大题03 天体物理与航天航空
天体运动近十年全国各地钧多以选择题形式呈现，但高考历史上天体运动以计算题形式呈现的形式出现的次数也不少不少年还曾以压轴题的形式出现。随着我国近年航空航天领域的发展，天体与最新科技前沿相结合的问题也有可能重登历史舞台。新高考也注重综合性的考察也不排除天体物理与其他知识综合考察。
万有引力定律与行星运动定律在人造卫星中的应用
【例1】（2023上·河南濮阳·高三濮阳一高校考阶段练习）宇宙中某恒星的质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的功率是太阳的16倍。现在假设地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳的公转周期为，绕此恒星公转的周期为，求。
【例2】（2023上·北京通州·高三统考期中）未来中国宇航员登陆月球表面，其任务之一是测量出月球表面的重力加速度，从而计算一下月球的质量。测量方案之一就是通过单摆测月球表面重力加速度。目前实验舱中有以下设备：摆球（直径约1cm）、刻度尺（量程30cm）、轻细线（1m左右无弹性）、停表和足够高的固定支架。宇航员设计了如下实验步骤：
①如图所示，将系好细线的摆球上端固定于O点；
②将摆球拉开一个小的角度，然后由静止释放；
③从摆球摆到最低点开始计时，测出n次全振动的总时间t1；
④缩短细线长度，重复②、③步骤，测出n次全振动的总时间t2；
完成以下问题：
（1）若细线缩短的长度为ΔL（ΔL小于刻度尺量程），请用t1、t2以及ΔL写出重力加速度g的表达式；
（2）已知月球的半径为R、万有引力常量G，请结合（1）中g的表达式写出月球质量M的表达式。
【例3】（2023上·山东烟台·高三统考期中）2022年11月29日23时08分，搭载着神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心升空，11月30日5时42分，神舟十五号载人飞船与天和核心舱成功完成自主交会对接。如图为神舟十五号的发射与交会对接过程示意图，图中I为近地圆轨道，其轨道半径可认为等于地球半径R，II为椭圆变轨轨道，III为天和核心舱所在轨道，其轨道半径为r0，P、Q分别为轨道II与I、III轨道的交会点，已知神舟十五号的质量为m0，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力中心为r时，其万有引力势能表达式为（式中G为引力常量）。求：
（1）神舟十五号在轨道II运动时从P点运动到Q点的最短时间；
（2）要使神舟十五号从轨道I迁移到轨道III，所要提供的最小能量。
内容 重要的规律、公式和二级结论
1.开普勒定律 (1) 轨道定律：太阳位于所有行星的椭圆轨道的公共焦点上。 面积定律：行星在近日点的速率最大，在远日点的速率最小。 周期定律：＝k，其中k与中心天体有关。
2.万有引力定律及其应用 (2) 重力：①南、北极处：F万＝mg＝； ②赤道处：F万－FN＝F向，故mg＝FN＝F万－F向； ③在一定纬度时重力方向不指向地心；④离地面h高度处物体的重力mg′＝。 (3) 黄金代换：Gm地＝gR2(R为地球半径，忽略自转)。 (4) 地球质量：①重力法m地＝(地球表面)；②环绕法：m地＝。 (5) 密度：①重力法ρ＝；②环绕法：ρ＝(在地球表面，r＝R，ρ＝)。
3.人造卫星 (6) 人造卫星：G＝m＝mω2r＝mr＝ma。 (7) 第一宇宙速度v1＝＝＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，第三宇宙速度v3＝16.7 km/s。 (8) 高轨低速(v、ω、an)周期大，低轨反之。 (9) 地表附近的人造卫星：r＝R＝6.4×106 m，v运＝v1，T＝2π＝84.6 min。 (10) 同步卫星：T＝24小时，h＝5.6R＝36 000 km。 (11) 卫星的变轨：低轨到高轨要加速，高轨到低轨要减速，两轨道相切点加速度相等。 (12) 双星问题：m1r1＝m2r2，r1＋r2＝L，＝。
1．（2024下·江苏南通·高三统考开学考试）如图所示，在长为d的机械臂作用下，微型卫星、空间站、地球位于同一直线，微型卫星与空间站一起做角速度为ω的匀速圆周运动。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，微型卫星质量为m，空间站轨道半径为r，求：
（1）在轨运行时，空间站的线速度和微型卫星的线速度之比；
（2）机械臂对微型卫星的作用力大小F。（忽略空间站对卫星的引力）
2．（2024上·天津蓟州·高三统考期末）随着我国航天事业的快速发展，古人幻想的“嫦娥奔月”将变成现实。假若宇航员登陆月球后，释放一个实验用飞行器，飞行器以2m/s的速度匀速上升，当升到离月球表面10m高时，从飞行器上落下一小球，经过5s小球落到月球表面。已知月球的半径约为1800km，求：
（1）月球表面的重力加速度的大小；
（2）月球的第一宇宙速度的大小。（可以用根号表示）
3．（2024·福建漳州·统考二模）2022年12月17日凌晨，“嫦娥五号”探测器圆满完成我国首次月球无人采样任务，携带样品返回地球。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，月球半径为。
（1）求地球表面重力加速度大小g；
（2）求月球的第一宇宙速度大小v。
天体运动与科技前沿
【例1】（2023上·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习）（1）空间站可以通过机械臂操控货物的运动。考察货物的运动时，可以空间站为参考系。空间站可近似看成惯性参考系，这样在轨空间站中物体处于完全失重状态而不用考虑地球引力的作用。忽略货物的运动对空间站的影响，同时忽略空间站对货物的引力。如图所示，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为的匀速圆周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。以空间站为参考系，求：
a．货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小；
b．货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率；
（2）货物、空间站和地球的位置如图所示，它们保持在同一直线上。以地球为参考系，货物与空间站同步绕地球做匀速圆周运动，已知空间站中心轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比。
【例2】（2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）'重力探矿是常用的探测黄金矿藏的方法之一，是万有引力定律理论的实际应用，其原理可简述如下：如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内充满了富含黄金的矿石，假定球形区域周围普通岩石均匀分布且密度为，而球形区域内黄金矿石也均匀分布但其密度是普通岩石密度的（n+1）倍，如果没有这一球形区域黄金矿石的存在，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当该区域有黄金矿石时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离，重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”，为了探寻黄金矿石区域的位置和储量，常利用P点附近重力加速度反常现象，已知引力常量为G。
（1）设球形区域体积为V，球心深度为d（d远小于地球半径），，求：
①球形区域内黄金矿石在Q点产生的加速度大小；
②Q点处的重力加速度反常值；
（2）若在水平地面上以P点为圆心、半径为L的范围内发现：重力加速度反常值在与（）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在P点，如果这种反常是由于地下存在某一球形区域黄金矿石造成的，试求此球形区域球心的深度和球形区域的体积。
一．太空电梯知识补充
1.情景设定：太空电梯由以下几个核心部分组成
地面端基座：该部分为所有缆绳的起始段，主要起到固定作用。整体基座结构位于赤道地区的海面上，主视觉呈现为一个巨型海上平台。
缆索：9部轿厢由216根粗细不等的碳纳米缆绳垂直连接。
轿厢：其第一视觉印象源自我们常见的建筑工地垂直升降机，从而降低观众的视觉陌生感。太空电梯的基础功能也与我们常见的电梯无异，但运力更强，单个轿厢的运力是现今世界上最大的运载火箭的4倍。每天上上下下，运送人员、物资、以及建造空间站的原材料。
空间站：空间站位于距离地表3.6万公里的地球静止同步轨道，与太空电梯同心纵向连接。
配重：在太空电梯距离地表9万公里的尾端设置配重，使其与地球自转同步稳定。
2.配重锤的作用：因为电梯向上会对空间站有向下的拉力，就像平常的电梯一样，所以需要有一个较重的物体平衡掉电梯对空间站的拉力。
3.空间站的地基选址问题：
位置：赤道区域
原因：空间站位于地球同步轨道上，所以要尽可能的保证空间站和地球同步运动，这样对工程的技术难度要求是最小的，同时空间站和地基一起旋转减少的空间站位置的维持损耗。
相当于空间站位于地球静止卫星轨道上。
3.有关运载舱
运载舱作用:载运人和货物
两个结论:(1)运载舱上升时，线速度越来越大;
(2)运载舱上升时合力方向不沿缆绳方向。
4.空间站坠落、配重锤甩出问题
因为配重锤的速度远大于在该轨道上应有的速度;所以配重锤和缆绳的连接切断后会飞出。
（2023上·山东德州·高三统考期中）空间机械臂作为在轨支持、服务的一项关键技术，对空间科学的应用和发展起到了很大的带动作用。空间站上安装的机械臂不仅可以维修、安装空间站部件，还可以发射、抓捕卫星。如图所示，空间站在半径为r 的轨道上做匀速圆周运动。从空间站伸出长为d 的机械臂，微型卫星放置在机械臂的外端。在机械臂的作用下，微型卫星、空间站、地球在同一直线上，微型卫星与空间站同步做匀速圆周运动。已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为g，微型卫星质量为m，求：
（1）空间站所在轨道处的重力加速度；
（2）机械臂对微型卫星的作用力大小（忽略空间站对卫星的引力以及空间站的尺寸）。
天体物理与其他知识的综合
（2024·四川凉山·统考一模）我国计划在2030年前后完成载人登月计划，若宇航员登月后站在一斜坡上，从P点沿水平方向以初速度v0抛出一小石块，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角为α，已知月球的半径为R，引力常量为G。求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的质量M；
（3）月球的第一宇宙速度v。
天体运动与一切宏观机械运动相结合其突破口都是想办法求出重力加速度。
（2023上·江苏淮安·高三校联考阶段练习）一宇航员在半径为某星球表面，做如下实验：如图所示，长为的轻绳一端系一小球，另一端固定在点。小球绕点在竖直面内做圆周运动，通过最高点速度为时，绳的弹力为零。求：
（1）该行星表面的重力加速度；
（2）在该行星表面发射卫星时需要的最小发射速度。
1．（2023上·上海普陀·高三上海市宜川中学校考阶段练习）某行星的质量为地球质量的，半径为地球半径的。现向该行星发射探测器，并在其表面实现软着陆。探测器在离行星表面h高时速度减小为零，为防止发动机将行星表面上的尘埃吹起，此时要关闭所有发动机，让探测器自由下落实现着陆。已知地球半径R0=6400km，不计自转的影响，地球表面重力加速度g取9.8m/s2；结果保留2位小数。
（1）若题中h=4m，求探测器落到行星表面时的速度大小；
（2）若在该行星表面发射一颗绕它做圆周运动的卫星，发射速度至少多大；
（3）由于引力的作用，行星引力范围内的物体具有引力势能。若取离行星无穷远处为引力势能的零势点，则距离行星球心为处的物体引力势能，式中G为万有r引力常量，M为行星的质量，m为物体的质量。求探测器从行星表面发射能脱离行星引力范围所需的最小速度。
2．（2023上·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）通过同步卫星通话时，对方总是停一小段时间才回话，问在地球上的人说话后至少经过多长时间才能听到对方回话？（设对方听到说话后立即回话，已知地球自转周期T，地球质量M，地球半径R，引力常量G和光速c）
3．（2023上·江苏泰州·高三泰州中学校联考阶段练习）某卫星P在地球赤道平面内以周期T绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度与地球半径相等，且转动方向与地球自转方向相同，Q是位于赤道上的某观测站。已知地球的自转周期为，且，地球半径为R，引力常量为G，求：
（1）地球的质量M；
（2）卫星P连续三次经过观测站Q正上方的时间间隔。
4．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做半径为r的匀速圆周运动。太阳系内某探测器距离该恒星很远，可看作相对于恒星静止。由于P的遮挡，该探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化（和已知），此周期与P的公转周期相同。已知引力常量为G，求：
（1）P公转的周期；
（2）恒星Q的质量。
5．（2024·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）在力学中，有的问题是根据物体所受的力推测它的运动，另一些问题则是根据物体的运动探究它受到的力。万有引力的发现则是典型的第二类情况。请你追寻牛顿的足迹，用自己的手和脑，根据开普勒三大定律及牛顿运动定律，重新“发现”（即推导）万有引力定律，设行星质量为m，太阳的质量为M，行星到太阳的距离为r。
5．（2023上·北京海淀·高三统考期中）19世纪末，有科学家提出了太空电梯的构想：在赤道上建设一座直到地球同步卫星轨道的高塔，并在塔内架设电梯。这种电梯可用于发射人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯缓慢地提升到预定轨道高度处，然后再启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去，使其直接进入预定圆轨道。已知地球质量为、半径为、自转周期为，万有引力常量为。
（1）求高塔的高度；
（2）若某次通过太空电梯发射质量为的卫星时，预定其轨道高度为；
①若该卫星上升到预定轨道高度时与太空电梯脱离，脱离时卫星相对太空电梯的速度可视为零，试分析说明卫星刚脱离太空电梯后相对地心，将做加速直线运动、圆周运动、近心运动还是离心运动？
②太空电梯把卫星运送到预定轨道高度后，需用推进装置将卫星在预定轨道处发射进入预定轨道做匀速圆周运动，以地心为参考系，求推进装置需要做的功。
6．（2023上·江苏无锡·高三统考期中）中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知“空间站”绕地球做匀速圆周运动，经过时间t，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，求：
（1）“空间站”的环绕周期T；
（2）地球的质量M。
7．（2023·上海·模拟预测）2021年5月15日7时18分，我国火星探测器“天问一号”的着陆巡视器（其中巡视器就是“祝融号”火星车）成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，这标志着我国是继美国、前苏联之后第三个成功进行火星探测的国家，展示了中国在航天技术领域的强大实力，为中国乃至国际航天事业迈出了历史性的一大步。 “天问一号”的着陆巡视器从进入火星大气层到成功着陆经历了气动减速段、伞系减速段、动力减速段、悬停避障与缓速下降段，其过程大致如图所示。已知火星质量为（约为地球质量的0.11倍）、半径为（约为地球半径的0.53倍），“天问一号”的着陆巡视器质量为，地球表面重力加速度为。
试根据图示数据计算说明下列问题：
（1）着陆巡视器在动力减速段做的是否为竖直方向的匀减速直线运动？
（2）设着陆巡视器在伞系减速段做的是竖直方向的匀减速直线运动，试求火星大气对着陆巡视器的平均阻力。（结果保留1位有效数字）
8．（2024·山东德州·校联考模拟预测）华为Mate 60 Pro通过中国自主研制的天通一号卫星通信系统实现了卫星电话功能，天通一号卫星是地球同步卫星。天通一号卫星发射首先利用火箭将卫星运载至地球附近圆形轨道1，通过多次变轨最终进入地球同步轨道3。其变轨简化示意图如图所示，轨道1离地面高度为h。已知天通一号卫星质量为m，地球自转周期为，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心，引力常量为G。如果规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为，其中M（未知）为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。求：
（1）“天通一号”卫星在轨道1的运行周期T；
（2）假设在变轨点P和Q通过两次发动机加速，“天通一号”卫星正好进入地球同步轨道3，则发动机至少做多少功？
9．（2023上·山西·高三校联考阶段练习）人类首次发现了双中子星合并产生引力波的事件，引力波开启宇宙研究新时代。如图甲所示，这是一对相互环绕旋转的质量不等的双中子星系统，其示意图如图乙所示，双中子星A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动。已知中子星A、B的质量分别为、，它们之间的距离为L，引力常量为G，求：
（1）中子星A做圆周运动的半径；
（2）中子星A、B做圆周运动的线速度大小之和。
10．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）一月球探测器在月球表面上从静止开始竖直向上发射，升空后时刻关闭发动机，此时探测器的速度为。图是从探测器发射到落回月球地面全过程的速度v随时间t变化的图像。已知探测器质量为m，月球质量为M，万有引力常量为G，发动机产生的推力视为竖直向上的恒力，不考虑探测器总质量的变化及忽略月球自转的影响。求：
（1）月球地表附近的重力加速度g的大小及月球半径R；
（2）发动机工作时产生的推力F的冲量大小。
1．（2023·北京·统考高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。
2．（2022·北京·高考真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W；
（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比；
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。
3.（2022·江苏·高考真题）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为、角速度为的匀速圆周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小；
（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比。
4．（2012·全国·高考真题）一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k。设地球的半径为R。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。
5．（2009·全国·高考真题）如图所示,P、Q为某地区水平地面上的两点,在P点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩石均匀分布,密度为ρ;石油密度远小于ρ,可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用P点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.
(1)设球形空腔体积为V,球心深度为d(远小于地球半径),求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常;
(2)若在水平地面上半径为L的范围内发现:重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.
6．（2014·重庆·高考真题）图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图，首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月球高度为处悬停（速度为0，远小于月球半径）；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为处的速度为，此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为（不包括燃料），地球和月球的半径比为，质量比为，地球表面附近的重力加速度为，求：
（1）月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
（2）从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化。
7．（2010·全国·高考真题）如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期。
(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
8．（2014·四川·高考真题）石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖，用石墨烯超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现，科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯舱沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物质交换。
（1）若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能，设地球自转的角速度为ω，地球半径为R；
（2）当电梯舱停在距地面高度h2=4R的站点时，求舱内质量m2=50kg的人对水平地板的压力大小，取地面附近的重力加速度g=10m/s2，地球自转的角速度ω=7.3×10-5rad/s，地球半径R=6.4×103km。
9．（2014·北京·高考真题）万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0。
①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就 h=1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式。
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？大题03 天体物理与航天航空
天体运动近十年全国各地钧多以选择题形式呈现，但高考历史上天体运动以计算题形式呈现的形式出现的次数也不少不少年还曾以压轴题的形式出现。随着我国近年航空航天领域的发展，天体与最新科技前沿相结合的问题也有可能重登历史舞台。新高考也注重综合性的考察也不排除天体物理与其他知识综合考察。
万有引力定律与行星运动定律在人造卫星中的应用
【例1】（2023上·河南濮阳·高三濮阳一高校考阶段练习）宇宙中某恒星的质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的功率是太阳的16倍。现在假设地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳的公转周期为，绕此恒星公转的周期为，求。
【答案】
【详解】设地球绕太阳公转半径为，绕此恒星公转半径为；设太阳辐射的功率为，由地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样可得
解得
由地球绕太阳公转可得
解得
由地球绕此恒星公转可得
解得
即
【例2】（2023上·北京通州·高三统考期中）未来中国宇航员登陆月球表面，其任务之一是测量出月球表面的重力加速度，从而计算一下月球的质量。测量方案之一就是通过单摆测月球表面重力加速度。目前实验舱中有以下设备：摆球（直径约1cm）、刻度尺（量程30cm）、轻细线（1m左右无弹性）、停表和足够高的固定支架。宇航员设计了如下实验步骤：
①如图所示，将系好细线的摆球上端固定于O点；
②将摆球拉开一个小的角度，然后由静止释放；
③从摆球摆到最低点开始计时，测出n次全振动的总时间t1；
④缩短细线长度，重复②、③步骤，测出n次全振动的总时间t2；
完成以下问题：
（1）若细线缩短的长度为ΔL（ΔL小于刻度尺量程），请用t1、t2以及ΔL写出重力加速度g的表达式；
（2）已知月球的半径为R、万有引力常量G，请结合（1）中g的表达式写出月球质量M的表达式。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设原来细线长度为L，测出n次个振动的总时间t1，则对应周期为
根据单摆周期公式可得
若细线缩短的长度为ΔL，测出n次个振动的总时间t2，则对应周期为
根据单摆周期公式可得
解得重力加速度表达式为：
（2）根据万有引力与重力的关系有
解得
【例3】（2023上·山东烟台·高三统考期中）2022年11月29日23时08分，搭载着神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心升空，11月30日5时42分，神舟十五号载人飞船与天和核心舱成功完成自主交会对接。如图为神舟十五号的发射与交会对接过程示意图，图中I为近地圆轨道，其轨道半径可认为等于地球半径R，II为椭圆变轨轨道，III为天和核心舱所在轨道，其轨道半径为r0，P、Q分别为轨道II与I、III轨道的交会点，已知神舟十五号的质量为m0，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力中心为r时，其万有引力势能表达式为（式中G为引力常量）。求：
（1）神舟十五号在轨道II运动时从P点运动到Q点的最短时间；
（2）要使神舟十五号从轨道I迁移到轨道III，所要提供的最小能量。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据开普勒第三定律有
神舟十五号在I轨道上有
在地球表面有
解得神舟十五号在II轨道上从P点运动到Q点经历的时间为
（2）神舟十五号在I轨道上有
神舟十五号在III轨道上有
在地球表面有
神舟十五号从I迁移到轨道III过程中，飞船增加的机械能即神舟十五号所要提供的最小能量为
内容 重要的规律、公式和二级结论
1.开普勒定律 (1) 轨道定律：太阳位于所有行星的椭圆轨道的公共焦点上。 面积定律：行星在近日点的速率最大，在远日点的速率最小。 周期定律：＝k，其中k与中心天体有关。
2.万有引力定律及其应用 (2) 重力：①南、北极处：F万＝mg＝； ②赤道处：F万－FN＝F向，故mg＝FN＝F万－F向； ③在一定纬度时重力方向不指向地心；④离地面h高度处物体的重力mg′＝。 (3) 黄金代换：Gm地＝gR2(R为地球半径，忽略自转)。 (4) 地球质量：①重力法m地＝(地球表面)；②环绕法：m地＝。 (5) 密度：①重力法ρ＝；②环绕法：ρ＝(在地球表面，r＝R，ρ＝)。
3.人造卫星 (6) 人造卫星：G＝m＝mω2r＝mr＝ma。 (7) 第一宇宙速度v1＝＝＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，第三宇宙速度v3＝16.7 km/s。 (8) 高轨低速(v、ω、an)周期大，低轨反之。 (9) 地表附近的人造卫星：r＝R＝6.4×106 m，v运＝v1，T＝2π＝84.6 min。 (10) 同步卫星：T＝24小时，h＝5.6R＝36 000 km。 (11) 卫星的变轨：低轨到高轨要加速，高轨到低轨要减速，两轨道相切点加速度相等。 (12) 双星问题：m1r1＝m2r2，r1＋r2＝L，＝。
1．（2024下·江苏南通·高三统考开学考试）如图所示，在长为d的机械臂作用下，微型卫星、空间站、地球位于同一直线，微型卫星与空间站一起做角速度为ω的匀速圆周运动。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，微型卫星质量为m，空间站轨道半径为r，求：
（1）在轨运行时，空间站的线速度和微型卫星的线速度之比；
（2）机械臂对微型卫星的作用力大小F。（忽略空间站对卫星的引力）
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）空间站和微型卫星的角速度相同，由公式
可知
（2）对空间站有
微型卫星
联立解得
2．（2024上·天津蓟州·高三统考期末）随着我国航天事业的快速发展，古人幻想的“嫦娥奔月”将变成现实。假若宇航员登陆月球后，释放一个实验用飞行器，飞行器以2m/s的速度匀速上升，当升到离月球表面10m高时，从飞行器上落下一小球，经过5s小球落到月球表面。已知月球的半径约为1800km，求：
（1）月球表面的重力加速度的大小；
（2）月球的第一宇宙速度的大小。（可以用根号表示）
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）以向下为正方向，由运动学位移公式
可得
（2）由月球表面重力提供第一宇宙速度的向心力得
可得月球的第一宇宙速度的大小
3．（2024·福建漳州·统考二模）2022年12月17日凌晨，“嫦娥五号”探测器圆满完成我国首次月球无人采样任务，携带样品返回地球。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，月球半径为。
（1）求地球表面重力加速度大小g；
（2）求月球的第一宇宙速度大小v。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设探测器质量为m，在地球表面，由万有引力定律得
解得
（2）在月球表面，由万有引力定律得
又
解得
天体运动与科技前沿
【例1】（2023上·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习）（1）空间站可以通过机械臂操控货物的运动。考察货物的运动时，可以空间站为参考系。空间站可近似看成惯性参考系，这样在轨空间站中物体处于完全失重状态而不用考虑地球引力的作用。忽略货物的运动对空间站的影响，同时忽略空间站对货物的引力。如图所示，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为的匀速圆周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。以空间站为参考系，求：
a．货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小；
b．货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率；
（2）货物、空间站和地球的位置如图所示，它们保持在同一直线上。以地球为参考系，货物与空间站同步绕地球做匀速圆周运动，已知空间站中心轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比。
【答案】（1）a．，b．；（2）
【详解】（1）a．质量为的货物绕点做匀速圆周运动，半径为，根据牛顿第二定律可知
b．货物从静止开始以加速度做匀加速直线运动，根据运动学公式可知
解得
货物到达点时的速度大小为
货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即为货物所受合力，所以经过时间，货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率为
（2）空间站和货物同轴转动，角速度相同，对质量为空间站，质量为的地球提供向心力，则有
解得
货物在机械臂的作用力和万有引力的作用下做匀速圆周运动，则
货物受到的万有引力
解得机械臂对货物的作用力大小为
则有
【例2】（2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）'重力探矿是常用的探测黄金矿藏的方法之一，是万有引力定律理论的实际应用，其原理可简述如下：如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内充满了富含黄金的矿石，假定球形区域周围普通岩石均匀分布且密度为，而球形区域内黄金矿石也均匀分布但其密度是普通岩石密度的（n+1）倍，如果没有这一球形区域黄金矿石的存在，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当该区域有黄金矿石时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离，重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”，为了探寻黄金矿石区域的位置和储量，常利用P点附近重力加速度反常现象，已知引力常量为G。
（1）设球形区域体积为V，球心深度为d（d远小于地球半径），，求：
①球形区域内黄金矿石在Q点产生的加速度大小；
②Q点处的重力加速度反常值；
（2）若在水平地面上以P点为圆心、半径为L的范围内发现：重力加速度反常值在与（）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在P点，如果这种反常是由于地下存在某一球形区域黄金矿石造成的，试求此球形区域球心的深度和球形区域的体积。
【答案】（1）①；②；（2），
【详解】（1）①球形区域黄金矿石的质量为
设黄金矿石在Q点产生的加速度为a，根据牛顿第二定律有
根据几何知识有
联立解得
②如果将近地表面的球形区域中的黄金矿石换成普通的密度为的岩石，则重力加速度反常可理解为在球形区域存在普通岩石的基础上叠加一个密度为，质量为的球引起的。该叠加球对Q点一质量为m的质点产生的附加加速度，则有
其中
根据题意可知重力加速度反常是上述附加加速度在竖直方向上的投影，则有
联立可得
（2）由表达式可知，当时，重力加速度反常值最大，且有
当时，重力加速度反常值最小，且有
联立可得地下球形区域球心的深度和球形区域的体积分别为
，
一．太空电梯知识补充
1.情景设定：太空电梯由以下几个核心部分组成
地面端基座：该部分为所有缆绳的起始段，主要起到固定作用。整体基座结构位于赤道地区的海面上，主视觉呈现为一个巨型海上平台。
缆索：9部轿厢由216根粗细不等的碳纳米缆绳垂直连接。
轿厢：其第一视觉印象源自我们常见的建筑工地垂直升降机，从而降低观众的视觉陌生感。太空电梯的基础功能也与我们常见的电梯无异，但运力更强，单个轿厢的运力是现今世界上最大的运载火箭的4倍。每天上上下下，运送人员、物资、以及建造空间站的原材料。
空间站：空间站位于距离地表3.6万公里的地球静止同步轨道，与太空电梯同心纵向连接。
配重：在太空电梯距离地表9万公里的尾端设置配重，使其与地球自转同步稳定。
2.配重锤的作用：因为电梯向上会对空间站有向下的拉力，就像平常的电梯一样，所以需要有一个较重的物体平衡掉电梯对空间站的拉力。
3.空间站的地基选址问题：
位置：赤道区域
原因：空间站位于地球同步轨道上，所以要尽可能的保证空间站和地球同步运动，这样对工程的技术难度要求是最小的，同时空间站和地基一起旋转减少的空间站位置的维持损耗。
相当于空间站位于地球静止卫星轨道上。
3.有关运载舱
运载舱作用:载运人和货物
两个结论:(1)运载舱上升时，线速度越来越大;
(2)运载舱上升时合力方向不沿缆绳方向。
4.空间站坠落、配重锤甩出问题
因为配重锤的速度远大于在该轨道上应有的速度;所以配重锤和缆绳的连接切断后会飞出。
（2023上·山东德州·高三统考期中）空间机械臂作为在轨支持、服务的一项关键技术，对空间科学的应用和发展起到了很大的带动作用。空间站上安装的机械臂不仅可以维修、安装空间站部件，还可以发射、抓捕卫星。如图所示，空间站在半径为r 的轨道上做匀速圆周运动。从空间站伸出长为d 的机械臂，微型卫星放置在机械臂的外端。在机械臂的作用下，微型卫星、空间站、地球在同一直线上，微型卫星与空间站同步做匀速圆周运动。已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为g，微型卫星质量为m，求：
（1）空间站所在轨道处的重力加速度；
（2）机械臂对微型卫星的作用力大小（忽略空间站对卫星的引力以及空间站的尺寸）。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）地表物体
在空间站位置
联立解得
（2）对空间站有
微型卫星
联立解得
天体物理与其他知识的综合
（2024·四川凉山·统考一模）我国计划在2030年前后完成载人登月计划，若宇航员登月后站在一斜坡上，从P点沿水平方向以初速度v0抛出一小石块，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角为α，已知月球的半径为R，引力常量为G。求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的质量M；
（3）月球的第一宇宙速度v。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小石块做平抛运动，水平方向有
竖直方向有
根据几何关系有
月球表面的重力加速度为
（2）根据万有引力与重力的关系
月球的质量为
（3）根据万有引力提供向心力
月球的第一宇宙速度为
天体运动与一切宏观机械运动相结合其突破口都是想办法求出重力加速度。
（2023上·江苏淮安·高三校联考阶段练习）一宇航员在半径为某星球表面，做如下实验：如图所示，长为的轻绳一端系一小球，另一端固定在点。小球绕点在竖直面内做圆周运动，通过最高点速度为时，绳的弹力为零。求：
（1）该行星表面的重力加速度；
（2）在该行星表面发射卫星时需要的最小发射速度。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由题意可知，在最高点
该行星表面的重力加速度为
（2）根据在行星表面万有引力与重力可认为相等有
该行星表面发射卫星时需要的最小发射速度为
1．（2023上·上海普陀·高三上海市宜川中学校考阶段练习）某行星的质量为地球质量的，半径为地球半径的。现向该行星发射探测器，并在其表面实现软着陆。探测器在离行星表面h高时速度减小为零，为防止发动机将行星表面上的尘埃吹起，此时要关闭所有发动机，让探测器自由下落实现着陆。已知地球半径R0=6400km，不计自转的影响，地球表面重力加速度g取9.8m/s2；结果保留2位小数。
（1）若题中h=4m，求探测器落到行星表面时的速度大小；
（2）若在该行星表面发射一颗绕它做圆周运动的卫星，发射速度至少多大；
（3）由于引力的作用，行星引力范围内的物体具有引力势能。若取离行星无穷远处为引力势能的零势点，则距离行星球心为处的物体引力势能，式中G为万有r引力常量，M为行星的质量，m为物体的质量。求探测器从行星表面发射能脱离行星引力范围所需的最小速度。
【答案】（1）3.96m/s；（2）1.8km/s；（3）2.5km/s
【详解】（1）设行星质量为M，半径为R，忽略行星自转，在行星表面附近质量为m的物体满足
同理，设地球质量为M0，半径为R0，有
则
着陆器做近似地球表面的自由落体运动，设着陆器落到该行星表面时的速度大小为v，则有
解得
（2）在行星表面附近质量为m的物体满足
该行星表面发射一颗绕它做圆周运动的卫星，则有
联立解得
（3）设着陆器至少以速度v0起飞方可冲出该行星引力场，则由能量关系得
代入数据联立解得
2．（2023上·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）通过同步卫星通话时，对方总是停一小段时间才回话，问在地球上的人说话后至少经过多长时间才能听到对方回话？（设对方听到说话后立即回话，已知地球自转周期T，地球质量M，地球半径R，引力常量G和光速c）
【答案】
【详解】当两人都站在同步卫星的正下方时，电磁波经同步卫星传播的距离最短，需时最少。设卫星的质量为m，距地高度为h，由牛顿第二定律得
解得
说话后听到回话需要的最短时间为
3．（2023上·江苏泰州·高三泰州中学校联考阶段练习）某卫星P在地球赤道平面内以周期T绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度与地球半径相等，且转动方向与地球自转方向相同，Q是位于赤道上的某观测站。已知地球的自转周期为，且，地球半径为R，引力常量为G，求：
（1）地球的质量M；
（2）卫星P连续三次经过观测站Q正上方的时间间隔。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设卫星的质量为m，由万有引力提供卫星的向心力，可得
解得
（2）由题意知，时间内卫星相对地球转过的角度为，则
解
4．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做半径为r的匀速圆周运动。太阳系内某探测器距离该恒星很远，可看作相对于恒星静止。由于P的遮挡，该探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化（和已知），此周期与P的公转周期相同。已知引力常量为G，求：
（1）P公转的周期；
（2）恒星Q的质量。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由图可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为
则P的公转周期为
（2）由万有引力提供向心力可得
解得质量为
5．（2024·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）在力学中，有的问题是根据物体所受的力推测它的运动，另一些问题则是根据物体的运动探究它受到的力。万有引力的发现则是典型的第二类情况。请你追寻牛顿的足迹，用自己的手和脑，根据开普勒三大定律及牛顿运动定律，重新“发现”（即推导）万有引力定律，设行星质量为m，太阳的质量为M，行星到太阳的距离为r。
【答案】见解析
【详解】令行星绕太阳做匀速圆周运动的公转周期为T，太阳对行星的引力为F，太阳对行星的引力提供行星运动的向心力，则有
根据开普勒第三定律有
即有
结合上述解得
可知，太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，根据牛顿第三定律，行星和太阳间的引力是相互的，既然太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，则行星对太阳的引力大小与也与太阳的质量成正比。所以太阳对行星的引力
写成等式有
其中的G为常量，可知 太阳与行星间的引力大小与太阳的质量和行星的质量的乘积成正比，与两者距离的二次方成反比。
5．（2023上·北京海淀·高三统考期中）19世纪末，有科学家提出了太空电梯的构想：在赤道上建设一座直到地球同步卫星轨道的高塔，并在塔内架设电梯。这种电梯可用于发射人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯缓慢地提升到预定轨道高度处，然后再启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去，使其直接进入预定圆轨道。已知地球质量为、半径为、自转周期为，万有引力常量为。
（1）求高塔的高度；
（2）若某次通过太空电梯发射质量为的卫星时，预定其轨道高度为；
①若该卫星上升到预定轨道高度时与太空电梯脱离，脱离时卫星相对太空电梯的速度可视为零，试分析说明卫星刚脱离太空电梯后相对地心，将做加速直线运动、圆周运动、近心运动还是离心运动？
②太空电梯把卫星运送到预定轨道高度后，需用推进装置将卫星在预定轨道处发射进入预定轨道做匀速圆周运动，以地心为参考系，求推进装置需要做的功。
【答案】（1）；（2）①见解析；②
【详解】（1）塔高为同步卫星的轨道高度，设同步卫星质量为，由万有引力提供向心力有
可得
（2）①由于卫星脱离太空电梯时的角速度和同步卫星角速度相同，均为，而轨道高度为的圆轨道卫星角速度，由于
万有引力超过所需向心力，卫星脱离后做近心运动。
②卫星被缓慢运送至高处时的速度大小为
高处的圆轨道卫星速度为，则由
可得
推进装置需要做的功
6．（2023上·江苏无锡·高三统考期中）中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知“空间站”绕地球做匀速圆周运动，经过时间t，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，求：
（1）“空间站”的环绕周期T；
（2）地球的质量M。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）“空间站”做匀速圆周运动的角速度
“空间站”的环绕周期
所以
（2）“空间站”的轨道半径
“空间站”做匀速圆周运动万有引力提供向心力
所以地球质量
7．（2023·上海·模拟预测）2021年5月15日7时18分，我国火星探测器“天问一号”的着陆巡视器（其中巡视器就是“祝融号”火星车）成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，这标志着我国是继美国、前苏联之后第三个成功进行火星探测的国家，展示了中国在航天技术领域的强大实力，为中国乃至国际航天事业迈出了历史性的一大步。 “天问一号”的着陆巡视器从进入火星大气层到成功着陆经历了气动减速段、伞系减速段、动力减速段、悬停避障与缓速下降段，其过程大致如图所示。已知火星质量为（约为地球质量的0.11倍）、半径为（约为地球半径的0.53倍），“天问一号”的着陆巡视器质量为，地球表面重力加速度为。
试根据图示数据计算说明下列问题：
（1）着陆巡视器在动力减速段做的是否为竖直方向的匀减速直线运动？
（2）设着陆巡视器在伞系减速段做的是竖直方向的匀减速直线运动，试求火星大气对着陆巡视器的平均阻力。（结果保留1位有效数字）
【答案】（1）不是；（2）
【详解】（1）设动力减速阶段着陆巡视器初速度为，末速度为，若此过程为匀减速直线运动，则有
代入数据得
所以此过程不是匀减速直线运动。
（2）着陆巡视器在地球表面时，有
着陆巡视器在火星表面时，有
由题意得，有
解得
设竖直向下为正方向，伞系减速过程着陆巡视器初速度为，时间，其质量，此过程加速度
解得
设火星大气对着陆巡视器的平均阻力为f
由牛顿第二定律知
解得
8．（2024·山东德州·校联考模拟预测）华为Mate 60 Pro通过中国自主研制的天通一号卫星通信系统实现了卫星电话功能，天通一号卫星是地球同步卫星。天通一号卫星发射首先利用火箭将卫星运载至地球附近圆形轨道1，通过多次变轨最终进入地球同步轨道3。其变轨简化示意图如图所示，轨道1离地面高度为h。已知天通一号卫星质量为m，地球自转周期为，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心，引力常量为G。如果规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为，其中M（未知）为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。求：
（1）“天通一号”卫星在轨道1的运行周期T；
（2）假设在变轨点P和Q通过两次发动机加速，“天通一号”卫星正好进入地球同步轨道3，则发动机至少做多少功？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据牛顿第二定律有
物体在地球表面时，有
两式联立解得
（2）根据牛顿第二定律有
在轨道1的线速度
轨道距地面高度为h时，空间站的动能为
轨道距地面高度为h时，空间站的势能为
地球自转周期为，则
解得
在同步轨道3，动能
势能
发动机做的功等于增加的机械能
9．（2023上·山西·高三校联考阶段练习）人类首次发现了双中子星合并产生引力波的事件，引力波开启宇宙研究新时代。如图甲所示，这是一对相互环绕旋转的质量不等的双中子星系统，其示意图如图乙所示，双中子星A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动。已知中子星A、B的质量分别为、，它们之间的距离为L，引力常量为G，求：
（1）中子星A做圆周运动的半径；
（2）中子星A、B做圆周运动的线速度大小之和。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据万有引力提供向心力有
，，
解得
（2）设中子星A、B做圆周运动的线速度大小分别为、，则有
，
解得
10．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）一月球探测器在月球表面上从静止开始竖直向上发射，升空后时刻关闭发动机，此时探测器的速度为。图是从探测器发射到落回月球地面全过程的速度v随时间t变化的图像。已知探测器质量为m，月球质量为M，万有引力常量为G，发动机产生的推力视为竖直向上的恒力，不考虑探测器总质量的变化及忽略月球自转的影响。求：
（1）月球地表附近的重力加速度g的大小及月球半径R；
（2）发动机工作时产生的推力F的冲量大小。
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）根据题意，由图像可得，探测器加速上升时的加速度为
时刻关闭发动机，探测器减速上升的加速度大小为
由于关闭发动机之后，探测器只受重力，则有
可得
忽略月球自转的影响，在月球表面有
解得
（2）根据题意，由牛顿第二定律有
解得
则发动机工作时产生的推力F的冲量大小
22．
23．
1．（2023·北京·统考高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有
解得
（2）在内部，星体质量
由万有引力定律和向心力公式有
解得
（3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
解得
2．（2022·北京·高考真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W；
（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比；
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】（1）根据动能定理有
（2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的作用力F提供向心力，则
运动周期
根据开普勒第三定律，k为常量，得
即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。
（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为P0。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量
设地球绕太阳公转半径为r1在新轨道上公转半径为r2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得
r2 = 4r1
设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有
解得
由于恒星质量是太阳质量的2倍，得
3.（2022·江苏·高考真题）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为、角速度为的匀速圆周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小；
（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）质量为的货物绕点做匀速圆周运动，半径为，根据牛顿第二定律可知
（2）货物从静止开始以加速度做匀加速直线运动，根据运动学公式可知
解得
货物到达点时的速度大小为
货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即为货物所受合力，所以经过时间，货物运动到点时机械臂对其做功的瞬时功率为
（3）空间站和货物同轴转动，角速度相同，对质量为空间站，质量为的地球提供向心力
解得
货物在机械臂的作用力和万有引力的作用下做匀速圆周运动，则
货物受到的万有引力
解得机械臂对货物的作用力大小为
则
4．（2012·全国·高考真题）一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k。设地球的半径为R。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。
【答案】d=(1-k2)R
【详解】若该物体位于地面处，则有
地球质量为
单摆的周期为
若该物体位于矿井底部，则有
地球质量为
单摆的周期为
又
联立以上各式得
d=(1－k2)R
5．（2009·全国·高考真题）如图所示,P、Q为某地区水平地面上的两点,在P点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩石均匀分布,密度为ρ;石油密度远小于ρ,可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用P点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.
(1)设球形空腔体积为V,球心深度为d(远小于地球半径),求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常;
(2)若在水平地面上半径为L的范围内发现:重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.
【答案】(1) (2)
【详解】(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算,
mΔg①
式中m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量.M=ρV②
而r是球形空腔中心O至Q点的距离r=③
Δg在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小 Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向,重力加速度反常Δg′是这一改变在竖直方向上的投影
Δg′=Δg④
联立①②③④式得Δg′=⑤
(2)由⑤式得,重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分别为
(Δg′)max=⑥
(Δg′)min=⑦
由题设有(Δg′)max=kδ,(Δg′)min=δ⑧
联立⑥⑦⑧式得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
6．（2014·重庆·高考真题）图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图，首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月球高度为处悬停（速度为0，远小于月球半径）；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为处的速度为，此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为（不包括燃料），地球和月球的半径比为，质量比为，地球表面附近的重力加速度为，求：
（1）月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
（2）从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化。
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）设地球质量和半径分别为和，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为、、和，探测器刚接触月面时的速度大小为，在星球表面根据万有引力近似等于重力，即
解得
由根据速度位移公式
解得
（2）设机械能变化量为，动能变化量为，重力势能变化量为，由能量守恒定律
有
解得
7．（2010·全国·高考真题）如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期。
(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
【答案】(1)；(2)1.01
【详解】试题分析：(1)A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有：
联立解得：
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
化简得：
(2)将地月看成双星，由(1)得
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
化简得：
所以两种周期的平方比值为：
8．（2014·四川·高考真题）石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖，用石墨烯超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现，科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯舱沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物质交换。
（1）若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能，设地球自转的角速度为ω，地球半径为R；
（2）当电梯舱停在距地面高度h2=4R的站点时，求舱内质量m2=50kg的人对水平地板的压力大小，取地面附近的重力加速度g=10m/s2，地球自转的角速度ω=7.3×10-5rad/s，地球半径R=6.4×103km。
【答案】（1）；（2）11.5N
【详解】（1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等，则轨道站的线速度
货物相对地心的动能
（2）设地球的质量为M，人相对地心的距离为，向心加速度为，受地球的万有引力为F，则
又
设水平地板对人的支持力大小为N，人对地板的压力为，则
代入数据联立解得
9．（2014·北京·高考真题）万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0。
①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就 h=1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式。
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？
【答案】(1)①，②；(2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
【详解】(1)在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是
，
解得
②在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2
解得
(2)根据万有引力定律，有
解得
又因为
解得
从上式可知，当太阳半径减小为现在的1.0%时，地球公转周期不变。
