专题04 计算题解题策略
目录
策略(一) “三步”审题法 1
策略(二) 大题小做 9
策略(三) 规范答题 16
计算题技法专练 20
【概述】物理计算题历来是高考拉分题，试题综合性强，涉及物理过程多，所给的物理情境较复杂，物理模型比较模糊甚至很隐蔽，所运用的物理规律也较多，对考生的各项能力要求很高。掌握以下“三策略”，可在物理计算题上得到理想的分值。
策略(一) “三步”审题法
【例1】（2023·安徽·高三专题练习）如图甲所示，质量的小物块（可视为质点）放在质量木板的左端，木板长。起初、两叠体静止于水平面上。现用一水平向左的力作用在木板上，通过传感器测出、两物体的加速度与外力的变化关系如图乙所示。已知两物体与地面之间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取。求：
(1)、之间的动摩擦因数及与地面之间的动摩擦因数。
(2)若开始时对施加水平向左的恒力，且给一水平向右的初速度，则时与的右端相距多远？
【三步审题】
第一步：审条件挖隐含 (1)当F>F0时B相对地面滑动，F0的值为B与地面间的最大静摩擦力大小
(2)当F0
第二步：审情景建模型 (1)A与B间相互作用：板块模型
(2)A与B的运动：匀变速直线运动
第三步：审过程选规律 (1)运用牛顿运动定律找加速度与摩擦力(动摩擦因数)的关系，并分析a F图像的物理意义
(2)用匀变速运动的规律分析A与B运动的位移
【例2】（2021·浙江·高考真题）如图所示，水平地面上有一高的水平台面，台面上竖直放置倾角的粗糙直轨道、水平光滑直轨道、四分之一圆周光滑细圆管道和半圆形光滑轨道，它们平滑连接，其中管道的半径、圆心在点，轨道的半径、圆心在点，、D、和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道上距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道、轨道从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点，已知小滑块与轨道间的动摩擦因数，，。
（1）若小滑块的初始高度，求小滑块到达B点时速度的大小；
（2）若小球能完成整个运动过程，求h的最小值；
（3）若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G的位置上下可调，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值。
【三步审题】
第一步：审条件挖隐含
(1)关注研究对象——滑块、小球。
(2)关注运动过程
滑块匀加速下滑，与小球碰撞交换速度，小球做圆周运动，下抛，与三棱柱碰撞后平抛。
(3)关注受力
根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况。
第二步：审情景建模型
对象拆解 分别对滑块和小球进行受力分析和运动分析
模型构建 匀变速直线运动、弹性碰撞、竖直面内圆周运动、平抛运动
适用合适的规律 动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律、牛顿第二定律、运动的分解
第三步：审过程选规律
(1)对滑块进行受力分析，根据动能定理求得到达B点时的速度。
(2)根据动量守恒和机械能守恒求得碰撞后小球的速度。
(3)根据牛顿第二定律求得小球恰好做圆周运动时在最高点E的速度。
(4)根据C到E过程机械能守恒求得hmin。
(5)从E到G过程，根据动能定理求得小球从G点平抛的初速度。
(6)平抛过程根据运动的分解得出落地点Q与F点水平距离x的数学表达式。
(7)用数学知识求得x的最大值。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）某科研机构采用无人机将山里的特产送下山，或利用无人机运输急救药品和生活必需品，帮助部分山区居民解决交通不便的情况。如图所示是某次无人机在基地进行物流配送与飞行测试：实验中该无人机空载先从地面由静止竖直向上匀加速起飞，上升到100m高度时无人机速度达到20 m/s，随后以等大加速度减速正好到达目标所在位置。当无人机满载物品后，又以4m/s2加速度匀加速下降。已知无人机在飞行测试阶段受到的空气阻力为重力的0.1倍，已知该无人机的空载质量为80kg，有效载荷为20kg，求：
（1）无人机从静止到目标所在位置的时间；
（2）在上升阶段中，当无人机速度达到最大速度20m/s时，无人机发动机的功率；
（3）无人机从目标所在位置回到地面时，当达到最大速度后匀速飞行5s，最后匀减速直线运动回到地面速度恰好为零，求减速阶段无人机的制动力。
【审题破题】
1.快速读题，提取关键信息
(1)运动分析：“匀加速起飞”、“等大加速度减速”、“匀加速下降”等信息，构建匀变速直线运动模型。
(2)受力分析：“空气阻力为重力的0.1倍”知无人机受重力和空气阻力，由牛顿第二定律列方程求解加速度。
2.联想情景，构建运动模型
(1)上升阶段 (2)下降阶段
【例4】（2020·全国·统考高考真题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？
【“三步”规范解题】
第一步：审题——2个切入点
(1)关注匀强电场的区域分布——匀强电场分布在柱形区域内。
(2)关注运动过程——进入电场时速度为零的粒子，在电场中做匀加速直线运动；进入电场时速度不为零的粒子，在电场中做类平抛运动。
第二步：破题——3个关键点
(1)进入电场时速度为零的粒子，从自圆周上的C点穿出电场，可以确定电场线沿AC方向。
(2)要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多。
(3)粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即在电场方向上速度变化为v0。
第三步：解题——3个环节
(1)沿AC方向射出的粒子，根据动能定理可求出电场强度的大小。
(2)从切点D射出的粒子，根据类平抛运动规律，可求出粒子进入电场时的
大小。
(3)根据粒子沿电场线方向做匀加速直线运动规律，可求出穿过电场前后动量变化量的大小为mv0的粒子进入电场时的速度。
策略(二) 大题小做
物理压轴题一般文字叙述量较大，涉及的物理过程与情境较复杂，物理模型较多且不明显，甚至很隐蔽，要运用较多的物理规律进行论证或计算才能求得结论。能否顺利地突破求解，关键是能否顺利地将题中复杂的物理运动过程分解为若干个独立的、较为简单的过程，即将大题小做，各个击破。
【例2】（2023·湖北·华中师大一附中校考一模）如图所示，M1 N1 P1Q1和M2N2 P2 Q2为在同一水平面内足够长的金属导轨，处在磁感应强度B=2 T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．导轨的M1N1段与M2 N2段相互平行，间距为2 m；P1Q1段与P2Q2段平行，间距为1m．两根质量均为m=lkg、电阻均为R=0.5Ω的金属杆a、b垂直于导轨放置，杆的长度恰好等于导轨间距．一根不可伸长的绝缘轻质细线一端系在金属杆b的中点，另一端绕过轻小定滑轮与质量为mc的重物c相连，线的水平部分与P1Q1平行且足够长，c离地面足够高．已知两杆与导轨间的动摩擦因数均为μ=0.4，不计导轨电阻及电磁辐射，重力加速度为g=10 m/s2。
（1）若要保持整个系统静止，重物c的质量不能超过多少？
（2）若c的质量改为mc=0. 6kg，将c由静止释放并开始计时，杆在运动过程中始终保持与轨道垂直且接触良好，求金属杆b的最大速度．
（3）在（2）的条件下，已知t=4 s时，金属杆b已经非常接近最大速度，求这4s的过程中a棒上产生的焦耳热。
1．第(1)问可拆分为2个小题
①求平衡时细线上的拉力大小FT是多少？ 建模：重物c二力平衡模型
规律：两力大小相等方向相反，即FT＝mcg
②细线上的拉力大小与b杆受到的静摩擦力Ff满足什么关系时b杆能处于平衡状态？ 建模：静摩擦力作用下的平衡
规律：合力为零，静摩擦力小于等于最大静摩擦力(如果没有特别说明一般认为最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小)，即FT＝Ff≤Ffmax＝μmg
2.第(2)问可拆分为4个小题
①b杆有最大速度时受到的最大安培力大小Fb是多少？ 建模：b杆与重物c系统处于平衡状态
规律：系统合力为零，即mc′g＝μmg＋Fb
②a杆受到的最大安培力大小Fa与b杆受到的最大安培力大小Fb有何关系？ 建模：两杆在同一时刻电流大小相同，但a杆的长度是b的两倍
规律：由安培力公式得Fa＝2Fb
③此过程中a杆的运动状态如何？ 分析：由于Fa＝2Fb＝μmg
结论：a杆一直不动
④b杆运动的最大速度v与b杆受到的最大安培力大小有何关系？ 建模：b杆相当于电源，a杆与导轨组成外电路
规律：E＝BLbv，I＝，Fb＝BILb
3.第(3)问可拆分为4个小题
①在4 s内细线上拉力的平均冲量是多大？ 建模：重物c的变速运动
规律：动量定理mc′gt－t＝mc′v
②在t＝4 s时间内b杆受到安培力的平均冲量是多大？ 建模：b杆的变速运动
规律：动量定理t－μmgt－bt＝mv
③在t＝4 s时间内b杆受到安培力的平均冲量与b杆运动的距离有何关系？ 建模：b杆与a杆及导轨组成的闭合电路
规律：法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力公式、电流与冲量的定义式，即bt＝BLbt，t＝t＝
④在t＝4 s时间内，重物c与两杆组成电路中的功能关系如何？ 建模：b杆克服安培力做的功等于回路产生的焦耳热，此过程中两杆产生的焦耳热Q相等
规律：能量守恒定律，即mc′gx＝(m＋mc′)v2＋μmgx＋2Q
【例2】（2021·全国·高考真题）如图，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的U型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小取。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
【规范审题】
第一步：审题切入点
(1)确定运动对象
金属棒和导体框两个物体，分别对两个物体受力分析，判断它们的受力和运动情况。
(2)运动过程分析
运动过程可分为4个阶段：
第1阶段：金属棒进入磁场前，金属棒和导体框在光滑斜面做匀加速运动；
第2阶段：金属棒进入磁场做匀速运动，导体框做匀加速运动；
第3阶段：导体框的EF边进入磁场做匀速运动，金属棒做加速运动；
第4阶段：金属棒与导体框速度相同后，导体框做加速运动。
第二步：破题关键点
(1)要搞清金属棒与导体框之间的相对运动，明确各个阶段速度大小关系，第1阶段两者共同运动，没有相对运动；第2阶段导体框速度大于金属棒速度；第3阶段导体框速度大于金属棒速度；第4阶段导体框速度小于金属棒速度。
(2)对金属棒与导体框之间的摩擦力的判断，在第1阶段不存在摩擦力；在第2阶段金属棒受到的摩擦力沿斜面向下；第3阶段金属棒受到的摩擦力沿斜面向下；第4阶段金属棒受到的摩擦力沿斜面向上。
第三步：计算环节分析
(1)利用机械能守恒定律计算金属棒进入磁场时的速度；
(2)利用动能定理计算导体框EF进入磁场时的速度；
(3)利用平衡条件列平衡方程求解金属棒的质量及动摩擦因数；
(4)利用牛顿第二定律和运动学公式求解导体框匀速运动的距离。
【例3】（2024·云南联考模拟预测）电子对湮灭是指电子e－和正电子e＋碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描(PET)及正电子湮灭能谱学(PAS)的物理基础．如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且OP＝2L，Q点在负y轴上某处．在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，OA＝L，在第Ⅳ象限内有一未知的矩形区域(图中未画出)，未知矩形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里．一束速度大小为v0的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出电场区域；另一束速度大小为v0的正电子束从Q点沿与y轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，而后进入未知矩形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反．已知正、负电子质量均为m、电荷量大小均为e，电子的重力不计．求：
(1)圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小；
(2)电子从A点运动到P点所用的时间；
(3)Q点纵坐标及未知矩形磁场区域的最小面积S．
【审题破题】
1.明确场的组合，拆分运动过程，作出运动轨迹图(如图甲)。
甲 乙
2.电子从A到C轨迹为圆周，运动时间为t＝T；电子在电场中从C到P做类平抛运动，根据运动的合成与分解求运动时间。
3.正电子进入未知矩形磁场区域偏转，要使矩形磁场面积最小，右侧应与轨迹相切。
在P点正、负电子正碰发生湮灭，判断速度方向与x轴的夹角，画出正电子运动示意图(如图乙)。
策略(三) 规范答题
物理规范答题主要体现在三个方面：思想方法的规范化，解题过程的规范化，物理语言和书写的规范化。依据高考试题的参考答案和评分标准，总结出如下四步规范化答题模式：
1．画图分析
主要是画原理分析图和物理过程示意图(如受力分析图、运动示意图、等效电路图、光路图等)。目的是有助于解题过程表述的简洁性，更有助于分析题意，找出解题方法。
2．写出必要的文字说明
目的是展示物理问题发展的前因后果。文字说明的语言要简洁、明确、规范，主要有下列六个方面：
(1)说明研究对象，可采用“对物体A”“对A、B组成的系统”等简洁的形式。
(2)指出物理过程和状态，如“从A→B”“在t时刻”等简单明了的说法。
(3)假设所求的物理量或题中没有但解题却需要的中间变量，如“设……”“令……”等熟知的说法或“各量如图中所示”(在原理图上标出各量)。
(4)写明解题依据，如“由……定律有”“据……得”等。
(5)解题过程中必要的关联词，如“将……代入”“由……得出”等。
(6)对原因、结果的补充说明，如“因为……”“所以……”“大于”“小于”等。
3．列出方程式
主要是物理公式和与解题相关的数学公式。该步骤要注意以下三点：
(1)一定要写方程的原式，而不是变形式或结果计算式。
(2)所列方程要与解题密切相关，不要堆砌方程。方程过多，容易造成解题的混乱。
(3)列方程时，物理量的符号要用题中所给的符号。若使用题中没有的物理量符号时，也一定要使用课本上统一的符号。
4．准确演算明确结果
(1)解题过程详略得当
写出重要的关系式和推导步骤，详细的推导、整理过程一般不用写。
(2)代数运算正确
从原方程求解最后结果时，要先推导出最简形式的计算式，再把单位统一后的数据代入，写出计算结果和单位，中间运算过程无须写上。要尽量避免步步计算。
(3)结果表达准确
结果的表达要明确，要有数值和单位。如果是矢量，要用正负号表示或说明其方向性。
(4)做出必要的说明和讨论
如果需要说明或讨论的，一定要有准确的说明或必要的讨论。
【例1】间距L＝0.5 m的两平行金属导轨由倾斜部分和水平部分(足够长)组成，两部分通过绝缘材料在D、E两点平滑连接，倾斜部分导轨与水平面间夹角为θ＝30°，导轨上端接有R＝1 Ω的电阻。空间分布如图所示的匀强磁场，倾斜导轨的磁场方向垂直导轨平面ACDE向上，磁感应强度B＝1 T，水平区域GF边界右侧磁场方向竖直向上，磁感应强度大小为2 T，DEFG为无场区域。现有三根长度均为L＝0.5 m的金属棒a、b、c与导轨良好接触，其质量ma＝0.1 kg、mb＝0.2 kg、mc＝0.1 kg，其电阻Ra＝1 Ω，Rb＝1 Ω，Rc＝2 Ω，金属棒a由静止释放，释放处离水平导轨的高度为h＝5 m。金属棒在到达ED边界前速度已达到稳定，金属棒b、c放置在水平导轨上。不计一切摩擦阻力及导轨的电阻，金属棒一直处在导轨上，且与导轨保持垂直，始终未相碰，重力加速度为g＝10 m/s2。求：
(1)金属棒a运动过程中的最大速度vm；
(2)金属棒a下滑过程运动的总时间t；
(3)金属棒a进入GF后，金属棒b最终如何运动？此过程中金属棒b产生的焦耳热。
【例2】如图为一游戏装置的示意图，倾斜轨道上物块A距离水平面高H＝1.2 m，细管轨道半径R1＝0.50 m，圆轨道半径R2＝0.40 m，两圆轨道间EF段长L＝0.5 m，让物块A从斜面上由静止滑下与静止在水平面上的物块B发生弹性正碰，两物块的质量均为m＝0.1 kg，两物块与EF段间的动摩擦因数均为μ＝0.1，轨道其余部分均光滑。两物块均可视为质点，g取10 m/s2。
(1)求第一次碰撞后，物块B的速度；
(2)求物块B第一次通过两圆轨道最高点C和D时，轨道分别对物块B的弹力；
(3)若在轨道左端放置一顺时针匀速转动的足够长的传送带，试分析传送带的速度v满足什么条件时，物块A、B一定发生第二次碰撞。
计算题技法专练
1.（2024·湖南长沙·统考模拟预测）某发光二极管由一种透明材料封装而成，为研究其光学属性，某同学找来一个用这种材料制成的半圆柱体，其横截面是半径为的半圆，是半圆的圆心，为水平直径。单色光以入射角从A点射入半圆柱体，经折射后到达弧面上的点，如图所示。已知间的水平距离为，真空中的光速为，求∶
（1）该材料对单色光的折射率；
（2）单色光从A到的传播时间。
2．（2024·山西临汾·统考一模）如图所示，排球比赛中运动员将排球从M点以的速度水平击出，当球飞到P点时被对方运动员击出，球又斜向上飞出后经过M点正下方的N点，N、P两点等高且水平距离为10m。球斜向上飞出后轨迹最高点与M点等高。不计空气阻力，重力加速度取。求：
（1）M、N两点间的高度差h；
（2）在P点排球被击出时排球速度的大小。
3．（2024·吉林·校联考模拟预测）如图甲所示，一个质量不计的活塞将一定质量的理想气体封闭在上端开口的直立圆筒形导热气缸内，气体温度T1 = 400K，气柱的高度为h = 24cm，在气缸内壁有固定的小卡环，卡环到气缸底的高度差为10cm。现在活塞上方缓慢堆放细沙，直至气柱长度减为h1 = 16cm时停止堆放细沙，如图乙所示。之后对气体缓慢降温至T2 = 100K。已知大气压强为p0 = 1 × 105Pa，气缸的横截面积为S = 1 × 10 4m2，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）堆放细沙的质量m；
（2）温度降为T2时气体的压强。
4．（2024上·山西吕梁·高三统考期末）如图所示，某足够宽的空间有垂直纸面向外的磁感应强度为的匀强磁场，质量为且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为、带电荷量的滑块，滑块与绝缘木板之间动摩擦因数为，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加方向水平向左、大小为的恒力，g取。求：
（1）刚开始滑块的加速度大小以及滑块受到的摩擦力大小；
（2）滑块匀加速所达到的最大速度以及绝缘木板运动的最大加速度。
5．（2024上·山西吕梁·高三统考期末）如图所示，足够长的U形粗糙金属导轨，其平面与水平面成角，其中导轨MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，NQ之间电阻为r，其余部分金属导轨电阻不计，金属棒ab与导轨之间的摩擦因数为，金属棒由静止释放后可以沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，求：
（1）导体棒ab在导轨上运动的最大速度是多少？
（2）当导体棒ab在导轨上运动速度大小为时下滑的距离为x，求此过程导体棒ab上产生的焦耳热和流过ab棒横截面的电荷量q。
6．（2024上·湖南张家界·高三统考期末）如图所示，水平地面上的木板中央竖直固定一根长为的轻杆，轻杆顶端用长为的轻绳连接一可看作质点的小球，初始时把小球拉至水平，由静止释放，小球摆动到最低点时与轻杆发生碰撞瞬间二者合为一体，之后整体在水平地面上向左做匀减速直线运动。已知小球与木板的质量均为，小球向下摆动过程中木板恰好不滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，求：
（1）木板对水平地面的最大压力；
（2）木板与地面间因摩擦产生的热量；
（3）木板沿水平地面向左滑动的距离。
7．（2024上·江苏苏州·高三校考阶段练习）如图所示，质量为、带有圆弧形槽的物体放在水平地面上，弧形槽的最低点静置一可视为质点、质量为的物块，质量为的橡皮泥以大小为、水平向右的速度与物块发生碰撞，碰撞后二者不分离，此后物块沿弧形槽上滑，已知弧形槽的最低点距离地面的高度为，弧形槽的半径为，弧形槽底端切线水平，忽略一切摩擦和橡皮泥与物块的碰撞时间，重力加速度。。求：
（1）橡皮泥击中物块后瞬间物块对弧形槽的压力大小；
（2）物块沿弧形槽上滑的最大高度；
（3）物块落地瞬间到物体最左端的距离。
8．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，）
（1）若，求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小；
②在上经过的总路程；
③在上向上运动时间和向下运动时间之比。
（2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
9．（2024上·四川·高三校联考期末）如图所示，平面直角坐标系xOy的第二象限内存在沿x轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，第一象限内一梯形区域中存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），点P处的质子源由静止释放的质子在电场力的作用下加速后，从Q点进入第一象限，经磁场偏转后从N点垂直x轴射入第四象限。已知P、Q、N三点的坐标分别为、、，质子的质量为m、带电荷量为e，不计质子受到的重力，求：
（1）质子的最大速度v；
（2）质子从P点运动到N点的时间t；
（3）第一象限内匀强磁场区域的最小面积S。
10．（2024上·江西宜春·高三江西省宜春市第一中学校考阶段练习）如图所示，光滑的玻璃管竖直固定放置，管内轻弹簧固定在玻璃管的底部，质量为6m的小球A固定在轻弹簧的上端，质量均为m的小球B、C用轻杆连接，在管内距A球一定高度处由静止释放，A、B、C三球的直径均略小于管的内径，A、B两球碰撞后粘在一起，碰撞后反弹至最高点时，A球的加速度大小为，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，求：
（1）B球与A球碰撞后一瞬间，轻杆对C球的作用力大小；
（2）碰撞后一瞬间，三个球的速度大小。
11．（2024·吉林·校联考模拟预测）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距l = 1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。杆1、杆2是两根用细线连接的金属杆，质量分别为m1 = 0.1kg和m2 = 0.4kg，两杆垂直导轨放置，且两端始终与导轨接触良好，两杆的总电阻R = 2Ω，两杆在沿导轨向上的外力F作用下保持静止。整个装置处在磁感应强度B = 1T的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，在t = 0时刻将细线烧断，保持F不变，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）细线烧断后，两杆最大速度v1、v2的大小；
（2）两杆刚达到最大速度时，杆1上滑了0.8m，则从t = 0时刻起到此刻用了多长时间？
12．（2024上·山东青岛·高三山东省平度第一中学校考期末）由A、B、C三部分组成的滑道放置在光滑水平面上，其中A部分为上表面光滑的“L”形平台，其上方有一与其等长轻质弹簧，弹簧左端固定在挡板上，右端自然伸长；B部分为质量mB=1kg、长L=5.0m的长木板；C部分为半径R=0.2m的竖直光滑半圆轨道。现将质量m=4kg的小物块（视为质点）压缩弹簧至P点后由静止释放。如图甲，若A、B、C均锁定，小物块恰能运动至半圆轨道最高点S。如图乙，解除对B、C的锁定，在距离B的右端s（0.5R
（2）从小物块滑上长木板B到B与挡板碰撞的过程中，由于摩擦产生的热量Q与s之间的关系；
（3）若s=8R，为使小物块在半圆轨道C内侧相对运动不超过圆弧，半圆轨道C的质量mC应满足的条件。
13．（2024上·山东青岛·高三山东省平度第一中学校考期末）如图甲，一质量、电量的带正电小球（可视作点电荷），它在一高度和水平位置都可调节的平台上滑行一段距离后做平抛运动，并沿光滑竖直圆弧轨道下滑。A、B为圆弧两端点，其连线水平，在圆弧区域内有一平行半径OA斜向左下方的匀强电场E，为保证小球从不同高度h平抛，都恰能沿切线从A点进入圆弧轨道，小球平抛初速度v0和h满足如图乙所示的抛物线，同时调节平台离A点的水平距离合适。已知圆弧半径，平台距AB连线的高度h可以在之间调节。不计空气阻力，取g=10m/s2，求：
（1）平台离A的水平距离x范围（时初速度的准确值未知）；
（2）当且时，小球滑到最低点C的速度v；
（3）如果将匀强电场的方向变为平行于AB水平向左，大小变为，其他条件不变。当时，带电小球对圆弧轨道最大压力的大小（结果保留两位有效数字）。
14．（2024·山西临汾·统考一模）如图所示，物块B和木板C静止在光滑水平地面上，C的上表面水平且足够长，其左端放置一滑块A，A、B、C的质量分别为m、2m、3m。A、C间的动摩擦因数为，B、C由不可伸长的理想轻绳连接，绳子处于松弛状态。现在突然给A一个向右的速度，使A在C上滑动，当A的速度减为时绳子恰好伸直，接着绳子被瞬间拉断，绳子被拉断时C的速度为，重力加速度为g。求：
（1）从A获得速度开始经过多长时间绳子被拉直？
（2）因拉断绳子造成的机械能损失为多少？
（3）若A最终未脱离木板C，则木板C的长度至少为多少？
15．（2024上·江西吉安·高三吉安一中校考期末）如图所示，内壁光滑的圆弧轨道ABC固定在竖直面内，与在光滑的水平面相切于A点，O是圆心，OA、OB分别是竖直半径和水平半径，∠COB=37°。甲、乙两小球（均视为质点）静置在A点的右侧，乙的质量为3m，现让甲获得一个水平向左的速度2v0，甲、乙发生弹性碰撞，碰刚结束时甲、乙的速度正好等大反向，然后乙从A点进入圆弧轨道向上运动，重力加速度大小为g，sn37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求甲球的质量；
（2）若乙球到达C点（即将离开轨道还未离开轨道）与圆弧轨道间的弹力刚好为0，则圆弧轨道的半径为多少？
（3）在第（2）问中，当乙球运动到B点时，重力的瞬时功率为多少。
16．（2023上·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考阶段练习）半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r，质量为m且质量分布均匀的直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨的中心O，装置的俯视图如图所示；整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下；在内圆导轨的C点和外圆导轨的D点之间接有一阻值为R的电阻（图中未画出）。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触。设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒电阻和导轨的电阻均可忽略，重力加速度大小为g。
（1）通过法拉第电磁感应定律推导导体棒中的感应电动势大小；
（2）通过电阻R的感应电流的方向和大小；
（3）外力的功率。
17．（2024上·湖北·高三校联考期末）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动。磁场内的细金属杆N处于静止状态，且到cd的距离为。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为2m，金属杆N质量为m，两杆在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时M两端的电势差；
（2）N在磁场内运动过程中N上产生的热量；
（3）N在磁场内运动过程中的最小加速度的大小；
（4）N在磁场内运动的时间t。专题04 计算题解题策略
目录
策略(一) “三步”审题法 1
策略(二) 大题小做 9
策略(三) 规范答题 16
计算题技法专练 20
【概述】物理计算题历来是高考拉分题，试题综合性强，涉及物理过程多，所给的物理情境较复杂，物理模型比较模糊甚至很隐蔽，所运用的物理规律也较多，对考生的各项能力要求很高。掌握以下“三策略”，可在物理计算题上得到理想的分值。
策略(一) “三步”审题法
【例1】（2023·安徽·高三专题练习）如图甲所示，质量的小物块（可视为质点）放在质量木板的左端，木板长。起初、两叠体静止于水平面上。现用一水平向左的力作用在木板上，通过传感器测出、两物体的加速度与外力的变化关系如图乙所示。已知两物体与地面之间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取。求：
(1)、之间的动摩擦因数及与地面之间的动摩擦因数。
(2)若开始时对施加水平向左的恒力，且给一水平向右的初速度，则时与的右端相距多远？
【三步审题】
第一步：审条件挖隐含 (1)当F>F0时B相对地面滑动，F0的值为B与地面间的最大静摩擦力大小
(2)当F0
第二步：审情景建模型 (1)A与B间相互作用：板块模型
(2)A与B的运动：匀变速直线运动
第三步：审过程选规律 (1)运用牛顿运动定律找加速度与摩擦力(动摩擦因数)的关系，并分析a F图像的物理意义
(2)用匀变速运动的规律分析A与B运动的位移
【答案】(1)0.4， 0.1；(2)
【详解】(1)由乙图知，、一起运动的最大外力，当时，与相对滑动，对由牛顿第二定律有
由乙知
解得
对由牛顿第二定律有
即
当时，
代入上式解得
(2)给一水平向右的初速度，且时，运动的加速度大小为，方向水平向左，设运动时间速度减为零，则
位移
代入数据可得
的加速度大小
代入数据可得
，方向向左
的位移大小
此时的速度
由于
即此时运动到的右端，当继续运动时，从的右端掉下来停止。
设从上掉下来后的加速度大小为，对由牛顿第二定律有
可得
在时与右端的距离。
【例2】（2021·浙江·高考真题）如图所示，水平地面上有一高的水平台面，台面上竖直放置倾角的粗糙直轨道、水平光滑直轨道、四分之一圆周光滑细圆管道和半圆形光滑轨道，它们平滑连接，其中管道的半径、圆心在点，轨道的半径、圆心在点，、D、和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道上距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道、轨道从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点，已知小滑块与轨道间的动摩擦因数，，。
（1）若小滑块的初始高度，求小滑块到达B点时速度的大小；
（2）若小球能完成整个运动过程，求h的最小值；
（3）若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G的位置上下可调，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值。
【三步审题】
第一步：审条件挖隐含
(1)关注研究对象——滑块、小球。
(2)关注运动过程
滑块匀加速下滑，与小球碰撞交换速度，小球做圆周运动，下抛，与三棱柱碰撞后平抛。
(3)关注受力
根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况。
第二步：审情景建模型
对象拆解 分别对滑块和小球进行受力分析和运动分析
模型构建 匀变速直线运动、弹性碰撞、竖直面内圆周运动、平抛运动
适用合适的规律 动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律、牛顿第二定律、运动的分解
第三步：审过程选规律
(1)对滑块进行受力分析，根据动能定理求得到达B点时的速度。
(2)根据动量守恒和机械能守恒求得碰撞后小球的速度。
(3)根据牛顿第二定律求得小球恰好做圆周运动时在最高点E的速度。
(4)根据C到E过程机械能守恒求得hmin。
(5)从E到G过程，根据动能定理求得小球从G点平抛的初速度。
(6)平抛过程根据运动的分解得出落地点Q与F点水平距离x的数学表达式。
(7)用数学知识求得x的最大值。
【答案】（1）4m/s；（2）；（3）0.8m
【详解】（1）小滑块在轨道上运动
代入数据解得
（2）小球沿轨道运动，在最高点可得
从C点到E点由机械能守恒可得
解得，
小滑块与小球碰撞后动量守恒，机械能守恒，因此有，
解得，
结合(1)问可得
解得h的最小值
（3）设F点到G点的距离为y，小球从E点到G点的运动，由动能定理
由平抛运动可得，
联立可得水平距离为
由数学知识可得当
取最大，最大值为
【例3】（2023·全国·高三专题练习）某科研机构采用无人机将山里的特产送下山，或利用无人机运输急救药品和生活必需品，帮助部分山区居民解决交通不便的情况。如图所示是某次无人机在基地进行物流配送与飞行测试：实验中该无人机空载先从地面由静止竖直向上匀加速起飞，上升到100m高度时无人机速度达到20 m/s，随后以等大加速度减速正好到达目标所在位置。当无人机满载物品后，又以4m/s2加速度匀加速下降。已知无人机在飞行测试阶段受到的空气阻力为重力的0.1倍，已知该无人机的空载质量为80kg，有效载荷为20kg，求：
（1）无人机从静止到目标所在位置的时间；
（2）在上升阶段中，当无人机速度达到最大速度20m/s时，无人机发动机的功率；
（3）无人机从目标所在位置回到地面时，当达到最大速度后匀速飞行5s，最后匀减速直线运动回到地面速度恰好为零，求减速阶段无人机的制动力。
【审题破题】
1.快速读题，提取关键信息
(1)运动分析：“匀加速起飞”、“等大加速度减速”、“匀加速下降”等信息，构建匀变速直线运动模型。
(2)受力分析：“空气阻力为重力的0.1倍”知无人机受重力和空气阻力，由牛顿第二定律列方程求解加速度。
2.联想情景，构建运动模型
(1)上升阶段 (2)下降阶段
【答案】（1）20s；（2）20800W；（3）1300N
【详解】（1）匀加速上升过程
解得a=2m/s2
此过程时间
匀减速上升过程a=-2m/s2 t2=t1=10s
故无人机从静止到目标所在位置的时间为t=t1＋t2=20s
（2）上升阶段速度达到v0时，根据牛顿第二定律F-（mg＋0.1mg)=ma
又P=Fv0
解得P=20800W
（3）无人机匀加速上升高度与匀减速上升高度相等，即
故无人机上升的总高度为h=200m
匀加速下降过程下落的高度为
匀速飞行过程下落的高度为
匀减速下落过程有
由牛顿第二定律得Mg-0.1Mg-F′=Ma2
联立解得F′=1300N
【例4】（2020·全国·统考高考真题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？
【“三步”规范解题】
第一步：审题——2个切入点
(1)关注匀强电场的区域分布——匀强电场分布在柱形区域内。
(2)关注运动过程——进入电场时速度为零的粒子，在电场中做匀加速直线运动；进入电场时速度不为零的粒子，在电场中做类平抛运动。
第二步：破题——3个关键点
(1)进入电场时速度为零的粒子，从自圆周上的C点穿出电场，可以确定电场线沿AC方向。
(2)要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多。
(3)粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即在电场方向上速度变化为v0。
第三步：解题——3个环节
(1)沿AC方向射出的粒子，根据动能定理可求出电场强度的大小。
(2)从切点D射出的粒子，根据类平抛运动规律，可求出粒子进入电场时的
大小。
(3)根据粒子沿电场线方向做匀加速直线运动规律，可求出穿过电场前后动量变化量的大小为mv0的粒子进入电场时的速度。
【答案】（1）；（2）；（3）0或
【详解】（1）由题意知在A点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q>0，故电场线由A指向C，根据几何关系可知
所以根据动能定理有
解得
（2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有
而电场力提供加速度有
联立各式解得粒子进入电场时的速度
（3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即在电场方向上速度变化为v0，过C点做AC垂线会与圆周交于B点
故由题意可知粒子会从C点或B点射出。当从B点射出时由几何关系有
电场力提供加速度
联立解得
当粒子从C点射出时初速度为0，粒子穿过电场前后动量变化量的大小为，该粒子进入电场时的速率应为或。
另解：
由题意知，初速度为0时，动量增量的大小为，此即问题的一个解。自A点以不同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，动量变化都相同，自B点射出电场的粒子，其动量变化量也恒为，由几何关系及运动学规律可得，此时入射速率为
策略(二) 大题小做
物理压轴题一般文字叙述量较大，涉及的物理过程与情境较复杂，物理模型较多且不明显，甚至很隐蔽，要运用较多的物理规律进行论证或计算才能求得结论。能否顺利地突破求解，关键是能否顺利地将题中复杂的物理运动过程分解为若干个独立的、较为简单的过程，即将大题小做，各个击破。
【例2】（2023·湖北·华中师大一附中校考一模）如图所示，M1 N1 P1Q1和M2N2 P2 Q2为在同一水平面内足够长的金属导轨，处在磁感应强度B=2 T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．导轨的M1N1段与M2 N2段相互平行，间距为2 m；P1Q1段与P2Q2段平行，间距为1m．两根质量均为m=lkg、电阻均为R=0.5Ω的金属杆a、b垂直于导轨放置，杆的长度恰好等于导轨间距．一根不可伸长的绝缘轻质细线一端系在金属杆b的中点，另一端绕过轻小定滑轮与质量为mc的重物c相连，线的水平部分与P1Q1平行且足够长，c离地面足够高．已知两杆与导轨间的动摩擦因数均为μ=0.4，不计导轨电阻及电磁辐射，重力加速度为g=10 m/s2。
（1）若要保持整个系统静止，重物c的质量不能超过多少？
（2）若c的质量改为mc=0. 6kg，将c由静止释放并开始计时，杆在运动过程中始终保持与轨道垂直且接触良好，求金属杆b的最大速度．
（3）在（2）的条件下，已知t=4 s时，金属杆b已经非常接近最大速度，求这4s的过程中a棒上产生的焦耳热。
1．第(1)问可拆分为2个小题
①求平衡时细线上的拉力大小FT是多少？ 建模：重物c二力平衡模型
规律：两力大小相等方向相反，即FT＝mcg
②细线上的拉力大小与b杆受到的静摩擦力Ff满足什么关系时b杆能处于平衡状态？ 建模：静摩擦力作用下的平衡
规律：合力为零，静摩擦力小于等于最大静摩擦力(如果没有特别说明一般认为最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小)，即FT＝Ff≤Ffmax＝μmg
2.第(2)问可拆分为4个小题
①b杆有最大速度时受到的最大安培力大小Fb是多少？ 建模：b杆与重物c系统处于平衡状态
规律：系统合力为零，即mc′g＝μmg＋Fb
②a杆受到的最大安培力大小Fa与b杆受到的最大安培力大小Fb有何关系？ 建模：两杆在同一时刻电流大小相同，但a杆的长度是b的两倍
规律：由安培力公式得Fa＝2Fb
③此过程中a杆的运动状态如何？ 分析：由于Fa＝2Fb＝μmg
结论：a杆一直不动
④b杆运动的最大速度v与b杆受到的最大安培力大小有何关系？ 建模：b杆相当于电源，a杆与导轨组成外电路
规律：E＝BLbv，I＝，Fb＝BILb
3.第(3)问可拆分为4个小题
①在4 s内细线上拉力的平均冲量是多大？ 建模：重物c的变速运动
规律：动量定理mc′gt－t＝mc′v
②在t＝4 s时间内b杆受到安培力的平均冲量是多大？ 建模：b杆的变速运动
规律：动量定理t－μmgt－bt＝mv
③在t＝4 s时间内b杆受到安培力的平均冲量与b杆运动的距离有何关系？ 建模：b杆与a杆及导轨组成的闭合电路
规律：法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力公式、电流与冲量的定义式，即bt＝BLbt，t＝t＝
④在t＝4 s时间内，重物c与两杆组成电路中的功能关系如何？ 建模：b杆克服安培力做的功等于回路产生的焦耳热，此过程中两杆产生的焦耳热Q相等
规律：能量守恒定律，即mc′gx＝(m＋mc′)v2＋μmgx＋2Q
【答案】（1）；（2）v=0.5m/s；（3）
【详解】（1）b静止时，a一定也能静止，根据平衡条件得
解得
（2）设b运动的最大速度v，回路的电流为I，此时细绳的拉力为
又
联立解得
根据
解得
根据
解得
（3）分别对b和c，由动量定理
又
联立解得b的位移为
对a、b和c，能量守恒定律得
解得
a上产生的焦耳热为
【例2】（2021·全国·高考真题）如图，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的U型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小取。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
【规范审题】
第一步：审题切入点
(1)确定运动对象
金属棒和导体框两个物体，分别对两个物体受力分析，判断它们的受力和运动情况。
(2)运动过程分析
运动过程可分为4个阶段：
第1阶段：金属棒进入磁场前，金属棒和导体框在光滑斜面做匀加速运动；
第2阶段：金属棒进入磁场做匀速运动，导体框做匀加速运动；
第3阶段：导体框的EF边进入磁场做匀速运动，金属棒做加速运动；
第4阶段：金属棒与导体框速度相同后，导体框做加速运动。
第二步：破题关键点
(1)要搞清金属棒与导体框之间的相对运动，明确各个阶段速度大小关系，第1阶段两者共同运动，没有相对运动；第2阶段导体框速度大于金属棒速度；第3阶段导体框速度大于金属棒速度；第4阶段导体框速度小于金属棒速度。
(2)对金属棒与导体框之间的摩擦力的判断，在第1阶段不存在摩擦力；在第2阶段金属棒受到的摩擦力沿斜面向下；第3阶段金属棒受到的摩擦力沿斜面向下；第4阶段金属棒受到的摩擦力沿斜面向上。
第三步：计算环节分析
(1)利用机械能守恒定律计算金属棒进入磁场时的速度；
(2)利用动能定理计算导体框EF进入磁场时的速度；
(3)利用平衡条件列平衡方程求解金属棒的质量及动摩擦因数；
(4)利用牛顿第二定律和运动学公式求解导体框匀速运动的距离。
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】、
【详解】（1）根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得
代入数据解得
金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合回路的欧姆定律可得
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
（2）金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安培力沿斜面向上，之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，可有
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
设磁场区域的宽度为x，则金属棒在磁场中运动的时间为
当金属棒刚好离开磁场区域时，则此时导体框的速度为
则导体框的位移
因此导体框和金属棒的相对位移为
由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端EF刚好进入磁场，则有位移关系
金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
联立以上可得
（3）金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运动，则有
金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有
导体框匀速运动的距离为
代入数据解得
【例3】（2024·云南联考模拟预测）电子对湮灭是指电子e－和正电子e＋碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描(PET)及正电子湮灭能谱学(PAS)的物理基础．如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且OP＝2L，Q点在负y轴上某处．在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，OA＝L，在第Ⅳ象限内有一未知的矩形区域(图中未画出)，未知矩形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里．一束速度大小为v0的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出电场区域；另一束速度大小为v0的正电子束从Q点沿与y轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，而后进入未知矩形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反．已知正、负电子质量均为m、电荷量大小均为e，电子的重力不计．求：
(1)圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小；
(2)电子从A点运动到P点所用的时间；
(3)Q点纵坐标及未知矩形磁场区域的最小面积S．
【审题破题】
1.明确场的组合，拆分运动过程，作出运动轨迹图(如图甲)。
甲 乙
2.电子从A到C轨迹为圆周，运动时间为t＝T；电子在电场中从C到P做类平抛运动，根据运动的合成与分解求运动时间。
3.正电子进入未知矩形磁场区域偏转，要使矩形磁场面积最小，右侧应与轨迹相切。
在P点正、负电子正碰发生湮灭，判断速度方向与x轴的夹角，画出正电子运动示意图(如图乙)。
【答案】(1)； (2)(3)－4L，S＝2L(－1)L＝2(－1)L2
【详解】(1)电子束a从A点沿y轴正方向发射，经过C点，由题意可得电子在磁场中运动的半径
R＝L
又ev0B＝
解得B＝
电子在电场中做类平抛运动，得2L＝v0t1
又
加速度为a＝
解得E＝，t1＝
(2)在磁场中运动的周期
电子在磁场中运动了四分之一圆周，则t2＝T＝
在电场中运动时间t1＝，故从A到P的时间t＝t1＋t2＝
(3)速度为v0的正电子在磁场中运动的半径
电子从P点穿过x轴时与x轴正方向夹角为θ
vy＝v0
θ＝
故Q点的纵坐标y＝－(R2＋2Ltan)＝－4L
未知矩形磁场区域的最小面积为图中矩形PFMN的面积S＝2L(－1)L＝2(－1)L2
策略(三) 规范答题
物理规范答题主要体现在三个方面：思想方法的规范化，解题过程的规范化，物理语言和书写的规范化。依据高考试题的参考答案和评分标准，总结出如下四步规范化答题模式：
1．画图分析
主要是画原理分析图和物理过程示意图(如受力分析图、运动示意图、等效电路图、光路图等)。目的是有助于解题过程表述的简洁性，更有助于分析题意，找出解题方法。
2．写出必要的文字说明
目的是展示物理问题发展的前因后果。文字说明的语言要简洁、明确、规范，主要有下列六个方面：
(1)说明研究对象，可采用“对物体A”“对A、B组成的系统”等简洁的形式。
(2)指出物理过程和状态，如“从A→B”“在t时刻”等简单明了的说法。
(3)假设所求的物理量或题中没有但解题却需要的中间变量，如“设……”“令……”等熟知的说法或“各量如图中所示”(在原理图上标出各量)。
(4)写明解题依据，如“由……定律有”“据……得”等。
(5)解题过程中必要的关联词，如“将……代入”“由……得出”等。
(6)对原因、结果的补充说明，如“因为……”“所以……”“大于”“小于”等。
3．列出方程式
主要是物理公式和与解题相关的数学公式。该步骤要注意以下三点：
(1)一定要写方程的原式，而不是变形式或结果计算式。
(2)所列方程要与解题密切相关，不要堆砌方程。方程过多，容易造成解题的混乱。
(3)列方程时，物理量的符号要用题中所给的符号。若使用题中没有的物理量符号时，也一定要使用课本上统一的符号。
4．准确演算明确结果
(1)解题过程详略得当
写出重要的关系式和推导步骤，详细的推导、整理过程一般不用写。
(2)代数运算正确
从原方程求解最后结果时，要先推导出最简形式的计算式，再把单位统一后的数据代入，写出计算结果和单位，中间运算过程无须写上。要尽量避免步步计算。
(3)结果表达准确
结果的表达要明确，要有数值和单位。如果是矢量，要用正负号表示或说明其方向性。
(4)做出必要的说明和讨论
如果需要说明或讨论的，一定要有准确的说明或必要的讨论。
【例1】间距L＝0.5 m的两平行金属导轨由倾斜部分和水平部分(足够长)组成，两部分通过绝缘材料在D、E两点平滑连接，倾斜部分导轨与水平面间夹角为θ＝30°，导轨上端接有R＝1 Ω的电阻。空间分布如图所示的匀强磁场，倾斜导轨的磁场方向垂直导轨平面ACDE向上，磁感应强度B＝1 T，水平区域GF边界右侧磁场方向竖直向上，磁感应强度大小为2 T，DEFG为无场区域。现有三根长度均为L＝0.5 m的金属棒a、b、c与导轨良好接触，其质量ma＝0.1 kg、mb＝0.2 kg、mc＝0.1 kg，其电阻Ra＝1 Ω，Rb＝1 Ω，Rc＝2 Ω，金属棒a由静止释放，释放处离水平导轨的高度为h＝5 m。金属棒在到达ED边界前速度已达到稳定，金属棒b、c放置在水平导轨上。不计一切摩擦阻力及导轨的电阻，金属棒一直处在导轨上，且与导轨保持垂直，始终未相碰，重力加速度为g＝10 m/s2。求：
(1)金属棒a运动过程中的最大速度vm；
(2)金属棒a下滑过程运动的总时间t；
(3)金属棒a进入GF后，金属棒b最终如何运动？此过程中金属棒b产生的焦耳热。
【答案】 (1)4 m/s (2)3.3 s (3)见解析
【解析】
(1)对金属棒a：速度稳定时，受力平衡，有magsin θ＝ILB 1分
由闭合电路欧姆定律得I＝ 1分
解得vm＝4 m/s。 1分
(2)由动量定理得：magtsin θ－LBt＝mavm 1分
又t＝ 1分
解得t＝3.3 s。 1分
(3)b棒最终做匀速运动，且a、b、c的速度相同
对a、b、c棒组成的系统，由动量守恒定律知
mavm＝(ma＋mb＋mc)v′
代入数值解得v′＝1 m/s 1分
由能量守恒定律得
Q＝mav－(ma＋mb＋mc)v′2
得Q＝0.6 J 1分
又Qa∶(Qb＋Qc)＝1∶
Qb∶Qc＝2∶1 1分
代入数值解得
Qb＝0.16 J。 1分
【例2】如图为一游戏装置的示意图，倾斜轨道上物块A距离水平面高H＝1.2 m，细管轨道半径R1＝0.50 m，圆轨道半径R2＝0.40 m，两圆轨道间EF段长L＝0.5 m，让物块A从斜面上由静止滑下与静止在水平面上的物块B发生弹性正碰，两物块的质量均为m＝0.1 kg，两物块与EF段间的动摩擦因数均为μ＝0.1，轨道其余部分均光滑。两物块均可视为质点，g取10 m/s2。
(1)求第一次碰撞后，物块B的速度；
(2)求物块B第一次通过两圆轨道最高点C和D时，轨道分别对物块B的弹力；
(3)若在轨道左端放置一顺时针匀速转动的足够长的传送带，试分析传送带的速度v满足什么条件时，物块A、B一定发生第二次碰撞。
【答案】 (1)2 m/s (2)0.2 N，方向竖直向上 0.75 N，方向竖直向下 (3)v带≥ m/s
【解析】
(1)由机械能守恒定律得mgH＝mv，解得v0＝2 m/s 1分
A和B发生弹性碰撞，由动量守恒定律得mv0＝mvA＋mvB 1分
A和B发生弹性碰撞，由机械能守恒定律得mv＝mv＋mv 1分
解得vA＝0，vB＝v0＝2 m/s 1分
(2)B运动至C，由动能定理得－2mgR1＝mv－mv
解得vC＝2 m/s 1分
在C点：FNC＋mg＝m
解得FNC＝－0.2 N，故在C点轨道对物块B弹力大小为0.2 N，
方向竖直向上 1分
B运动至D，由动能定理得－2mgR2－μmgL＝mv－mv
解得vD＝ m/s 1分
在D点：FND＋mg＝m
解得FND＝0.75 N，方向竖直向下 1分
(3)B物体刚上传送带时－μmgL＝mv－mv，解得v1＝ m/s 1分
若B刚好能过D点，则－2mgR2＝mv－mv，v临＝
解得v2＝2 m/s 1分
若B刚好能过C点，则
－2mgR1－μmgL＝0－mv，解得v3＝ m/s 1分
综上得v≥ m/s。 1分
计算题技法专练
1.（2024·湖南长沙·统考模拟预测）某发光二极管由一种透明材料封装而成，为研究其光学属性，某同学找来一个用这种材料制成的半圆柱体，其横截面是半径为的半圆，是半圆的圆心，为水平直径。单色光以入射角从A点射入半圆柱体，经折射后到达弧面上的点，如图所示。已知间的水平距离为，真空中的光速为，求∶
（1）该材料对单色光的折射率；
（2）单色光从A到的传播时间。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设单色光a从A点射入半圆柱体的折射角为，做出辅助线，如图
由几何关系可知
根据折射率的公式可得
（2）根据
由图可知
单色光从A到的传播时间为
2．（2024·山西临汾·统考一模）如图所示，排球比赛中运动员将排球从M点以的速度水平击出，当球飞到P点时被对方运动员击出，球又斜向上飞出后经过M点正下方的N点，N、P两点等高且水平距离为10m。球斜向上飞出后轨迹最高点与M点等高。不计空气阻力，重力加速度取。求：
（1）M、N两点间的高度差h；
（2）在P点排球被击出时排球速度的大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）排球从M到P做平抛运动
解得
（2）被击回的排球在最高点Q起做平抛运动
得
从P到Q，根据机械能守恒
解得
3．（2024·吉林·校联考模拟预测）如图甲所示，一个质量不计的活塞将一定质量的理想气体封闭在上端开口的直立圆筒形导热气缸内，气体温度T1 = 400K，气柱的高度为h = 24cm，在气缸内壁有固定的小卡环，卡环到气缸底的高度差为10cm。现在活塞上方缓慢堆放细沙，直至气柱长度减为h1 = 16cm时停止堆放细沙，如图乙所示。之后对气体缓慢降温至T2 = 100K。已知大气压强为p0 = 1 × 105Pa，气缸的横截面积为S = 1 × 10 4m2，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）堆放细沙的质量m；
（2）温度降为T2时气体的压强。
【答案】（1）0.5kg；（2）6 × 104Pa
【详解】（1）乙状态的平衡方程
从甲状态到乙状态经历等温过程
得m = 0.5kg
（2）从甲状态到活塞刚与小卡环接触时有
解得T′ ≈ 167K
而167K > 100K，则说明100K时活塞已经与卡环接触，则从甲状态到末状态，由理想气体状态方程得
得p2 = 6 × 104Pa
4．（2024上·山西吕梁·高三统考期末）如图所示，某足够宽的空间有垂直纸面向外的磁感应强度为的匀强磁场，质量为且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为、带电荷量的滑块，滑块与绝缘木板之间动摩擦因数为，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加方向水平向左、大小为的恒力，g取。求：
（1）刚开始滑块的加速度大小以及滑块受到的摩擦力大小；
（2）滑块匀加速所达到的最大速度以及绝缘木板运动的最大加速度。
【答案】（1），；（2），
【详解】（1）整体为对象
小滑块为对象
得
匀加速结束时，滑块
得
又有
所以
当滑块与绝缘木板之间弹力为零时，二者间滑动摩擦力也为零。绝缘木板加速度达到最大，有
得
5．（2024上·山西吕梁·高三统考期末）如图所示，足够长的U形粗糙金属导轨，其平面与水平面成角，其中导轨MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，NQ之间电阻为r，其余部分金属导轨电阻不计，金属棒ab与导轨之间的摩擦因数为，金属棒由静止释放后可以沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，求：
（1）导体棒ab在导轨上运动的最大速度是多少？
（2）当导体棒ab在导轨上运动速度大小为时下滑的距离为x，求此过程导体棒ab上产生的焦耳热和流过ab棒横截面的电荷量q。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）导体棒ab在导轨上运动达到最大速度时
根据平衡条件有
得
（2）根据能量守恒定律得
故导体棒ab上产生的焦耳热
所以
棒下滑位移的大小为x时
解得
6．（2024上·湖南张家界·高三统考期末）如图所示，水平地面上的木板中央竖直固定一根长为的轻杆，轻杆顶端用长为的轻绳连接一可看作质点的小球，初始时把小球拉至水平，由静止释放，小球摆动到最低点时与轻杆发生碰撞瞬间二者合为一体，之后整体在水平地面上向左做匀减速直线运动。已知小球与木板的质量均为，小球向下摆动过程中木板恰好不滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，求：
（1）木板对水平地面的最大压力；
（2）木板与地面间因摩擦产生的热量；
（3）木板沿水平地面向左滑动的距离。
【答案】（1）4mg；（2）；（3）
【详解】（1）小球与轻杆碰撞前，轻绳中的张力最大，设此时小球的速度大小为，轻绳中张力为T，则有
解得
（2）小球损失的机械能全部转化为内能，设碰撞后整体的速度大小为，碰撞过程中产生的热量为，结合能量守恒定律可得
解得
（3）设木板与地面间的动摩擦因数为，当轻绳与水平方向的夹角为时，小球的速度大小为v，轻绳中张力大小为T，要使木板不滑动，则轻绳中拉力在水平方向的分力不大于对应木板受到的最大静摩擦力，有
解得
显然上式右边为第一象限内单位圆上的点与定点连线斜率的相反数，如图
当时，存在极值，即 ，所以
解得
7．（2024上·江苏苏州·高三校考阶段练习）如图所示，质量为、带有圆弧形槽的物体放在水平地面上，弧形槽的最低点静置一可视为质点、质量为的物块，质量为的橡皮泥以大小为、水平向右的速度与物块发生碰撞，碰撞后二者不分离，此后物块沿弧形槽上滑，已知弧形槽的最低点距离地面的高度为，弧形槽的半径为，弧形槽底端切线水平，忽略一切摩擦和橡皮泥与物块的碰撞时间，重力加速度。。求：
（1）橡皮泥击中物块后瞬间物块对弧形槽的压力大小；
（2）物块沿弧形槽上滑的最大高度；
（3）物块落地瞬间到物体最左端的距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）橡皮泥击中物块过程，根据动量守恒可得
解得橡皮泥击中物块后瞬间速度大小为
根据牛顿第二定律可得
解得
根据牛顿第三定律可知，橡皮泥击中物块后瞬间物块对弧形槽的压力大小为。
（2）物块沿弧形槽上滑的最大高度时，物块与弧形槽具有相同的水平速度，根据系统水平方向动量守恒可得
解得
根据系统机械能守恒可得
解得物块沿弧形槽上滑的最大高度为
（3）设物块回到弧形槽底端时，物块和弧形槽的速度分别为、，根据系统水平方向动量守恒可得
根据系统机械能守恒可得
联立解得，
物块离开弧形槽后做平抛运动，竖直方向有
解得
则物块落地瞬间到物体最左端的距离为
8．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，）
（1）若，求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小；
②在上经过的总路程；
③在上向上运动时间和向下运动时间之比。
（2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
【答案】（1）①16m/s2；②2m；③1∶2；（2）0.2m
【详解】（1）①对小物块a从A到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有
第一次经过C点的向心加速度大小为
②小物块a在DE上时，因为
所以小物块a每次在DE上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在DE上的滑动使机械能损失，最终小物块a将在B、D间往复运动，且易知小物块每次在DE上向上运动和向下运动的距离相等，设其在上经过的总路程为s，根据功能关系有
解得
③根据牛顿第二定律可知小物块a在DE上向上运动和向下运动的加速度大小分别为
将小物块a在DE上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学公式有
解得
（2）对小物块a从A到F的过程，根据动能定理有
解得
设滑块长度为l时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定律和能量守恒定律有
解得
9．（2024上·四川·高三校联考期末）如图所示，平面直角坐标系xOy的第二象限内存在沿x轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，第一象限内一梯形区域中存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），点P处的质子源由静止释放的质子在电场力的作用下加速后，从Q点进入第一象限，经磁场偏转后从N点垂直x轴射入第四象限。已知P、Q、N三点的坐标分别为、、，质子的质量为m、带电荷量为e，不计质子受到的重力，求：
（1）质子的最大速度v；
（2）质子从P点运动到N点的时间t；
（3）第一象限内匀强磁场区域的最小面积S。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）质子在电场力的作用下加速，根据动能定理有
质子的最大速度为
（2）质子从从Q点进入第一象限，经磁场偏转后从N点垂直x轴射入第四象限，画出轨迹如图所示。
质子在电场中运动有
质子在磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力
质子做匀速直线运动的时间为
质子在磁场中运动的时间为
质子从P点运动到N点的时间为
（3）质子在磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力
则第一象限内匀强磁场区域的最小面积为
10．（2024上·江西宜春·高三江西省宜春市第一中学校考阶段练习）如图所示，光滑的玻璃管竖直固定放置，管内轻弹簧固定在玻璃管的底部，质量为6m的小球A固定在轻弹簧的上端，质量均为m的小球B、C用轻杆连接，在管内距A球一定高度处由静止释放，A、B、C三球的直径均略小于管的内径，A、B两球碰撞后粘在一起，碰撞后反弹至最高点时，A球的加速度大小为，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，求：
（1）B球与A球碰撞后一瞬间，轻杆对C球的作用力大小；
（2）碰撞后一瞬间，三个球的速度大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）B球与A球碰撞后一瞬间，设A、B、C三球的加速度为a，根据牛顿第二定律
开始时
设碰撞后一瞬间，杆对小球C的作用力为T，则有
解得
（2）设反弹上升到最高点时，弹簧的伸长量为x，根据题意
解得
设碰撞后一瞬间三个球的速度大小为v，根据机械能守恒定律有
解得
11．（2024·吉林·校联考模拟预测）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距l = 1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。杆1、杆2是两根用细线连接的金属杆，质量分别为m1 = 0.1kg和m2 = 0.4kg，两杆垂直导轨放置，且两端始终与导轨接触良好，两杆的总电阻R = 2Ω，两杆在沿导轨向上的外力F作用下保持静止。整个装置处在磁感应强度B = 1T的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，在t = 0时刻将细线烧断，保持F不变，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）细线烧断后，两杆最大速度v1、v2的大小；
（2）两杆刚达到最大速度时，杆1上滑了0.8m，则从t = 0时刻起到此刻用了多长时间？
【答案】（1）v1 = 3.2m/s，v2 = 0.8m/s；（2）0.41
【详解】（1）线烧断前F = (m1＋m2)gsin30°
细线烧断后F安1 = F安2
方向相反，由系统动量守恒得m1v1 = m2v2
两棒同时达到最大速度，之后做匀速直线运动。对棒2有
m2gsn30° = BIl
I =
解得
v1 = 3.2m/s
v2 = 0.8m/s
（2）由系统动量守恒得m1v1 = m2v2
则m1x1 = m2x2
即x2 = 0.2m
设所求时间为t，对棒2由动量定理得
m2gsin30°·t－B·t = m2v2－0
解得t = 0.41s
12．（2024上·山东青岛·高三山东省平度第一中学校考期末）由A、B、C三部分组成的滑道放置在光滑水平面上，其中A部分为上表面光滑的“L”形平台，其上方有一与其等长轻质弹簧，弹簧左端固定在挡板上，右端自然伸长；B部分为质量mB=1kg、长L=5.0m的长木板；C部分为半径R=0.2m的竖直光滑半圆轨道。现将质量m=4kg的小物块（视为质点）压缩弹簧至P点后由静止释放。如图甲，若A、B、C均锁定，小物块恰能运动至半圆轨道最高点S。如图乙，解除对B、C的锁定，在距离B的右端s（0.5R
（2）从小物块滑上长木板B到B与挡板碰撞的过程中，由于摩擦产生的热量Q与s之间的关系；
（3）若s=8R，为使小物块在半圆轨道C内侧相对运动不超过圆弧，半圆轨道C的质量mC应满足的条件。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】（1）小物块恰能过最高点S，有
解得
根据能量守恒可知，弹簧压缩至P点时的弹性势能为
（2）设物块滑上木板时的速度为v0，有
解得
假设物块与木板能共速，根据动量守恒定律，有
解得
物块的位移和板的位移分别为x1和x2，根据动能定理，有
，
解得，
则
所以共速时不会从板上掉下。
若时，物块与木板不能共速，设物块和木板速度分别为v1和v2，有
，
解得，
由于摩擦而产生的热量Q与s之间的关系为
若，物块与木板将共速，由于摩擦而产生的热量Q为
（3）若，物块与木板将共速，设物块滑上半圆轨道速度为v1
解得
若物块在半圆轨道内侧相对运动不超过圆弧，则物块和半圆轨道共速，根据动量守恒和能量守恒，有
，
因为
解得
13．（2024上·山东青岛·高三山东省平度第一中学校考期末）如图甲，一质量、电量的带正电小球（可视作点电荷），它在一高度和水平位置都可调节的平台上滑行一段距离后做平抛运动，并沿光滑竖直圆弧轨道下滑。A、B为圆弧两端点，其连线水平，在圆弧区域内有一平行半径OA斜向左下方的匀强电场E，为保证小球从不同高度h平抛，都恰能沿切线从A点进入圆弧轨道，小球平抛初速度v0和h满足如图乙所示的抛物线，同时调节平台离A点的水平距离合适。已知圆弧半径，平台距AB连线的高度h可以在之间调节。不计空气阻力，取g=10m/s2，求：
（1）平台离A的水平距离x范围（时初速度的准确值未知）；
（2）当且时，小球滑到最低点C的速度v；
（3）如果将匀强电场的方向变为平行于AB水平向左，大小变为，其他条件不变。当时，带电小球对圆弧轨道最大压力的大小（结果保留两位有效数字）。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）因为小球从不同高度h平抛，都恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，所以小球进入圆弧轨道时的速度方向不变，设此速度与竖直方向成α角，则
由图像中当时，代入上式得，
则，所以
当时，，平台离A的最小距离为
同理得平台离A的最大距离为
所以
（2）小球到达A点时的速度
从A点到C点，由动能定理得
代入数据解得
（3）当小球在圆弧上的速度与竖直方向成45°时小球速度最大，从A点到此位置由动能定理得
在速度最大位置由向心力公式
解得
14．（2024·山西临汾·统考一模）如图所示，物块B和木板C静止在光滑水平地面上，C的上表面水平且足够长，其左端放置一滑块A，A、B、C的质量分别为m、2m、3m。A、C间的动摩擦因数为，B、C由不可伸长的理想轻绳连接，绳子处于松弛状态。现在突然给A一个向右的速度，使A在C上滑动，当A的速度减为时绳子恰好伸直，接着绳子被瞬间拉断，绳子被拉断时C的速度为，重力加速度为g。求：
（1）从A获得速度开始经过多长时间绳子被拉直？
（2）因拉断绳子造成的机械能损失为多少？
（3）若A最终未脱离木板C，则木板C的长度至少为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）对物块A，根据动量定理
解得
（2）A、C构成的系统在绳子伸直之前动量守恒
解得
C、B构成的系统在绳子拉断瞬间动量守恒
解得
在绳子拉断瞬间损失的机械能为
解得
（3）在绳子伸直之前，A、C构成的系统根据功能关系
解得
绳子拉断后直到A、C共速，A、C构成的系统动量守恒
解得
绳子拉断后，A、C系统根据功能关系
得
木板C的长度至少为
15．（2024上·江西吉安·高三吉安一中校考期末）如图所示，内壁光滑的圆弧轨道ABC固定在竖直面内，与在光滑的水平面相切于A点，O是圆心，OA、OB分别是竖直半径和水平半径，∠COB=37°。甲、乙两小球（均视为质点）静置在A点的右侧，乙的质量为3m，现让甲获得一个水平向左的速度2v0，甲、乙发生弹性碰撞，碰刚结束时甲、乙的速度正好等大反向，然后乙从A点进入圆弧轨道向上运动，重力加速度大小为g，sn37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求甲球的质量；
（2）若乙球到达C点（即将离开轨道还未离开轨道）与圆弧轨道间的弹力刚好为0，则圆弧轨道的半径为多少？
（3）在第（2）问中，当乙球运动到B点时，重力的瞬时功率为多少。
【答案】（1）m；（2） ；（3）
【详解】（1）设甲球的质量为M，碰撞刚结束时设甲、乙两球的速度分别为-v，v，由弹性碰撞规律可得
综合解得
，
（2）设圆弧轨道的半径为R，把乙球在C点的重力分别沿着CO和垂直CO正交分解，则沿着CO方向的分力为
若乙球到达C点（即将离开轨道还未离开轨道）与轨道间的弹力刚好为0，则充当向心力，则有
乙球从A到C由机械能守恒定律可得
综合解得
（3）乙从A到B由机械能守恒定律可得
乙在B点重力的瞬时功率为
综合可得
16．（2023上·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考阶段练习）半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r，质量为m且质量分布均匀的直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨的中心O，装置的俯视图如图所示；整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下；在内圆导轨的C点和外圆导轨的D点之间接有一阻值为R的电阻（图中未画出）。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触。设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒电阻和导轨的电阻均可忽略，重力加速度大小为g。
（1）通过法拉第电磁感应定律推导导体棒中的感应电动势大小；
（2）通过电阻R的感应电流的方向和大小；
（3）外力的功率。
【答案】（1）；（2），方向由C到D；（3）
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，有
导体棒在时间内扫过的面积为
解得
（2）根据右手定则可知棒中的电流为由B到A，流过电阻R的感应电流的方向为由C到D，大小为
（3）由于导体棒分布均匀，所以导体棒对内外两个导轨的压力均为
滑动摩擦力均为
在时间内，导体棒在内、外轨道上扫过的弧长分别为
克服摩擦力做的总功为
在时间内，电阻R上产生的焦耳热为
根据能量转化和能量守恒关系，可知，在时间内，外力所做的功为
外力的功率为
17．（2024上·湖北·高三校联考期末）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动。磁场内的细金属杆N处于静止状态，且到cd的距离为。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为2m，金属杆N质量为m，两杆在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时M两端的电势差；
（2）N在磁场内运动过程中N上产生的热量；
（3）N在磁场内运动过程中的最小加速度的大小；
（4）N在磁场内运动的时间t。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）根据题意，M刚进磁场，感应电动势为
由右手定则可知
则M两端的电势差
（2）根据题意可知，两导体棒在磁场中运动过程中，M、N系统动量守恒，则有
解得
由能量守恒定理可得，此过程整个电路产生的热量为
则N上产生的热量为
（3）根据题意可知，N在磁场内运动过程中加速度最小时，所受安培力最小，此时感应电流最小，N出磁场瞬间，感应电动势最小，则有
又有，
联立解得
（4）根据题意，对N由动量定理有
又有
联立得
又有
解得
又有
可得
代入得
