问津教育联合体2025届高二5月联考
数学试题
（考试用时：120分钟 试卷满分：150分）
2024.5
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每次游戏可掷7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，则小明在此次游戏中得分的可能取值有（ ）种
A.10 B.11 C.13 D.14
3.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A.5 B.10 C. D.15
5.已知随机变量的分布列如下所示，则的最大值为（ ）
1 2 3
A. B. C. D.
6.下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则
②一批零件共有20个，其中有3个不合格.随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；.
A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③
7.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A.
B.记第行的第个数为，则
C.第30行中第12个数与第13个数之比为13:18
D.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
8.已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ）
A.四位回文数有45个 B.四位回文数有90个
C.（）位回文数有个 D.（）位回文数有个
10.现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A.在第一次抽到2号球的条件下，第二次也抽到2号球的概率是
B.在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
C.第二次取到1号球的概率
D.如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大
11.甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出（）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列满足，，则______.
13.若，则______.
14.已知函数，若，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中，______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求展开式中项的系数；
（2）求被7除的余数.
16.（本小题满分15分）
已知数列满足，且，其前项和记为.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和记为，求证：.
17.（本小题满分15分）
某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.
（1）顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据；
（2）已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？
18.（本小题满分17分）
已知函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）
AI机器人，即人工智能机器人，是一种基于人工智能（AI）技术的机器人，目前应用前景广阔．我国某企业研发的家用AI机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为，，.
（1）已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%，求在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率；
（2）该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用AI机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字1～10的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束.
①求获得“优惠券”的概率；
②若有32个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值.
问津教育联合体2025届高二5月联考
数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. B 2. C 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BD 10. AC 11. ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【详解】（1）选条件①各项系数之和为，取，
则，解得
此时展开式中项的系数为；
选条件②常数项为，由，
则常数项为，解得；
选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，
则，解得.（注：若选②③赋分同①）
（2）
，
，
所以被7除的余数为6.
16.【详解】（1）由得，
当，，
所以，即，
故为公差是1的等差数列，
又当时，，即，且，所以，
所以，故通项公式为；
（2）∵由（1）知为等差数列，
∴，
，
∴
，
即.
17.【详解】（1）方案一：设中奖次数为，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，
即，所以的数学期望为，
方差为；
方案二：设中奖次数为，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，
中奖次数的所有可能取值为0，1，2，则，
，，
所以的分布列为
0 1 2
所以的数学期望为，
方差，
，，两种方案中奖次数的期望相同，但方案一的方差较小，中奖的波动性小，稳定性较好，故从中奖的数字特征角度来看，顾客甲选方案一较好.
（2）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，则300位顾客按照方案二抽奖，
其中中奖2次的人数，
恰有人中奖2次的概率为，，，
令，解得，
于是，当时，；
当时，，故当时，最大，
所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大.
18.【详解】（1）函数的定义域是，
令即，
①当，即时，，函数在上单调递增.
②当，即时，令，得；
令，得或，
又因为，令，即所以
当时，在和递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，上递增；
（2）当时，恒成立，即恒成立，
设，则，
令，则，
当时，，所以在上递减，，
即，在上递减，，
故.
19.【详解】（1）设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为，
则，
设家用机器人智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，则
，，所以，
即在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率约为；
（2）①设乙箱中有个球的概率为（），第一次抽到奇数，家用机器人运1个乒乓球，概率为，即，乙箱中有2个球，有两类情况，所以，乙箱中有（）个球的情况有：
ⅰ家用机器人已运个球，又抽出偶数，其概率为；
ⅱ家用机器人已运个球，又抽出奇数，其概率为；
所以，且，所以，
所以，即当时数列是公比为的等比数列，
所以，
又，，所以当时也成立，
所以，，……，，
上述各式相加得
，
又，所以，（），
经检验，当时上式也成立，
所以（，），
所以，即获得“优惠券”的概率为；
②设参与游戏的32个幸运顾客中获得优惠券的人数为，则，
所以的期望，
设优惠券的总金额为元，则，
所以32个幸运顾客中获得优惠券总金额的期望值（元），
故该企业预备的优惠券总金额的期望值为8525元.
