牡丹江二中2023—2024学年度第二学期高二学年期中考试
数 学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：必修第二册（第九、十章），选择性必修第三册.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用按比例分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A. 15 B. 25 C. 35 D. 75
2. 下列说法错误的是（ ）
A. 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高
B. 在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大
C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加0.2个单位
D. 越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
3. 展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 在一次随机试验中，彼此互斥事件，，，的概率分别为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是互斥事件，也是对立事件
B. 与是互斥事件，也是对立事件
C. 与是互斥事件，但不是对立事件
D. 与是互斥事件，也是对立事件
6. 某中学共有人，其中男生人，女生人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下：
附：，其中.
已知在样本数据中，有位女生的每周平均体育锻炼时间超过小时，根据独立性检验原理，我们
A. 没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
B. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D. 有把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
7. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A. 0.1587 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3413
8. 中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A. 450种 B. 72种 C. 90种 D. 360种
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 给出以下四个说法，正确的有（ ）
A. 如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个
B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C. 在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
D. 设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上
10. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
0 1
0.6 04
A. B.
C. D.
11. 我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角， 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为.以下关于杨辉三角的猜想中正确的是（ ）
A. 由 “与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想
B. 由 “在相邻两行中， 除以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和猜想 ；
C. 第条斜线上各数字之和为；
D. 在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设样本数据的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是______．
13. 由数字组成的比1300大且没有重复数字的正整数的个数是______．
14. 若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
（1）求取到次品的概率；
（2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
16. 某地区100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数如下：
（1）列出样本的频率分布表；
（2）补全频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）
（3）当地政府制定了人均月用水量为的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？
17. 为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）的影响，某机构对近五年该农产品的年产品和价格进行统计得到的数据如下表：
1 2 3 4 5
（1）求关于的回归直线方程；
（2）根据（1）求得的回归直线方程，估计年产量为6吨时该农产品的价格.
参考公式：.
18. 某企业通过调查问卷的形式对本企业900名员工的工作满意程度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女工，14名男工）的得分，如下表：
女 47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49
男 37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34
（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；
（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平局得分为 “满意”，否则为 “不满意”，请完成下列表格：
“满意”的人数 “不满意”的人数 合计
女员工 16
男员工 14
合计 30
（3）根据上述表中数据，利用独立性检验方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？
参考数据：
P(K2K) 0.10 0.050 0.025 0.010 0001
K 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19. 某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．
（1）根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；
（2）若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．）
（3）该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．牡丹江二中2023—2024学年度第二学期高二学年期中考试
数 学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：必修第二册（第九、十章），选择性必修第三册.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用按比例分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A. 15 B. 25 C. 35 D. 75
【答案】A
【解析】
【分析】结合分层抽样方法求出青年职工的比例继而求出样本容量.
【详解】由题意得样本容量为.
故选：A
2. 下列说法错误的是（ ）
A. 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高
B. 在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大
C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加0.2个单位
D. 越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
【答案】B
【解析】
【分析】AD选项，根据残差分析可得AD正确；B选项，由卡方的定义可知B错误；C选项，由一元线性回归方程可知，故C正确.
【详解】A选项，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高，A正确；
B选项，在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越小，B错误；
C选项，由于，故在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量就增加0.2个单位，C正确；
D选项，越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D正确.
故选：B
3. 展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项式定理的性质与通项求解即可.
【详解】二项系数和为，则，所以的通项为：，其中，
则展开式中的有理项满足，故，共3项.
故选：C.
4. 从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用组合知识求出一共有的情况数，再用列举法求出这三个数作为边长可以构成三角形的情况数，从而求出概率.
【详解】6个整数中取3个不同的数，共有种情况，
三个数作为边长可构成三角形的有，共有13种情况，
所以概率为
故选：C.
5. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是互斥事件，也是对立事件
B. 与是互斥事件，也是对立事件
C. 与是互斥事件，但不是对立事件
D. 与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念和性质，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，
所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；
与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；
与是互斥事件，且，
所以与也是对立事件，故C错；
与是互斥事件，且，
所以与也是对立事件，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题.
6. 某中学共有人，其中男生人，女生人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下：
附：，其中.
已知在样本数据中，有位女生的每周平均体育锻炼时间超过小时，根据独立性检验原理，我们
A. 没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
B. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设收集的数据，得到男生学生的人数，进而得出的列联表，利用计算公式，求解的值，对比临界值表即可作出判断.
【详解】从人中，其中男生人，女生人，采用分层抽样抽取一个容量为人的样本，其中男女各抽取的人数为人，人，
由频率分布直方图可知，每周体育锻炼时间超过小时的人数的频率为，
在人中每周体育锻炼时间超过小时的人数为人，
又在每周体育锻炼时间超过小时的人数中，女生有人，则男生有人，
可得如下的的列联表：
男生 女生 总计
每周平均体育运动时间不超过小时
每周平均体育运动时间超过小时
总计
结合列联表可算得，
有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了独立性检验的基础知识的应用，其中根据题设条件得到男女生的人数，得出的列联表，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
7. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A. 0.1587 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3413
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数没有零点得到的范围，然后结合正态曲线的对称性得到的值，结合正态曲线即可得到对应概率.
【详解】函数没有零点,即方程无实根，
，即，又函数没有零点的概率是0.5，
，由正态曲线的对称性可知，
即，，
所以
故选:B.
8. 中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A. 450种 B. 72种 C. 90种 D. 360种
【答案】A
【解析】
【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.
【详解】由题知，6名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为的三组，共有种；
第二种：分人数为三组，共有种；
所以不同的安排方法共有种.
故选：A.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 给出以下四个说法，正确的有（ ）
A. 如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个
B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C. 在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
D. 设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用回归分析的相关定义对各个选项逐一分析判断即可得到结果.
【详解】选项A，因为经验回归方程必过样本点的中心，非样本点，故选项A错误；
选项B，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确；
选项C，因为决定系数越大，表示残差平方和越小，数据就越集中，即模型的拟合效果越好，故选项C正确；
选项D，因为两个变量之间的线性相关系数为的绝对值越大，数据就越集中在回归方程附近，当时，点就在直线上了，所以选项D正确.
故选：BCD.
10. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
0 1
0.6 0.4
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合期望和方差公式，以及期望和方差的线性公式，即可求解．
【详解】解：由分布列的性质可得，，故A正确；
，故B正确，
，
，故C正确，
，故D错误．
故选：ABC．
11. 我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角， 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为.以下关于杨辉三角的猜想中正确的是（ ）
A. 由 “与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想
B. 由 “在相邻两行中， 除以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和猜想 ；
C. 第条斜线上各数字之和为；
D. 在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二项式系数与杨辉三角判断AB；通过观察归纳出第条斜线上的数的特征，进而判断CD选项.
【详解】解：根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得，成立，故AB选项正确；
对于CD选项，第1条斜线上的数为，第2条斜线上的数为，
第3条斜线上的数为，第4条斜线上的数为，
第5条斜线上的数为，第6条斜线上的数为，
第7条斜线上的数为，
由此，归纳得到：第条斜线上的数依次为：
第条斜线上的数依次为：
所以，第条斜线上各数字为：，和为，故C错误；
在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设样本数据的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．
【详解】数据，，，的平均数为，方差为，
所以，，即，
则，
因为，所以，
因函数在上单调递减，
故当时，的最大值是．
故答案为：．
13. 由数字组成的比1300大且没有重复数字的正整数的个数是______．
【答案】22
【解析】
【分析】根据千位为1和不为1进行分类，由排列组合即可求解.
【详解】当千位和百位分别为1，3时，则十位和个位有个符合条件的，
当千位和百位分别为1，4时，则十位和个位有个符合条件的，
当千位为不为1时，共有个符合条件的，
故共有个.
故答案为：22.
14. 若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】由期望公式和方差公式列出的关系式，然后变形求解．
【详解】因为，所以随机变量的值只能为，
所以，解得或，
∴．
故答案为：1．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
（1）求取到次品的概率；
（2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
【答案】（1）
（2）甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：
【解析】
【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.
（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.
小问1详解】
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则,
，
取到次品的概率为
【小问2详解】
若取到的是次品，
此次品由甲车间生产的概率为：
此次品由乙车间生产的概率为：
此次品由丙车间生产的概率为：
16. 某地区100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数如下：
（1）列出样本的频率分布表；
（2）补全频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）
（3）当地政府制定了人均月用水量为的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？
【答案】（1）分布表见解析；
（2）频率分布直方图见解析；平均数为2.02，中位数为2.02，众数为2.25；
（3）政府的解释是正确的，原因见解析.
【解析】
【分析】（1）根据100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数列出频率分布表.
（2）根据（1）的频率分布表画出直方图，根据众数、中位数和平均数定义求解.
（3）先算出人均月用水量在以上的居民所占的比例即可.
【小问1详解】
频率分布表如下：
分组 频数 频率
4 0.04
8 0.08
15 0.15
22 0.22
25 025
14 0.14
6 0.06
4 0.04
2 0.02
合计 100 1
【小问2详解】频率分布直方图如图：
平均数：
.
中位数：用水量在的频率为：，
所以中位数为.
众数为：.
【小问3详解】
因为人均月用水量在以上的居民所占的比例为，
即大约有的居民月用水量在以上，
的居民月用水量在以下，
因此政府的解释是正确的.
17. 为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）的影响，某机构对近五年该农产品的年产品和价格进行统计得到的数据如下表：
1 2 3 4 5
（1）求关于的回归直线方程；
（2）根据（1）求得的回归直线方程，估计年产量为6吨时该农产品的价格.
参考公式：.
【答案】（1）
（2）千元/吨
【解析】
【分析】（1）结合表格数据先算出，，，，然后利用公式即可求出线性回归方程.
（2）在第（1）问的线性回归方程中代入，解出即为预测农产品价格.
【小问1详解】
，
，
，
，
所以.
【小问2详解】
当时，，
所以年产量为6吨时该产品的价格约为千元/吨.
18. 某企业通过调查问卷的形式对本企业900名员工的工作满意程度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女工，14名男工）的得分，如下表：
女 47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49
男 37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34
（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；
（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平局得分为 “满意”，否则为 “不满意”，请完成下列表格：
“满意”的人数 “不满意”的人数 合计
女员工 16
男员工 14
合计 30
（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？
参考数据：
P(K2K) 0.10 0.050 0.025 0010 0.001
K 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）240；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【详解】分析：第一问首先从表中查找得分大于45分的人数，求得比值即为概率，应用对应的关系式求得相应的人数；第二问按照条件，将男女员工对应的分数分析比较，进行分类，从而将相应的数据填入表中，得到列联表；第三问利用公式求得观测值，判断出结果即可.
详解：（1）从表中可知，30名员工有8名得分大于45分，所以任选一名员工，他（她）的得分大于45分的概率是，所以估计此次调查中，该单位约有名员工的得分大于45分；
（2）依题意，完成列联表如下：
“满意”的人数 “不满意”的人数 合计
女员工 12 4 16
男员工 3 11 14
合计 15 15 30
（3）假设：性别与工作是否满意无关，根据表中数据，求得的观测值：
查表得
能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为性别与工作是否满意有关.
点睛：该题考查的是有关统计的问题，一是利用样本数据中满足条件的人数所占的比例估计对应的概率，再用总人数乘以概率得到总体当中满足条件的人数，二是利用分数要求将对应的分类，得到列联表，三是应用公式求得观测值，再与表中的临界值比较得出结果.
19. 某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．
（1）根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；
（2）若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．）
（3）该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．
【答案】（1）平均数为13.0百元，中位数为13百元
（2）14 （3）分布列见解析，1
【解析】
【分析】（1）由平均数和中位数的计算公式计算即可得出答案；
（2）由（1）知，，由正态分布的性质求出的概率，即可求出这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数；
（3）求出Y的所有可能取值和每个变量对应的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的数学期望.
【小问1详解】
由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，
的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，
∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为：
（百元）．
∵，，
∴中位数在内，设中位数为x百元，
则，解得．
∴估计中位数为13百元．
【小问2详解】
由（1）知，
∵，，
∴，
∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为．
【小问3详解】
由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个），“五星级”加盟店有（个），
∴Y的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，．
∴Y的概率分布列为
Y 0 1 2 3
P
∴．
