大题12振动与波动
振动与波动时高中力学的拓展内容，在历年高考中都有体现，多以选择题的形式出现偶尔也会以计算题的形式出现。其中以波动形成与传播，振动方程、波动方程，波的叠加与干涉等为命题载体，当然也会与动力学相结合，借助经典圆周模型考察单摆等。
简谐运动的证明及方程
【例1】（2024·江苏泰州·一模）如图所示，一根粗细均匀的木筷下端绕有几圈铁丝，竖直浮在一个较大的盛水容器中，以木筷静止时下端所在位置为坐标原点O建立直线坐标系，把木筷往下压一段距离后放手，木筷就在水中上下振动。已知水的密度为，重力加速度为g，不计水的阻力。
（1）试证明木筷的振动是简谐运动；
（2）观测发现筷子每10秒上下振动20次，从释放筷子开始计时，写出筷子振动过程位移随时间变化的关系式。
1.简谐运动的两种运动学描述
(1)简谐运动图像即x－t图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点的位移x随时间t变化的规律。
(2)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。
2.简谐运动的动力学描述：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
（2024·重庆·一模）如图，光滑圆槽的半径L远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时乙球的位置B低于甲球位置A，甲球与圆偿圆心连线和竖直方向夹角为θ，丙球释放位置C为圆槽的圆心，Q为圆槽最低点；重力加速度为g。若甲、乙、丙三球不相碰，求：
（1）求甲球运动到O点速度大小；
（2）通过计算分析，甲乙丙三球谁先第一次到达O点；
（3）若单独释放甲球从降放到第15次经过O点所经历的时间。
波形图的综合应用
【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，一列水平向右传播的简谐横波，波速大小为v=0.6 m/s，P质点的平衡位置坐标为x=0.96 m。从图中状态开始计时（此时该波刚好传到距O点0.24 m的位置），求：
（1）经过多长时间，P质点第一次到达波峰？
（2）经过多长时间，P质点第二次到达波谷？P质点第二次到达波谷时，P质点通过的路程及该时刻的位移为多少？
波动图像和振动图像的综合分析
1.两种图像的比较
振动图像 波的图像
不同点 物理意义 表示一质点各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
研究对象 一振动质点 沿波传播方向的所有质点
研究内容 一质点位移随时间的变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律
图像
图线随 时间变 化情况 图线随时间延伸，原有部分图形不变 整个波形沿波的传播方向平移，不同时刻波形不同
比喻 单人舞的录像 抓拍的集体舞照片
相同点 图像形状 正弦曲线
可获得 的信息 质点振动的振幅、位移、速度、加速度的方向及变化
2.两种图像的联系
由振动图像可读出质点的振动周期T，而质点振动的周期与波源的振动周期及波的传播周期是相同的；由波的图像可读出波长λ，据v＝可求波速。
由振动图像可画波的图像，由波的图像也可画出质点的振动图像。
（23-24高三上·江西赣州·期末）一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t1=0时刻恰好传播到x=-2m处，此时波形如图所示。a、b两质点的坐标分别为（3m，0）和（7m，0），已知t2=3s时，质点a第一次出现在波峰位置。
（1）求这列波的传播速度和周期；
（2）当质点b第二次出现在波谷位置时，求质点a通过的路程。
波的干涉
【例3】（2024·四川成都·二模）一均匀介质中有振源N，位于x轴上的（10m，0）处，产生的机械波向左传播，N开始振动经过1s后波形如图所示。求：
（1）机械波在该介质中的波速；
（2）若在（-11m，0）有一振源M与N同时振动且起振方向相同，则稳定以后M、N之间振动加强点的个数。
1.发生干涉的条件：(1)两列波的频率相同；(2)相位差恒定。
2.干涉图样的特点
(1)加强区和减弱区的位置固定不变。
(2)加强区始终加强，减弱区始终减弱(加强区与减弱区不随时间变化)。
(3)加强区与减弱区互相间隔。
3.振动加强点和振动减弱点
(1)振动加强点：振动的振幅等于两列波振幅之和，即A＝A1＋A2。
(2)振动减弱点：振动的振幅等于两列波振幅之差，即A＝|A1－A2|。
(3)振动加强点和振动减弱点的判断
①条件判断法：振动频率相同、振动情况完全相同的两波叠加时，设点到两波源的路程差为Δx，当Δx＝|x2－x1|＝kλ(k＝0，1，2，…)时为振动加强点；当Δx＝|x2－x1|＝(2k＋1)(k＝0，1，2，…)时为振动减弱点。若两波源振动步调相反，则上述结论相反。
②现象判断法：若某点总是波峰与波峰或波谷与波谷相遇，该点为振动加强点，若某点总是波峰与波谷相遇，则为振动减弱点。
（23-24高三下·陕西延安·开学考试）位于坐标原点的波源在时刻开始沿轴负方向做简谐运动，形成一列沿轴正方向传播的机械波，时，至区域内第二次出现如图所示波形。
（1）求该列波的波速大小：
（2）若在波源起振的同时，位于处的另外一波源同时起振，振动频率与相同，起振方向与起振方向相反，求在轴上至之间（不含波源处）振动加强点位置的横坐标。
1．（2024·四川德阳·二模）如图（a）所示，同种均匀介质中的两波源S1、S2分别位于x轴上x1=-4m和x2=12m处，t=0时刻两波源同时开始持续振动并相向传播，其振动图像如图（b）和图（c）所示，t=0.75s时平衡位置位于x3=2m处的质点P刚刚开始振动。求：
（1）波长的大小；
（2）质点P起振后的振动方程和起振后1s内振动的路程。
2．（2024·江苏南通·一模）某同学用手握住绳子的一端，上下抖动绳子使绳子振动起来，手抖动的频率为2Hz。以手的平衡位置为坐标原点，抖动绳子过程中某时刻的波形图如图所示，求：
（1）该波的波速大小；
（2）从图示时刻起，x＝5m处的质点再经过s时间内的路程。
3．（23-24高三下·江苏无锡·开学考试）如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t=0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2。
（1）求单摆的振动周期和摆长；
（2）求摆球运动过程中的最大速度。
4．（2024·四川成都·二模）一列简谐横波在介质中沿轴正方向传播，和A是介质中平衡位置分别位于和处的两个质点。时刻的波形图如图所示，时，质点第一次回到平衡位置。求：
（1）该简谐横波的周期、波速和波长；
（2）质点A的位移随时间变化的关系式。
5．（22-23高三上·河南·阶段练习）一列简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻的波形如图，此时x轴上P、Q与原点O的距离分别为3m、7m，此时质点P刚好振动了0.4s，质点Q刚好开始起振。求：
（1）波在介质中的传播速度；
（2）从图示时刻起，14s内x=30m处的质点M的位移和运动的路程。
6．（22-23高三上·河南·阶段练习）一列简谐横波沿x轴传播，时刻的波形图如图所示，质点A平衡位置的横坐标为，此时沿y轴负方向运动，经过3s，质点A运动的路程为56cm，求：
（1）该波的传播方向和波速的大小；
（2）从时刻起，再经过多长时间，质点A第一次到达平衡位置向y轴正方向运动。
7．（23-24高三下·江苏·开学考试）有一列振幅为4.0cm的简谐横波沿x轴正方向传播，t = 0 时刻位于0点的波源开始振动。t = 0.4s 时的波形如图所示，此时波传播到x = 4.4m处，波源的坐标为y = 2.0cm，试求：
（1）该简谐波传播的速度v；
（2）该简谐波的波长λ。
8．（23-24高三下·山东·开学考试）一列沿x轴传播的简谐横波在时刻的波形如图甲所示，位于坐标原点O处的质点恰好位于平衡位置，O处质点的振动情况如图乙所示，求
（1）该波的传播速度大小和方向；
（2）0.5s~1.0s内O处质点的路程。
9．（2023·全国·模拟预测）如图所示，时，位于原点O处的波源，从平衡位置（在x轴上）开始沿y轴正方向做周期，振幅的简谐振动，该波产生的简谐横波沿x轴正方向传播，当平衡位置坐标为的质点P刚开始振动时，波源刚好位于波谷，求：
（1）质点P在开始振动后的内通过的路程是多少？
（2）该简谐横波的最大波速是多少？
（3）若该简谐横波的波速为，Q质点的平衡位置坐标为（在图中未画出）。请写出以时刻为新的计时起点的Q质点的振动方程。
10．（23-24高三上·山东威海·期末）如图所示，t=0时刻，位于x=0处的质点A从平衡位置开始向下运动，经1.4s第一次形成如图所示的波形。质点B是平衡位置为x=2.2m处的质点。求：
（1）该波的波速；
（2）从t=0到质点B第一次到达波峰，质点A通过的路程。
11．（23-24高三上·海南·期末）如图1所示为一列在均匀介质中传播的简谐横波在时刻的波形图，图2为平衡位置在处的质点M的振动图像。
（1）判断该列横波的传播方向；
（2）求波上各质点振动时的频率与振幅；
（3）求质点M在哪些时刻处于波峰。
12．（23-24高三上·贵州贵阳·期末）一简谐横波沿水平直线传播，两质点P、Q平衡位置相距0.4m，如图所示。时，P、Q两质点的位移为正的最大值，而且P、Q间只有一个波谷。时，P、Q两质点刚好在平衡位置，且P、Q之间只有一个波峰一个波谷，波峰对应的平衡位置到О点的距离为四分之一波长。求：
（1）若波从Q向P传播，周期、波速各为多少？
（2）若波速为35m/s，请确定波的传播方向；若振幅为A，则以时刻为计时起点，请写出质点Q的振动方程。
13．（23-24高三上·江苏苏州·期末）“战绳”是一种近年流行的健身器材，健身者把两根相同绳子的一端固定在一点，用双手分别握住绳子的另一端，上下抖动绳端，使绳子振动起来（图甲），以手的平衡位置为坐标原点，图乙是健身者右手在抖动绳子过程中某时刻的波形，若右手抖动的频率是0.5Hz。求：
（1）绳波的波速v的大小；
（2）P点从图示时刻开始第一次回到平衡位置的时间。
14．（23-24高三上·江苏无锡·期末）如图，一质量为0.05kg的小球（可视为质点）通过细线悬在O点，将小球拉至A点后由静止释放并在竖直平面内做简谐运动。已知摆长，摆角，。 重力加速度g取10m/s2。求：
（1）小球从A点第一次运动到B的时间（π取3.14）；
（2）小球在最低点B处绳中拉力大小（结果保留1位有效数字）。
15．（2023·江苏南京·一模）在同一水平面、同一种介质中有两个波源O1和O2，振动频率均为f，振动振幅均为A。现两波源同时开始沿垂直纸面方向振动，且起振方向相反。经半个周期后波形示意图如图所示，其中实线表示波峰，虚线表示波谷，波源振动一个周期后停止振动。已知O1a=ab=bc=cd=de=eO2=L，求：
（1）波源O1产生的波的波速；
（2）质点c振动经过的总路程。
16．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）图为t=0时刻某简谐横波的波形图。波源位于处，且波源的位移随时间变化关系为。求：
（1）此波的波长、周期和波速；
（2）写出处质点的位移随时间变化关系。
17．（23-24高三上·广东·阶段练习）一列简谐横波在水平绳上沿x轴负方向传播，在时刻的波形如图所示，绳上三个质点M、N、P的平衡位置分别为，，，从该时刻开始计时，P点的振动位移随时间变化关系为。求：
（1）该简谐横波的波速v；
（2）再经过多长时间，质点M、N振动的速度相同。
1．（2023·全国·高考真题）分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同,振幅均为5cm，波长均为8m，波速均为4m/s。时刻，P波刚好传播到坐标原点,该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
（1）在答题卡给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在时刻的波形图（P波用虚线，Q波用实线）；
（2）求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
2．（2011·江苏·高考真题）将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块，将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期。请由单摆周期公式推算出物块做简谐运动的周期T。
3．（2021·海南·高考真题）一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0 ~ 4s内的振动图像如图（a）所示，已知波的传播速度为0.5m/s。
（1）求这列横波的波长；
（2）求波源在4s内通过的路程；
（3）在图（b）中画出t = 4s时刻的波形图。
4．（2021·全国·高考真题）均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和xB=16cm。某简谐横波沿x轴正方向传播，波速为v=20cm/s，波长大于20cm，振幅为A=1cm，且传播时无衰减。t=0时刻A、B偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔△t=0.6s两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同。已知在t1时刻（t1>0），质点A位于波峰。求
（1）从t1时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；
（2）t1时刻质点B偏离平衡位置的位移。
5．（2020·全国·高考真题）一振动片以频率f做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上a、b两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c是水面上的一点，a、b、c间的距离均为l，如图所示。已知除c点外，在ac连线上还有其他振幅极大的点，其中距c最近的点到c的距离为。求：
（i）波的波长；
（ii）波的传播速度。
6．（2018·全国·高考真题）一列简谐横波在时的波形图如图(a)所示，P、Q是介质中的两个质点。图(b)是质点Q的振动图象。求：
（1）波速及波的传播方向；
（2）质点Q的平衡位置的x坐标。大题12振动与波动
振动与波动时高中力学的拓展内容，在历年高考中都有体现，多以选择题的形式出现偶尔也会以计算题的形式出现。其中以波动形成与传播，振动方程、波动方程，波的叠加与干涉等为命题载体，当然也会与动力学相结合，借助经典圆周模型考察单摆等。
简谐运动的证明及方程
【例1】（2024·江苏泰州·一模）如图所示，一根粗细均匀的木筷下端绕有几圈铁丝，竖直浮在一个较大的盛水容器中，以木筷静止时下端所在位置为坐标原点O建立直线坐标系，把木筷往下压一段距离后放手，木筷就在水中上下振动。已知水的密度为，重力加速度为g，不计水的阻力。
（1）试证明木筷的振动是简谐运动；
（2）观测发现筷子每10秒上下振动20次，从释放筷子开始计时，写出筷子振动过程位移随时间变化的关系式。
【思路分析】应用简谐运动的动力学描述结合受力分析证明简谐运动的性质；依据题目的描述确定周期再根据简谐运动的运动学描述写关系式。
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）如图所示
取向下为正方向，将木筷往下按x之前
按下x后
令
所以，木筷在水中的运动为简谐运动。
（2）因为筷子每10秒上下振动20次，则筷子简谐运动的周期为
则筷子振动过程位移随时间变化的关系式
1.简谐运动的两种运动学描述
(1)简谐运动图像即x－t图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点的位移x随时间t变化的规律。
(2)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。
2.简谐运动的动力学描述：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
（2024·重庆·一模）如图，光滑圆槽的半径L远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时乙球的位置B低于甲球位置A，甲球与圆偿圆心连线和竖直方向夹角为θ，丙球释放位置C为圆槽的圆心，Q为圆槽最低点；重力加速度为g。若甲、乙、丙三球不相碰，求：
（1）求甲球运动到O点速度大小；
（2）通过计算分析，甲乙丙三球谁先第一次到达O点；
（3）若单独释放甲球从降放到第15次经过O点所经历的时间。
【答案】（1）；（2）丙球最先到达；（3）
【详解】（1）设甲球质量为m根据题意可知甲球静止释放，运动到O点过程，由动能定理
解得甲球运动到O点速度大小为
（2）对于丙球，根据自由落体运动规律有
解得
对于甲乙两球可看成类似单摆的简谐运动，其运动周期为
甲乙两球第一次到达点O时运动周期，则
丙球最先到达，甲乙同时到达。
（3）根据题意可知甲球做简谐运动，运动一个周期经过两次O点，第15次经过O点所经历的时间为
已知周期
联立解得
波形图的综合应用
【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，一列水平向右传播的简谐横波，波速大小为v=0.6 m/s，P质点的平衡位置坐标为x=0.96 m。从图中状态开始计时（此时该波刚好传到距O点0.24 m的位置），求：
（1）经过多长时间，P质点第一次到达波峰？
（2）经过多长时间，P质点第二次到达波谷？P质点第二次到达波谷时，P质点通过的路程及该时刻的位移为多少？
【思路分析】由波动图像提取信息在根据波动传播原理确定经过多长时间，P质点第一次到达波峰或波谷；在求解一段时间质点的路程时要确定好传播时间与振动时间，再根据质点的增幅确定路程。
【答案】（1）1.5 s；（2）1.7 s；0.25 m；-5 cm
【详解】由波形图可知，波长λ=0.24 m，振幅A=5 cm，
周期
（1）P质点第一次到达波峰所需的时间，就是初始时刻x=0.06 m处的质点的振动状态传到P点所需的时间，由图可知：
则
（2）为了求P质点第二次到达波谷所需的时间，可选取x=0.18 m处的质点的振动状态作为研究对象，该振动状态传到P点所需的时间再加一个周期即为所求时间，则：
设波最右端传到P处所需时间为t3，有：
所以从质点P起振到第二次到达波谷历时
相当于，所以P通过路程为
此时刻质点P的位移为-5 cm。
波动图像和振动图像的综合分析
1.两种图像的比较
振动图像 波的图像
不同点 物理意义 表示一质点各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
研究对象 一振动质点 沿波传播方向的所有质点
研究内容 一质点位移随时间的变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律
图像
图线随 时间变 化情况 图线随时间延伸，原有部分图形不变 整个波形沿波的传播方向平移，不同时刻波形不同
比喻 单人舞的录像 抓拍的集体舞照片
相同点 图像形状 正弦曲线
可获得 的信息 质点振动的振幅、位移、速度、加速度的方向及变化
2.两种图像的联系
由振动图像可读出质点的振动周期T，而质点振动的周期与波源的振动周期及波的传播周期是相同的；由波的图像可读出波长λ，据v＝可求波速。
由振动图像可画波的图像，由波的图像也可画出质点的振动图像。
（23-24高三上·江西赣州·期末）一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t1=0时刻恰好传播到x=-2m处，此时波形如图所示。a、b两质点的坐标分别为（3m，0）和（7m，0），已知t2=3s时，质点a第一次出现在波峰位置。
（1）求这列波的传播速度和周期；
（2）当质点b第二次出现在波谷位置时，求质点a通过的路程。
【答案】（1）2m/s，2s；（2）55cm
【详解】（1）根据图象可知，该波波长为
质点a与t1=0时刻的波峰的水平距离为
当该波峰传到质点a时，a质点第一次出现在波峰位置，则该波的传播速度为
这列波的周期为
（2）质点a开始振动的时刻为
质点b开始振动的时刻为
简谐横波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知质点b向上起振，从开始振动到第二次出现在波谷位置时，经历的时间为
则当质点b第二次出现在波谷位置时，求质点a振动的时间为
质点a通过的路程为
波的干涉
【例3】（2024·四川成都·二模）一均匀介质中有振源N，位于x轴上的（10m，0）处，产生的机械波向左传播，N开始振动经过1s后波形如图所示。求：
（1）机械波在该介质中的波速；
（2）若在（-11m，0）有一振源M与N同时振动且起振方向相同，则稳定以后M、N之间振动加强点的个数。
【思路分析】确定质点是振动加强点还是减弱点的关键在于根据波动叠加规律，先计算波程差在判断波程差与半波长的关系来确定。
【答案】（1）；（2）21
【详解】
（1）由图可知
周期
T=1s
波速为
（2）如图
假设MN之间的P点为加强点则满足
（n整数）
其中
可得
得到
由于P点在MN之间则有
其中
MN=21m
得到
即
所以一共有21个加强点。
1.发生干涉的条件：(1)两列波的频率相同；(2)相位差恒定。
2.干涉图样的特点
(1)加强区和减弱区的位置固定不变。
(2)加强区始终加强，减弱区始终减弱(加强区与减弱区不随时间变化)。
(3)加强区与减弱区互相间隔。
3.振动加强点和振动减弱点
(1)振动加强点：振动的振幅等于两列波振幅之和，即A＝A1＋A2。
(2)振动减弱点：振动的振幅等于两列波振幅之差，即A＝|A1－A2|。
(3)振动加强点和振动减弱点的判断
①条件判断法：振动频率相同、振动情况完全相同的两波叠加时，设点到两波源的路程差为Δx，当Δx＝|x2－x1|＝kλ(k＝0，1，2，…)时为振动加强点；当Δx＝|x2－x1|＝(2k＋1)(k＝0，1，2，…)时为振动减弱点。若两波源振动步调相反，则上述结论相反。
②现象判断法：若某点总是波峰与波峰或波谷与波谷相遇，该点为振动加强点，若某点总是波峰与波谷相遇，则为振动减弱点。
（23-24高三下·陕西延安·开学考试）位于坐标原点的波源在时刻开始沿轴负方向做简谐运动，形成一列沿轴正方向传播的机械波，时，至区域内第二次出现如图所示波形。
（1）求该列波的波速大小：
（2）若在波源起振的同时，位于处的另外一波源同时起振，振动频率与相同，起振方向与起振方向相反，求在轴上至之间（不含波源处）振动加强点位置的横坐标。
【答案】（1）；（2）0.4m、0.8m、1.2m、1.6m
【详解】（1）由题意可知
解得
当时，至区域内第二次出现如图所示波形，可知
解得
根据
解得
（2）由于S1和S2为反相波源，设P点为加强点，则
且
其中n取整数，又有
联立解得当n分别取-2、-1、0、1时，对应P点的坐标值分别为0.4m、0.8m、1.2m、1.6m。
1．（2024·四川德阳·二模）如图（a）所示，同种均匀介质中的两波源S1、S2分别位于x轴上x1=-4m和x2=12m处，t=0时刻两波源同时开始持续振动并相向传播，其振动图像如图（b）和图（c）所示，t=0.75s时平衡位置位于x3=2m处的质点P刚刚开始振动。求：
（1）波长的大小；
（2）质点P起振后的振动方程和起振后1s内振动的路程。
【答案】（1）4m；（2）见解析
【详解】（1）t=0时刻两波源同时开始持续振动并相向传播，t=0.75s时平衡位置位于x3=2m处的质点P刚刚开始振动，则S1先到P点，波速为
由图b、c可知T=0.5s，波长为
（2）质点P起振后第一个周期内与波源S1振动相同
A1=4cm
振动方程为
（0
A=10cm
振动方程为
起振后
t=1s=2T
内振动的路程为
s=4A1+4A=56cm
2．（2024·江苏南通·一模）某同学用手握住绳子的一端，上下抖动绳子使绳子振动起来，手抖动的频率为2Hz。以手的平衡位置为坐标原点，抖动绳子过程中某时刻的波形图如图所示，求：
（1）该波的波速大小；
（2）从图示时刻起，x＝5m处的质点再经过s时间内的路程。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由图可知，波长为
又频率是2Hz，故波的波速
（2）波的周期为
从图示时刻起，处的质点振动时间为
故该质点通过的路程为
3．（23-24高三下·江苏无锡·开学考试）如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t=0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2。
（1）求单摆的振动周期和摆长；
（2）求摆球运动过程中的最大速度。
【答案】（1）s，0.4m；（2）0.283m/s
【详解】（1）小球在一个周期内两次经过最低点，由图乙可知该单摆的周期
由单摆的周期公式
解得
（2）在最高点A，沿着摆线的方向根据平衡条件有
在最低点B，由牛顿第二定律有
从A到B，机械能守恒，由机械能守恒定律得
联立三式解得
4．（2024·四川成都·二模）一列简谐横波在介质中沿轴正方向传播，和A是介质中平衡位置分别位于和处的两个质点。时刻的波形图如图所示，时，质点第一次回到平衡位置。求：
（1）该简谐横波的周期、波速和波长；
（2）质点A的位移随时间变化的关系式。
【答案】（1），，；（2）
【详解】（1）根据质点的振动规律可得
可得
根据图像可知质点、的平衡位置之间的距离
可得
根据波长、波速和周期之间的关系有
联立解得
（2）设质点的位移随时间变化的关系式为
式中
则质点的位移随时间变化的关系式为
根据图像可知时刻，质点偏离平衡位置的位移为，即
解得
或（舍去）
因此质点的位移随时间变化的关系式为
5．（22-23高三上·河南·阶段练习）一列简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻的波形如图，此时x轴上P、Q与原点O的距离分别为3m、7m，此时质点P刚好振动了0.4s，质点Q刚好开始起振。求：
（1）波在介质中的传播速度；
（2）从图示时刻起，14s内x=30m处的质点M的位移和运动的路程。
【答案】（1）10 m/s；（2）10 cm ，11.7m
【详解】（1）由图可知，该波的波长
λ=4 m
该波的周期
T=0.4 s
波在介质中的传播速度
v==10 m/s
（2）波从Q传播到M的距离
Δx=30m–7m=23m
所需时间
t1==2.3s
所以14 s内质点M振动的时间
t2=14s–2.3s=11.7s
质点M全振动的次数
由波的传播方向可知，质点M起振方向沿y轴负方向；故从图示时刻起，14s时质点M在负的最大位移处，位移yM=–10cm；14 s内质点M运动的路程
s=4nA=11.7 m
6．（22-23高三上·河南·阶段练习）一列简谐横波沿x轴传播，时刻的波形图如图所示，质点A平衡位置的横坐标为，此时沿y轴负方向运动，经过3s，质点A运动的路程为56cm，求：
（1）该波的传播方向和波速的大小；
（2）从时刻起，再经过多长时间，质点A第一次到达平衡位置向y轴正方向运动。
【答案】（1）波沿x轴负方向传播，；（2）
【详解】（1）由于时刻，质点A沿y轴负方向运动，根据同侧法可知，波沿x轴负方向传播，设波速为v，周期为T，由波的图像可知波长
已知经过3s，质点A运动的路程为56cm，一个周期内运动的路程为28cm，故
波速
求得波速的大小
（2）图示时刻在质点A右侧且在平衡位置沿y轴正方向运动的最近质点的横坐标为
当该质点的振动状态传播到质点A时，质点A第一次到达平衡位置且向y轴正方向运动，所以，A点从图示时刻振动到第一次到达平衡位置向y轴正方向运动的时间，与振动从
处传播到
的时间相同，传播的时间
联立求得
7．（23-24高三下·江苏·开学考试）有一列振幅为4.0cm的简谐横波沿x轴正方向传播，t = 0 时刻位于0点的波源开始振动。t = 0.4s 时的波形如图所示，此时波传播到x = 4.4m处，波源的坐标为y = 2.0cm，试求：
（1）该简谐波传播的速度v；
（2）该简谐波的波长λ。
【答案】（1）11m/s；（2）4.8m
【详解】（1）该简谐波传播的速度为
（2）根据简谐运动质点的位移-时间表达式结合图像有
解得
（舍去），
解得
该简谐波的波长为
8．（23-24高三下·山东·开学考试）一列沿x轴传播的简谐横波在时刻的波形如图甲所示，位于坐标原点O处的质点恰好位于平衡位置，O处质点的振动情况如图乙所示，求
（1）该波的传播速度大小和方向；
（2）0.5s~1.0s内O处质点的路程。
【答案】（1）4m/s，沿x轴负方向；（2）
【详解】（1）由图可知，该波的波长为
周期为
所以该波的传播速度大小为
由图乙可知，在后沿y轴负方向振动，根据同侧法，可知该波沿x轴负方向传播。
（2）由图乙可知，质点M的振动方程为
当时
当时
所以0.5s~1.0s内O处质点的路程为
9．（2023·全国·模拟预测）如图所示，时，位于原点O处的波源，从平衡位置（在x轴上）开始沿y轴正方向做周期，振幅的简谐振动，该波产生的简谐横波沿x轴正方向传播，当平衡位置坐标为的质点P刚开始振动时，波源刚好位于波谷，求：
（1）质点P在开始振动后的内通过的路程是多少？
（2）该简谐横波的最大波速是多少？
（3）若该简谐横波的波速为，Q质点的平衡位置坐标为（在图中未画出）。请写出以时刻为新的计时起点的Q质点的振动方程。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由于P从平衡位置开始运动，且
即
所以P在开始振动后内通过的路程为
（2）设该简谐波的波速为v，OP间的距离为由题意可得
所以
当时，该波的波速最大
（3）波从波源传至点所用时间
再经过
即再经，则以此时为计时起点，Q点的初相位为，则振动方程为
10．（23-24高三上·山东威海·期末）如图所示，t=0时刻，位于x=0处的质点A从平衡位置开始向下运动，经1.4s第一次形成如图所示的波形。质点B是平衡位置为x=2.2m处的质点。求：
（1）该波的波速；
（2）从t=0到质点B第一次到达波峰，质点A通过的路程。
【答案】（1）0.5m/s；（2）42cm
【详解】（1）该波的波速
（2）由图可知，该波波长为λ=1.2m，周期为
则
设质点的振动表达式为
将，y=2cm代入可得
从t=0到质点B第一次到达波峰经历的时间
解得
质点A通过的路程
11．（23-24高三上·海南·期末）如图1所示为一列在均匀介质中传播的简谐横波在时刻的波形图，图2为平衡位置在处的质点M的振动图像。
（1）判断该列横波的传播方向；
（2）求波上各质点振动时的频率与振幅；
（3）求质点M在哪些时刻处于波峰。
【答案】（1）波沿轴负方向传播；（2）0.25Hz；（3）在到达波峰，n=0，1，2，…
【详解】（1）由题图2知0时刻向上振动，由同侧法可知，波沿轴负方向传播。
（2）由题图1可知振幅，沿波传播方向上各质点振动时的频率与质点的频率相同所以，由图2知，振动周期，则
（3）由题图2知在时第一次到达波峰，波的周期为，所以在到达波峰，n=0，1，2，…
12．（23-24高三上·贵州贵阳·期末）一简谐横波沿水平直线传播，两质点P、Q平衡位置相距0.4m，如图所示。时，P、Q两质点的位移为正的最大值，而且P、Q间只有一个波谷。时，P、Q两质点刚好在平衡位置，且P、Q之间只有一个波峰一个波谷，波峰对应的平衡位置到О点的距离为四分之一波长。求：
（1）若波从Q向P传播，周期、波速各为多少？
（2）若波速为35m/s，请确定波的传播方向；若振幅为A，则以时刻为计时起点，请写出质点Q的振动方程。
【答案】（1），；（2）方向是从P向Q，
【详解】根据题意绘出波图像如图，其中实线是t1 = 0时，虚线是t2 = 0.1s时
（1）因为在时，P、Q两个质点的位移为正的最大值，而且P、Q间只有一个波谷，故波长
如果波是从P向Q传播，则在内波的位移是
所以波速为
周期为
如果波是从Q向P传播，则在内波的位移为
波速为
周期为
（2）时，则有
可知，传播方向是从P向Q。此时周期
以时刻为计时起点，Q点在平衡位置，且向上运动，由于
则质点Q的振动方程为
13．（23-24高三上·江苏苏州·期末）“战绳”是一种近年流行的健身器材，健身者把两根相同绳子的一端固定在一点，用双手分别握住绳子的另一端，上下抖动绳端，使绳子振动起来（图甲），以手的平衡位置为坐标原点，图乙是健身者右手在抖动绳子过程中某时刻的波形，若右手抖动的频率是0.5Hz。求：
（1）绳波的波速v的大小；
（2）P点从图示时刻开始第一次回到平衡位置的时间。
【答案】（1）4m/s；（2）
【详解】（1）根据图乙知波长
又频率是0.5Hz，故绳波的波速
（2）从图示时刻开始，波平移
P点第一次回到平衡位置，故P点从图示时刻开始第一次回到平衡位置的时间
14．（23-24高三上·江苏无锡·期末）如图，一质量为0.05kg的小球（可视为质点）通过细线悬在O点，将小球拉至A点后由静止释放并在竖直平面内做简谐运动。已知摆长，摆角，。 重力加速度g取10m/s2。求：
（1）小球从A点第一次运动到B的时间（π取3.14）；
（2）小球在最低点B处绳中拉力大小（结果保留1位有效数字）。
【答案】（1）0.8s；（2）0.5N
【详解】（1）单摆运动周期
A到B
（2）小球从A点B，根据动能定理
最低点B，根据牛顿第二定律
解得
15．（2023·江苏南京·一模）在同一水平面、同一种介质中有两个波源O1和O2，振动频率均为f，振动振幅均为A。现两波源同时开始沿垂直纸面方向振动，且起振方向相反。经半个周期后波形示意图如图所示，其中实线表示波峰，虚线表示波谷，波源振动一个周期后停止振动。已知O1a=ab=bc=cd=de=eO2=L，求：
（1）波源O1产生的波的波速；
（2）质点c振动经过的总路程。
【答案】（1）4fL；（2）0
【详解】（1）根据题意可知波的周期
根据波形图是振动半个周期的波形图，可以判断得出波源O1开始起振方向垂直纸面向外，首先波源用到达最大位移处，然后再用将波峰状态传播到a点，因此
波速为
（2）因为质点c到两波源的路程差为0，即同时传到c点，两个波源相位相反，c点为减弱点，两个波源的振幅相等，故c点路程为0。
16．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）图为t=0时刻某简谐横波的波形图。波源位于处，且波源的位移随时间变化关系为。求：
（1）此波的波长、周期和波速；
（2）写出处质点的位移随时间变化关系。
【答案】（1），，；（2）
【详解】（1）由波形图可知，此波的波长
由波源位移随时间变化的关系得
根据可得
由可得此波的传播速度
（2）根据图中时刻处的质点处于平衡位置，且即将向下振动可知，以该时刻为计时起点处质点的初相位为。振动方程为
17．（23-24高三上·广东·阶段练习）一列简谐横波在水平绳上沿x轴负方向传播，在时刻的波形如图所示，绳上三个质点M、N、P的平衡位置分别为，，，从该时刻开始计时，P点的振动位移随时间变化关系为。求：
（1）该简谐横波的波速v；
（2）再经过多长时间，质点M、N振动的速度相同。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据题意可知，P点的振动位移随时间变化关系为
则振动周期为
根据波形图可知，简谐横波的波长为
该简谐横波的波速
（2）当某质点位于平衡位置时，其两侧与它平衡位置间距相等的质点速度相同。平衡位置的振动状态传播到MN中点的距离为
经过的时间为
解得
1．（2023·全国·高考真题）分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同,振幅均为5cm，波长均为8m，波速均为4m/s。时刻，P波刚好传播到坐标原点,该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
（1）在答题卡给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在时刻的波形图（P波用虚线，Q波用实线）；
（2）求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
【答案】（1） ；（2）见解析
【详解】（1）根据得
可知时P波刚好传播到处，Q波刚好传播到处，根据上坡下坡法可得波形图如图所示
（2）两列波在图示范围内任一位置的波程差为
根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差
解得振幅最大的平衡位置有
、
振动减弱的条件为
解得振幅最小的平衡位置有
、、
2．（2011·江苏·高考真题）将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块，将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期。请由单摆周期公式推算出物块做简谐运动的周期T。
【答案】
【详解】物块平衡时，有
mg=kx
解得
根据单摆的周期公式
得
3．（2021·海南·高考真题）一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0 ~ 4s内的振动图像如图（a）所示，已知波的传播速度为0.5m/s。
（1）求这列横波的波长；
（2）求波源在4s内通过的路程；
（3）在图（b）中画出t = 4s时刻的波形图。
【答案】（1）λ = 2m；（2）s = 16cm；（3）
【详解】（1）由题知图（a）为波源的振动图像，则可知
A = 4cm，T = 4s
由于波的传播速度为0.5m/s，根据波长与速度关系有
λ = vT = 2m
（2）由（1）可知波源的振动周期为4s，则4s内波源通过的路程为
s = 4A = 16cm
（3）由题图可知在t = 0时波源的起振方向向上，由于波速为0.5m/s，则在4s时根据
x = vt = 2m
可知该波刚好传到位置为2m的质点，且波源刚好回到平衡位置，且该波沿正方向传播，则根据“上坡、下坡”法可绘制出t = 4s时刻的波形图如下图所示
4．（2021·全国·高考真题）均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和xB=16cm。某简谐横波沿x轴正方向传播，波速为v=20cm/s，波长大于20cm，振幅为A=1cm，且传播时无衰减。t=0时刻A、B偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔△t=0.6s两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同。已知在t1时刻（t1>0），质点A位于波峰。求
（1）从t1时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；
（2）t1时刻质点B偏离平衡位置的位移。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）时刻质点A位于波峰，波长
则
则从t1时刻开始，质点B第一次到达波峰时，波传播的距离为
则质点B到达波峰的最少时间为
（2）由题意可知，波的周期是
则波长
时刻的波形图如图所示
质点B位于
处，则质点B偏离平衡位置的位移
带入数据解得
5．（2020·全国·高考真题）一振动片以频率f做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上a、b两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c是水面上的一点，a、b、c间的距离均为l，如图所示。已知除c点外，在ac连线上还有其他振幅极大的点，其中距c最近的点到c的距离为。求：
（i）波的波长；
（ii）波的传播速度。
【答案】（i）；（ii）
【详解】（i）设与c点最近的振幅极大点为d，则
根据干涉加强点距离差的关系：
所以波长为
（ii）由于受迫振动的频率取决于受迫源的频率由知，
6．（2018·全国·高考真题）一列简谐横波在时的波形图如图(a)所示，P、Q是介质中的两个质点。图(b)是质点Q的振动图象。求：
（1）波速及波的传播方向；
（2）质点Q的平衡位置的x坐标。
【答案】（1）18cm/s，沿x轴负方向传播；（2）9cm
【详解】（1）由图(a)可以看出，该波的波长为
λ＝36cm
由图(b)可以看出，周期为
T＝2s
波速为
v＝＝18cm/s
由图(b)知，当时，Q点向上运动，结合图(a)可得，波沿x轴负方向传播。
（2）设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为、由图(a)知，x＝0处
y＝－＝Asin(－)
因此
由图(b)知，在t＝0时Q点处于平衡位置，经Δt＝s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，可得P、Q间平衡位置距离为
＝vΔt＝6cm
则质点Q的平衡位置的x坐标为
＝9cm
