2024年高考数学大题专项突破——数列
1．已知为等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
2．记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
3．已知为等差数列，，记 ，为的前n项和，，
（1）求的通项公式.
（2）证明：当n>5时，>.
4．设等差数列 的公差为 ， 且 ， 令 ，记 分别为数列 ，的前项和.
（1）若，求 的通项公式；
（2）若为等差数列， 且 ，求 .
5．设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前n项和为，求证：；
（3）求．
6．已知 为有穷整数数列．给定正整数 ，若对任意的 ，在 中存在 ，使得 ，则称 为 连续可表数列．
（Ⅰ）判断 是否为5-连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若 为 连续可表数列，求证： 的最小值为4；
（Ⅲ）若 为 连续可表数列， ，求证： ．
7．已知函数 和 有相同的最小值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
8．已知数列 ， ， 的前n项和为 .
（1）若 为等比数列， ，求 ；
（2）若 为等差数列，公差为d，对任意 ，均满足 ，求d的取值范围.
9．设p为实数．若无穷数列{an}满足如下三个性质，则称{an}为RP数列：
：① ， ；
② ；
③ （m=1，2，…；n=1，2，…） ．
（1）如果数列{an}的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{an}是否可以为
数列？说明理由；
（2）若数列
是
数列，求
；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，是否存在
数列
，对
恒成立 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
10．已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求 的范围.
11．设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ，3 ，9 成等差数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和.证明： < .
12．已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 .
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
13．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an} 满足： ，求证：数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足： ，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最大值．
14．已知等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素；
（3）若集合 恰好有三个元素：bn+T=bn ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设等差数列 的首项为，公差为d，
∴．
解得：
∴通项公式为，
由求和项数为，
∴
（2）(Ⅰ)由(1)，
∵，
∴，即，
由∵，
∴，
∴，即，(k≥2)
故(k≥2)；
证毕！
（Ⅱ） 由(1)得，，则，
设的公比为q，
则，即恒成立，
当，则，
∴此时为使q在实数范围内恒成立，q=2，
此时
同理，由
∴
∴，即恒成立，
故，
∴，
∴，
∴
2．【答案】（1）设等差数列首项为，公差为，
则，，
，，解得，，
（2）由（1）知，
令，解得
当时，可得；
当时，可得，
3．【答案】（1） 数列为等差数列，设首项为公差，
由
，
由等差数列前n项和公式得，........①
，........②
联立①②，解得，，
为通项公式为
（2）由（1）知，
，，
①当n为偶数且n>5，此时
则，即
②当n为奇数且n>5，此时
则，即
综上所述，当时，.
4．【答案】（1）∵且an是等差数列
∴，
整理得，
此时，
所以，解得
∴.
（2）由等差数列可设，
则，
∴
①若A=0时，则，此时，，
则，
则
解得
②若B=0时，则，此时，，
同理可得，
则
解得
综上所述
5．【答案】（1）解：设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）解：因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
6．【答案】（Ⅰ） 若，则对于任意，，所以Q是5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6-连续可表数列；
（Ⅱ）若 ，设为a，b，c，则至多 6种矛盾 满足
（Ⅲ）若k≤5，则 至多可表15个数，与题意矛盾，若 至多可表21个数，而 ，所以其中有负的，从而a，b，c，d，e，f可表 及那个负数（恰21个)
这表明 中仅一个负的，没有0，且这个们的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同，设那个负数为
则所有数之和 ，再考虑排序
(仅一种方式)
∴-1与2相序
若-1不在两端，则" 2 ___"形式
若 ，则 (2种方式矛盾)
，问理 ，故-1在一端，不妨为" 形式
右 ，则 (2种矛盾) 同理不行
，则 (2种矛盾)从而
由 ，由表法唯一知3，4不相邻，故只能 ①
或 ②这2种情形
对① 矛后
对② 也矛盾
综上
7．【答案】（1）因为 ，所以 ，
若 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，无最小值，不满足；
若 ，令f’（x）＞0 x＞lna，令f’（x）＜0 x＜lna，
所以 ，
因为 ，定义域 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
依题有 ，即 ，
令 ，则 恒成立
所以 在 上单调递增，又因为 ，
有唯一解 ，
综上，
（2）由(1)易知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
设三个不同交点的横坐标分别为 ，不妨设 ，
显然有 ，
则肯定有 ，
注意 的结构，易知 ，
所以有 ，所以有 ，而由 在 上单调递减，
知 ，同理 ，
所以 ，
又由 ，
故 ，
所以存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
8．【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2，
则
则
则
（2）由题意得
则(3-2n)d≤1
当n=1时，d≤1；
当n≥2时，恒成立；
∵
∴d≥0
综上
9．【答案】（1）解：数列{an}不可能为 数列，理由如下，
因为p=2， a1=2， a2=-2，所以a1+a2+p=2， a1+a2+p+1=3，
因为a3=-2，所以a3 {a1+a2+p， a1+a2+p+1}，
所以数列{an}不满足性质③.
（2）性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .
又因为 或 ，所以 或 .
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为：0，0，0，1，
下面用归纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，
而由性质②可得： ，与 矛盾.
同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .
（3）令 ，由性质③可知：
，
由于 ，
因此数列 为 数列.
由（2）可知：
若 ；
， ，
因此 ，此时 ， ，满足题意.
10．【答案】（1）解：当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，①②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
（2）解：由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以
11．【答案】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
①②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
12．【答案】（1）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（2）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
13．【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由 ，得 ，解得 ．
因此数列 为“M—数列”.
（2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n .
②由①知，bk=k， . 因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以 ，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有 ．
设f（x）= ，则 ．
令 ，得x=e.列表如下：
x e (e，+∞)
+ 0 –
f（x） 极大值
因为 ，所以 ．
取 ，当k=1，2，3，4，5时， ，即 ，
经检验知 也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
14．【答案】（1）解： 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
当 ，
集合 ．
（2）解： ，数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 ，
② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，
如图 ， ，
此时 ，
综上， 或者 ．
（3）解：①当 时， ，集合 ，符合题意．
②当 时， ， ， ，或者 ，
等差数列 的公差 ，故 ， ，又
当 时满足条件，此时 ．
③当 时， ， ， ，或者 ，因为 ，故 ．
当 时， 满足题意．
④当 时， ， ，
所以 或者 ， ，故 ．
当 时， ，满足题意．
⑤当 时， ， ，所以 ，或者 ， ， ，故
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， ， ，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， 不是整数，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 或者 ， ，或者 ，此时， 均不是整数，不符合题意．
综上， ．
