第6章 第2节 一元一次方程
一、单选题
1．已知关于x的方程（5a+14b）x+6＝0无解，则ab是（ ）
A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数
2．幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为（ ）．
A．9 B．8 C．6 D．4
3．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个（ ）
A．402 B．403 C．404 D．405
5．方程的解是x=( )
A． B．- C． D．-
6．对，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程 B．是方程，其解为
C．是方程，其解为 D．是方程，其解为、
7．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（ ）元．
A．288 B．306 C．288或316 D．288或306
8．按下面的程序计算：
如果n值为非负整数，最后输出的结果为2343，则开始输入的n值可能有 （ ）．
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．如图，在1000个“○”中依次填入一列数字使得其中任意四个相邻“○”中所填数字之和都等于，已知，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．满足方程的整数x有（ ）个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如图，在数轴上，点表示，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达，第三次将点向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，给出以下结论：①表示5；②；③若点到原点的距离为15，则； ④当为奇数时，；以上结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
12．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（ ）
A．秒或秒
B．秒或秒或秒或秒
C．3秒或7秒或秒或秒
D．秒或秒或秒或秒
13．如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④
二、填空题
14．方程的解是，那么______．
15．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 =______．
16．已知关于x的方程的解是，那么关于m的方程的解是______．
17．已知关于x的一元一次方程＋5＝2019x＋m的解为x＝2021，那么关于y的一元一次方程 ＋5＝2019（5﹣y）＋m的解为___．
18．整式ax－b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程－ax＋b＝3的解是______．
x －2 0 2
ax－b －6 －3 0
19．观察下列方程：
第1个：的解是x＝2；
第2个：的解是x＝3
第3个：的解是x＝4
第4个：的解是x＝5．
（1）第5个方程的解是x＝___；
（2）解是x＝2022的方程是 ___．
20．如图，小明需要将一个正方形纸片剪出一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，并且两次剪下的长条面积要正好相等，为解决这个问题，小明设剪下的其中一个长条的面积为，则依题意可得方程为______．
21．若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．已知关于x的一元一次方程是奇异方程，则m的值为_____
22．方程的解为______．
23．如图，某点从数轴上的点出发，第次向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至 点，第次从点向左移动个单位长度至点，，依此类推，经过_____次移动后该点到原点的距离为个单位长度．
24．“格子乘法”是15世纪意大利数学家使用的一种计算方法，后传入我国，明朝数学家程大位在《算法统宗》里称之为“铺地锦”．如图1，计算，将乘数357和46分别写在格子上方和右边，然后以乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（其中，相加满十向前进1，则，再加进的1得14，相加满十再向前进1），得16422．如图2，计算，得2397．如图3，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则x的值为_____．
三、解答题
25．已知是方程的解，m、n满足关系式，求的值．
26．如果关于的方程有无穷多个解，求的值．
27．已知是有理数，单项式的次数是3，方程是关于的一元一次方程，其中．
(1)求的值；
(2)若该方程的解是，求的值；
(3)若该方程的解是正整数，请直接写出整数的值．
28．七年级名同学在5位老师的带领下准备到离学校千米处的某地进行社会实践，共有两辆各能坐人的汽车，第一辆已经在学校，第二辆在分钟后才能赶到学校．师生可以选择步行或是乘车的方式前往目的地，已知师生步行的速度是5千米/时，汽车的速度是千米/时，上、下车时间忽略不计．如果你是这次行动的总指挥，请解决以下问题：
(1)若汽车将师生送到目的地后再返回接送余下师生，余下师生一边步行一边等待汽车返回，则全体师生到达目的地需要多少时间？
(2)有位学生因身体原因不适合步行，留在原地等待第二辆汽车接送，要怎样安排师生乘车，才能使全体师生花最短的时间到达目的地？最短的时间是多少？
29．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”；
(2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解．
30．定义：如果数轴上点A、B、Q所表示的数分别是a、b、q，点Q是线段AB的中点．则数q是数a与数b的“中间数”．例如：图中点A、B表示的数分别是，4，线段的中点Q表示的数是1，则1是有理数和4的中间数．
(1)概念理解：
有理数5与9的中间数是_________，和的中间数是_________．
(2)性质探索：
点A、B、Q所表示的数分别是a、b、q，若数q是数a与数b的“中间数”，根据定义可知，若，__________，请求出a、b、q之间的关系；
(3)性质运用：
已知第一组数与的中间数是，第二组数与的中间数也是，求m的值，并写出此时第一组数是多少．
31．已知关于的方程的两个解是；
又已知关于的方程的两个解是；
又已知关于的方程的两个解是；
，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于的方程的两个解是 和 ；
(2)已知关于的方程，则的两个解是多少？
32．（1）阅读思考：
小迪在学习过程中，发现“数轴上两点间的距离”可以用“表示这两点数的差”来表示．
探索过程如下：
如图1所示，线段，，的长度可以表示为：，，，于是，他归纳出这样的结论：如果点A表示a，点B表示的数是b，当时，，（较大数-较小数）
（2）尝试应用：
①如图2，计算___________，_________．
②把数轴在数处对折，使表示和2022两数的点恰好互相重合，则_________．
（3）问题解决：
①如图3，点Р表示数x，点M表示数，点N表示数，且，求出点Р和点N分别表示的数．
②在上述①的条件下，点Q以每秒1个单位长度的速度从О点向左运动时，点Р以每秒5个单位长度向左运动，点N以每秒16个单位长度向左运动，当它们同时出发时，求几秒后Q点到点P、点N的距离相等？
答案
一、单选题
1．D
【分析】先将原方程化为（5a+14b）x＝﹣6，再利用方程无解可得5a+14b＝0，用b表示出a，然后代入计算即可．
【解析】解：∵关于x的方程（5a+14b）x＝﹣6无解，
∴5a+14b＝0，
∴a＝﹣b
∴ab＝﹣b2≤0．
故选：D．
2．A
【分析】先根据幻方的定义补充数据，然后再列一元一次方程求解即可．
【解析】解：根据幻方的定义补充数据如下：
所以2+m+4=15，解得m=9．
故选A．
3．B
【分析】方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解．
【解析】方程变形得：
即，
去分母得：，
解得:x=
故选B.
4．B
【分析】由第1个图形有9个面积为1的小正方形，第2个图形有9+5＝14个面积为1的小正方形，第3个图形有9+5×2＝19个面积为1的小正方形，…由此得出第n个图形有9+5×（n﹣1）＝5n+4个面积为1的小正方形，由此求得答案即可．
【解析】解：第1个图形面积为1的小正方形有9个，
第2个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，
第3个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，
…
第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝5n+4个，
根据题意得：5n+4＝2019，
解得：n＝403．
故选：B．
5．D
【解析】方程两边同乘以24可得-8[]-2=-1，去括号，可得-8（）-2=-1，即-4-4x+-2=-1，4x=-5+，解得x=- .
故选D.
6．D
【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．判断一个数是否是方程的解，可以把它代入方程左右两边，看是否相等．
【解析】|x-1|+4=5符合方程的定义，是方程，
（1）当x≥1时，x-1+4=5，解得x=2，
（2）当x＜1时，1-x+4=5，解得x=0，
故选D．
7．C
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．
【解析】解：（1）第一次购物显然没有超过100，
即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．
（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．
①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．
即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．
综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此
可以按照8折付款：
360×0.8=288元或395×0.8=316元，
故选：C．
8．D
【分析】根据最后的结果2343倒推，解出方程，再根据方程求出满足条件的值．
【解析】由最后的结果可列出方程：，解得：
再由，解得：
，解得：
，解得：
，解得：
由值为非负整数可知值可能为0,3,18,93,468这5种情况.
故答案为D.
9．C
【分析】由于任意四个相邻数之和都是-10得到a1+a2+a3+a4=a2+a3+a4+a5，a5+a6+a7+a8=a6+a7+a8+a9，…，则a1=a5=a9=…=，利用同样的方法可得到a1=a5=a9=…=x-1，a2=a6=a10=…-7，a3=a7=a11=…=-2x，a4=a8=a12=…=0，所以已知a999=a3=-2x，a25=a1=x-1，由此联立方程求得x即可．
【解析】∵a1+a2+a3+a4=a2+a3+a4+a5，a5+a6+a7+a8=a6+a7+a8+a9，…，
∴a1=a5=a9=…=x-1，
同理可得a2=a6=a10=…=-7，
a3=a7=a11=…=-2x，
a4=a8=a12=…=0，
∵a1+a2+a3+a4=-10，
∴x-1-7-2x+0=-10，
解得：x=2．
故答案为：2．
10．C
【分析】分类讨论：，，时，分别解方程求得答案.
【解析】当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去；
当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去；
当时，原方程为： ，得2=2，说明当时关系式恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1.
故选：C.
11．D
【分析】先根据数轴的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，然后逐个判断即可得．
【解析】由题意，点表示的数为，
点表示的数为，
点表示的数为，
点表示的数为，
点表示的数为，
点表示的数为，
归纳类推得：当n为奇数时，；当n为偶数时，，其中n为正整数，
则表示的数为5，结论①正确；
，，
，则结论②错误；
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，解得，
即若点到原点的距离为15，则或，结论③错误；
当为奇数时，，
，
，
，
，
，
即当为奇数时，，结论④正确；
综上，结论正确的是①④，
故选：D．
12．D
【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可．
【解析】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，
∵PB＝2，
∴|2t 5|＝2，
∴2t 5＝ 2，或2t 5＝2，
解得t＝或t＝；
②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20 2t，
∵PB＝2，
∴|20 2t 5|＝2，
∴20 2t 5＝2，或20 2t 5＝ 2，
解得t＝或t＝．
综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒或秒．
故选：D．
13．D
【分析】设C点在数轴上对应的数为，根据题意可得，求得；根据题意分时间段讨论两小球的位置，分别求解即可．
【解析】解：设C点在数轴上对应的数为，则，
当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则
解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确；
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为
当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时，
点表示数的为，②正确；
当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为
当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动
则，，
，③错误；
当时，，，
由题意得，，解得，不符题意；
当时，，，
由题意得，，解得，不符题意；
当时，，
当时，，
由题意得，，解得，此时三点重合，成立；
当时，，
由题意得，，解得，不符题意；
当时，，
由题意得，，解得，不符题意；
④正确
故选：D
二、填空题
14．或
【分析】把x=2代入得，再根据绝对值意义得2-k=或2-k=-，再分别求解即可．
【解析】解：把x=2代入得，
由绝对值意义，得2-k=或2-k=-，
解得：k=或k=，
故答案为：或．
15．
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
【解析】方程两边都乘14，去分母得
，
整理得，
∵无论k为何值，方程的解总是，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
16．m=4
【分析】根据一元一次方程解的定义，把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，再把d=a+c代入方程）即可．
【解析】解：把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，
把d=a+c代入方程，
得，
即am=4a，
m=4．
故答案为：m=4．
17．y=-2016
【分析】方程+5=2019x+m可整理得：-2019x=m-5，则该方程的解为x=2021，方程+5=2019（5-y）+m可整理得：-2019（5-y）=m-5，令n=5-y，则原方程可整理得：-2019n=m-5，则n=2021，得到关于y的一元一次方程，解之即可．
【解析】解：根据题意得：
方程+5=2019x+m可整理得：-2019x=m-5，
则该方程的解为x=2021，
方程+5=2019（5-y）+m可整理得：-2019（5-y）=m-5，
令n=5-y，
则原方程可整理得：-2019n=m-5，
则n=2021，
即5-y=2021，
解得：y=-2016，
故答案为：-2016．
18．x=0
【分析】转化为：，根据图表求得一元一次方程的解．
【解析】解：∵，
∴，
∵根据图表知：当时，，
∴方程的解为：，
∴方程的解为：．
故答案为：．
19． 6
【分析】（1）根据第1、2、3、4个方程的解找出规律，由此即可得；
（2）根据第1、2、3、4个方程，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【解析】解：（1）第1个方程的解是，
第2个方程的解是，
第3个方程的解是，
第4个方程的解是，
则第5个方程的解是；
（2）第1个：解是的方程是，即，
第2个：解是的方程是，即，
第3个：解是的方程是，即，
第4个：解是的方程是，即，
归纳类推得：解是的方程是，即；
故答案为：6，．
20．
【分析】根据剪下的长条的面积为，分别表示出正方形的边长，根据正方形的边长相等即可得到答案．
【解析】解：设剪下的其中一个长条的面积为，
将一个正方形纸片前出一个宽为的长条，
正方形的宽为，
再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，
正方形的宽为，
，
故答案为：．
21．
【分析】解方程可得，根据题目所给的“奇异方程”的定义可得，则，求解即可．
【解析】解：∵，
∴，
∵方程是奇异方程，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
22．或
【分析】由绝对值的性质可得出，从而可分类讨论：①当时和②当时，再根据方程有意义可得出x的取值范围，最后再次根据绝对值的性质解方程即可．
【解析】解：∵
∴，
∴；
分类讨论：①当时，
∵方程有意义，
∴，
解得：，
∴，
∴
解得，，舍去；
②当时，
∵方程有意义，
∴，
解得：，
∴，即或，
解得：或．
故答案为：或．
23．4035或4036
【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题．
【解析】由图可得：第1次点A向右移动1个单位长度至点B，则B表示的数为；
第2次从点B向左移动2个单位长度至点C，则C表示的数为；
第3次从点C向右移动3个单位长度至点D，则D表示的数为；
第4次从点D向左移动4个单位长度至点E，则点E表示的数为；
第5次从点E向右移动5个单位长度至点F，则F表示的数为；
；
由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数为，当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数为，
∵经过移动后该点到原点的距离为个单位长度
∴当移动次数为奇数时，，解得，
当移动次数为偶数时，若，解得，
故答案为：4035或4036．
24．3
【分析】先根据“格子乘法”求出已知的条件，然后分情况列方程计算即可．
【解析】由“格子乘法”的定义可知，
若，
则，
解得；
若，
则，
解得（不合题意，删去）；
故答案为3．
三、解答题
25．解：∵是方程的解，
把代入方程，得，解得，
再把代入，得，解得或，
∴或．
26．解：当时，原方程可变形为：，即，
∴此时该方程有无穷多个解；
当时，原方程可变形为：，即，
解得：，
∴此时方程的解取决于的值，即只有一个解；
当时，原方程可变形为：，即，
∴此时该方程有无穷多个解．
综上所述，的值为4或．
27．解：（1）由题意得：n+1=3，m+1=0，
解得：n=2，m=-1；
（2）由（1）得：，；
，
当时，则，
；
（3），
，，
，
，
，
，
是整数，是整数，
当时，，
当时，，
当时，，
28．（1）解：最后一组应由第二辆汽车接送：
，，，
∴全体师生到达目的地所用时间为小时；
（2）解：因有位学生不适合步行，可留50位学生乘坐第二辆汽车直接前往目的地．
①两辆车各接送2组，由（1）可知，全体师生到达目的地所需时间为小时；
②第一辆汽车接送1组，第二辆汽车接送3组，所用时间明显多于①的情况情况；
③第一辆汽车接送3组，第二辆汽车接送1组：
设3组师生乘坐第一辆汽车的时间均为t小时，则图中AC=55t，
CB=22－55t，汽车从C到E（F到G）用去的时间为，
汽车到达C处后2次回头，又2次向B处开去，共用去时间
，∴，解得，
这时，∵，
∴第二辆汽车已到达．
综上所述，要使全体师生花最短的时间到达目的地，可安排第一辆汽车接送3组，第二辆汽车接送1组，最短时间为小时．
29．
【解析】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由：
解方程得：
，
方程的解为：
．
∵，
∴方程与方程是互为“美好方程”；
（2）关于x的方程的解为：，
方程的解为：，
∵关于x的方程与方程是“美好方程”，
∴，
∴；
（3）方程的解为：，
∵关于x的方程与是“美好方程”，
∴关于x的方程的解为：．
∵关于y的方程就是：,
∴，
∴．
∴关于y的方程的解为：．
30．（1）解：有理数5与9的中间数是：；和的中间数是：，
故答案为：7，；
（2）解：∵点A、B、Q所表示的数分别是a、b、q，
∴；
故答案为：；
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知：
，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴此时第一组数为：和4．
31．（1）解：∵关于的方程的两个解是，
∴方程的两个解是，，
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
32．解：（2）①，，
故答案为：5，8；
②，
解得：；
（3）①，，
，
，
，
，
点表示的数为，点表示的数为5；
②设t秒后，Q点到点P、点N的距离相等，
由题意可得：t秒后，点Q表示的数为，点P表示的数为，点N表示的数为，
∴，
解得：或，
∴秒或秒后，Q点到点P、点N的距离相等．
