新疆维吾尔自治区2024届高三下学期第三次适应性检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为( )
A.I B.II C.III D.IV
2．下列双曲线中以为渐近线的是( )
A. B. C. D.
3．复数z满足，则z的虚部为( )
A.-i B.i C.-1 D.1
4．已知，，则( )
A. B. C. D.
5．西安、洛阳、北京、南京和开封并称中国的五大古都.某旅游博主为领略五大古都之美，决定用两个月的时间游览完五大古都，且每个月只游览五大古都中的两个或三个（五大古都只游览一次），则恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为( )
A. B. C. D.
6．设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为S，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则( )
A. B. C. D.
7．已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则( )
A. B.1 C. D.2
8．如图，已知，，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知点，，，，则下列结论正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若， D.的最大值为
10．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是( )
A.为奇函数
B.的图象关于直线对称
C.在区间上单调递增
D.函数在区间上的值域为
11．已知，都是定义在R上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C.为奇函数 D.
三、填空题
12．已知的展开式的各二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为_______.（用数字作答）
13．在中，，.则__________.
14．设函数在R上存在导数，对于任意的实数x，有，当时，.若，则实数m的取值范围是__________.
四、解答题
15．某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.现调查了1万个当地学生的时间利用信息，得出下图.
（1）根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数）
（2）从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概率；
（3）与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议.
16．已知底面是平行四边形，平面，，，，且.
（1）求证：平面平面；
（2）线段上是否存在点M，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
17．若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18．已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于M，N两点，的最小值为4.连接，并延长分别交于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限，与的面积分别记为，.
（1）求和的方程；
（2）记，求的最小值.
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：
2．答案：B
解析：因为的渐近线方程为：，所以选项B正确；故选：B.
3．答案：C
解析：设，
，
则，即，故，解得，
故z的虚部为-1.
故选：C.
4．答案：D
解析：由题，所以，因为，所以，所以，，又因为，解得.
故选：D
5．答案：B
解析：
6．答案：D
解析：分别取的中点E，F，O为中点，过作于点，
平面，小球与四棱台的每个面都相切，，，且，且，，，，，
故选：D.
7．答案：B
解析：由题意知，抛物线C的焦点坐标为，设直线的方，设，，则
，所以
因为，所以直线的方程为
，同理可得，所以
故选：B
8．答案：A
解析：因为，所以，如图所示，过点C作，交的延长线于点D，作，交的延长线于点E.所以在中，，
，所以由正弦定理得，即，解得.由余弦定理得.即，解得或.当，所以，
故选A.
9．答案：ACD
解析：由题意得，
，若，则，所以，所以故A正确；
若则，所以，故错误；
若，则，所以，所以，故C正确；
因为，所以，其中，所以，所以，故正确.故选ACD.
10．答案：AC
解析：函数的图像
与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，
函数的周期
的一半为，，，
，，
将向右平移个单位长度，得
，
A：
函数y为奇函数，故选项A正确；
B：的图象的对称轴为
，即，令，解得，故选项B错误；
C：若，则，
正弦函数在上单调递增，
在上单调递增，故选项C正确；
D：
若，则
函数在区间
上的值域为，故选项D错误；
综上，选择AC.
11．答案：ABC
解析：
12．答案：15
解析：
13．答案：
解析：设三个角，，对应三个边的边长分别为a，b，c
由于，结合正弦定理，解得，即①，由余弦定理得②，由于③
联立①②③，解得，
再根据余弦定理，
由于三角形的内角，
所以.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）小学：9.63，0.03；初中：8.64，0.05；
（2）；
（3）与高中生相比，大学生的学习时间减少了近4个小时，睡眠时间增加了近一个小时，建议大学生充实在校生活，增加学习时间以更好地提升自己（答案不唯一，只要言之有理，均可得相应分值）.
解析：（1）设小学生的平均睡眠时间为，方差为；设初中生的平均睡眠时间为，方差为.
，
，
.
（2）.
（3）与高中生相比，大学生的学习时间减少了近4个小时，睡眠时间增加了近一个小时，建议大学生充实在校生活，增加学习时间以更好地提升自己（答案不唯一，只要言之有理，均可得相应分值）
16．答案：（1）证明见解析；
（2）或.
解析：（1）证明：在中，，，，解得，
所以，所以.
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
因为，所以平面，
且平面，所以平面平面.
（2）解析：假设线段上存在点M，使得直线与平面所成角的正弦值是，
以A为原点，、、所在直线分别为x轴，y轴，x轴建立空间直角坐标系.
设，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，
解得，
设直线与平面所成角的大小为，
故.
解得或，所以或.
17．答案：（1）；
（2）；.
解析：（1）设，由题意得数列是等比数列，，，
则，即，
由累乘法得：，
于是，故.
（2）由（1）得
，
令，则，
∴
.
18．答案：（1）：，：；
（2）.
解析：（1）设直线的方程为，设，，联立
整理得，所以，
所以当时，有最小值，所以，解得，
因为离心率为，所以，，
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）由（1）可得，，所以，
设直线的方程为，
联立，整理得，解得，
同理可得，
.
所以当时，有最小值.
19．答案：（1）单调性见解析；
（2）当时，有三个不同的零点.
解析：（1）因为的定义域为R，且，
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，时恒成立，当且仅当时等号成立，所以在R上单调递增；
当时，，令，解得；
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
同理，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）得，当时，至多有两个零点，不符题意；
当时，至多有一个零点，不符题意；
当时，的极大值，至多有一个零点，不符题意；
当时，的极小值，的极大值，至多有两个零点，不符题意；
当时，因为在上单调递增，且，
，所以在上有且只有一个零点，
因为在上单调递减，，且，
所以在上有且只有一个零点，
因为在上单调递增，，
令，则，，
故，，，
即在上恒成立，
所以，
所以，
故在上有且只有一个零点，
所以有三个零点，
综上，当时，有三个不同的零点.
