马街中学2024年高2023级半期考试
数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，点D是AB的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度，在越王楼的正东方向找到一座建筑物，高约为49m，在地面上点处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部的仰角分别为和，在A处测得楼顶部的仰角为，则越王楼的高度约为（ ）
A. 69m B. 95m C. 98m D. 99m
7. 在中，角所对的边分别为，若，则是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定
8. 在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知为两个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则A、B、C三点共线
B. ，则A、B、C三点共线
C. 若，则A、B、C三点共线
D. 若，则A、B、C三点共线
11. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A
B. 函数为奇函数
C. 若，则
D. 函数的图象关于点成中心对称
12. 已知两个单位向量、的夹角为，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13. 已知，则__________.
14. 命题“，”是真命题，则实数的取值范围是______________.
15. 已知，且，则的值为__________.
16. 已知函数在有且仅有三个零点，则的取值范围是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知：.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求.
18. 在中，角，，的对边分别为，，，且，.
（1）若，求的值；
（2）若的面积为，求的值.
19. 已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若的夹角为锐角，求实数的取值范围.
20. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
21. 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．
在中，角，，所对的边分别为，，，且 ．
（1）求角大小；
（2）若为锐角三角形，，求面积取值范围．
22. 已知函数为上的偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的范围．马街中学2024年高2023级半期考试
数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值.
【详解】，
故选：C.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性解不等式可得，即可求交集.
【详解】由解得，所以，
所以，
故选:C.
3. 下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性及单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，函数是定义在上的奇函数，A不是；
对于B，函数的定义域为，是非奇非偶函数，B不是；
对于C，函数是R上的偶函数，当时，在上单调递减，C是；
对于D，函数是R上的偶函数，但在上不单调，D不是.
故选：C
4. 在中，点D是AB的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的加法和减法运算即可.
【详解】因为点D是AB的中点，
所以
所以
故选：D.
5. 已知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义，由求解.
【详解】由，可得，所以，
则在上的投影向量为.
故选：D
6. 中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度，在越王楼的正东方向找到一座建筑物，高约为49m，在地面上点处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部的仰角分别为和，在A处测得楼顶部的仰角为，则越王楼的高度约为（ ）
A. 69m B. 95m C. 98m D. 99m
【答案】C
【解析】
【分析】求出AC，，在△ACM中，由正弦定理求出m，从而得到MN的长度.
【详解】在中，（m），
在中，可知，
由正弦定理：，可得（m），
在中，（m），
所以越王楼的高度约为98m.
故选：C.
7. 在中，角所对的边分别为，若，则是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理角化边求解即得.
【详解】在中，由及余弦定理得，，整理得，
所以是等腰三角形.
故选：A
8. 在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可得解.
【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
因为的取值范围是，所以的取值范围是.
故选：D．
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式即可判断A；利用二倍角的正弦公式即可判断B；利用两角和差的正弦公式即可判断C、D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，
，故C错误；
对于D，
，故D正确，
故选：AD
10. 已知为两个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则A、B、C三点共线
B. ，则A、B、C三点共线
C. 若，则A、B、C三点共线
D. 若，则A、B、C三点共线
【答案】ACD
【解析】
【分析】由向量的线性运算或其坐标运算即可逐一判断每个选项.
【详解】对于A，若，则共线且的终点是的起点，所以A、B、C三点共线，故A正确；
对于B，因为，所以不共线，故B错误；
对于C，若，则，即，则A、B、C三点共线，故C正确；
对于D，若，则，则A、B、C三点共线，故D正确
故选：ACD.
11. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A.
B. 函数为奇函数
C. 若，则
D. 函数的图象关于点成中心对称
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数部分图象得到，再逐项判断.
【详解】解：由函数的部分图象知：
，则，，
所以，又点在图像上，
则，即，
因为，所以，故A正确；
则，因为，所以，故B错误；
因为，所以，，则，故C错误；
又，所以函数的图象关于点成中心对称，故D正确；
故选：AD
12. 已知两个单位向量、的夹角为，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量线性运算、向量模的定义、数量积的定义判断．
【详解】由已知，，
因此，所以的斜坐标为，A正确；
，因此的斜坐标是，C正确；
，
，在与不垂直时，BD错；
故选：AC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算求解即得.
【详解】由，得.
故答案为：
14. 命题“，”是真命题，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据得到答案.
【详解】，，为真命题，故，
解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：
15. 已知，且，则的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由同角三角函数基本关系以及二倍角公式即可运算求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
16. 已知函数在有且仅有三个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先求得的范围，然后由正弦函数的性质列出不等式即可得解.
【详解】因为，，所以，
又在有且仅有三个零点，
所以，解得.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知：.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式化简即可；
（2）利用同角三角函数关系和两角和的余弦公式可得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为是第二象限角，所以，且，
所以，
故
.
18. 在中，角，，的对边分别为，，，且，.
（1）若，求的值；
（2）若的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理求解即可；
（2）利用三角形面积公式和余弦定理求解即可.
【小问1详解】
由题意在中，，，，
由正弦定理可得.
【小问2详解】
由，，，即，
解得，
由余弦定理，
可得.
19. 已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用坐标表示向量，再利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解即得.
（2）利用向量的夹角公式，结合共线向量的坐标表示求解即得.
【小问1详解】
依题意，，则
由与垂直，得，即，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
由的夹角为锐角，得，且不共线，
于是，解得且，
所以实数的取值范围是.
20. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，利用整体代换法即可解出的单调递增区间；
（2）先结合条件将问题转化为“在上恰有一解”，然后分析的单调性以及函数值，从而列出关于的不等式，由此求解出结果.
【小问1详解】
函数，
令，
，
函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若关于的方程在上恰有一解，
即在上恰有一解，
即在上恰有一解，
当时，，
函数，当时，单调递增，
当时，单调递减，
而，，，
或，解得或，
即实数的取值范围为．
21. 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角，，所对的边分别为，，，且 ．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求面积取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）选①时结合正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式化简即得，结合范围即得结果；选②，先利用二倍角公式化简求解，再利用诱导公式即得，结合范围即得结果；选③，先展开化简，结合正弦定理进行角化边，再利用余弦定理求得，结合范围即得结果.
（2）由（1）及已知，利用正弦定理可得，再利用三角形面积公式及和差角的正弦化简，借助三角函数性质求出范围.
小问1详解】
选①，由正弦定理得，
即，即，
而，，则，又，
所以.
选②，
，
解得，，而，
所以.
选③，由，
得，
即，由正弦定理得，
由余弦定理知，而，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，又，由正弦定理，
得，而，令，
由为锐角三角形，得，则，，
则的面积
所以面积的取值范围是.
22. 已知函数为上的偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由偶函数定义可得k，后验证其符合条件即可；
（2）对任意恒成立，等价于.
【小问1详解】
由函数为R上的偶函数，
则，即.
即，解得
当时，
.
.
则，即为R上的偶函数；
【小问2详解】
对任意恒成立，即，
令，因函数在上单调递增，则.
令，则，当且仅当，即时取等号.
而函数为单调递增函数，所以，
所以，即．
