2023～2024学年度5月质量检测
高二数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡
上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则（ ）
A. B. C.4 D.2
3.函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
4.若直线与圆：（）相切，则圆的半径为（ ）
A.2 B.4 C. D.8
5.从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知两个非零向量，满足则在方向上的投影向量为（ ）
A. B C. D.
7.已知函数在上单调递增，且是奇函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知，设函数若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数（），点，是曲线的两个相邻的对称中心，则（ ）
A.的最小正周期为
B.在区间上的最大值为2
C.直线是曲线的一条对称轴
D.在区间上有3个零点
10.设数列的前项和为，已知则下列结论正确的为（ ）
A.若，则为等差数列
B.若，则
C.若，则是公差为的等差数列
D.若，则的最大值为1
11.已知抛物线：的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，直线的斜率为，则（ ）
A.的准线方程为 B.，，成等差数列
C.若在的准线上，则 D.若在的准线上，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中，的系数为______.（用数字作答）
13.已知为坐标原点，若双曲线：（，）的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是______.
14.已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知数列满足，
（1）证明：数列为等比数列；
（2）在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求.
16.（本小题满分15分）
近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势.已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据：
体育运动时长小于1小时 体育运动时长大于或等于1小时 合计
近视 4
无近视 2
合计
（1）请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？
（2）为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于1小时的人数，求的分布列和数学期望，
附：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.82
参考公式：，其中.
17.（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，，，为的中点.
（1）证明：；
（2）设为的中点，在棱上，满足平面，求与平面所成角的正弦值
18.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形、
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点为上的一个动点，求面积的最大值；
（3）若直线与交于，两点，且，证明：直线过定点.
2023～2024学年度5月质量检测·高二数学
参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C A D C D
题号 9 10 11 11
答案 ABC ABD BCD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】由，解得，所以，又由，解得，所以，故选B.
2.【答案】A
【解析】，则，故选A.
3.【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，故选B.
4.【答案】C
【解析】依题意，，解得，所以圆的半径为，故选C.
5.【答案】A
【解析】，所以，故选A.
6.【答案】D
【解析】由，可知，所以在方向上的投影向量为，故选D.
7.【答案】C
【解析】由是奇函数及在上单调递增可知，关于对称，且当时，，当时，，所以当或时，，故选C.
8.【答案】D
【解析】当时，易知的最小值为，
当时，，令，解得，
若，则在上单调递增，
所以只需，解得或，
又，所以，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
成立，所以符合题意，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】ABC（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】依题意，，所以，，A选项正确；
当时，，
∴在区间上的最大值为2，B选项正确；
由A可知，，当时，，
所以直线是曲线的一条对称轴，C选项正确；
在一个周期长度内至多只有2个零点，D选项错误，故选ABC.
10.【答案】ABD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】当时，，所以为等差数列，A选项正确；
，所以是公差为的等差数列，C选项错误：
当时，，所以，B选项正确；
由可知，，所以，D选项正确，故选ABD.
11.【答案】BCD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】：，抛物线的准线方程为，A选项错误；
设，，
∵，∴，，，
∴，B选项正确；
设直线：，：，
解得，，，，C选项正确；
，
当且仅当时取等号，D选项正确，故选BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】的展开式的通项为，
所以，的系数为.
13.【答案】
【解析】设渐近线的倾斜角为，则，即，
所以，离心率.
14.【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，且母线与底面所成角为，
则，，
圆锥侧面积为，
设，则
，
当且仅当，即时，取得最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.【答案】（1）略 （2）39
【解析】（1）证明：∵，∴，∴
又∵，∴是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，所以，
所以，即，
解得.
16.【答案】（1）表格见解析，学生是否近视与体育运动时长有关 （2）分布列见解析、
【解析】（1）
体育运动时长小于1小时 体育运动时长大于或等于1小时 合计
近视 8 4 12
无近视 2 36 38
合计 10 40 50
零假设：学生是否近视与体育运动时长无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出成立，
因此可以认为不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关；
（2）的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
.
17.【答案】（1）略 （2）
【解析】（1）证明：连接，因为，且，
所以，，
又在直三棱柱中，，平面，平面，
故，
又，，平面，所以平面，
又平面，故；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
设，，
则由得解得，
所以平面的一个法向量为，设与平面所成角为，
，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
18.【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）
【解析】（1）当时，，，
所以，，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）（ⅰ）（），
依题意，有两个不同的零点，
即有两个不同的正实数根，
因为，所以；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，有两个不同的正实数根，，不妨设，
则在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以为的极小值点，
则
设，则，
所以当时，单调递减，
依题意，，所以，
所以，因为在区间上单调递增，
所以，
所以的极大值的取值范围是.
19.【答案】（1） （2） （3）略
【解析】（1）设的焦距为，依题意，，
又，所以，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）易知，直线的斜率为，且，
设直线，联立椭圆方程可得，
令可得，，解得，
当时，直线与直线：的距离为，
所以的面积为，
当时，直线与直线：的距离为，
所以的面积为，，
所以面积的最大值为；
（3）证明：易知直线的斜率存在，不妨设直线：，，，
依题意，，即，
，
同理可得，，
所以，即，
整理可得，所以，
所以直线：，
所以直线过定点.
