第5章《有理数》单元复习题
一、单选题
1．下列计算正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
A．1个 B．2个 C．3个 D．以上答案均错
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．84 B．336 C．510 D．1326
3．观察图中的数轴，用字母，， 依次表示点，，对应的数，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则值为（ ）
A． B．3 C． D．3或
5．将，，0，1，2，3，4，5这八个数不重复地填入如图所示的圆圈内，若每一个三角形上的三个数之和相等，中央正方形角落的四个数之和为8，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．甲，乙两个油桶中装有体积相等的油，先把甲桶的油倒一半到乙桶，再把乙桶的油倒出一半给甲桶，结果（ ）
A．甲桶中的油多 B．乙桶中的油多 C．甲、乙两个桶油一样多 D．不能确定
7．在数轴上有间隔相等的四个点，，，，所表示的数分别为，，，，其中有两个数互为相反数，若的绝对值最大，则数轴的原点是（ ）
A．点 B．点
C．点或，的中点 D．点或，的中点
8．已知为有理数，下列说法：
①若互为相反数，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则是正数．
其中正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253 B．255 C．257 D．259
10．某商场为促销对顾客实行优惠，规定：
（1）如一次性购物不超过200元，则不予优惠；
（2）如一次性购物超过200元，但不超过500元的，按标价给予9折优惠；
（3）如一次性购物超过500元的，其中500元按（2）给予优惠，超过500元的部分则给予8折优惠．某人两次购物，分别付款160元与360元，如果他一次性购买这些商品，则应付（ ）
A．468元 B．498元 C．504元 D．520元
11．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
二、填空题
12．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是________．
13．已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对应的数有______________．
14．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式转化为_______．
15．计算：
（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝_____．
16．数轴上有两点M、N，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为________．
17．若，则是____数．化简：________．
18．计算： ______．
19．已知数和数互为相反数，且在数轴上表示数的点之间的距离为2018个单位长度，若，则________，________，点相距2009个单位长度，则点表示的数为_________．
20．已知a、b、c为整数，且，．若，则的最大值为________．
21．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
三、解答题
22．计算：
(1) (2)
(3) (4)
23．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
24．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是．
（1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是__________．
（2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为_________．
（3）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数按从小到大的顺序连接起来．
25．（1）已知，且，求的值；
（2）已知，求．
26．奋斗文具店购进了一批钢笔，进价为每支6元，进了160支，为了合理定价，在销售前四天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元记为正，不足10元记为负．文具店记录了这五天钢笔的售价和售出情况，如下表：
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天
每支价格相对标准价格（元） 0
售出支数（支） 9 12 20 26 42
(1)这五天中，售价最高的是第_______天，这天售价______元钱．
(2)这五天中赚钱最多的是第几天？赚多少钱？
(3)奋斗文具店店庆，这种钢笔的售价在10元的基础上打九折，当天把剩下的钢笔全部卖出，这天这种钢笔赚了多少钱？
27．如图，用粗线在数轴上表示了一个“范围”，这个“范围”包含所有大于1小于2的有理数．请你在数轴上表示出一范围，使得这个范围同时满足以下三个条件：
（1）至少有100对互为相反数和100对互为倒数；
（2）有最小的正整数；
（3）这个范围内最大的数与最小的数表示的点的距离大于3但小于4．
28．
(1)已知a、b是有理数，且＝3，a与b互为倒数，试求2a+ab的值．
(2)||+||﹣||．
29．计算题．
(1)．
(2)．
(3)．
30．探索研究：
（1）比较下列各式的大小（用“＜”、“＞”、“＝”连接）
①|2|+|3| |2+3|；
②|﹣2|+|﹣3| |﹣2﹣3|；
③|2|+|﹣3| |2﹣3|；
④|2|+|0| |2+0|．
（2）a、b为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”连接）
当a、b同号时，|a|+|b| |a+b|；
当a、b异号时，|a|+|b| |a+b|；
当a＝0或b＝0时，|a|+|b| |a+b|；
综上，|a|+|b| |a+b|．
（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015＝|x﹣2015|时，则x的取值范围是 ．
31．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作．即．例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．
（1）如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称．
①______；
②比较，，的大小______（用“<”连接）；
（2）数轴上的点M满足，求；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．
32．如图，数轴上有点a，b，c三点．
(1) 0； 0(填“<”，“>”，“=”)；
(2)化简
(3)求的值
33．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把 （a≠0）记作a ，读作“a的圈n次方”．
（1）【初步探究】
直接写出计算结果：2③=_______，（-）⑤=_______；
（2）【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）④=_______；5⑥=_______； (-) ⑩=_______．
Ⅱ. 想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_______；
Ⅲ. 算一算：
12 ÷(-)④×(-2)⑤－(-)⑥÷3 .
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据有理数的混合运算法则分别判断即可．
【解析】解：①，故错误；
②，故错误；
③，故错误；
④，故正确；
⑤，故错误；
⑥，故正确；
⑦，故错误；
⑧，故错误；
故选：B．
2．C
【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，
3．C
【分析】由图可知-1＜a＜＜＜b＜0＜1＜c，据此进行解答即可.
【解析】解：由图可知-1＜a＜＜＜b＜0＜1＜c，
由-1＜a＜可知，＜-a＜1，则由＜b＜0可得，＜b-a＜1，则1＜3；
由1＜c可得，；
由-1＜a＜、＜b＜0可得，＜-a＜1，0＜-b＜，则0＜ab＜，则＞3；
综上可得，，
故选择C.
4．B
【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可．
【解析】解：根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，
原式=4-1+0=3
故选：B
5．B
【分析】首先计算出每个三角形上数字之和，再利用x，y所在三角形上数字之和减去中间正方形上的数字之和即为结果．
【解析】解：由题意可得：
每个三角形上数字之和为=5，
∴x+y=5×2-8=2，
故选B．
6．A
【分析】采用设数法，将甲、乙两个油桶中体积相等时的油的体积设为“1”，分别算出倒两次之后甲乙两桶中油的体积，即可得解．
【解析】解：甲、乙两个油桶中装有体积相等的油，
将此时甲、乙两个油桶中油的体积设为“1”，
则把甲桶的油倒一半到乙桶后，
甲桶中油的体积设为“”，乙桶中油的体积为：，
再把乙桶的油倒出一半给甲桶，
则乙桶油的体积为：，甲桶中油的体积为：，
，∴甲桶中的油多，
故选：A．
7．D
【分析】根据在数轴上有间隔相等的四个点，，，，其中有两个数互为相反数，原点的位置必然要在N点或P点上或MN的中点，NP的中点，PQ的中点位置，再由的绝对值最大，推出M离原点的位置要最远，则原点的位置只能在P或PQ的中点上．
【解析】解：∵在数轴上有间隔相等的四个点，，，，其中有两个数互为相反数，
∴原点的位置必然要在N点或P点上或MN的中点，NP的中点，PQ的中点位置，
又∵的绝对值最大，
∴M离原点的位置要最远，
∴原点的位置只能在P或PQ的中点上，
故选D．
8．B
【分析】①根据相反数的性质判断；②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a与b都为负数，即3a+4b小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；③由a-b的绝对值等于它的相反数，得到a-b为非正数，得到a与b的大小，即可作出判断；④由a绝对值大于b绝对值，分情况讨论，即可作出判断．
【解析】解：①a与b互为相反数，则b=-a，本选项正确；
②由a+b＜0，ab＞0，得到a与b同时为负数，即3a+4b＜0，
∴|3a+4b|=-3a-4b，本选项错误；
③∵|a-b|+a-b=0，即|a-b|=-（a-b），
∴a-b≤0，即a≤b，本选项错误；
④若|a|＞|b|，
当a＞0，b＞0时，可得a＞b，即a-b＞0，a+b＞0，∴（a+b） （a-b）为正数；
当a＞0，b＜0时，a-b＞0，a+b＞0，∴（a+b） （a-b）为正数；
当a＜0，b＞0时，a-b＜0，a+b＜0，∴（a+b） （a-b）为正数；
当a＜0，b＜0时，a-b＜0，a+b＜0，∴（a+b） （a-b）为正数，
本选项正确，
则其中正确的有2个．
故选：B．
9．C
【分析】从特殊出发，归纳得到一般规律即可完成．
【解析】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是2n+1，
当n＝8时，存活个数是28+1＝257．
故选：C．
10．B
【分析】某人两次购物，分别付款160元与360元，由于160元不满200元，没有优惠；而360元是优惠价格，实际商品价格是（元），那么他一次购买同样的商品，即价值（元）的商品，按照（3）进行优惠计算即可．
【解析】解：第二次的价格是（元），
两次合并，则总价是：（元），
（元）．
则他一次性购买这些商品，则应付498元．
故选：B．
11．D
【分析】通过观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，得出的个位数字与的个位数字相同；以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的．即可知的个位数字，从而得到221+311的末位数字．
【解析】解：由题意可知，，，，，，，，，，
即末位数字是每4个算式是一个周期，
末位分别为2，4，8，6，
，
的末位数字与的末位数字相同，为2；
由题意可知，，，，，，，
以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，
，
所以的个位数字是7，
所以的个位数字是9，
故选：D．
二、填空题
12.-3
【分析】先计算和：-7+1+9=3；再计算-5+9+□=3，-5+1+□=3，最后根据☆+□+□=3计算即可．
【解析】解：根据题意，得这个和为：-7+1+9=3；
∴-5+9+□=3，-5+1+□=3，
∴-5+9+□-5+1+□=6，
∴-5+9+□-5+1+□=6，
∴□+□=6，
∵☆+□+□=3，
∴☆=-3，
故答案为：-3．
13.1、3、、
【分析】设点B对应的数为，根据点A与原点O的距离为2，得到点A表示的数为，当点A表示的数为-2时，根据数轴上A，B两点之间的距离为1，得到，推出，解得x=-3，或x=-1，当点A表示的数为2时，得到，推出，解得x=3，或x=1．
【解析】解：设点B对应的数为，
∵数轴上A，B两点之间的距离为1，点A与原点O的距离为2，
∴点A表示的数为
当点A表示的数为-2时，，
∴，
∴x=-3，或x=-1，
当点A表示的数为2时，
，
∴，
∴x=3，或x=1，
综上点B对应的数为：1、3、、．
故答案为：1、3、、．
14.
【分析】根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成，再求出答案即可．
【解析】解：把正方形看作单位“1”，由图可得，
，
故答案为：．
15.1010
【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可．
【解析】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020
＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020]
＝1+1+…+1
＝1010，
故答案为：1010．
16.8或4
【分析】分类讨论：E在线段MN上，E在线段MN的反向延长线上，根据线段的差，可得答案．
【解析】解：当E在线段MN上时，MN=ME+NE=2+6=8．
当E在线段MN的反向延长线上时，MN=NE-ME=6-2=4，
综上所述：MN=8或MN=4，
故答案为：8或4．
17. 非正 3.1416-π
【分析】首先根据|m|=-m，可得：m是非正数，然后根据：π-3.1416＜0，负数的绝对值等于它的相反数，求出|π-3.1416|的值是多少即可．
【解析】解：∵|m|=-m，
∴m是非正数；
∵π-3.1416＜0，
∴|π-3.1416|=3.1416-π．
故答案为：非正；3.1416-π．
18.
【分析】利用乘法分配律把分母化为，即可求解。
【解析】解：原式=，
故答案为：．
19. -1009 1009 1000或-3018
【分析】首先根据互为相反数的定义，得出a+b=0，再根据数a、b的点A、B之间的距离为2018个单位长度和根据数轴上两点间的距离等于较大的数减去较小的数，列方程进行计算，再根据数轴上两点之间的距离即可求出答案．
【解析】解：∵数a与数b互为相反数，
∴a+b=0，
∵a＜b，
∴b-a=2018，
∴b=1009，a=-1009；
∵点A，C相距2009个单位长度，
则-1009+2009=1000，或-1009-2009=-3018，
∴点C表示的数为1000或-3018，
故答案为：-1009，1009，1000或-3018．
20.5013
【分析】由c-a=2005得c=a+2005，与a+b=2006相加得a+b+c=a+4011，由a+b=2006及a＜b，a为整数，可得a的最大值为1002，从而得出a+b+c的最大值．
【解析】解：由a+b=2006，c-a=2005，得a+b+c=a+4011．
∵a+b=2006，a＜b，a为整数，
∴a的最大值为1002．
∴a+b+c的最大值为a+b+c=a+4011=5013．
故答案为：5013．
21.①②④
【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．
【解析】根据题意可知：
x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，
x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，
x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，
…
由上列举知①②正确，符合题意；
由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m．
∵x100=20，
∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，
∵x105=21，
∴x106=22，x107=23，x108=24
故x108＞x104，故③错误，不合题意；
∵x2015=403，
∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，
故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．
故答案为：①②④．
三、解答题
22.（1）解：
原式＝
＝
＝
＝
（2）解：
原式＝
＝
＝
＝
＝
（3）解：
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
（4）解：
原式＝
＝
＝
＝
23.（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
24.解：（1）如图，O为原点，点B所表示的数是4，
故答案为：4；
（2）点C表示的数为4 2＝2或4＋2＝6．
故答案为：2或6；
（3）把下列各数在数轴上表示，如图所示：
由数轴可知： 22＜＜ （＋1.6）＜| 1.5|＜2.5＜．
25.（1）∵，且，
∴m=±3，n=-2，
∴=2×3-(-2) ×3=12或=2×(-3)-(-2) ×3=0，
即：=0或12；
（2）∵，
∴，
∴a=-1，b=2，
∴
=
=(-1)+1
=0．
26.（1）解：由表格可知，这五天中，售价最高的是第一天，这天的售价为10＋2＝12元，
故答案为：一，12
（2）解：第一天赚钱为（10+2－6）×9＝54；
第二天赚钱为（10+1－6）×12＝60；
第三天赚钱为（10+0－6）×20＝80；
第四天赚钱为（10+1－6）×26＝130；
第五天赚钱为（10－2－6）×42＝84；
∴这五天中赚钱最多的是第四天，赚130元；
（3）解：（支），
元，
答：这天这种钢笔赚153元．
27.解：答案不唯一，例如：
．
28.（1）∵＝3，
∴a＝9，
∵a与b互为倒数，
∴ab＝1，
∴2a+ab
＝2×9+×1
＝18+
＝18．
（2）||+||﹣||
=
=
＝0．
29.（1）
解：原式＝
；
（2）
解：∵
∴原式＝
；
（3）
令
① ②得：
，故 ．
30.解：（1）①|2|+|3|=5，|2+3|=5，所以|2|+|3|=2+3|；
②|﹣2|+|﹣3|=5，|﹣2﹣3|=5，所以|﹣2|+|﹣3|=|﹣2﹣3|；
③|2|+|﹣3|=5，|2﹣3|=1，所以|2|+|﹣3|＞|2﹣3|；
④|2|+|0|=2，|2+0|=2，所以|2|+|0|=|2+0|．
故答案为：①，②，③，④；
（2）当a、b同号时，|a|+|b|=|a+b|；
当a、b异号时，|a|+|b|＞|a+b|；
当a＝0或b＝0时，|a|+|b|=|a+b|；
综上，|a|+|b|≥|a+b|．
故答案为：，，，≥；
（3）因为|x|+2015＝|x|+|﹣2015|=|x﹣2015|，
所以由（2）可知x≤0．
故答案为：x≤0．
31.解：（1）①∵点表示的数是，点与关于原点对称．
∴表示的数是；
∴
故答案是；
②∵表示的数大约是
∴，
∴＜＜
故答案是＜＜；
（2）∵
∴M表示的数是或-
∴或；
（3）∵P表示有理数，＜100且为整数
∴PO＞PA且PO为PA的整数倍
由题意可得，当P为OA中点时，则=1，此时为最小正整数且P表示；
当=2，即PO=2PA,此时P表示或2；
当=3，即PO=3PA,此时P表示或；
…
当=99，即PO=3PA,此时P表示或；
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
=
=2+98×2
=198．
故答案是198．
32.（1）
解：根据数轴上的点得：；
，；
故答案为：；；
（2）
解：
；
（3）
解：，
．
33.解：（1）【初步探究】，
故答案为，-8；
（2）【深入思考】Ⅰ. ；
；
故答案为；；；
Ⅱ.
Ⅲ.
