2024年中考模拟试卷
数 学
（用时120分钟，满分120分）
一、选择题:本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在实数，0，，中，无理数是
B.0
2.优美的生态环保图标有利于提醒人们树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，建设天蓝、地绿、水清的美好家园.下列生态环保图标是中心对称图形的是
3.2024年3月20日上午8时55分，鹊桥二号中继星进入远地点高度420000000米的预定地月转移轨道.420000000米用科学记数法可表示为
A.0.42×109米 B.4.2×108米 C.42×107米 D.4.2×107米
4.下列运算正确的是
A.x4+x5＝x9 ·22024＝-1
5.某流域主要江河总体水质良好.下图是该流域主要江河水体污染超标断面统计图，根据超标断面个数，该流域主要江河最严重的污染指标是
A.氨氮 B.化学需氧量 C.总磷 D.铭（六价）
6.一次函数y＝（k-2）x+3，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是
A.k＞0 B.k＜0 C.k＞2 D.k＜2
7.一定质量的氧气，它的密度p（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10m3时，ρ＝1.431kg/m3.若某一时刻氧气的密度ρ＝4.77kg/m3，则此时的体积V是
A.2m3 B.3m3 C.5m3 D.6m3
8.如图，用一个卡尺（AD＝BC，）测量气缸的内孔直径AB，量得CD的长为8cm，则内孔直径AB的长为
C.28cm D.20cm
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点.若OE＝5，sin∠，则菱形ABCD的面积为
A.30 B.60 C.96 D.100
10.如图，已知点E在线段AB上，AE＝a，AD＝b（b＞a），∠A＝∠B＝90°， △ADE≌△BEC.连接DC,设DC＝c,下面三个结论:
① a2+b2c2;② 2b＞c;③
正确结论的序号是
A.① ② B.① ③ C.② ③ D.① ② ③
二、填空题:本题共8小题，每小题3分，共24分.
11.计算:＝_____.
12.关于x的一元二次方程x2-3x+a-2＝0有两个相等的实数根，则a的值是___________.
13.为配制含盐8%的盐水1000g，已有含盐5%的盐水200g，还需要含盐10%的盐水______g.
14.小明设计了如图所示的物理电路图，假设开关K1，K2，K3都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为_____.
15.如图，圆锥底面圆的半径r为1cm，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角θ为120°的扇形，则圆锥的侧面积为______.（用含π的式子表示）
16.如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE， DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.若∠ABE＝155°，∠EPF＝40°，则∠CDF的度数是______度.
17.如图，某博览会上有一圆形展示区，准备在圆形边缘的五等分点A，B，C，D，E处安装5台相同的监视器，为了使5台监视器能够监控整个展区，则监视器的监控角度至少要______度.
18.如图，在反比例函数的图象上有P1，P2，P3，…，P2025等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2， S3，… ， S023 ， S2024，则S1+S2+S3+…+S2023+S2024＝.
三、解答题:本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.（6分）解不等式组:
20.（6分）先化简，再求值:（），其中
21.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°.
（1）尺规作图:作线段BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E;（保留作图痕迹，不写作法）
（2）已知AC＝3，BC＝4，求△ECB的周长.
22.（8分）某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行跟踪调查.当柑橘的销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件.
（1）用适当的函数表示该柑橘的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系，其中x≥25;
（2）已知柑橘的进货价格为每件20元，当柑橘的销售单价定为多少时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？
23.（9分）为了有效引导学生学习环保知识，增强环保意识，某校九年级举行第一次“环保知识测试”，并将K班第一次测试成绩数据整理成统计表.
第一次测试成绩
请解决问题1:
（1）求该班在第一次“环保知识测试”中，学生测试成绩x（分）为“60＜x≤70”的频率;
（2）若该校九年级学生有600人，且各班对环保知识了解程度大体一致，请估计该年级第一次“环保知识测试”成绩在80分以上（不含80分）的学生人数;
第一次测试后，王老师带领K班学生积极开展了环保主题实践活动.活动后，该班参加第二次“环保知识测试”，并将第二次测试成绩分成A:60＜x≤70，B:70＜x≤80，C: 80＜x≤90，D:90＜x≤100四组进行统计分析，绘制了各组人数占比扇形统计图.
请解决问题2:
（3）请至少选择两种以上的的统计量，分析比较K班的第一次和第二次的测试数据变化情况，并对王老师带领K班学生开展环保主题实践活动的效果进行评价.
24.（9分）如图，点D是⊙O的直径AB下方圆弧上的一点，连接DB并延长至点C，连接AC交⊙O于点E,连接ED交AB于点G,过点E作EF⊥DC于点F,且点F是线段DC的中点.
（1）求证:EF是⊙O的切线;
（2）若AB＝2，∠D＝30°，求线段EF的长.
25.（10分）二次函数y＝ax2+bx-3（a，b是实数，且a≠0）.已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示:
（1）① 解关于x的方程:ax2+bx＝0;
② 若m·n·k＜0，求a的取值范围.
（2）若k＝-4，当0≤x≤t时，设二次函数y＝ax2+bx-3的最大值为A，最小值为 B.若A-B＝1，求t的取值范围.
26.（10分）某兴趣小组使用一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，测量一个扁平状水塘的最大宽度AB.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度），测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小.
该兴趣小组甲、乙两名同学设计了不同的测量方案.
甲同学的测量方案如图1，具体操作如下:① 在水塘外选点C，测得AC＝32m， BC＝40m;② 分别在AC,BC上取两点M,N,测得CM＝8m,CN＝10m;③ 测得MN＝15m.
乙同学的测量方案如图2，具体操作如下:① 在水塘外选点C，测得AC＝32m， BC＝40m;② 分别在AC,BC上取两点E,F,测得CE＝8m,CF＝6.4m;③ 测得EF＝12m.
（1）分别判断甲、乙两名同学的测量方案是否可行，并说明理由;
（2）请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，利用解直角三角形的知识求水塘的最大宽度AB，写出你的测量方案及求解过程.（要求:测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，…表示，测量方案的示意图在备用图表示出来）
答 案
1-5 CABCA
6-10 CBDCD
11. 5
12.
13. 700
14.
15.3π
16.165
17.36
19.解不等式2x+3＜5，得x＜1， 2分
解不等式3x-2＜4（x+1），得x＞-6，
不等式组 2x+3＜5 的解集为-6＜x＜1.…
3x-2＜4（x+1）
20.原式
5分
当时，………………6分
21.（1）尺规作图如图所示:
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5， 5分
∵DE垂直平分BC，
∴DE∥AC,
∵D为BC的中点，
∴E为AB的中点， 6分
∴，
∴△ECB的周长为:EC+EB+BC＝AB+BC＝9. 8分
22.（1）y＝50-（x-25）×2＝100-2x，（x≥25）;
（2）当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w元，…4分
则W＝（100-2x）（x-20）＝-2x2+140x-2000＝-2（x-35）2+450， 6分
所以柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润为450元.
23.（1）该班学生的总人数为:4+28+8+4+6＝50（人），
所以该班在第一次“环保知识测试”中，学生测试成绩x（分）为“60＜x≤70”的频率为:;………………………2分
（2）该班在第一次“环保知识测试”中，学生测试成绩x（分）在80分以上（不含81分）的频率为:，…………………3分所以该校九年级第一次“环保知识测试”成绩在80分以上（不含80分）的学生人数为:600×0.2＝120（人）
（3）从平均成绩看，该班第一次“环保知识测试”的平均成绩为:
4×55+28×65+8×75+4×85+6×95 5分
50
第二次“环保知识测试”的平均成绩为:（分）
所以从平均数看，第二次的测试成绩好于第一次的测试成绩;
从中位数看，该班第一次“环保知识测试”成绩的中位数在60＜x≤70范围内，…7分第二次“环保知识测试”成绩的中位数在80＜x≤90范围内，所以从中位数看，第二次的测试成绩好于第一次的测试成绩;
或者:
从频率的看，该班第一次“环保知识测试”成绩在80分以上的频率为0.2，…7分第二次“环保知识测试”成绩在80分以上的频率为:，
所以从频率角度看，第二次的测试成绩好于第一次的测试成绩; 8分
所以王老师带领学生积极开展环保主题实践活动的效果非常好. 9分
24.（1）连接OE，
∵点F是线段DC的中点，且EF⊥DC，
∴△EFC≌△EFD,∴∠D＝∠C,
∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠C， 2分
∵OA＝OE,∴∠A＝∠OEA,∴∠C＝∠OEA,
∴OE∥DC, 3分
∵EF⊥DC,∴EF⊥OE,
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线; 4分
（2）连接BE，
∵AB是⊙O的直径，且AB＝2，∠D＝30°， ∴∠AEB＝90°，
由（1）知∠A＝∠C，
∴AB＝BC＝2，且E为AC的中点，
∴AE＝AB·，……………………7分∴，
∴EF＝CE·…...9分
25.（1）① 由表格知:当x＝0或x＝2时，函数y＝ax2+bx-3的值等于-3，即x＝0或x＝2时，ax2+bx＝0，
关于x的方程:ax2+bx＝0的两个根分别为x＝0或x＝2;…………2分
② ∵二次函数y＝ax2+bx-3的图象过（2，-3）， ∴4a+2b-3＝-3，
∴b＝-2a，
∴二次函数y＝ax2-2ax-3………………………4分把（-1，m），（1，k），（3，n）代入y＝ax2-2ax-3，得m＝3a-3，k＝-a-3，n＝3a-3，
∴m·n·k＝（3a-3）2（-a-3）＜0，………………………5分∴a+3＞0且3a-3≠0，
∴a＞-3且a≠1，
又a≠0，
∴a＞-3且a≠1且a≠0; 6分
（2）若k＝-4，则二次函数y＝ax2+bx-3的图象过（1，-4），（2，-3）两个点，
解得a＝1，b＝-2，
∴二次函数的表达式为y＝x2-2x-3，
即y＝（x-1）2-4，
∵0≤x≤t，
当0＜t≤1时，二次函数y＝（x-1）2-4的最大值A＝-3，最小值为B＝t2-2t-3， ∴A-B＝-t2+2t＝1，解得t＝1，…………………………8分当1＜t≤2时，二次函数y＝（x-1）2-4的最大值A＝-3，最小值为B＝-4，
∴A-B＝-3-（-4）＝1，符合题意，故1＜t≤2，………………9分当t＞2时，二次函数y＝（x-1）2-4的最大值A＝t2-2t-3，最小值为B＝-4， ∴A-B＝t2-2t+1＝1，解得t＝2或t＝0，又t＞2，故t＝2或t＝0不符合题意，
综上1≤t≤2. 10分
26.（1）甲同学的测量方案正确，………………1分理由如下:∵AC＝32m，BC＝40m，CM＝8m，CN＝10m， ∴，，
∴，
∴△CMN∽△CAB,
∴，
又∵MN＝15m，∴AB＝60m; 3分
乙同学的测量方案也正确， 4分
理由如下:∵AC＝32m，BC＝40m，CE＝8m，CF＝6.4m，
∴，，
∴，
∴△CFE∽△CAB,
∴，
又∵EF＝12m，∴AB＝60m; 6分
（2）测量过程:① 在水塘外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β;
② 用皮尺测得BC＝am.……………………8分求解过程:由测量知，在△ABC中，∠ABC＝α，∠BAC＝β，BC＝a.
过点C作CD⊥AB,垂足为点D.
在Rt△CBD中,cos∠,
即cosα,所以BD＝acosα,
同理, CD＝asinα,
在Rt△ACD中,tan∠,
即tanβ,所以,
所以AB＝BD+AD＝acosα,
故水塘的最大宽度为（acosα 10分
