4.2.2 等差数列的前n项和（精讲）
考点一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．
(1)已知，，求；
(2)已知，，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，求．
【例1-2】（2022年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题）古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·江苏南京）设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏省震泽中学高二月考）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板（ ）
A．1539块 B．1863块
C．3402块 D．3339块
3．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．
(1)已知，求；
(2)已知，求；
(3)已知，求；
(4)已知，，求．
考点二 等差数列前n项和与中项性质
【例2-1】（2022·辽宁）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A． B．
C． D．3
【一隅三反】
1．（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·海南华侨中学高二期末）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·安徽滁州·高二期中）设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高二阶段练习）已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
考点三 等差数列前n项的性质
【例3-1】（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．120 B．60 C．160 D．80
【例3-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（2022·全国·高二）等差数列的前项和为，若且，则( )
A． B．
C． D．
【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·新疆生产建设兵团第五师教育局高二阶段练习）等差数列的前项和为，若，，则（ ）.
A．39 B．29 C．28 D．24
2．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（ ）．
A． B． C． D．
3.（2022·海南）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4.（2022·辽宁·高二期中）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏·高二专题练习）等差数列中，为其前项和，若，，则________．
考点四 等差数列前n项和的最值
【例4-1】（2022·河南信阳）数列{an}中，如果an=49﹣2n，则Sn取最大值时，n等于（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【例4-2】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例4-3】（2022·北京八中高二期中）等差数列中，，，则当前项和最小时，（ ）
A．7 B．8 C．6或7 D．7或8
【例4-4】（2021·江苏·高二专题练习）已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（ ）
A．4041 B．4039 C．2021 D．2020
【一隅三反】
1．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，则当{an}的前n项和Sn，取得最大值时，n =（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．1012 D．1011
3．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）在等差数列中，为其前项的和，已知，且，当取得最大值时，的值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
4．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知等差数列的通项公式为（），当且仅当时，数列的前 项和最大，则当时，（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·吉林）已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：
①公差②③④数列中的最大项为⑤
其中正确命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点五 含有绝对值等差数列的求和
【例5】（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）等差数列满足，，其前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值.
【一隅三反】
1．（2022·海南 ）等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（2022·四川省）已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知等差数列的前n项和为，，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，其前n项和为，求．
4.2.2 等差数列的前n项和（精讲）
考点一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．
(1)已知，，求；
(2)已知，，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，求．
答案：(1)44(2)(3)370(4)-42
【解析】(1)等差数列中，，，
，解得，．．
等差数列中，，，，即得 ，
解得．
(3)等差数列中，，，
，解得，，．
(4)等差数列中，，，，，成等差数列，
，即，解得．
【例1-2】（2022年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题）古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】设第分到钱，设数列的公差为，
由题意可得，所以，，解得.故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·江苏南京）设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】由题意得：设等差数列的通项公式为，则
解得：故选：B
2．（2021·江苏省震泽中学高二月考）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板（ ）
A．1539块 B．1863块
C．3402块 D．3339块
答案：C
【解析】由题意可知，从上到下，从内到外，每环的扇面形石板数构成以9为首项，9为公差的等差数列，设为，设上层有环，则上层扇面形石板总数为，中层扇面形石板总数为，下层扇面形石板总数为，三层扇面形石板总数为，因为是等差数列，所以构成等差数列，公差为，因为下层比中层多729块，所以，解得：，所以.
故选：C
3．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．
(1)已知，求；
(2)已知，求；
(3)已知，求；
(4)已知，，求．
答案：(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)在等差数列的前n项和为且，
由等差数列的前项和公式，可得.
(2)在等差数列的前n项和为且，
由等差数列的性质可得，
又由等差数列的前项和公式，可得.
(3)解：在等差数列的前n项和为且，
由等差数列的前项和公式，可得，解得，
又由等差数列的性质可得.
(4)解：在等差数列的前n项和为且，
根据等差数列的前项和的性质，可得构成等差数列，
因为，即构成的等差数列，
所以，解得.
考点二 等差数列前n项和与中项性质
【例2-1】（2022·辽宁）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】因为和是等差数列,故故选:C
【例2-2】（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】两等差数列，，前n项和分别是，，满足，
所以.故选：B
【例2-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由．故选：D
【例2-4】（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A． B．
C． D．3
答案：B
【解析】由等差数列的前项和公式满足形式，设，则，故.故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】因为等差数列，的前n项和分别是，
所以.
故选：B
2．（2022·海南华侨中学高二期末）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由题意，.故选：C.
3．（2022·全国·高二课时练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】两个等差数列和的前项和分别为、，且，
所以.
故选：A
4．（2022·安徽滁州·高二期中）设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】在等差数列中，由，得，故选：B
5．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高二阶段练习）已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】分别是等差数列的前项和，故，且，故，故选：D
考点三 等差数列前n项的性质
【例3-1】（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由等差数列性质知：，，成等差数列，
，即，解得：.故选：C.
【例3-2】2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．120 B．60 C．160 D．80
答案：A
【解析】为等差数列，，
，，解得.
.故选：A.
【例3-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故
故选：D
【例3-4】（2022·全国·高二）等差数列的前项和为，若且，则( )
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】设的公差为d，
∵∴，即{}为等差数列，公差为，
由知，故﹒故选：A﹒
【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】设等差数列共有项，
则，，中间项为，
故
，
，
故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·新疆生产建设兵团第五师教育局高二阶段练习）等差数列的前项和为，若，，则（ ）.
A．39 B．29 C．28 D．24
答案：A
【解析】由题意，根据等差数列的性质，可得，，也构成等差数列，
即构成等差数列，所以，
即，解得.故选：A.
2．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（ ）．
A． B． C． D．
答案：D
【解析】，，，.故选：D．
3.（2022·海南）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
答案：A
【解析】设等差数列有奇数项，．公差为．
奇数项和为40，偶数项和为32，，，
，，
，即等差数列共项，且故选：．
4.（2022·辽宁·高二期中）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得：，又，
，.故选：B.
5．（2021·江苏·高二专题练习）等差数列中，为其前项和，若，，则________．
答案：
【解析】等差数列中，记首项为，公差为，利用等差数列求和公式，可得，
又
所以是首项为，公差为等差数列，
由，，得，所以的公差为
所以所以故答案为：
考点四 等差数列前n项和的最值
【例4-1】（2022·河南信阳）数列{an}中，如果an=49﹣2n，则Sn取最大值时，n等于（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
答案：B
【解析】由题意，可知数列为等差数列，则，
则当时，取最大值.故选：B.
【例4-2】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】由已知可得，即，解得，故选：A．
【例4-3】（2022·北京八中高二期中）等差数列中，，，则当前项和最小时，（ ）
A．7 B．8 C．6或7 D．7或8
答案：C
【解析】设公差为，因为，所以，所以，
因为，所以，所以，所以，，
所以，
所以当或时，取得最小值.故选：C
【例4-4】（2021·江苏·高二专题练习）已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（ ）
A．4041 B．4039 C．2021 D．2020
答案：B
【解析】∵等差数列存在最大值且，
∴首项，公差，即等差数列为递减数列，∴，
∵，
所以
∴，
.
所以满足的最大正整数的值为.
故选：B．
【一隅三反】
1．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，则当{an}的前n项和Sn，取得最大值时，n =（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：B
【解析】∵{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，
∴，
故当时，，当时，，
故时，取得最大值.
故选：B.
2．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．1012 D．1011
答案：D
【解析】因为等差数列的前项和为，，，
所以，
所以，，
所以，，即等差数列的公差，
所以，时，；时，，
所以，使得前项和取得最大值时的值为.
故选：D
3．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）在等差数列中，为其前项的和，已知，且，当取得最大值时，的值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
答案：C
【解析】设等差数列的公差为，
∵，∴，∴，∴，
∴，，∴取得最大值.故选：C.
4．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知等差数列的通项公式为（），当且仅当时，数列的前 项和最大，则当时，（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由条件可知，当时，，，解得：，因为，
所以，得，，解得：或（舍）.
故选：D
5．（2022·吉林）已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：
①公差②③④数列中的最大项为⑤
其中正确命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B
【解析】等差数列中，最大，且，
，，①正确；
，
，，，，，最大，
④不正确；，
，
③⑤正确，②错误.故选：B．
考点五 含有绝对值等差数列的求和
【例5】（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）等差数列满足，，其前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值.
答案：(1)(2).
【解析】（1）设首项为公差为，由解得，
所以.
（2）设数列的前项和为.
当,时，当,时，故
.
【一隅三反】
1．（2022·海南 ）等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)(2)
【解析】（1）由题意得：，解得，；
（2），当时，，；时，，；
当时，；
当时，；即
，综上所述：.
2．（2022·四川省）已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
答案：(1)(2)
【解析】(1)∵是等差数列，公差为d．且，，
∴解得，．
∴，
∴数列的通项公式为．
(2)令，则，∴，∴，又，
∴当时，；当时，．
又，，
∴当时，，
当时，，
∴
3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知等差数列的前n项和为，，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，其前n项和为，求．
答案：(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的首项和公差分别为，则
，解得，，所以．
(2)当且时，；当且时，．
所以当时，；
当时，．
综上所述，．
