4.2.1 等差数列的概念（精练）
1 等差数列基本量的计算
1．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知等差数列的通项公式，则它的公差为（ ）
A．3 B． C．5 D．
3．（2022·广西）等差数列中，，则的公差为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·陕西）等差数列的前三项分别是，，，则该数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）若数列满足：，且，则________
6．（2022·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．
7．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，，．
(1)求的值；
(2)2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？
8．（2022·江苏·高二课时练习）在等差数列中，
(1)已知，公差，求；
(2)已知公差，，求；
(3)已知，公差，，求n．
2 等差数列的中项性质及应用
1．（2022·四川省）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）与的等差中项是______．
3．（2022·全国·高二课时练习）若m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是______．
4．（2022·上海普陀·二模）已知等差数列（）满足，则__________.
5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）在等差数列中，若，则________．
6．（2021·河北衡水·高三阶段练习）已知等差数列中，分别是方程的两个根，则__________．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，则___________.
8．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则的值为__________．
9．（2022·安徽）在等差数列中，，则的值为__________.
10．（2022·全国·高二专题练习）已知实数成等差数列，则点到直线的最大距离是____．
3 等差数列的证明或判断
1．（2022·黑龙江）已知数列满足，，设.证明：为等差数列；
2．（2022·云南）已知数列满足，．
（1）求证数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式．
3（2022山东）已知数列满足，.证明：数列是等差数列，并求的通项公式.
4．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)．设bn＝，n∈N*，求证：数列{bn}是等差数列；
5．（2022·江西）已知首项为1的数列的前项和为，且．求证：数列是等差数列；
6．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，且．
(1)求，；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列的通项公式．
7．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知数列满足：，且．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
8．（2022·全国·高二课时练习）无穷数列满足：且．
（1）求证：为等差数列；
（2）若为数列中的最小项，求的取值范围．
4 等差数列的单调性
1．（2022广东）已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2021·全国·高二课时练习）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A．d>3 B．d C．3≤d D．3
5．（2022广西）已知数列的通项公式为.
（1）试问10是数列中的项吗？
（2）求数列中的最小项.
4.2.1 等差数列的概念（精练）
1 等差数列基本量的计算
1．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】设数列的首项为，公差为，由题得，所以.
所以数列的通项为.故选：A
2．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知等差数列的通项公式，则它的公差为（ ）
A．3 B． C．5 D．
答案：D
【解析】依题意，等差数列的通项公式，，所以公差为.
故选：D
3．（2022·广西）等差数列中，，则的公差为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：B
【解析】设等差数列的公差为，因为，所以，则，得，故选：B
4．（2022·陕西）等差数列的前三项分别是，，，则该数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】∵等差数列的前三项依次为，，，∴，
解得为任意实数，故等差数列的前三项依次为，，，
故数列是以为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式，故选：C．
5．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）若数列满足：，且，则________
答案：
【解析】因为数列满足：，且，
所以数列是首项为5，公差为的等差数列，所以.故答案为：.
6．（2022·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．
答案：－82
【解析】∵是公差为－2的等差数列，
∴．故答案为：-82
7．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，，．
(1)求的值；
(2)2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？
答案：(1)8082
(2)2022是数列中的第506项
【解析】(1)由题意，设等差数列的首项为，公差为．
由，，即解得
所以，数列的通项公式为．
所以．
(2)令，解得，所以，2022是数列中的第506项．
8．（2022·江苏·高二课时练习）在等差数列中，
(1)已知，公差，求；
(2)已知公差，，求；
(3)已知，公差，，求n．
答案：(1)27(2)10(3)13
【解析】(1)；
(2)；
(3)，，；故答案为：27,，10，13.
2 等差数列的中项性质及应用
1．（2022·四川省）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】由题意知，，由等差数列的等差中项，得数列为等差数列，
又，所以，则，
所以.故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）与的等差中项是______．
答案：
【解析】设与的等差中项是，则故答案为：
3．（2022·全国·高二课时练习）若m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是______．
答案：3
【解析】由题设，，可得，
所以，故m和n的等差中项是3.故答案为：3
4．（2022·上海普陀·二模）已知等差数列（）满足，则__________.
答案：1
【解析】由题设，所以，即.故答案为：1
5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）在等差数列中，若，则________．
答案：
【解析】在等差数列中，因为，
又所以，解得；故答案为：
6．（2021·河北衡水·高三阶段练习）已知等差数列中，分别是方程的两个根，则__________．
答案：2
【解析】由分别是方程的两个根，得，
因为是等差数列，所以．故答案为：2
7．（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，则___________.
答案：3
【解析】因为，所以，
因为，所以.故答案为：3.
8．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则的值为__________．
答案：
【解析】由，而，
所以.
故答案为：
9．（2022·安徽）在等差数列中，，则的值为__________.
答案：
【解析】依题意，等差数列中，，，.
故答案为：
10．（2022·全国·高二专题练习）已知实数成等差数列，则点到直线的最大距离是____．
答案：
【解析】由成等差数列，得，所以；
又点到直线的距离是
，
由，即，
所以．当且仅当时取等号，
所以，
即点到直线的最大距离是．
故答案为：．
3 等差数列的证明或判断
1．（2022·黑龙江）已知数列满足，，设.证明：为等差数列；
答案：证明见解析
【解析】，
令时，则，所以是以为首项，为公差的等差数列.
2．（2022·云南）已知数列满足，．
（1）求证数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式．
答案：（1）证明见解析；（2）．
【解析】解：（1）数列满足，．
整理得（常数），
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．
（2）由于数列是以为首项，1为公差的等差数列．
所以，
所以．
3（2022山东）已知数列满足，.证明：数列是等差数列，并求的通项公式.
答案：证明见解析，.
【解析】（1），，，
，，，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
4．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)．设bn＝，n∈N*，求证：数列{bn}是等差数列；
答案：见解析
【解析】证明 ∵an＝2－，∴an＋1＝2－．
∴bn＋1－bn＝－＝－＝＝1，
∴{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．
5．（2022·江西）已知首项为1的数列的前项和为，且．求证：数列是等差数列；
答案：证明见解析
【解析】证明：两边同时除以，得，
又，故是以为首项，为公差的等差数列．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，且．
(1)求，；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列的通项公式．
答案：(1)6，20；(2)证明见解析；(3).
【解析】（1）由题设，，.
（2）证明：因为，所以，即，
所以数列是首项，公差的等差数列．
（3）由（2）得：，所以．
7．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知数列满足：，且．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
答案：(1)证明见解析，
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）由，得，∴
又，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列
∴ ∴
（2）∵，∴
则，解得，不符合题意
∴不存在正整数，使得.
8．（2022·全国·高二课时练习）无穷数列满足：且．
（1）求证：为等差数列；
（2）若为数列中的最小项，求的取值范围．
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为，则
所以
，
故数列是以1为公差的等差数列；
（2）若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，又数列是递增数列，且为数列中的最小项，所以是数列中的最大负项，从而有，而，则，解得，
故的取值范围为.
4 等差数列的单调性
1．（2022广东）已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
答案：A
【解析】在等差数列中，由 ，得 ，得 ，
∵公差 为整数， ．故选A．
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
答案：ABC
【解析】由,知，故数列是等差数列，且公差为．
由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立；
若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立．
故选：ABC．
3．（2021·全国·高二课时练习）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A．d>3 B．d C．3≤d D．3
【解析】an＝﹣21+（n﹣1）d．
∵从第8项起开始为正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d．故选：D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为___________.
答案：
【解析】∵等差数列是递增数列，且，∴，又∵，∴，，，，即的取值范围为，故答案为.
5．（2022广西）已知数列的通项公式为.
（1）试问10是数列中的项吗？
（2）求数列中的最小项.
答案：（1）8 （2）当或时，取得最小值-20.
【解析】（1）令，即，解得（舍去）或，因此10是数列中的第8项.
（2）由，且知，当或时，取得最小值-20.
所以数列中的最小项为：
