAwUyCAEQkACAAQgGAFAIsAABwBFABAA=}#}2023——2024学年下学期
崇仁一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中
高二第二次月考联考数学试题
考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知一列数如此排列：1，，4，，16，，则它的一个通项公式可能是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则其在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 在等差数列中，首项，前3项和为6，则等于（ ）
A. 0 B. 6 C. 12 D. 18
4．设为等差数列的前项和，．若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
5 已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为（ ）
A. 或 B. C. 2 D.
6．已知函数,则的图像大致为（）
A. B. C. D.
7. “数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论 代数学 非欧几何 复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数 倒序相加法 最小二乘法等等.已知某数列的通项，则
（）
A. B. C. D.
8．已知函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10．已知函数，，则（ ）
A．1是函数的极值点 B．当时，函数取得最小值
C．当时，函数存在2个零点 D．当时，函数存在2个零点
11. 已知各项均为正数的数列满足：，且，是数列的前n项和，则（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等差数列中，，，则的前和为.
13．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是.
14. 已知函数有且仅有一条切线经过点.若，恒成立，则实数的最大值是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. (13分）已知函数在处取得极值-14.
（1）求曲线在点处切线方程；
（2）求函数在上的最值.
16．(15分）设是数列的前n项和，且，．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．
17. (15分）请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
18. (17分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性
（2）当时，证明：；
（3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
19.(17分）已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ,其中第一项是，接下来的两项是 ，再接下来的三项是 ，依此类推. 设该数列的前 项和为 ,
规定：若 使得，则称 为该数列的“佳幂数”.
(1) 将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前 3 个“佳幂数”；
(2) 试判断 50 是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3) (i) 求满足 的最小的“佳幂数”; (ii) 证明：该数列的“佳幂数”有无数个.
