2023-2024年人教版七年级下期末备考攻略
知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷
专题七 实数
知识点精讲
知识点1 实数的概念及分类
1.无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数。
注意：同时满足（1）无限小数（2）不循环
2.实数的定义
实数：有理数与无理数统称为实数. 在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1.
3.实数的分类
名师点拨
无理数
1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件. 在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：
特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；
开方开不尽的数，如:等；
（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等. 应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：
2.有理数与无理数的区别：
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式.
知识点2 实数的性质
实数与数轴上的的点的对应关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数。所以实数与数轴上的点是一一对应的。
2.实数的相反数
数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数，
3.实数的绝对值
一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它相反数，0的绝对值是0
4.实数的倒数
乘积是1的两个实数互为倒数。数a的倒数是 （a）
名师点拨
求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号
求一个数的绝对值时，首先要判断这个数的符号，然后根据“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它相反数，0的绝对值是0”写出这个数的绝对值。
乘积是1的两个数互为倒数。
知识点3实数的运算
运算法则：实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数和0还可以进行开平方运算，任意一个实数还可以进行开立方运算。
（1）有理数的运算法则、运算律、运算性质在实数范围内同样适用。
（2）涉及无理数的近似运算，可以取近似值，转化为有理数运算进行。
名师点拨
在运算的过程中，要做到一“看”：看算式的结构特点能否运用运算律，二“用”：运用运算律,三“查”检查运算的过程和结果是否正确。
易错点点拨
易错点1 实数有关概念
例1-1 .把下列各数填在相应的集合中．
，3，，，，，0，，，
(1)正实数集合：{ …}
(2)无理数集合：{ …}
(3)分数集合：{ …}
(4)负整数集合：{ …}．
易错点拨
1.常见的无理数的几种形式
不尽方根，如、、-等
特定意义，、2-π、
特殊结构，0.2020020002.......（相邻两个2之间依次多一个0）
2.无理数与有理数的区别
任何一个有理数都可以写成分数形式，无理数不能写成分数形式。
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数。
3. 对实数进行分类时，应先对某些数进行化简，然后根据最后结果进行分类，例如=5，是有理数，也是整数，自然数。但填入集合时必须填入原数，而不是化简后的数。
变式训练1
1．在实数：，，，，，，中，无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．将下列各数填入相应的集合内.
(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
有理数集合:{ …};
无理数集合:{ …};
负实数集合:{ …}.
3．已知，，π，3.1416，0，，-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.
（1）写出这些数中所有的有理数；
（2）写出这些数中所有的无理数；
（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用“<”连接.
.
易错点2 实数与数轴
例2-1 .如图，已知A、B两点在数轴上对应的数分别为和1．
(1)点A到点B的距离为______．
(2)数轴上存在一点M，使M到A的距离是M到B距离的2倍，求点M所表示的数．
(3)在点B右侧的数轴上取点D，使D到B的距离是个单位长度，如果点D所表示的数的整数部分为a，小数部分为b，求的绝对值．
易错点拨
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数。所以实数与数轴上的点是一一对应的。
变式训练2
1．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是( )
A. B.
C. D.不是A、B、C中的任意一数
2．如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近( )
A.A B.B C.C D.D
3．如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是( )
A. B. C. D.
4．如图,M,N,P,Q是数轴上点,那么在数轴上对应的点可能是( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
易错点3 实数的性质
例3-1 .求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
（1）；（2）；（3）
易错点拨
互为相反数：a与b互为相反数 a+b=0
互为倒数： a与b互为倒数 ab=1
绝对值：任意实数的绝对值都是非负数。即│a│≥0
变式训练3
1．求出下列各数的相反数、倒数和绝对值.
（1）；（2）.
2．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位 到达点B,点A表示，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值.
（2）.求的值.
3．实数在数轴上的位置如图，化简．
易错点4 实数的运算
例4-1 .阅读下列解题过程：
若5+的小数部分为a， 5的小数部分为b，求a+b的值．
解：，
的整数部分为8，的整数部分为1．
的小数部分a==，的小数部分b==．
a+b=+=1．
阅读后，请解答下列问题：
若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
易错点拨
含根号的无理数的运算可按合并同类项的法则进行运算，把被开方数相同且根指数相同的数看作同类项，根号部分看作字母，根号前的部分看作系数。
2.需对结果取近似值时，计算过程中的近似值可以比结果要求的近似值多取一位。
变式训练4
1．计算：
（1）；
（2）.
2．（1）不使用计算器，估计的近似值，（精确到0.01）；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b.求的值.
.
3．阅读材料：
材料一：
，即，
.
的整数部分为1.
的小数部分为
解决问题：利用上面方法，求的小数部分.
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值.
如：求的近似值.
解：设，其中，则，即.
因为，所以，所以，解之得，
即的近似值为10.35.
理解应用：利用上面的方法，求的近似值（结果精确到0.01）.
4．小华家新买了一张边长为1.4m的正方形桌子，原有的边长是1m的两块正方形桌布都不适用了，但扔掉太可惜，小华想了一个办法，如图，将两块桌布拼成一块正方形大桌布，请你帮小华计算，这块大桌布能盖住现在的新桌子吗？
易错点5 实数运算规律问题
例5-1 .现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现．
(1)第个数是______ ，第个数是______ ．
(2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？
易错点拨
按照给出的式子特点找规律
变式训练5
1.先观察下列各式：
；
；
；
(1)计算： ；
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，
请写出： ＝ ；
(3)应用上述结论，请计算的值．
2.阅读下列解题过程：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
……
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________．
(2)利用这一规律计算：．
专题检测卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．在，，0，，，中无理数的个数有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.4个
2．估计的值在( )
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
3．有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是( )
A.2 B. C. D.
4．如图,M,N,P,Q是数轴上点,那么在数轴上对应的点可能是( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
5．如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则E点所表示的数为( )
A. B. C. D.
6．如图为嘉琪同学的答卷，她的得分应是( )
A.40分 B.60分 C.80分 D.100分
7．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为( )
A.9 B. C. D.
8．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体.即，在数轴（如题图2）上最接近的点是( )
A.P B.Q C.M D.N
9．小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是( )
A.； B.9； C.； D.2；
10．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，，现对82进行如下操作：
，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．的相反数是______.
12．如图，数轴上表示1，的对应点分别为点B、点C，若点B是线段的中点，则点A表示的数为___________.
13．_________.
14．在小明同学的笔记本中记录了求算术平方根近似值的一种方法，如.用他记录的这种方法，求得的近似值为_________.
三、解答题（共8小题，75分）
16．（8分）把下列各数填在相应的集合中：
15 ，， 0.81， -3， ， -3.1 ，-4 ， 171 ，0 ， 3.14 ，π， .
正数集合｛ …｝；负分数集合｛ …｝
非负整数集合｛ …｝；有理数集合｛ …｝
17．（8分）比较下列各组数的大小:
（1）. 和;
（2）. 和.
18．（8分）计算：（1）.
（2）
.
19．（8分）有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断.
20．（8分）已知a、b两数对应的点A、B在数轴上的位置如图所示，化简.
21．（10分）【阅读理解】
学习了无理数后,小明用下面的方法估算的近似值:
.
不妨设行,
则,即.
,
,解得,
.
【问题解决】
用同样的思路解决下列问题:
(1)估算的值(精确到);
(2)已知x是的整数部分,y是其小数部分,则________(精确到);
(3)已知非负整数a,b,m,若,且,则_______.(用含a,b的代数式表示)
22.（13分）【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式________．
(2)请根据上面式子的规律填空：________．
(3)计算：．
23.（12分）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，已知b是最小的正整数，且a，c满足(c 6)2+|a+2|=0.
.求式子a2+c2 2ac 的值；
.若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数；
(3).请在数轴上确定一点D，使得AD=2BD，求点D表示的数.
2023-2024年人教版七年级下期末备考攻略
知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷
专题七 实数
知识点精讲
知识点1 实数的概念及分类
1.无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数。
注意：同时满足（1）无限小数（2）不循环
2.实数的定义
实数：有理数与无理数统称为实数. 在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1.
3.实数的分类
名师点拨
无理数
1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件. 在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：
特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；
开方开不尽的数，如:等；
（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等. 应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：
2.有理数与无理数的区别：
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式.
知识点2 实数的性质
实数与数轴上的的点的对应关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数。所以实数与数轴上的点是一一对应的。
2.实数的相反数
数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数，
3.实数的绝对值
一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它相反数，0的绝对值是0
4.实数的倒数
乘积是1的两个实数互为倒数。数a的倒数是 （a）
名师点拨
求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号
求一个数的绝对值时，首先要判断这个数的符号，然后根据“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它相反数，0的绝对值是0”写出这个数的绝对值。
乘积是1的两个数互为倒数。
知识点3实数的运算
运算法则：实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数和0还可以进行开平方运算，任意一个实数还可以进行开立方运算。
（1）有理数的运算法则、运算律、运算性质在实数范围内同样适用。
（2）涉及无理数的近似运算，可以取近似值，转化为有理数运算进行。
名师点拨
在运算的过程中，要做到一“看”：看算式的结构特点能否运用运算律，二“用”：运用运算律,三“查”检查运算的过程和结果是否正确。
二、易错点点拨
易错点1 实数有关概念
例1-1 .把下列各数填在相应的集合中．
，3，，，，，0，，，
(1)正实数集合：{ …}
(2)无理数集合：{ …}
(3)分数集合：{ …}
(4)负整数集合：{ …}．
易错点拨
1.常见的无理数的几种形式
不尽方根，如、、-等
特定意义，、2-π、
特殊结构，0.2020020002.......（相邻两个2之间依次多一个0）
2.无理数与有理数的区别
任何一个有理数都可以写成分数形式，无理数不能写成分数形式。
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数。
【答案】(1)3，，，
(2)
(3)，，，，
(4)，
【分析】（1）先化简与，再根据正数都大于0解答；
（2）根据无理数的定义：无限不循环小数叫无理数解答；
（3）根据分数的分类解答；
（4）根据负整数的分类解答；
【详解】（1），，
正实数集合：{3，，，}；
（2）无理数集合：{}；
（3）分数集合：{，，，，}
（4）负整数集合：{，}
【点睛】本题考查了有理数的分类和无理数的概念，属于基础题目，熟练掌握有理数和无理数的概念是关键．
变式训练1
1．在实数：，，，，，，中，无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
解析：，，，是有理数，
无理数有，，所以无理数的个数为2个，
故选：B.
2．将下列各数填入相应的集合内.
(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
有理数集合:{ …};
无理数集合:{ …};
负实数集合:{ …}.
答案：有理数集合:;
无理数集合:{(相邻两个1之间0的个数逐次加1),…};
负实数集合:.
3．已知，，π，3.1416，0，，-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.
（1）写出这些数中所有的有理数；
（2）写出这些数中所有的无理数；
（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用“<”连接.
答案：（1），，3.1416，，0，.
（2）π，-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.
（3）…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.
易错点2 实数与数轴
例2-1 .如图，已知A、B两点在数轴上对应的数分别为和1．
(1)点A到点B的距离为______．
(2)数轴上存在一点M，使M到A的距离是M到B距离的2倍，求点M所表示的数．
(3)在点B右侧的数轴上取点D，使D到B的距离是个单位长度，如果点D所表示的数的整数部分为a，小数部分为b，求的绝对值．
易错点拨
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数。所以实数与数轴上的点是一一对应的。
【答案】(1)4
(2)或
(3)
【分析】（1）求出点A与点B对应的数的差的绝对值即可；
（2）设出未知数，写出点M到点A的距离和点M到点B距离，根据题中给的等量关系，列出方程，解出方程的解即可求出；
（3）根据题意写出点D所表示的数，然后可以写出的范围，即可写出a和b的值，即可求出的绝对值．
【详解】（1）点A到点B的距离为：，
故答案为4；
（2）设点M表示的数为x，
则点M到点A的距离为，点M到点B距离为，
∵M到A的距离是M到B距离的2倍，
∴，
则或，
解得：或，
综上所述：点M所表示的数为5或；
（3）根据题意可得：点D所表示的数为，
∵，
∴，
∴，
∵点D所表示的数的整数部分为a，小数部分为b，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
综上所述：的绝对值为．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值的应用以及无理数的估值，解题关键：一是会用绝对值表示数轴上两点间的距离，二是要熟练掌握无理数的估值．
变式训练2
1．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是( )
A. B.
C. D.不是A、B、C中的任意一数
答案：C
解析：，，，且墨迹覆盖的范围是3与4之间，
能被墨迹覆盖的数是3与4之间.
故选：C.
2．如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近( )
A.A B.B C.C D.D
答案：C
解析：，且，
，
，
，
，
即点C表示的数与最接近，
故选：C.
3．如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：点A是的中点，
，
点C所表示的数为：.
故选：C.
4．如图,M,N,P,Q是数轴上点,那么在数轴上对应的点可能是( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
答案：A
解析:,
观察数轴,点M符合要求,
故选:A.
易错点3 实数的性质
例3-1 .求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
（1）；（2）；（3）
易错点拨
互为相反数：a与b互为相反数 a+b=0
互为倒数： a与b互为倒数 ab=1
绝对值：任意实数的绝对值都是非负数。即│a│≥0
答案：（1）的相反数是，倒数是，绝对值是，
（2）它的相反数是，倒数是，绝对值是
（3）的相反数是，倒数是，绝对值是
变式训练3
1．求出下列各数的相反数、倒数和绝对值.
（1）；（2）.
答案：（1）因为，
所以，
所以的相反数是，倒数是，绝对值是.
（2）的相反数是，
倒数是，绝对值是.
解析：
2．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位 到达点B,点A表示，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值.
（2）.求的值.
答案：（1）.∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B.
∴点B表示的数比点A表示的数大2.
∵点A表示，点B所表示的数为m，
∴
（2）.
3．实数在数轴上的位置如图，化简．
答案：
解析：
4．已知，求实数的值.
答案：解:
易错点4 实数的运算
例4-1 .阅读下列解题过程：
若5+的小数部分为a， 5的小数部分为b，求a+b的值．
解：，
的整数部分为8，的整数部分为1．
的小数部分a==，的小数部分b==．
a+b=+=1．
阅读后，请解答下列问题：
若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
易错点拨
含根号的无理数的运算可按合并同类项的法则进行运算，把被开方数相同且根指数相同的数看作同类项，根号部分看作字母，根号前的部分看作系数。
需对结果取近似值时，计算过程中的近似值可以比结果要求的近似值多取一位。
【答案】2036
【分析】相据题意得出a，b的值，再把a，b的值代入进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴的整数部分，的小数部分，
∴
=
=
=2036．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是理解题意，正确计算．
变式训练4
1．计算：
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）解：原式
；
（2）原式
.
2．（1）不使用计算器，估计的近似值，（精确到0.01）；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b.求的值.
答案：（1）2.25
（2）
解析：（1），，
设，则，即，
，解得，
；
（2）由，得
，
.
3．阅读材料：
材料一：
，即，
.
的整数部分为1.
的小数部分为
解决问题：利用上面方法，求的小数部分.
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值.
如：求的近似值.
解：设，其中，则，即.
因为，所以，所以，解之得，
即的近似值为10.35.
理解应用：利用上面的方法，求的近似值（结果精确到0.01）.
答案：9.89
解析：解决问题：，
，
的小数部分为：.
理解应用：设，其中，
则，
即，
，
，
，
解得，，
即的近似数为9.89.
4．小华家新买了一张边长为1.4m的正方形桌子，原有的边长是1m的两块正方形桌布都不适用了，但扔掉太可惜，小华想了一个办法，如图，将两块桌布拼成一块正方形大桌布，请你帮小华计算，这块大桌布能盖住现在的新桌子吗？
答案：解：根据题意，得正方形大桌布的面积为，
因为新桌子的边长为1.4m，
所以新桌子的面积为.
因为，
所以这块大桌布能盖住现在的新桌子.
易错点5 实数运算规律问题
例5-1 .现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现．
(1)第个数是______ ，第个数是______ ．
(2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？
易错点拨
按照给出的式子特点找规律
【答案】(1)，
(2)和为，共有个数的平方相加得到
【分析】（1）根据每六个数一循环解答即可；
（2）根据每六个数的平方和等于，利用循环规律解答即可．
【详解】（1），
第个数在这六个数中排在第，即，
，
第个数是这六个数中排在第，即，
故答案为：，；
（2），，，，这六个数的平方加起来是，
且，
和为是由前个循环组的平方和再加上得到，
而，由个数平方相加得到，
和为，共有个数的平方相加得到．
【点睛】本题考查数字变化类规律探究，解答时涉及平方根的性质，解题的关键是探究出循环规律，利用规律解答问题．
变式训练5
1.先观察下列各式：
；
；
；
(1)计算： ；
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，
请写出： ＝ ；
(3)应用上述结论，请计算的值．
【答案】(1)6
(2)n
(3)52
【分析】（1）先求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可；
（2）观察可知左边根式里面都是奇数，等式右边的结果是等式左边根号里面最后一个数加1后的一半，据此规律求解即可；
（3）把根号里面的数字提取公因数4，然后根据（2）的规律求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：
（2）解：∵，
，
，
……
∴可以发现规律
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
2.阅读下列解题过程：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
……
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________．
(2)利用这一规律计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
∴第4个等式为：；
故答案为：；
（2）
．
【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
三、专题检测卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．在，，0，，，中无理数的个数有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.4个
答案：A
解析：，0，是有理数；
，，是无理数.
∴无理数一共有3个，
故选A.
2．估计的值在( )
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
答案：B
解析：∵4＜6＜9，
∴，即，
∴，
故选：B
3．有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是( )
A.2 B. C. D.
答案：B
解析：64的算术平方根是8，8是有理数，
取8的立方根为2，是有理数，
再取2的算术平方根为，是无理数，
则输出，
y的值是.
故选：B.
4．如图,M,N,P,Q是数轴上点,那么在数轴上对应的点可能是( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
答案：A
解析:,
观察数轴,点M符合要求,
故选:A.
5．如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则E点所表示的数为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：正方形ABCD的面积为5，且，
，
点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
点E表示的数为.
故选：B.
6．如图为嘉琪同学的答卷，她的得分应是( )
A.40分 B.60分 C.80分 D.100分
答案：B
解析：①的倒数是，故①错误；
②的绝对值是，故②正确；
③，故③错误；
④平方根与立方根相等的数是0，故④正确；
⑤，故⑤正确.
故得分应是60分.
故选：B.
7．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为( )
A.9 B. C. D.
答案：A
解析：，
原式
.
故选：A.
8．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体.即，在数轴（如题图2）上最接近的点是( )
A.P B.Q C.M D.N
答案：C
解析：，
，
而点M对应的数在0和1之间，
所以，最接近的点是M，
故选：C.
9．小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是( )
A.； B.9； C.； D.2；
答案：A
解析：A.是负整数，是负无理数，故A选项符合题意；
B.9是正整数，是负无理数，故B选项不符合题意；
C.是负整数，是负整数，故C选项不符合题意；
D.2是正整数，是负整数，故D选项不符合题意；
故选：A.
10．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，，现对82进行如下操作：
，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：，
对121只需进行3次操作后变为1.
故本题选：C.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．的相反数是______.
答案：
解析：的相反数是.
故答案为：.
12．如图，数轴上表示1，的对应点分别为点B、点C，若点B是线段的中点，则点A表示的数为___________.
答案：
解析：数轴上表示1、的对应点分别为点B、点C，
，
点B是的中点，
，
点A表示的数为，
故答案为：.
13．_________.
答案：或
解析：，
，
，
故答案为：.
14．在小明同学的笔记本中记录了求算术平方根近似值的一种方法，如.用他记录的这种方法，求得的近似值为_________.
答案：10.15
解析：根据题意可得，，
故答案为：10.15.
15．实数m在数轴上的位置如图所示,则化简的结果为______.
答案：1
解析:由数轴得:
,
.
故答案为:1.
三、解答题（共8小题，75分）
16．（8分）把下列各数填在相应的集合中：
15 ，， 0.81， -3， ， -3.1 ，-4 ， 171 ，0 ， 3.14 ，π， .
正数集合｛ …｝；负分数集合｛ …｝
非负整数集合｛ …｝；有理数集合｛ …｝
答案：正数集合｛ 15，0.81，，171，3.14，π ， ， …｝；
负分数集合｛ ，-3.1 ， …｝
非负整数集合｛15，171，0 ， …｝；
有理数集合｛15 ，，0.81，-3， ，-3.1 ，-4 ，171 ，0 ，3.14 ， ，…｝
解析：
17．（8分）比较下列各组数的大小:
（1）. 和;
（2）. 和.
答案：（1）.因为,,
所以
（2）.因为,又,
所以.
18．（8分）计算：（1）.
（2）
答案：（1）3
解析：原式.
.
（2）
解析：原式.
19．（8分）有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断.
答案：不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中
解析：设长方形信封的长为，宽为.
由题意得：，
解得：(负值舍去)
所以长方形信封的宽为：，
，
正方形贺卡的边长为.
，而，
，
答：不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中.
20．（8分）已知a、b两数对应的点A、B在数轴上的位置如图所示，化简.
答案：由题图知，，且，
，.
原式.
解析：
21．（10分）【阅读理解】
学习了无理数后,小明用下面的方法估算的近似值:
.
不妨设行,
则,即.
,
,解得,
.
【问题解决】
用同样的思路解决下列问题:
(1)估算的值(精确到);
(2)已知x是的整数部分,y是其小数部分,则________(精确到);
(3)已知非负整数a,b,m,若,且,则_______.(用含a,b的代数式表示)
答案：(1),
,
不妨设,
则,即,
,所以,
,解得,
.
(2)
解法提示:,
,
的整数部分,小数部分,
则.
同(1)中思路易得.
(3)
解法提示:设,
则,
,
,解得,
.
解析：
22.（13分）【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式________．
(2)请根据上面式子的规律填空：________．
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)16
【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；
（2）所给是n+1个式子，根据规律即可得；
（3）根据（2）得出的结论可知，利用规律即可得．
【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为，
∴第7个等式为：，
故答案为：；
（2）解：根据材料中给出的规律可知：，
故答案为：；
（3）解：根据（2）中的规律知，
．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，解题的关键是掌握是式子的规律．
23.（12分）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，已知b是最小的正整数，且a，c满足(c 6)2+|a+2|=0.
.求式子a2+c2 2ac 的值；
.若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数；
(3).请在数轴上确定一点D，使得AD=2BD，求点D表示的数.
(1).【答案】因为(c 6)2+|a+2|=0，
所以a+2=0，c 6=0，解得a= 2，c=6，
所以a2+c2 2ac=4+36+24=64.
【解析】
(2).【答案】因为b是最小的正整数，所以b=1.
因为( 2+1)÷2= 0.5，
所以6 ( 0.5)=6.5， 0.5 6.5= 7，
所以与点C重合的点表示的数是 7.
【解析】
(3).【答案】设点D表示的数为x.分以下三种情况讨论：
若点D在点A的左侧，则 2 x=2(1 x)，
解得x=4(舍去)；
若点D在A，B之间，则x ( 2)=2(1 x)，
解得x=0；
若点D在点B的右侧，则x ( 2)=2(x 1)，
解得x=4.
综上所述，点D表示的数是0或4.
考点6
考点6
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